Граничные представления на пара-эрмитовых пространствах ранга один Текст научной статьи по специальности «Математика»

ГРАНИЧНЫЕ ПРЕДСТАВЛЕНИЯ НА ПАРА-ЭРМИТОВЫХ ПРОСТРАНСТВАХ РАНГА ОДИН 1

А. А. Артемов

Канонические представления на эрмитовых симметрических пространствах были введены Вершиком-Гельфандом-Граевым [6] (для плоскости Лобачевского) и Березиным [1]. Они унитарны относительно некоторого инвариантного нелокального скалярного произведения (формы Березина). Молчанов ввел понятие так называемых граничных представлений, тесно связанных с каноническими. Ему также принадлежит идея о том, что естественно рассматривать канонические представления в более широком смысле: надо отказаться от условия унитарности и позволить этим представлениям действовать на достаточно обширных пространствах, в частности, в обобщенных функциях. Более того, понятие канонического представления (в этом широком смысле) может быть обобщено на другие классы полупростых симметрических пространств С/Я, в частности, на пара-эрмитовы симметрические пространства, см. [4]. Более того, иногда естественно рассматривать несколько пространств С/Яі одновременно, возможно с различными Я*, вложенными как открытые (9-орбиты в компактное многообразие П, где Є действует, так что есть замыкание объединения этих орбит.

Канонические представления могут быть сконструированы следующим образом. Пусть Є есть группа, содержащая Є (надгруппа), Я - серия представлений группы С, индуцированных характерами некоторой параболической подгруппы Р относительно Є/Н и действующих в функциях на П. Канонические представления Я группы (7 есть ограничения представлений Я на (7.

Пара-эрмитовы симметрические пространства ранга один исчерпываются с точностью до накрытия пространствами С/Я с С = 8Ь(п,М), Я = ОЬ(п — 1,К). Для этих пространств Є/Я надгруппа есть прямое произведение Є х С, а канонические представления оказываются тензорными произведениями представлений максимально вырожденных серий и контраградиентных им представлений. Эти тензорные произведения изучаются в [3], см. также [2]. Канонические представления на Сг/Я порождают граничные представления группы (?, связанные с границей пространства Є/Н. В настоящей работе мы изучаем разложение этих граничных представлений на неприводимые составляющие (разложению канонических представлений будут посвящены следующие работы).

Канонические и граничные представления для нашего пространства (?/Я в случае п = 2 (тогда Є/Н является однополостным гиперболоидом в К3) были изучены в [5].

1 Исследование выполнено при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований

(гранты РФФИ 05-01-00074а и 06-06-96318 р_центр_а), Научной программы "Развитие научного

потенциала высшей школы" (проект РНП.2.1.1.351) и Темплана 1.2.02.

Введем некоторые обозначения и соглашения. Через N мы обозначаем множество {0,1,2,...}. Знак = обозначает сравнение по модулю 2.

Для характера группы К* = К\{0} будем использовать следующее обозначение

¿А,е _ |£|^пе ^

где г € Е*, А 6 С, £ = 0, 1.

Для многообразия М через Т>(М) обозначается пространство Шварца бесконечно дифференцируемых С-значных функций на М с компактным носителем, с обычной топологией, и через Т>'(М) - пространство обобщенных функций на М -антилинейных непрерывных функционалов на Т>{М).

§ 1. Пространство G/Hm многообразие il

Мы рассматриваем симметрическое пространство G/H, где G = SL(n, Е), Н = GL(n — 1,М), п ^ 3. Группа G действует на пространстве Mat(n,E) следующим образом

х д^хд.

Запишем матрицы из Mat(n,E) в блочном виде в соответствии с разбиением п — (п — 1) + 1. Возьмем матрицу

= ( 0 0 (о 1

Подгруппа Н является как раз стабилизатором точки х°, эта подгруппа состоит из блочно диагональных матриц:

Ц; си Є GL(n — 1,К), S = (det а)~х.

