Аналитическое продолжение сферических функций непрерывной серии для однополостного гиперболоида Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.98

Аналитическое продолжение сферических

1 о _ о _

функции непрерывной серии для однополостного гиперболоида 7

© В. Ф. Молчанов

Ключевые слова: однополостный гипербололид, комплексные оболочки, сферические функции

Для однополостного гипербололида в трехмерном пространстве построены 4 комплексные оболочки, изучен вопрос о продолжении на эти оболочки сферических функций различных серий (непрерывной, голоморфной и антиголоморфной).

For the hyperboloid of one sheet in the three dimensional space, we construct 4 complex hulls and coninuate analytically on them spherical functions of different series (continuous, holomorphic and antiholomorphic)

В этой работе мы даем характеризацию сферических функций непрерывной серии на однополостном гиперболоиде X в R3 с помощью комплексных оболочек.

В разложение квазирегулярного представления группы G = SOo(1, 2) на X входят неприводимые унитарные представления непрерывной и дискретных (голоморфной и антиголоморфной) серий группы G. Само разложение эквивалентно разложению дельта-функции на X по сферическим функциям этих серий. Ранее было известно (Молчанов), что сферические функции дискретных серий могут быть продолжены аналитически на некоторые комплексные многообразия (комплексные оболочки гиперболоида X).

Аналогичный вопрос (более сложный) для сферических функций непрерывной серии не был изучен. В этой работе мы сначала строим 4 комплексные оболочки Y +, Y-, П+ и Q- гиперболоида X.

Сферические функции дискретных серий могут быть продолжены аналитически на первые два многообразия. Это факт содержится, в частности, в работе [3], в которой рассматривается общий случай гиперболоидов эрмитова типа G/H в R™, где G = SO0(p, 2), H = SO0(p, 1), n = p + 2.

Интерес представляет аналитическое продолжение сферических функций непрерывной серии на комплексные многообразия. По-видимому, это можно сделать для однополостных гиперболоидов G/H в R™, где G = SO0(1,q), H =

7Работа поддержана грантами: РФФИ 07-01-91209 ЯФ_а, 06-06-96318 р_центр_а,

Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП.2.1.1.351 и Темпланом 1.5.07.

SO0(1, q — 1), n = 1 + q. Наш гиперболоид X = G/H в R3, где G = SOo(1, 2),

H = SO0(1,1), есть одновременно гиперболоид обоих указанных типов.

Наша цель - построить аналитическое продолжение сферических функций непрерывной серии для ключевого случая - нашего гиперболоида - на комплексные многообразия, а именно, на оболочки П±.

Здесь обнаруживается следующий интересный факт. Сферические функции голоморфной и антиголоморфной серий продолжаются на одно из многообразий Y±, каждое на свое: голоморфная серия - на Y +, антиголоморфная серия -на Y-, см. [2], [3]. В противоположность этому непрерывная серия требует присутствия обоих многообразий П±: сферическая функция есть полусумма предельных значений из П+ и П-.

§ 1. Комплексные оболочки

Рассмотрим однополостный гиперболоид X в К3, он задается уравнением [хх, х] = 1, где [х, у] - следующая билинейная форма в пространстве К3:

[х,у]= Х\У\ + Х2У2 + ХзУз, (1.1)

Его размерность равна 2. Пусть Xс - комплексное расширение гиперболоида X (комплексный гиперболоид). Оно получается следующим образом. Распространим билинейную форму [х, у] на пространство С3 формулой (1.1). Тогда Xс - это множество точек х в С3, удовлетворяющих уравнению [х, х] = 1. Его комплексная размерность равна 2.

Мы будем считать, что группа G = ЯО0(1, 2) действует на К3 линейно справа: х ^ хд (в соответствии с этим мы пишем векторы в виде строки). Это линейное действие х ^ хд распространяется на С3. На самом гиперболоиде X группа G действует транзитивно, но на его комплексификации Xс действие группы G не транзитивно.

В этом параграфе мы определим некоторые комплексные многообразия в Xс комплексной размерности 2, инвариантные относительно G. Они максимальные в некотором смысле, группа G действует на своих орбитах в них просто транзитивно, так что эти орбиты диффеоморфны группе G (и имеют вещественную размерность

3). Гиперболоид X целиком входит в границы каждого из этих многообразий. Назовем их "комплексными оболочками" гиперболоида X.

