О собственных числах преобразования Березина Текст научной статьи по специальности «Математика»

Секция: ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

УДК 517.98

О собственных числах преобразования Березина 1

© А. А. Артемов

Ключевые слова: канонические представления, псевдо-ортогональная группа, преобразование Березина

Обобщенная группа Лоренца G = SGq(1, n—і) действует на единичной сфере Q в Rn (линейно на лучах). Это действие имеет 3 открытых орбиты. Мы находим явные формулы для композиции преобразований Пуассона и преобразования Березина

The generalized Lorentz group G = SGq(1, n—1) acts on the unit sphere Q in Rn (linearly on rays). This action has 3 open orbits. We compute explicit formulae for the composition of Poisson s and the Berezin transform

Настоящая работа посвящена одной теме в изучении канонических представлений на G-пространствах, а именно, взаимодействию преобразований Пуассона и сплетающих операторов. В качестве сплетающего оператора мы возьмем преобразование Березина, это самый сложный случай. Указанная тема относится к новой теории в гармоническом анализе: изучению канонических представлений на G-пространствах, - начатой в работах Молчанова [2], [3], [1].

Возьмем в пространстве Rn, n ^ 4, билинейную форму

[x, у] = —xiyi + x2y2 + ••• + xnyn•

Пусть G = SOQ(1,n — 1). Мы считаем, что G действует в Rn справа: x ^ xg, в соответствии с этим мы записываем вектор в виде строки.

Обозначим через |x| евклидову норму в Rn. Пусть П - сфера |x| = 1. Обозначим через Dv(П) подпространство функций f в 'D(Q) четности v.

Канонические представления R\v, АєС, v = 0,1, группы G мы определяем как ограничения представлений максимальной вырожденной серии надгруппы

1Работа поддержана грантами: РФФИ 07-01-91209 ЯФ_а, 06-06-96318 р_центр_а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП.2.1.1.351 и Темпла-ном 1.5.07.

О = ЯЬ(", К) на группу О. Представление Я_,и группы О действует в Ъи(П): {Я_,„(д)/)(и) = /(і^) |ид|-Л-п, д € О.

Назовем преобразованием Березина оператор Я_,и, задаваемый формулой

{Я_,V!)(и) = с(Л^) / [и,у]х'и !(У) дм.

Jn

где дм - евклидова мера, мы используем обозначение іЛ’ ” = |і|Лв§п^,

с(Л, V) = і п(1-п)/2 Г (^ /г (-Л - " + У +1)

Он сплетает Ял,и с Я-_-п,и. Композиция Я-_-п,и Я_, ^ есть тождественный оператор. Представление Ял,и и оператор Я_,и могут быть продолжены на пространство ЪV (П) обобщенных функций на П четности V.

Представления группы О, участвующие в разложении канонических представлений, это представления, связанные с конусом. Возьмем сечение 5' конуса [х, х] = 0 плоскостью Х\ = 1. Оно есть сфера в Кп-1. Пусть дв - евклидова мера на 5. Пусть а € С. Представление Та группы О действует на Ъ(5):

т° (дФ>=К (в^ )<вд)? ■

Возьмем на П открытые множества П+ : [и, и] > 0 и П- : [и, и] < 0. Действие и ^ ид/1ид1 группы О на П не транзитивно. Оно имеет 3 открытые орбиты: множество П+ - одна орбита, множество П- распадается на две орбиты.

Определим преобразования Пуассона Р±

Л, и, а *

{РХ,и,аф) (и) = [и,и]± П а / [и,в]а'и Ф(в) дв

о Б

(мы используем обобщенные функции х+, х_ на действительной прямой).

Обозначим через С°°(П±) пространство функций /(и) класса С° и четности V на многообразии П±. Преобразование Р±иа есть оператор Ъ(5) ^ С°(П±). Он сплетает представления Т2-п-а и Я_,и.

Теорема 1.1 Имеют место следующие формулы:

Я_," Р-и,а = Л--(Л^,а) Р-_-п, V, а +Л-+ (Л,^а) Р—_-п, V, а,

Я_ ,V Р+и,а = Л+-(Л^^) Р!_-п,а +Л++ (Л,^а) Р+_-,п,а■

Числа Л±± образуют матрицу (зависящую от Л^,а):

' Л-- Л-+

М - 1 л + Л ++

Л+- Л++

Вот ее явное выражение:

M(Л, V, а)

Л(Л, V, а)

cos п

где

Л(Л, V, а)

rV—2—) 1 (

—X—n—а+2 2

/—X—n+v+1 V 2

Матрица M есть своего рода "собственное число" преобразования Березина

1. В. Ф. Молчанов. Канонические представления на двуполостных гиперболоидах. Записки научных семинаров ПОМИ, 2006, том 331, 91-124.

2. V. F. Molchanov. Canonical and boundary representations on a hyperboloid of one sheet. Acta Appl. Math., 2004, vol. 81, Nos. 1-3, 191-204.

3. V. F. Molchanov. Canonical representations on the two-sheeted hyperboloid. Indag. Math., 2005, vol. 16, Nos. 3-4, 609-630.

УДК 519.1

Формула обращения для преобразования Радона на плоскости над конечным кольцом 1

Ключевые слова: преобразование Радона, конечные поля, кольца классов вычетов

Преобразование Радона R на плоскости над конечным кольцом K сопоставляет функции f на K суммы ее значений по прямым. Мы предлагаем гипотетическую формулу обращения для произвольного кольца. Эта формула доказана для поля.

The Radon transform R on the plane over a finite ring K assigns to a function f on K sums of its values on lines. We write a hypothetic inversion formula. It is proved for a

Пусть К - конечное кольцо с q элементами, К2 = К х К - плоскость над К. Прямой на плоскости К2 назовем множество £ всех точек (х,у) Е К2, удовлетворяющих уравнению:

хРабота поддержана грантами: РФФИ 07-01-91209 ЯФ_а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП.2.1.1.351 и Темпланом 1.5.07.

Литература

© Е. В. Водолажская

field.

ax + by = c,

З