Полиномиальное квантование на комплексном гиперболоиде Текст научной статьи по специальности «Математика»

Следовательно, матрица T может быть записана в виде

T = qE + 1,

где E - единичная матрица, 1 обозначает матрицу , у которой все элементы равны 1. Ранг матрицы 1 равен 1, поэтому матрица T обратима и

S = -q*(q + 1) ^ - q)E + 1} '

Следовательно, формула (1) для поля есть

f (z) = 1(M0(Rf ))(z) - q2fq1+ £ S(z,w)(Mo(Rf ))(w).

q q (q + 1 weK2

Литература

1. Е. В. Водолажская. Преобразование Радона на плоскости над конечным кольцом. Вестник Тамбовского унив. Сер.: Естеств. и техн. науки, 2008, том 13, вып. 6, 457-469

УДК 517.98

Полиномиальное квантование на комплексном гиперболоиде 1

© О. В. Гришина

Ключевые слова: комплексный гиперболоид, представления, гармонические многочлены, операторы Лапласа, преобразование Березина

Построены полиномиальные квантования на гиперболоиде в C3

Polynomial quantizations on a hyperboloid in C3 are constructed

Введем на C3 билинейную форму [x,y] = -x1y1 + x2y2 + x3y3. Обозначим

через X гиперболоид [x,x] = 1. Это пространство может быть реализовано как пространство матриц

1 - x3 x2 - xi \

x2 + xi 1 + x3 J ’

хРабота поддержана грантами: РФФИ 07-01-91209 ЯФ_а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП.2.1.1.351 и Темпланом 1.5.07.

с определителем detx = 0. Группа О = ЯЬ(2, С) действует на таких матрицах:

где N = 1 — £ц. На X имеется два оператора Лапласа А и А (образующие в

Для комплексного о и полуцелого т обозначим через ^а,т пространство функций р(г) таких, что р, р принадлежат Сте(С), где р(г) = г2а'2тр(—1/г). Представление Та,т группы О действует в ^а,т по формуле

Меняя местами а с 8 и в с 7, получаем контраградиентное представление Та,т. Представления Та,т и Та т эквивалентны. Оператор с ядром (1 — гт)-2а-4,-2т сплетает Та,т и Т-а—2,-т, а также Та,т и Т-а-2—т.

Применим схему [1] квантования по Березину к пространству X. В качестве алгебры операторов возьмем операторы О = Та,т(Х), где X - элементы универсальной обертывающей алгебры для алгебры Ли группы О, действующие в функциях от £, и т Е Ъ. В качестве переполненной системы возьмем ядро сплетающего оператора Л-а-2—т, а именно,

Определения ковариантных и контравариантных символов в точности повторяют определения из [1]. Например, ковариантный символ оператора О есть следующий многочлен на X:

Предположим, что многочлены Г и Г являются соответственно контра- и кова-риантными символами одного и того же оператора О. Отображение В : Г — Г1 называется преобразованием Березина.

Теорема 1.1 Преобразование Березина выражается через операторы Лапласа:

х -— д-1хд. На X она действует транзитивно, стационарной подгруппой точки х° = (0, 0,1) является подгруппа Н диагональных матриц.

Введем на X орисферические координаты £,ц:

алгебре инвариантных дифференциальных операторов), где А = N2д2/д^д^. Для А € С, к Е Ъ, а Е С\{0}, обозначим

(Та,т(д)^ (г) = <Р

д

ф(€, п) = 2т = (1 — Сп)2а’2т

Г(х) = Г(^ П) = ф(^ ) (О 0 1) ф(^ п).

в

Г(—а — т + А)Г(—а — т — А — 1) Г(—а — т)Г(—а — т — 1) Х Г(—а + т + ^)Г(—а + т — ц — 1)

Г(—а + т)Г(—а + т — 1) д=а(а+і), д=^+і)

Следовательно, при а ^ —ж преобразование Березина имеет асимптотику:

В- 1 — -(Д + Д). а

Отсюда следует выполнение принципа соответствия.

Теорема 1.2 Справедливо следующее разложение преобразования Березина:

В _ ^ Д(Д — 1 • 2)(Д — 2 -3)...(Д — (к — 1)к) ^_____________1________^

x

n=0

k! (—а — m — 2)(k)

^Д(Д — 1 • 2)(А — 2 • 3)... (А — (n — 1)n) 1

n! (—а + m — 2)(n)

k=0

где используется обозначение a(m) = a(a — 1)... (a — m +1).

Таким образом, в отличие от вещественного случая, для комплексного гиперболоида мы имеем счетное число полиномиальных квантований, они нумеруются целым числом п.

Литература

1. V. F. Molchanov, N. B. Volotova. Finite dimensional analysis and polynomial quantization on a hyperboloid of one sheet. Вестник Тамбовского унив. Сер.: Естеств. и техн. науки, 1998, том 3, вып. 1, 65-78.

УДК 517.98

Об умножении обобщенных функций комплексного переменного 1

© Л. И. Грошева

Ключевые слова: обобщенные функции комплексного переменного, однородные функции

Определяется умножение однородных обобщенных функций комплексного переменного

A multiplication for homogeneous distributions of the complex variable is defined

В предыдущей заметке [2] мы рассмотрели умножение однородных обобщенных функций вещественного переменного. Эта задача была подсказана работой

хРабота поддержана грантами: РФФИ 07-01-91209 ЯФ_а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП.2.1.1.351 и Темпланом 1.5.07.

т