Нам будет нужна группа ЯЬ(2,С) и ее подгруппа ЯИ(1,1). Они состоят соответственно из матриц

а в \ _( а Ь

д 1 7 5 ) , д1 \Ь а

с определителем 1. Группа ЯЬ(2, С) действует на расширенной комплексной плоскости С = С и {то} (сфере Римана) дробно-линейно:

ах + 7

* ~х ■д = вХГ5 •

Это действие транзитивно. При этом подгруппа Яи(1,1) имеет три орбиты на С: открытый круг О : гг < 1, его внешность О : гг > 1, и окружность Б : гг = 1.

Обозначим группу Яи(1,1) через С1, тогда группа ЯЬ(2, С) есть естественно ее комплексификация С^.

Группа С1 гомоморфно отображается на группу С - следующим образом. Отождествим пространство К3 с пространством матриц

/ іх1 х2 + іх3

х =

\ х2 — іх3 —іХ\

Тогда действие х ^ д-1хд группы С1 на этих матрицах х есть действие х ^ хд группы С на векторах х.

Введем на X орисферические координаты. Это комплексные числа и, V, лежащие на единичной окружности Б, причем и = V. Точка х Є X с координатами и, V есть

/ и + V 1 — ^ 1+ ^

\і(и — V) ’ и — V ’ і (и — V)

Обратное отображение х ^ (и^) задается формулами

хз + іх2 хз + іх2 (л _

и =---------, V =----------. (1.2)

хі + і хі — і

Оно вкладывает гиперболоид X в тор Б х Б, образом является тор без диагонали {и = V}, диагональ - это граница гиперболоида.

Когда точка х Є X преобразуется элементом д Є С, ее координаты (и^) подвергаются дробно-линейному преобразованию: и ^ и ■ д1, V ^ V ■ д1, где д1 -элемент группы Сі, который переходит в д Є С при указанном гомоморфизме Сі С.

Аналогично введем орисферические координаты г, IV на Xс: точка х Є Xс есть

(г + т 1 — ггV 1 + гт \

х = ------ч , -----, ------т , (1.3)

\і(г — т) г — т і (г — т))

где переменные г, т пробегают расширенную комплексную плоскость С, с условием г = т. Обратное отображение задается формулами

хз + іх2 хз + іх2 _

г =---------, т =----------. (1.4)

хі + і хі — і

Эти формулы, первоначально определенные для х1 = ±і, распространяются по непрерывности на всех х Є Xс. А именно, точки х = (і, іА, А), х = (—і, іА, А), А =

0, имеют координаты (0,і/А), (—і/А, 0), соответственно, и точки х = (і, —іА,А), х = (—і, —іА,А) имеют координаты (—іА, то) и (то,іА), соответственно.

Таким образом, формулы (1.4) дают вложение Xс ^ СхС, образом является С х С без диагонали.

Справедливы следующие соотношения. Пусть точки х и у на Xс имеют координаты (г,т) и (А, і) соответственно. Тогда

[х, у]—1=—2((г—у?—^ ■ ч-5)

(г — т)(А — і)

(1.6)

Если точка х из Xс имеет координаты (г,т), тогда точка х (она также принадлежит Xс ) имеет координаты (1/г, 1/т). Вместе с (1.5), (1.6) это дает следующее

(1.7)

1 _ — 2

[х,х] + 1 = 2 ------------- . (1.8)

z — —

(1.8)

Кроме того, для мнимых частей мы имеем (это легко вычислить)

(1.9)

х3 1 — z z ■ ——

Im — =---------------:-----------—

х2 |1 — z— |2

(1.10)

В прямом произведении C х C рассмотрим 4 комплексных многообразия:

Тор 5' х 5' содержится на границе каждого из них. Группа действует на С х С диагонально: (г,т) ^ (г ■ ■ д). Она сохраняет все эти многообразия (1.11).

Но это пребразование не является транзитивным. Это видно уже из сравнения размерностей: размерность 0\ меньше размерности каждого многообразия (3 <

4). Более того, группа сохраняет [х,х], следовательно, согласно (1.8), она сохраняет, например,

так что каждая Gi-орбита лежит на поверхности уровня J = const.