Таким образом, наше пространство G/Н является G-орбитой точки х°, оно состоит

из матриц ранга один со следом, равным единице.

Снабдим R" стандартным скалярным произведением у), положим \х\ = {х,х)1!2. Пусть S есть сфера |s| = 1. Пусть ds - евклидова мера на S. Группа G действует на S так: s sg/\sg\.

Пусть С есть конус в Mat(n,R), состоящий из матриц х ф 0 ранга один.

Следовательно, пространство G/Н является сечением конуса С гиперплоскостью trrr = 1. Введем норму ||ж|| в Mat(n, Е) следующим образом (штрих означает матричную транспозицию):

||ж|| = {ії{хх')}112.

Пусть есть пересечение конуса С с множеством ||rr|| = 1. Многообразие S х S накрывает дважды многообразие VL с помощью отображения

(S, t) I-» t's = и.

Мера с?й определяет меру с1и на Г2 так:

[ /(и)(1и = - I /(¿^¿всЙ, и = 1'в.

./п 2 Jsxs

Действие группы б на 5 задает следующее действие группы С на О:

д~1ид

и 1->

\д^ид 1Г

В частности, подгруппа К = ЭО (п) - максимальная компактная подгруппа - действует на О, сдвигами: и ь->• к~1ик.

Рассмотрим на О функцию

р = р(и) = {з,Ь), и = ¿'в. (1.1)

Действие группы С? на Г2 имеет три орбиты: а именно, две открытые орбиты = {р > 0} и = {р < 0} размерности 2п — 2 и одну орбиту Г = {р = 0} размерности 2п — 3. Орбита Г есть многообразие Штифеля, она является границей орбит Г2±. Обозначим ГУ = £2+ и 12“. Каждая из орбит может быть отождествлена с пространством О/Н. Отображение строится посредством образующих конуса С.

§ 2. Канонические и граничные представления

Сначала напомним [2] некоторый материал о серии представлений группы С, связанной с пространством О/Н.

Обозначим ©£(Г) пространство функций ір в ©(Г) четности є = 0,1:

¥>(-7) = (-1)М7)-Представление Та>е действует на Т>Е(Г) так:

ТаЛдЫ7) = ч>( 11^-1^11) \\д~119\\а- (2.1)

Пусть (фіф) г обозначает следующую полуторалинейную форму

(Ф, <^)г = J Ф(7)(рЬ)й7- (2.2)

Теперь напомним [3] определение максимально вырожденных серий представлений 7г^, ¡і Є С, и = 0,1, группы С. Пусть Т>,;(5') есть подпространство

пространства Т>(3), состоящее из функций <р> четности и: <р{—в) = (—1)1/(р(з). Пред-

ставления тг^и действуют на Х^Дб1) следующим образом

ЫХЛяШз) = Т-

Определим канонические представления Я^, ц € С, и = 0,1 группы (7 как тензорные произведения:

Я^и = 7Г1^_та ® 7Г^_П.

Они могут быть реализованы на Г2: пусть 7)^0) обозначает подпространство пространства Т>(0), состоящее из функций / четности и: f(—u) = (—1 )"/(и), тогда представление Я^и действует на Т>и(П) по формуле, аналогичной (2.1):

л«'ЫЛ“) = /(б^!)||9"1“9Г""-

Скалярное произведение

(/,Л)П= [ ¡{и)Ь{и)йи (2.3)

Jn

инвапиантно относительно павы (Я......7?. - „ ,Л. т.е.

а х ---р, —/&,«✓/; - -

(ЯцЛя)/, Л)п = (/, Л_д_п>„(5-1)Л)п. (2.4)

Каноническое представление ДА„ задает два представления и свя-

занные с границей Г многообразий ^ (граничные представления). Первое из них действует в обобщенных функциях, сосредоточенных на Г, второе действует на струях, ортогональных Г.

