Формула обращения для преобразования Радона на плоскости над конечным кольцом Текст научной статьи по специальности «Математика»

Вот ее явное выражение:

cos Л±+Кп cos £++vn \

cosп -cosЛ±—п ) ’

где

р / — р/ —Х—п—а+2 \

Л(А v а) = р 271У 2 )

У > > ) г( —Л—^±1) Г(—Л^±^±1)-

Матрица M есть своего рода "собственное число" преобразования Березина Q Л,и •

Литература

1. В. Ф. Молчанов. Канонические представления на двуполостных гиперболоидах. Записки научных семинаров ПОМИ, 2006, том 331, 91-124.

2. V. F. Molchanov. Canonical and boundary representations on a hyperboloid of one sheet. Acta Appl. Math., 2004, vol. 81, Nos. 1-3, 191-204.

3. V. F. Molchanov. Canonical representations on the two-sheeted hyperboloid. Indag. Math., 2005, vol. 16, Nos. 3-4, 609-630.

M(A,v, a)

A(A,v, a)

cosЛ—~п

УДК 519.1

Формула обращения для преобразования Радона на плоскости над конечным кольцом 1

© Е. В. Водолажская

Ключевые слова: преобразование Радона, конечные поля, кольца классов вычетов

Преобразование Радона R на плоскости над конечным кольцом K сопоставляет функции f на K суммы ее значений по прямым. Мы предлагаем гипотетическую формулу обращения для произвольного кольца. Эта формула доказана для поля.

The Radon transform R on the plane over a finite ring K assigns to a function f on K sums of its values on lines. We write a hypothetic inversion formula. It is proved for a field.

Пусть K - конечное кольцо с q элементами, K2 = K x K - плоскость над K. Прямой на плоскости K2 назовем множество £ всех точек (x,y) Е K2, удовлетворяющих уравнению:

ax + by = c,

хРабота поддержана грантами: РФФИ 07-01-91209 ЯФ_а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП.2.1.1.351 и Темпланом 1.5.07.

где а,Ь,с Е К, причём а и Ь не являются делителями нуля одновременно. Пусть Н - множество всех прямых.

Для конечного множества X обозначим через Ь(Х) линейное пространство функций на X со значениями в С. Размерность его равна количеству элементов

Преобразование Радона Я сопоставляет всякой функции / Е Ь(К2) функцию Я/ Е Ь(Н), которая равна "интегралу" функции / по прямой £, то есть

При изучении преобразования Радона основными задачами являются: описать его образ и получить формулу обращения (если оно инъективно). В предыдущей работе [1] нам удалось решить эти задачи для конечного поля, а в случае

стое число, получена формула обращения. В настоящей работе мы предлагаем гипотетическую формулу обращения для произвольного кольца, см. (1). Эта формула имеет другую структуру, нежели формула из [1]. Эта гипотеза доказана для поля и проверена на некоторых примерах для кольца классов вычетов (по модулю 6 и 4).

Пусть Т(г,т) обозначает количество прямых, проходящих через Е К2 (для ,ш = г это - количество прямых, проходящих черех точку г). Числа Т(г, и>) образуют матрицу Т порядка д2. Гипотеза состоит в том, что эта матрица обратима. Обозначим через Б обратную матрицу: Б = Т-1, она имеет элементы Б(г,т). Определим оператор М0 : Ь(Н) ^ Ь(К2) формулой

(Я/Ш = X! /(х,у)

(х,у)ЄІ

Преобразование Я есть линейный оператор Ь(К2) — Ь(И).

кольца Zq - для д = р2, где р - простое число. Для кольца Zq с д = рк, р - про-

(М0Г)(г)=^2 РИ-

Тогда

(1)

-шЄК2

В самом деле

(Мо(Я/))(;)= ^ Т(г.и,)/(ш),

'ШвК2

поэтому

т£К 2

т£К 2

иЄК2

Следовательно, матрица T может быть записана в виде

T = qE + 1,

где E - единичная матрица, 1 обозначает матрицу , у которой все элементы равны 1. Ранг матрицы 1 равен 1, поэтому матрица T обратима и

S =- qpq+T) <(-q2 - q)E+^ ■

Следовательно, формула (1) для поля есть

f(z) = 1(M0(Rf))(z) - q2(q1+ £ S(z,w)(Mo(Rf))(w).

q q (q + ) weK2

Литература

1. Е. В. Водолажская. Преобразование Радона на плоскости над конечным кольцом. Вестник Тамбовского унив. Сер.: Естеств. и техн. науки, 2008, том 13, вып. 6, 457-469

УДК 517.98

Полиномиальное квантование на комплексном гиперболоиде 1

© О. В. Гришина

Ключевые слова: комплексный гиперболоид, представления, гармонические многочлены, операторы Лапласа, преобразование Березина

Построены полиномиальные квантования на гиперболоиде в C3

Polynomial quantizations on a hyperboloid in C3 are constructed

Введем на C3 билинейную форму [x,y] = -x1y1 + x2y2 + x3y3. Обозначим

через X гиперболоид [x,x] = 1. Это пространство может быть реализовано как пространство матриц

- x3 x2 - x1 ,

x2 + x1 + x3 ,

хРабота поддержана грантами: РФФИ 07-01-91209 ЯФ_а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП.2.1.1.351 и Темпланом 1.5.07.