Лемма 1.1 Следующие пары являются представителями С1-орбит: (—iц, iц), 0 ^ /I < 1, в D х D; (—ii,ii), 1 < i ^ ж, в D' х D'; (—ii,ii-1), 0 ^ ц < 1, в D х D'; (—ii,ii-1), 1 < I ^ ж, в D х D.

Доказательство. Рассмотрим D х D. Поскольку G1 действует транзитивно на D, мы можем перевести первый элемент пары из D х D в нуль. Мы получаем пару (0,Z), Z ^ D. Теперь мы можем подействовать на эту пару стационарной подгруппой точки 0, т. е. диагональной подгруппой K1 группы G1. Она состоит из матриц g1 с a = ега, b = 0. Они действуют как вращение на угол 2а вокруг нуля. Так что мы можем перевести ( в ir, 0 ^ r < 1. Таким образом, любая пара в D х D может быть переведена в пару (0,ir), 0 ^ r < 1. Эта пара может быть переведена в пару (—ii, il) из леммы посредством матрицы g1 с a = (1 — i2)-1/2, b = ii(1 — i2)-1/2, где r = 2i/(i2 + 1). Аналогично мы рассматриваем остальные 3 случая. □

D х D, D' х D', D х D', D' х D.

(1.11)

J = [х,х] + 1

1 — z—

2

z—

Для всех ц, удовлетворяющих строгим неравенствам 0 < ¡м < 1 и 1 < ¡м < ж в лемме 1.1, стационарной подгруппой пары, указанной в лемме, является центр {±E} группы Gi, так что Gi-орбиты этих пары диффеоморфны группе G ~ G1/{±E} и имеют размерность 3.

Для м = 0 или м = ж стационарной подгруппой пар является диагональная подгруппа K1, так что соответствующие G1-орбиты диффеоморфны плоскости Лобачевского L = G1/K1 и имеют размерность два. Для D х D и D' х D' эти двумерные орбиты являются диагоналями {z = w}, и для D х D' и D' х D они есть многообразия {zw = 1}. В самом деле, матрица g1 переводит пары (0, 0), (ж, ж), (0, ж), (ж, 0) в пары (z, z), (w, w), (z, w), (w, z), соответственно, где z = b/a, w = a/b, так что zw = 1. Кстати, инвариантность многообразия zw — 1 = 0 относительно G1 следует из того, что под действием матрицы g1 функция zw — 1 умножается на {(bz + a)(bw + a)}-1.

Исключим эти двумерные орбиты из многообразий (1.11) и обозначим оставшиеся многообразия теми же символами с индексом 0, например, (D х D)0 и так далее.

Для этих многообразий представителями G1 -орбит служат пары, указанные в лемме 1.1 с м, удовлетворяющими неравенствам 0 < м < 1 или 1 < м < ж.

Перейдем от C х C к XC при помощи (1.3) и (1.4). Образы многообразий (D хД)0, (D' хD')0, (D хD')0, (D' хD)0 будут обозначаться как У +, У-, П+, П-, соответственно. Из (1.7) - (1.10) мы получаем следующее описание этих множеств (напомним, что они лежат в XC : [x, x] = 1):

У + : [x, x] > 1, Im — < 0,

X2

У- : [x, x] > 1, Im — > 0,

x2

П+ : —1 < [x, x] < 1, Imx1 > 0,

П- : —1 < [x, x] < 1, Imx1 < 0,

Пары (—гм, ¿м) и (—i^, *м-1) переходят в точки в Xс, лежащие на кривых

yt = (0, i sh t, ch t), ut = (i sin t, 0, cos t), (1.12)

где м = e-t, м = tg(n/4 — t/2), соответственно. Представителями G1-орбит

служат точки yt с t > 0 и t < 0 для У + и У-, соответственно, и точки с

0 < t < п/2 и —п/2 < t < 0 для П+ и Q-, соответственно.

Возьмем следующий базис в алгебре Ли 0 группы G:

0 0 0 0 1 0 0 0 1

L0 = I 0 0 —1 I , L1 = I 10 0 I , L2 = I 0 0 0 I .