Введем "полярные координаты" на соответственно расслоению на К-орбиты. Эти К-орбиты являются поверхностями уровня функции р, см. (1.1). Для

— 1 < р < 1 они диффеоморфны многообразию Г. В полярных координатах мера ¿и на Г2 есть

<1и = (1-р2Уп-^12(1р(1'1,

где (¿7 есть мера на Г.

Пусть / есть функция из Х>(,(Г2). Рассмотрим ее как функцию от полярных координат. Рассмотрим ее ряд Тейлора ао + а\р + а2р2 + ... по степеням р. Здесь ат = ат(/) являются функциями из ^(Г). Обозначим через Е£(Г2), к 6 М, V = 0,1, пространство обобщенных функций на Т>'и{0), имеющих вид

т=0

где </?т 6 £>„_т(Г), 6 есть дельта-функция Дирака на действительной прямой, 6^

- ее производные. Пусть Е„(Г2) = иЕ^(Г2).

Обозначим через а^(/) коэффициенты Тейлора функции (1 — р2)(п~3У2/(и). Обобщенная функция (р(^)6^тЦр) действует на функцию / £ Т>и(0.) следующим образом:

<^(га)М,/>п = (-1Гт!(,>,<С(/)>г.

Обозначим через ограничение представления Я^и на Е„(Г2). Это представление записывается в виде верхней треугольной матрицы с диагональю

Т\—п—^1+т,1/—гт ТГЬ £

Пусть а(/) означает столбец коэффициентов Тейлора ат(/). Представление действует на этих столбцах:

М^(д)а(/) = а(Дм,„(#)/).

Оно записывается в виде нижней треугольной матрицы с диагональю Т-п-ц-т>1/-т, т £ N.

Граничные представления и дуальны друг другу.

§ 3. Преобразования Пуассона и Фурье

Выпишем операторы Рц^-,а,е и сплетающие представления Ли Та>£.

Назовем их преобразованиями Пуассона и Фурье, связанными с каноническими

мпйЯлт п о п пп !п I п * лп I I I ьи/ие/ю/ V илГЪМЬ и».

Преобразование Пуассона Р^-а,£ есть отображение Х>(Г) —> С°°(0,'), задаваемое формулой

Р»,Ща,еУ{и) = р-^-а-п'и-£ ^{tr(гí7)}tт,£<p(7)c?7.

Оно сплетает Т1_СТ_П)£ с -йм>г/. Здесь мы рассматриваем как ограничение на С00 (ГУ) представления действующего в обобщенных функциях на Т>'(0).

Для К-финитной функции € АДГ) и а ^ (1 — п)/2 + Ъ преобразование Пуассона имеет следующее разложение по степеням р:

00

(Р„„,м М = р-“-’-'ь) ■ Р1

к=О оо

к=О

где и имеет полярные координаты р, 7. Здесь Са>£ук и Р>а,е,к ~ некоторые операторы, действующие В Т>и{Т). МнОЖИТвЛИ и р-ц.+(т-1,и-е дают П0ЛЮСЫ

преобразования Пуассона по <т, зависящие от ¡л:

а = ¡1 — к, а = 1 — п — ¡1 + 1, (3.1)

где к,1 Е N и к = и — е, I = и — е. Если полюс принадлежит только одной серии

(3.1), то полюс простой, а если полюс принадлежит обеим сериям (3.1), тогда ц € (1 — п)/2 + N и полюс является полюсом второго или первого порядка.

Пусть полюс а = [1 — к, к = и — е, - простой. Вычет Рц^-к преобразования Рц,,^,сг,£ в этом полюсе есть некоторый оператор Х>(Г) —> Е*(Г2). Обозначим образ этого оператора через Уц,и,к-

Преобразование Фурье ^11/;(7)£ есть отображение ДДГ2) —> Т>е(Т), задаваемое формулой

^,^/(7) = [ Мщ)Г^-^~^(и)с1и.

