Дифференциальная формула для преобразования Пуассона Текст научной статьи по специальности «Математика»

Мы видим, что предельные значения Ро(ш3) при ш ^ x совпадают с Ро(x3) только для Х3 > —1- Для того чтобы получить Ро(x3), следует взять полусумму предельных значений из обоих многообразий П+ и Q--Аналогично мы рассуждаем для Ро(—x3)-

Таким образом, предельные значения на X функции Фа,£(ш) на П±, определённой с помощью (2-2), совпадают с предельными значениями функций ^a^e(x) только для —1 < x3 < 1- Сферические функции Ф^^) четны по xi, но предельная функция lim Фа>е(ш) таковой не является- Чтобы получить сферическую функцию Фо(x) из функции Фо , е(ш), нужно использовать оба многообразия П± и взять полусумму предельных значений из П+ и П-:

Фо,s(x) = 1 ^2 lim Фо ,е(ш),

2 ±

где предел берётся при ш ^ x, ш Е П±, x Е X-

Литература

1- Г- Бейтмен, А- Эрдейи- Высшие трансцендентные функции- Гипергеометрическая функция, функции Лежандра- М-: Наука, 19652- В- Ф- Молчанов- Квантование на мнимой плоскости Лобачевского- Функц-анализ и его прил-, 1980, том 14, вып- 2- 73—743- V- F- Molchanov- Holomorphic discrete series for hyperboloids of Hermitian type- J- Funct- Anal-, 1997, vol- 147, No- 1, 26-50

4- V- F- Molchanov- Canonical and boundary representations on a hyperboloid of one sheet- Acta Appl- Math-, 2004, vol- 81, Nos- 1-3, 191—204-УДК 517-98

Дифференциальная формула для преобразования Пуассона 8

© В. Ф. Молчанов, Н. Б. Волотова

Ключевые слова: симплектические многообразия, пара-эрмитовы пространства, представления, сплетающие операторы.

Дается разложение тензорного произведения конечномерного представления группы SL(n, R) из максимально вырожденной серии и контраградиентного представления.

8Работа поддержана грантами: РФФИ 07-01-91209 ЯФ_а, 06-06-96318 р_центр_а,

Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП.2.1.1.351 и Темпланом 1.5.07.

Рассматривается соответствующий анализ на пространстве SL(n, R)/GL(n—1, R). Для преобразования Пуассона найдена дифференциальная формула.

We give a decomposition of the tensor product of a finite dimensional representation of the group SL(n, R) in a maximal degenerate series and the contragredient representation and study a related analysis on the space SL(n, R)/GL(n — 1, R). For the Poisson transform, a differential formula is presented.

Пусть G/H - симплектическое симметрическое пространство. Конечномерный гармонический анализ на G/H состоит в изучении представления U сдвигами в пространстве многочленов на G/H (многообразие G/H вкладывается как G-орбита в алгебру Ли 0 группы G, многочлен на G/H - это ограничение на G/H многочлена на 0). Настоящая работа посвящена одной теме из конечномерного гармонического анализа на пара-эрмитовых симметрических пространствах ранга один. Все такие пространства с точностью до накрытия исчерпываются пространствами G/H, где G есть группа SL(n, R), H - ее подгруппа GL(n— 1, R). Преобразование Пуассона Pm - это сплетающий оператор, вкладывающий конечномерное неприводимое представление Tm в квазирегулярное представление U. Представление Tm появляется при разложении тензорного произведения сферического конечномерного неприводимого представления группы SL(n, R) и контраградиентного представления. Основной результат работы состоит в предъявлении для преобразования Пуассона дифференциальной формулы. Ключевой шаг здесь состоит в вычислении H-инварианта в пространстве обобщенных функций на подгруппе Z группы G (эта подгруппа есть группа Гейзенберга размерности 2n—3), сосредоточенных в единице. Вообще преобразование Пуассона определяется как интегральное преобразование. Поэтому появление его в дифференциальной форме заслуживает внимания. Такая формула была замечена для n = 2 в [7], краткое сообщение для произвольного n было сделано в [1].