0 1 0 0 0 0 1 0 0

Пусть GC - комплексификация группы G. Она состоит из комплексных

матриц третьего порядка, сохраняющих форму [x, y] в C3. Рассмотрим следующие

матрицы в Ос

1 10 0

ъ = ехр (гЬЬ°) = 1 0 еЬ Ь —г вЬ Ь

! ^ 0 г эЬ Ь еЬ Ь

1 ( еов Ь 0 г вт Ь

Ьг = ехр (ИЬ2) = 1 01 0

1 1г вт Ь 0 еов Ь

Г1.13)

Кривые (1.12) получаются при умножении точки ж0 = (0,0,1) Е X на эти матрицы, т.е. уг = х°^г, = х0^.

Следовательно, всякая точка х из У± есть х°%9, где Ь > 0 для У+ и Ь < 0 для У-, и всякая точка х из П± есть х°5гд, где 0 <Ь < п/2 для П+ и —п/2 <Ь < 0 для П-. Здесь д пробегает О.

Вернемся к О1-орбитам пар (0, ж) и (ж, 0), которые были исключены из

О х О' и О' х О соответственно. При отображении (1.3) пары (0, ж) и (ж, 0) переходят соответственно в точки шп/2 = (г, 0, 0) = гх1 и ш-п/2 = (—г, 0, 0) =

—гх1, где х1 = (1,0,0). Следовательно, отображение (1.3) переводит эти О1-орбиты в О-орбиты точек гх1 и —гх1. Обе точки ±х1 принадлежат гиперболоиду [х, х] = —1. Он состоит из двух полостей С±, так что х1 Е С+ и —х1 Е С-. Следовательно, О-орбиты - это гС±. Они лежат на границе многообразий П±, соответственно. Каждая из них может быть отождествлена с плоскостью Лобачевского С = О1/К1 = О/К.

Все четыре комплексных многообразия (с вещественной размерностью 4)

У±, П± примыкают к однополостному гиперболоиду X (вещественной размерности 2). В свою очередь, каждое из двух многообразий П+ и П- примыкает к одной полости (к гС+ и гС-) двуполостного гиперболоида [х, х] = —1 (вещественной размерности 2). Для каждой плоскости Лобачевского гС± многообразие П± является комплексной короной (по Ахиезеру-Гиндикину).

Сопоставим каждой точке х многообразия У±, П± ее третью координату х3 Е С.

Лемма 1.2 При отображении х ^ х3 образом многообразия У± является вся комплексная плоскость С с разрезом [—1, 1], образом многообразия П± является вся комплексная плоскость с разрезами (—ж, —1] и [1, ж).

Доказательство. Для точки х Е Xс с координатами г,IV, см. (1.3), мы имеем

х3 + 1 1 + гг 1 — г'ш

х3 — 1 1 — гг 1 + гV

1.14)

Функция г ^ £ = (1 + гг)/(1 — гг) отображает круг О на правую полуплоскость Ке £ > 0, а его внешность О’ на левую полуплоскость Ке £ < 0. Следовательно, если (г,т) Е О х О или (г,т) Е О' х О', то обе дроби в правой части (1.14) пробегают либо левую, либо правую полуплоскость. Их произведение пробегает всю плоскость С с разрезом (—ж, 0]. Если к тому же г = V, то это произведение не равно 1. Следовательно, х3 пробегает С без [—1, 1].

Если (z,w) Е D х D' или (z,w) E D' x D, то обе дроби в правой части равенства (1.14) пробегают различные полуплоскости. Следовательно, их произведение пробегает всю плоскость C с разрезом [0, ж), поэтому х3 пробегает C без (—ж, —1] и [1, ж). Поскольку мы рассматриваем П±, но не D х D' и D' х D, мы должны исключить в (1.14) пары (z,w), для которых w = 1/z. Но это не делает образ меньше. В самом деле, если первая дробь в правой части равенства (1.14) имеет значение тега, где —п/2 < а < п/2, тогда вторая дробь имеет значение — г-1ега, так что их произведение равно —е2га. Пересечение множеств этих точек по всем а пусто. □

Пусть M(у) - голоморфная функция на многообразии У±, и пусть N(х) -её предельные значения на гиперболоиде X:

M(х) = lim M(у), у Е У±, х Е X.

