Гармонический анализ на комплексном гиперболоиде Текст научной статьи по специальности «Математика»

Литература

1. Н. Я. Виленкин. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1965.

2. V. F. Molchanov, N. B. Volotova. Finite dimensional analysis and polynomial quantization on a hyperboloid of one sheet. Вестник Тамбовского унив. Сер.: Ест. техн. науки, 1998, том 3, вып. 1, 65-78.

Гармонический анализ на комплексном гиперболоиде 1

© О. В. Гришина

Пусть О = БЬ(2, С), Н - диагональная подгруппа в О. Мы будем использовать следующее обозначение для характера группы С* = С\{0}:

ах’к = \а\х(к, а е С\{0}, Л е С, к е Ъ.

' \а\'

Пусть а е С и 2т е Ъ. Представления Та,т группы О действуют в некоторых пространствах Vа,т функций ^(х) на С по формуле

(Т„,т(дт*) = ¥>( Щ+2 + 6)2а-2т, д = ( “ е О.

Представление Та,т обладает Н-инвариантом в тогда и только тогда, когда т е Ъ. Такой инвариант - единственный с точностью до множителя. Мы возьмем ва,т(х) = ха’т.

Группа О действует на пространстве Ма^2, С) следующим образом: х ^ д-1хд. Многообразие X, состоящее из матриц

1 - Хз Х2 - XI \

Х2 + XI 1+ Хз ) ,

для которых ёе! х = 0, есть О-орбита О/Н, это - гиперболоид -х‘2 + х2 + х3 = 1. Инвариант ва,т(х) = га’т порождает преобразование Пуассона:

Г ( X2 + 1 X2 — 1 Л а,т

(Ра, т Ф)(х) = у | —2— х1 +---2— х2 + ххз} ^(х)(г/2)йхйх

Преобразование Пуассона сплетает представление Т-а-2,т с представлением группы О в функциях на X сдвигами. Сферическая функция Фатт, отвечающая представлению Та,т, определяется как преобразование Пуассона Н-инварианта: Фатт(х) = (Ра,тва,т)(х), она зависит только от хз и хз. Введем на X орисферические координаты £ = (х1 + х2)/(хз + 1), П = (х1 — х2)/(хз + 1). Сферическая функция Фа,т удовлетворяет следующей системе уравнений:

ОФ а, т(х) = Л(Л + 1)Фст, т, ОФа,т(х) = Ц(Ц + 1)Фст, m,

где Л = (а + т)/2, ц = (а — т)/2 и О = (1 — £п)2д2/д£дп. Отсюда получаем выражение сферической функции через функции Лежандра:

Фа,т(х) = А[Р^(хз)Р\(хз) + ( — 1)mp^(—X3)PX(—X3)],

хРабота поддержана Российским Фондом Фундаментальных Исследований: гранты 05-01-00074а и 0701-91209 ЯФ_а, Научными Программами "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы": проект РНП.2.1.1.351 и Темплан N0. 1.5.07.

где

а = 4-а пГ(ц + 1)Г(Л + 1)

~ Г(ц + 3/2)Г(Л + 1/2)

Дельта-функция Ч(х) на X, сосредоточенная в точке х0 = (0, 0,1), разлагается по Фа>т (эту формулу Планшереля мы получаем методом, отличным от метода Наймарка):

ГО

(т2 + р2) — 1+гр,т(х) Лр.

тЕЪ

Ч(х) = с I 0

Об умножении обобщенных функций 1 © Л. И. Грошева

Хорошо известно, что в пространстве обобщенных функций на прямой нельзя разумным образом определить произведение / (х)д(х) для любых обобщенных функций / (х) и д(х), например, непонятно, что такое квадрат дельта-функции Дирака 5(х). В работе [1] авторы определяют произведение для введенных ими ранее так называемых слабых функций, в том числе для некоторых обобщенных функций. В качестве иллюстрации они вычисляют (с помощью длинных выкладок) два произведения:

Ч(х) ■ sgn х = 0, х-1 ■ Ч(х) = — 2 5'(х). (1)

Нам показалось любопытным распространить эти результаты на более обширный класс обобщенных функций. Мы будем использовать аналитическое продолжение по параметру. Этот метод оказывается намного более быстрым по сравнению с [1]. Мы возьмем следующую совокупность обобщенных функций: (х) и х—г, где р е N = {0,1, 2,...}, г е Ъ.

Они появляются как старшие лорановские (или тейлоровские) коэффициенты обобщенных функций хх’ £ в разложении в ряд по степеням Л — т при целых т. Мы используем здесь обозначение хх’£ = \х\Л sgnex, где Л е С, е е Ъ. Наше определение произведения / о д обобщенных функций / и д состоит в следующем: мы пишем естественную формулу для обычных функций:

хХ, £хХ+к,и = х2^+к, (2)

где к е Ъ, затем рассматриваем ее как формулу для обобщенных функций, понимая их как аналитические продолжения по Л из полуплоскости И,е Л > а, где а - некоторое число (зависящее от к), далее разлагаем все функции из (2) в ряд Лорана (Тейлора) по степеням Л—т, т е Ъ, тогда формула (2) и даст нам произведение старших коэффициентов. Конечно, такое определение не является единственно возможным, оно зависит от способа введения параметра Л в показатели в левой части (2).

Мы получаем следующие формулы:

Ч(р)(х) о 6(д)(х) = 0,

х—г о №(х) = -МГ 6(°+\х), (3)

хРабота поддержана Российским Фондом Фундаментальных Исследований: гранты N0. 05-01-00074а и 07-01-91209 ЯФ_а, Научными Программами "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы": проект РНП.2.1.1.351 и Темплан N0. 1.5.07.