О граничных представлениях, связанных с полиномиальным квантованием Текст научной статьи по специальности «Математика»

во всех интегралах а = —(1/2) + ip. Здесь и (а), &и - известные множители в мерах План-шереля,

д, а) = F((—V + а)/2)г((—у. — а — ))/2)

(Л,а) г( — /)Щ—^ — 1)/2) ,

А(р, v, а) = —1 tg P--Vп ■ Л(л, а), An(л) = 2-^+1 ctg Пп ■ Л(л, n),

Amix(p,v,a) = [sinЛ 2 ап + (—1)vsinЛ + аn]{sinpn}-1A(p,a).

О граничных представлениях, связанных с полиномиальным

квантованием 1

© Н. Б. Волотова

В настоящей заметке мы хотим обсудить один из вариантов граничных представлений, возникающих в связи с полиномиальном квантованием. Мы ограничимся ключевым примером: однополостным гиперболоидом X = О/Н в М3, здесь О = ЯОо (1, 2), Н = ЯОо (1,1). Полиномиальное квантование на этом гиперболоиде построено в [2].

Для х Є М3 обозначим Q = —х\ + х\ + х2. Гиперболоид X задается уравнением Q = 1, группа О сохраняет Q, подгруппа Н сохраняет координату Х3. Многочлен f на М3 называется О-гармоническим, если он удовлетворяет волновому уравнению (—ді + д| + д3)f = 0, ді = д/дхі. Пусть 5, Н, Би, Ни обозначают пространства всех многочленов, всех О-гармо-нических многочленов, однородных многочленов степени к, однородных О-гармонических многочленов степени к на М3, соответственно. Обозначим через Б(Х), Ни(X) и т.д. ограничения на X многочленов из Б, Н и т.д. Для О-гармонических многочленов такое ограничение взаимно-однозначно. В пространствах Ни и Ни (X) действует (сдвигами) конечномерное неприводимое представление пи группы О со старшим весом к.

Всякий многочлен f из Би разлагается по степеням Q:

f (х) = Ни (х) + Ни-2(х^ + Ни-А(х)Я2 + (1)

где Ну Є Ну. Многочлен Ни(х) есть О-гармоническая проекция многочлена f (х), она выражается через f (х) некоторой дифференциальной формулой, аналогичной формуле для обычной гармонической проекции [1]. С другой стороны, на X О-гармоническая проекция Ни (х) дается сверткой (определение свертки дано в [2]) f (х) со сферической функцией Фи, последняя есть функция Лежандра Ри(х3) с некоторым множителем. Из (1) следует, что Би (X ) = Но^)+ Н^)+ ... + Ни (X).

Спроектируем М3 на плоскость Ь = {хі = 1}, сопоставляя точке х точку у = х/х\ (хі = 0). Тогда гиперболоид X перейдет во внешность единичного круга: х^ + х3 > 1, а многочлен ^ из Би(X) перейдет в многочлен р от двух переменных У2,У3 степени к (многочлен ^ есть ограничение многочлена f Є Би на X, а р есть ограничение многочлена f на Ь). По (1) многочлен р разлагается по степеням р = у2 + у2 — 1:

Р(У) = аи (у) + аи-2(у)р + аи-4(у)р2 + .... (2)

Таким образом, разложение (2) дает характеризацию представлений пт, действующим в Нт(X), с точки зрения "граничных" значений многочленов из Би(X).

хРабота поддержана Российским Фондом Фундаментальных Исследований: гранты N0. 05-01-00074a, 07-01-91209 ЯФ_a и 06-06-96318 р_центр_а, Научными Программами "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы": проект РНП.2.1.1.351 и Темплан 1.5.07.

Литература

1. Н. Я. Виленкин. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1965.

2. V. F. Molchanov, N. B. Volotova. Finite dimensional analysis and polynomial quantization on a hyperboloid of one sheet. Вестник Тамбовского унив. Сер.: Ест. техн. науки, 1998, том 3, вып. 1, 65-78.

Гармонический анализ на комплексном гиперболоиде 1

© О. В. Гришина

Пусть О = БЬ(2, С), Н - диагональная подгруппа в О. Мы будем использовать следующее обозначение для характера группы С* = С\{0}:

ах'к = \а\х(к, а е С\{0}, Л е С, к е Ъ.

' \а\'

Пусть а е С и 2т е Ъ. Представления Та,т группы О действуют в некоторых пространствах Vа,т функций р(х) на С по формуле

(Т„,т(дт*) = ¥>( Щ+2 + 6)2а-2т, д = ( “ е О.

Представление Та,т обладает Н-инвариантом в тогда и только тогда, когда т е Ъ. Такой инвариант - единственный с точностью до множителя. Мы возьмем ва,т(х) = ха'т.

Группа О действует на пространстве Ма!(2, С) следующим образом: х ^ д-1хд. Многообразие X, состоящее из матриц

1 - Хз Х2 - Х1 \

Х2 + Х1 1+ Хз ) ,

для которых ёе! Х = 0, есть О-орбита О/Н, это - гиперболоид —х‘2 + Х2 + хЗ = 1. Инвариант ва,т(х) = ха'т порождает преобразование Пуассона:

[ с х2 + 1 х2 — 1 л а,т

(Ра, т Ф)(х) = у | —2— Х1 +----2— Х2 + хХз} р(х)(г/2)йхйх

Преобразование Пуассона сплетает представление Т-а-2,т с представлением группы О в функциях на X сдвигами. Сферическая функция Фатт, отвечающая представлению Та,т, определяется как преобразование Пуассона Н-инварианта: Фатт(Х) = (Ра,тва,т)(Х), она зависит только от Хз и Хз. Введем на X орисферические координаты £ = (Х1 + х2)/(хз + 1), П = (Х1 — Х2)/(хз + 1). Сферическая функция Фа,т удовлетворяет следующей системе уравнений:

ОФ а, т(х) = Л(Л + 1)ф<г, т, ОФа,т(х) = Ц(Ц + 1)Фст, m,

где Л = (а + т)/2, ц = (а — т)/2 и О = (1 — £п)2д2/д£дп. Отсюда получаем выражение сферической функции через функции Лежандра:

Фа,т(х) = А[Р^(х3)Р\(х3) + ( — 1)mp^(—x3)PX(—x3)],

хРабота поддержана Российским Фондом Фундаментальных Исследований: гранты 05-01-00074a и 0701-91209 ЯФ_a, Научными Программами "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы": проект РНП.2.1.1.351 и Темплан №э. 1.5.07.