у——х

Мы будем считать, что у стремится к х "по радиальному направлению т.е. если у Е У± и х Е X имеют орисферические координаты (z, w) и (u, v), соответственно, то

z = e-tu, w = e-tv (1.15)

и t ^ ±0. Эти равенства (1.15) дают (^t дается формулой (1.13)):

у = х^ь- (1.16)

Лемма 1.3 Пусть M(у) зависит только от у3 : M(у) = N(у3). По лемме 1.2 функция N (А) аналитична на плоскости C с разрезом по [—1, 1]. Тогда

M (х) = N (х3 + г0х2).

Доказательство. Пусть у и х связаны между собой посредством (1.15). Тогда по (1.16) мы имеем

у3 = —i sinh t ■ х2 + cosh t ■ х3.

Следовательно, у3 = —it ■ х2 + х3 + o(t), когда t ^ 0. Отсюда следует лемма. □

Теперь пусть M(и) - голоморфная функция на многообразии Q± и пусть M(х) - её предельные значения на гиперболоиде X:

M(х) = lim M(и).

у— х

Здесь мы подобным образом предполагаем, что и стремится к х "по радиальному направлению т.е. если и Е и х Е X имеют орисферические координаты (z, w) и (u,v) соответственно, то

z = e-tu, w = ebv (1.17)

и t 0.

Лемма 1.4 Пусть М(ш) зависит только от ш3 : М(ш) = N(ш3). По лемме 1.2 функция N (А) аналитична на плоскости С с разрезами (—ж, —1] и [1, ж). тогда

М(х) = N(х3 ± г0 • х1х3) (1.18)

Доказательство. По (1.17) и (1.18) мы имеем

1 + пь

Шз

і(в-іп — е%)

Подставим сюда выражения п,ь через х, см. (1.2). Принимая во внимание равенство х^ + 1 = (х3 + іх2)(х3 — іх2), мы получим

= еЬ і — і і • хі ‘ (1.19)

При і ^ 0 это ведёт себя как х3(1 + ііх 1) с точностью до членов порядка і2. Это доказывает лемму. □

Все это удобно представить, используя конус в С4. Снабдим С4 билинейной формой

[[х, у]] = —хоУо — хіУі + х2У2 + х3У3

(мы добавляем к векторам х из С3 координату х0). Пусть С - конус в С4, заданный условиями [[х, х]] = 0, х = 0. Тогда комплексный гиперболоид Xс есть сечение конуса С гиперплоскостью х0 = 1. Имея в виду (1.3), рассмотрим множество 2, состоящее из точек

Z = 1 (i(z — w), z + w, i(1 — zw), 1 + zWj , (1.20)

где z,w E C. Это есть сечение конуса C гиперплоскостью —ix2 + x3 = 1, т.е. гиперплоскостью [x, £0] = 1, где £0 = (0, 0,, -i, 1). Отображение С ^ x = Z/Со переводит Z\{z = w} в XC, оно дает как раз орисферические координаты.

Многообразия (1.11) без точек, соответствующих ж, лежат в Z: для того чтобы получить D x D или D' x D' нужно к неравенству [С, С] > 0 добавить неравенство Im (Z3/C2) < 0 или Im (Z3/Z2) > 0, соответственно, а для того чтобы получить D x D' или D' x D, нужно к неравенству [С, С] < 0 добавить условие, что мнимая часть определителя

Со Ci

Z о Z1 отлична от нуля.

[Заметим, что только что данное определение многообразия D x D, есть в сущности определение области Картана IV типа D(p) для p = 2. В самом деле, D(p) определяется следующим образом. Снабдим пространство Cn, n = p +2,

формой [х, х] = —х\ — ... — хр + хП-1 + х2. Пусть £° = (0,... , 0, —г, 1). Тогда

О(р) состоит из точек £ Е Сп таких, что

[£, £] = 0, [£, £] > 0, [£, £°] = 1, 1т(£п/£п-1) < 0.

Всякая точка £ Е О(р) может быть записана как

> /> > а — 1 а + 1ч ,2 >2

£ = (£l,... ,£p, 2г , 2 ), а =£: +... + £р,

где £1,...,£р удовлетворяют неравенствам:

— — аа + 1

£1£ 1 +... £р£р < —2— < 1,

так что О(р) может быть отождествлено с ограниченной областью в Ср. ]

Поставим в соответствие точке х = (х0, х1, х2, х3) из С4 матрицу

х = ( х° + гх1 х2 + гхз \ (1 21)

у х2 — гх3 х° — гх1 ) '

Её определитель равен — [[х, х]]. В частности, для точки £ Е 2, задаваемой (1.20), получается матрица

£ = г ( г 1 ) = г ( 1 )( г 1 ) .