Приведем некоторые обозначения, используемые дальше.

N = {0, 1, 2, ... }, Z, R, C - множества целых, вещественных, комплексных чисел, соответственно, R* - мультипликативная группа вещественных чисел (R* = R \ {0}).

Знак сравнения = обозначает сравнение по модулю 2.

Мы используем следующее обозначение для характера (гомоморфизма в мультипликативную группу комплексных чисел) группы R*:

t^,£ = \t\v- sgn£ t,

где t Е R*, ¡1 Е C, £ = 0, 1.

Через Mat (m, F) обозначается пространство матриц m-го порядка над полем

F.

Для многообразия M через D(M) обозначается пространство комплекснозначных бесконечно дифференцируемых функций на M с компактным носителем, снабженное обычной топологией. Через D'(M) обозначается пространство обобщенных функций на M - линейных непрерывных функционалов на D(M).

Для алгебры Ли 0 мы обозначаем через Env(g) ее универсальную обертывающую

Дифференцируемое представление Т группы Ли С порождает представление алгебры Ли 0 (дифференциал представления Т) и, следовательно, представление алгебры Епу(0). Для этих порожденных представлений мы сохраняем тот же самый символ (в данном случае Т), который обозначает представление группы.

Пусть билинейная форма на Р(М)

(dx - некоторая мера на M) инвариантна относительно пары представлений (T,S) группы Ли G, действующих в D(M), т.е.

Тогда мы можем распространить представление Т на пространство ©'(М) обобщенных функций на М - с помощью формулы (0.1), в которой (Е, f) обозначает значение функционала Е из ^'(М) на основной функции f из Р(М). Для полученного представления в обобщенных функциях мы сохраняем тот же символ (в данном случае Т).

Аналогично, если оператор А в Р(М) симметричен: (АЕ, f) = (Е, Af), то мы можем распространить его на ^'(М) с помощью этой формулы.

Пусть G есть группа SL(n, R) вещественных матриц порядка n ^ 3 с определителем

1. Будем считать, что G действует линейно на Rn справа. В соответствии с этим векторы из Rn будем записывать в виде строки. Пусть e1,..,en - стандартный базис в Rn, (x,y) - стандартное скалярное произведение.

Алгебра Ли g группы G есть подпространство в Mat (n, R), состоящее из матриц X со следом 0. Пусть Ej обозначает матрицу, все элементы которой равны нулю, кроме одного, стоящего в i-ой строке и j-ом столбце, равного единице (матричная единица). Алгебра Ли g имеет размерность n2 — 1, базис в ней образуют элементы Ej, i = j, и Xi,i+1 = Ец — Еі+1,і+1, i = 1, ...,n — 1.

Нам потребуются подгруппы и разложения, отвечающие следующим двум разбиениям числа n: n = (n — 1) + 1 и n = 1 + (n — 2) + 1.

(а) Рассмотрим разбиение: n = (n—1) + 1. Запишем матрицы g Є G в блочном виде соответственно этому разбиению:

алгебру.

(T(g)F, f) = (F, S(g-1)/).

(0.1)

§ 1. ^уппа SL(n,R), ее под^уппы и pазложения

(1.1)

где а Є Mat (n — 1, R), 8 Є R, Y - строка из Rn 1, в - столбец из Rn 1. Пусть H - подгруппа блочно диагональных матриц:

Р + и Р - подгруппы верхних и нижних блочно треугольных матриц, соответственно:

(б) Теперь возьмем разбиение п = 1 + (п — 2) + 1. Пусть В - подгруппа верхних блочно треугольных матриц:

Здесь р,г,с - числа из Е (р,г = 0), q Є ОЬ (п — 2, Е), в - строка (в2,вп-і) из Еп-2, Ь - столбец (¿2,...,іп-і) из Еп-2. Матрица г-1, обратная к г, получается из (1.5) заменой с, в,Ь соответственно на с = вЬ — с, — в, — ¿.

