Разложение формы Березина на сфере Текст научной статьи по специальности «Математика»

Секция: ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

Разложение формы Березина на сфере 1 © А. А. Артемов

Канонические представления обобщенной группы Лоренца О = БОо(1,п—1) на единичной сфере О С К” определяются как ограничения на О пpедставлений максимально вырожденных серий надгруппы О = ЯЬ(п, К). Форма Березина В(/,Ь), ц Є С, V = 0,1, на сфере О есть полуторалинейная форма, ядро которой Е^>и(и, у), и,у Є О, получается из ядра оператора, сплетающего представления максимально вырожденных серий. А именно, ЕЦ,У (п,у) = Ь(^) ■ [п,у]^’ ”, где [и, у] = —и1У1 + и2У2 + ... + ипуп. Множитель Ь(ц) взят таким образом, чтобы оператор с ядром Е^,о(и,у) переводил тождественную единицу на О в нее саму. Задача о разложении формы Березина сводится к разложению по сферическим функциям обобщенных функций Е+ = Ь(ц) и Е^>и = Ь(р) х”’и на гиперболоидах У+ = {[у,у] = -1,уі ^ 1} и X = {[х,х] = 1}, соответственно, и обобщенной функции Етх = Ь(р) уп’и на гиперболоиде У+ по смешанным сферическим функциям. Для простоты изложения мы ограничимся случаем п=3. Тогда Ь(р) = (—у — 1)/2п.

На гиперболоиде У+ сферические функции Фа, а Є С, только множителем отличаются от функций Лежандра: Фа (у) = 2п Ра (уі), на гиперболоиде X сферические функции Фа,є, а Є С, є=0,1, имеют выражение

Фа,є(х) =--1---- Ра(—хз) + ( — 1)£ра (х3) ,

81ПаП I -І

сферические функции Ф” дискретной серии пропорциональны функциям Лежандра второго рода: Ф”(х) = ^п(хз), наконец, смешанные сферические функции Фаєє на гиперболоиде У + даются формулой:

Фа<є(у) = 2п [вг™/2 + (—1)єв-г"п/2] -1 ■ Р(гуз) + (—1)єРа(—гуз)).

Основной результат состоит в следующих разложениях для И,е /л< — 1/2:

/Ж

ш(а) Л(у,а) Фа (1р,

■Ж

/СО Ж

(1/2)ш(а) Л(у, V, а) Фа,и йр + ^ Шп Лп(у) Ф” ,

'Ж п_о

Ш(а)

гж

)ш(а) Л(р^,а) Фа,^ йр + 2^ Шп Лп(у) Фп :

'-ж п=0

г ж

Ешіх = V, а) Фа<^ йр,

хРабота поддержана Российским Фондом Фундаментальных Исследований: гранты N0. 05-01-00074a, 07-01-91209 ЯФ_a и 06-06-96318 р_центр_а, Научными Программами "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы": проект РНП.2.1.1.351 и Темплан 1.5.07.

во всех интегралах а = —(1/2) + ip. Здесь и (а), &и - известные множители в мерах План-шереля,

д, а) = F((—V + а)/2)г((—у. — а — 1)/2)

(Л,а) г( — /)Щ—^ — 1)/2) ,

А(р, v, а) = —1 tg P—-Vп ■ Л(л, а), An(л) = 2-^+1 ctg Пп ■ Л(л, n),

Amix(p,v,a) = [sinЛ 2 ап + (—1)vsinЛ + аn]{sinpn}-1A(p,a).

О граничных представлениях, связанных с полиномиальным квантованием 1

© Н. Б. Волотова

В настоящей заметке мы хотим обсудить один из вариантов граничных представлений, возникающих в связи с полиномиальном квантованием. Мы ограничимся ключевым примером: однополостным гиперболоидом X = О/Н в К3, здесь О = ЯОо (1, 2), Н = ЯОо (1,1). Полиномиальное квантование на этом гиперболоиде построено в [2].

Для х Є К3 обозначим Q = —х\ + х\ + х2. Гиперболоид X задается уравнением Q = 1, группа О сохраняет Q, подгруппа Н сохраняет координату хз. Многочлен f на К3 называется О-гармоническим, если он удовлетворяет волновому уравнению (—д^ + д| + д3)f = 0, ді = д/дхі. Пусть 5, Н, Б к, Нк обозначают пространства всех многочленов, всех О-гармо-нических многочленов, однородных многочленов степени к, однородных О-гармонических многочленов степени к на К3, соответственно. Обозначим через Б(X), Нк(X) и т.д. ограничения на X многочленов из Б, Н и т.д. Для О-гармонических многочленов такое ограничение взаимно-однозначно. В пространствах Нк и Нк (X) действует (сдвигами) конечномерное неприводимое представление Пк группы О со старшим весом к.

Всякий многочлен f из Б к разлагается по степеням Q:

f (х) = Нк (х) + Нк-2(х^ + Нк-А(х)Я2 + (1)

где Ну Є Ну. Многочлен Нк(х) есть О-гармоническая проекция многочлена f (х), она выражается через f (х) некоторой дифференциальной формулой, аналогичной формуле для обычной гармонической проекции [1]. С другой стороны, на X О-гармоническая проекция Нк (х) дается сверткой (определение свертки дано в [2]) f (х) со сферической функцией Фк, последняя есть функция Лежандра Рк(х3) с некоторым множителем. Из (1) следует, что Бк (X )= Но^)+ )+ ... + Нк (X).

Спроектируем К3 на плоскость Ь = {хі = 1}, сопоставляя точке х точку у = х/х і (хі = 0). Тогда гиперболоид X перейдет во внешность единичного круга: х2 + х3 > 1, а многочлен ^ из Б к (X) перейдет в многочлен р от двух переменных у2,у3 степени к (многочлен ^ есть ограничение многочлена f Є Бк на X, а р есть ограничение многочлена f на Ь). По (1) многочлен р разлагается по степеням р = у% + у2 — 1:

р(у) = ак (у) + ак-2(у)р + ак-4(у)р2 + ■■■■ (2)

Таким образом, разложение (2) дает характеризацию представлений пт, действующим в Нт(X), с точки зрения "граничных" значений многочленов из Бк(X).

хРабота поддержана Российским Фондом Фундаментальных Исследований: гранты N0. 05-01-00074a, 07-01-91209 ЯФ_a и 06-06-96318 р_центр_а, Научными Программами "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы": проект РНП.2.1.1.351 и Темплан 1.5.07.