у —г'Ю —,т) у —V J 4 '

Эти матрицы £ характеризуются тем, что det £ = 0, £12 = г.

Группа О1 х О1 действует на пространстве матриц (1.21): элементу (д1,д2) из О1 х О1 отвечает линейное преобразование:

х ^ д-1хд2. (1.22)

Оно задаётся вещественной матрицей порядка 4. Мы получаем гомоморфизм группы О1 х О1 на группу ЯОо(2, 2). Ядро является группой порядка 2, состоящей из пар (Е, Е), (—Е, —Е). Диагональ группы О1хО1, т.е. множество пар (д, д), д Е

О1, переходит в подгруппу ЯО°(1, 2) = О, она сохраняет х° = (1/2^г х.

Рассмотрим следующее действие О1 х О1 на 2:

ді1£92

С

—і(д1 Сд2)і2

(сначала применянм линейное преобразование (1.22) и затем возвращаемся на сечение 2 вдоль прямой, проходящей через начало координат). Это есть дробнолинейное действие:

г ^ г • д2, т ^ т • д1.

Гомоморфизм С1хС1 ^ ЯОо(2, 2) может быть распространён на комплексификации (мы получаем гомоморфизм ЯЬ(2, С) х ЯЬ(2, С) ^ ЯО(4, С)). Возьмём в комплексификации

Gi x Gi пары (exp (itL0), exp (itL0)) и (exp (-itL0), exp (itL0)). При указанном выше гомоморфизме эти пары перейдут в матрицы:

1 О О О

О 1 О О

О О cosh t — i sinh t

О О i sinh t cosh t

/

cosh t i sinh t О О

i sinh t cosh t О О О 0 10

\ 0 0 0 1 /

Первая матрица получается с помощью окаймления матрицы ^ь, см. (1.13). Вторая появляется в доказательстве леммы 1.4. В самом деле, умножим вектор (строку) (1,х1,х2,х3) из С такую, что вектор х = (х1,х2,х3) принадлежит X, на эту матрицу и затем разделим на координату с индексом нуль, мы как раз получим вектор и Є П±, чьи орисферические координаты связаны с орисферическими

координатами x с помощью

и

:і.і7)

1

а именно

ch t — ix1 ■ i sh t

(x1 ■ ch t + i sh t, x2,x3).

1.23)

Это включает в себя (1.19). Кривая (1.23) с x = x0 = (0,0,1), т.е. кривая (i th t, 0,1/ch t), есть в сущности кривая ut, см. (1.12), с другим параметром.

В заключение сделаем ещё одно замечание по поводу многообразий Y±. Алгебра Ли 0 группы G состоит из матриц

X

0 Єї &

Єї 0 —Co

Є2 Co 0

1.24)

Форма Киллинга B(X,Y) есть tr (XY), так что B(X,X) = 2(—£0 + + C2)-

Рассмотрим в 0 два световых конуса (прямой и обратный) C + и C- определённые неравенствами — £o+£i+£l < 0, > 0. Эти области инвариантны относительно

Ad G. В комплексификации GC возьмём два множества exp (iC±). Оказывается, что

У± = X ■ exp (iC±).

Кроме того, оказывается, что подмножества Г± = G ■ exp (iC±) из GC являются полугруппами (Ольшанский). Эти утверждения можно доказать, используя следующие факты: а) Для любых Yt и a^ (a^ = exp /jL2) существуют Ys и а\ такие, что

x°Yta^ = x°a\Ys;

b) разложение Картана-Берже g = hak; c) разложение Картана g = k1ak2.

§ 2. Аналитическое продолжение сферических функций непрерывной серии

В этом параграфе мы строим аналитическое продолжение сферических функций непрерывной серии на комплексные многообразия П±, определенные в предыдущем параграфе.