Jn

Оно сплетает представления и Та>е.

Преобразования Фурье и Пуассона являются сопряженными друг другу:

{Рц,1/-,а,е1: Ф)т ~ (/> Р-~Ц-п,ь'-^:,е(Р)и-

Полюсы преобразования Фурье как функции от о расположены в точках

о = — п — ц — к, а = ц + 1 + I, (3.2)

где к,1 £ N и к = и — е, I = и — е. Если полюс принадлежит только одной из серий

(3.2), то такой полюс простой, а если полюс принадлежит обеим сериям (3.2), тогда ¡л £ (—1 — п)/2 — N и полюс является полюсом второго или первого порядка..

Пусть полюс а = — п — ^ — к, к = и — £, - простой. Вычет Р^-п-ц-к преобразования ^,г/;сг,£ в этом полюсе является "граничным" оператором Вц^к : Т>„(0,) —> Х'(Г), к = и. Оператор В^к задается в терминах коэффициентов Тейлора ат(/): он есть линейная комбинация функций Д_А4_п_й)1/1д;_т(а^(/)). Кроме того, можно рассмотреть следующий оператор В^и. действующий на столбцах а = (ао, «1, «2,...) функций йк £ Т>и{Г): этот оператор каждому столбцу а ставит в соответствие столбцы В^иа — {В^^а, В^^а, В^2а,...) функций в том же пространстве Т>и(Г) - по тем же формулам без /. Этот оператор В^ „ задается нижней треугольной матрицей.

§ 4. Разложение граничных представлений

Мероморфная структура преобразований Пуассона и Фурье является основой для разложения граничных представлений и

Пусть полюс о = ¡л — к преобразования Пуассона - простой, в частности, это бывает, когда ¡л (1 — га)/2 + N. Тогда граничное представление диагона-лизуемо. Это означает, что Е„(Г2) разлагается в прямую сумму подпространств Уц,и,к1 к £ М, и ограничение представления Ь^и на У^к эквивалентно представлению Tl_n_^i+fc)e+fc (посредством Ррм-к).

Если полюс - второго порядка, тогда разложение представления содержит конечное число жордановых клеток, их количество зависит от ¡л.

Пусть полюс а = —п — ¡л — к преобразования Фурье - простой, это бывает, в частности, когда ¡л ^ (—1 —п)/2 —N. Тогда матрица диагонализуема, что означает, что В~1Мц^В^и является диагональной матрицей. Ее диагональю является Т—п—ц—к,1>—к1 к £ N.

Если полюс - второго порядка, тогда разложение представления М^ содержит конечное количество жордановых клеток, их число зависит от ¡л.

ЛИТЕРАТУРА

1. Ф. А. Березин. Квантование на комплексных симметрических пространствах. Изв. Акад. наук СССР, Сер. матем., 1975, том 39, No. 2, 363-402.

2. G. van Dijk, V. F. Molchanov. The Berezin form for rank one para-Hermitian symmetric spaces. J. Math. Pures Appl., 1998, tome 77, No. 8, 747-799.

3. G. van Dijk, V. F. Molchanov. Tensor products of maximal degenerate series representations of the group SL(n, R). J. Math. Pures Appl., 1999, tome 78, No. 1, 99-119.

4. V. F. Molchanov. Quantization on para-Hermitian symmetric spaces. Amer. Math. Soc. Transl., Ser. 2, 1996, vol. 175 (Adv. in Math. Sci.—31), 81-95.

5. V. F. Molchanov. Canonical and boundary representations on a hyperboloid of one sheet. Acta Appl. Math., 2004, vol. 81, Nos. 1-3, 191-214.

6. А. М. Вершик, И. М. Гелъфанд, М. И. Граев. Представления группы SL{2, R), где R - кольцо функций. Успехи матем. наук, 1973, том 28, No. 5, 83-128.