Сферические функции Фа,£, а € C, £ = 0,1 на гиперболоиде X были вычислены, например, в [4]. Они являются линейными комбинациями функций Лежандра первого типа от ±х3 (х3 - это третья координата вектора x):

Фа,£(х) =----: [Ра (- хэ) + (— 1)£Ра (хэ)] • (2.1)

sin ап

Функция Лежандра Ра (z) аналитична на всей комплексной плоскости C с разрезом (-ж, -1]. На разрезе мы определяем функцию Лежандра как полусумму предельных значений сверху и снизу:

Ра(с) = ^ [Ра(с + *0) + Ра(с - *0)] , С < -1

Следовательно, линейная комбинация Ра(—z) + (-1)£Ра(z) аналитична в плоскости C с разрезами (-ж, -1] и [1, ж). Именно эти разрезы появляются в леммах 1.2 и 1.4 при обсуждении комплексного многообразия П±. Поэтому мы рассмотрим функции на П±, определённые той же формулой (2.1) с и вместо х:

^а,є(и) —---------; [Ра (-из) + (-1)£Ра (из)] • (2-2)

sin ап

2п in

Эти функции аналитичны на П±. Найдем их предельные значения на X.

Сначала рассмотрим функцию Ра(из) на П±. По лемме 1.4 её предельные значения на X таковы:

lim Ра (из) — Ра (Хз),Хз > -1

— Ра(хз Т i0xi), Хз < -1, (2.3)

где и ^ х и и Є П±. На разрезе (-ж, -1] функция Ра(z) имеет следующие

предельные значения (см. [1] 3.3 (10)):

2

Ра(c ± i0) — е гапРа(-c)----sin ап ■ Qа(-c), c< -1,

п

где Qа - функция Лежандра второго рода. Следовательно, по (2.3) для и ^ х, и Є П± и хз < -1 мы имеем :

2

lim Ра (из) — етгап Ра (-Хз)---sin апQа (-Хз), Х1 > 0,

п

— е±гапРа(-хз)-------sinапQа(-хз), xi < 0-

п

Это можно переписать так:

lim Ра (из) — Ра (c) Т sgn хі ■ isin ап ■ Ра (-хз)-

Мы видим, что предельные значения Ра(ш3) при ш ^ х совпадают с Ра(х3) только для х3 > —1. Для того чтобы получить Ра(х3), следует взять полусумму предельных значений из обоих многообразий П+ и Q-.

Аналогично мы рассуждаем для Ра (—х3).

Таким образом, предельные значения на X функции Фа,£(ш) на П±, определённой с помощью (2.2), совпадают с предельными значениями функций ФСТ;£(х) только для —1 < х3 < 1. Сферические функции ФСТ; £(х) четны по xi, но предельная функция lim Фст, £(ш) таковой не является. Чтобы получить сферическую функцию Фст(х) из функции Фа,е(ш), нужно использовать оба многообразия П± и взять полусумму предельных значений из П+ и П-:

Фа,е(х) = 1 ^2 lim Ф*,е(ш),

2 ±

где предел берётся при ш ^ х, ш Е П±, х Е X.

Литература

1. Г. Бейтмен, А. Эрдейи. Высшие трансцендентные функции. Гипергеометрическая функция, функции Лежандра. М.: Наука, 1965.

2. В. Ф. Молчанов. Квантование на мнимой плоскости Лобачевского. Функц. анализ и его прил., 1980, том 14, вып. 2. 73-74.

3. V. F. Molchanov. Holomorphic discrete series for hyperboloids of Hermitian type. J. Funct. Anal., 1997, vol. 147, No. 1, 26-50

4. V. F. Molchanov. Canonical and boundary representations on a hyperboloid of one sheet. Acta Appl. Math., 2004, vol. 81, Nos. 1-3, 191-204.

УДК 517.98

Дифференциальная формула для преобразования Пуассона 8

© В. Ф. Молчанов, Н. Б. Волотова

Ключевые слова: симплектические многообразия, пара-эрмитовы пространства, представления, сплетающие операторы.

Дается разложение тензорного произведения конечномерного представления группы SL(n, R) из максимально вырожденной серии и контраградиентного представления.

8Работа поддержана грантами: РФФИ 07-01-91209 ЯФ_а, 06-06-96318 р_центр_а,

Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП.2.1.1.351 и Темпланом 1.5.07.