Имеет место разложение Гаусса: О = BZ, т. е. почти каждый элемент д Є О можно однозначно записать в виде

(1.2)

Обозначим

штрих означает транспонирование. Запишем д в виде (1.1):

(1.3)

(1.4)

Z - подгруппа нижних блочно унипотентных матриц:

g = bz, b Є B, z Є Z.

(1.6)

Разложение Гаусса определено для тех д € С, для которых дпп = 0 и (д *)ц = 0. С помощью (1.6) определим функцию

х(д) = г/р = дпп • (д 1)іі.

Ее область определения есть (д‘ -1)іі = 0.

(1.7)

Разложение Гаусса показывает, что подгруппа X пересекает почти все классы смежности из пространства О/Б правых классов смежности. Естественное действие группы О на О/Б порождает действие

г ^ Ш = г • д (1.8)

группы О на X, а именно, Ш определяется из разложения Гаусса произведения

гд:

гд = Ьг.

Для всякого д € О действие (1.8) определено на некотором плотном открытом множестве. Инвариантная мера на X

¿г = ¿Ы82-.Л8п-1&2-..&п-1

при отображении (1.8) преобразуется так: ¿Ш = \г/р\1-п ¿г.

§ 2. Пpостpанство G/H

Однородное пространство X = G/H является полупростым симметрическим пространством, его ранг равен 1, размерность равна 2n-2. Его можно реализовать как G-орбиту в алгебре Ли g относительно присоединенного представления, так что оно - симплектическое пространство. Но нам удобнее использовать слегка измененную реализацию: она получается из указанной реализации параллельным сдвигом в Mat (n, R).

Пусть x0 есть следующая матрица nxn, записанная в блочном виде относительно разбиения n = (n — 1) + 1:

x0 = 00 = ¿ne„. (2.1)

_с = / 0 0 i = ^ v 0 1 у tn^n

Тогда X есть G-орбита в Mat (n, R) точки x° относительно действия

x ^ Q-1xg. (2.2)

Это многообразие X есть множество матриц из Mat (n, R), ранг и след которых равны 1.

Введем на X "орисферические координаты" £,п, где £ = (£ь ..., £п-1), п = (щ,..., Пп-1) - векторы-строки из Rn-1:

1 ( —п'£ —П

x = '

N (С,п) \ С 1

где

N (С-П) = 1 - (2.3)

Эти координаты определены на X, кроме множества хпп = 0. Действие (2.2) в координатах С, П расщепляется: оно есть дробно-линейное по С и по п отдельно,

именно, пусть г = д 1 хд, тогда если х имеет координаты (С, п), то х имеет

координаты (Ш,д), где (см. (1.1) и (1.3))

Ш = С • д = (Св + ^)-1(с« + 1), д = п • Д = (пв + $)-1(п® + т)-

Группа О действует на функциях f на X сдвигами (квазирегулярное представление)

(и (д^ )(х) = ,С (д-1хд)■ (2-4)

§ 3. Сферические пpедставления

В этом параграфе мы приводим некоторый материал о конечномерных представлениях группы О, которые участвуют в разложении функций на сфере в Кп. Рассмотрим разбиение п = (п — 1) + 1 и соответствующие подгруппы и разложения для группы О, см. § 1, (а).

Представление п_, к € N индуцировано характером р ^ ск подгруппы Р + , см. (1.2). Оно действует сдвигами в пространстве Бк(Кп) однородных многочленов степени к:

[п-(дЩ(х) = Ф(хд)

Ограничивая многочлены из Б к (Кп) на гиперплоскость хп = 1, мы получим пространство Ук многочленов от х1,...,хп_1 степени ^ к. Базис состоит из одночленов хи = х'11 ■■■хгп—1, иг € М, м1+...+мп_1 ^ к (мы используем мультииндексные обозначения). В этом пространстве представление п_ действует по формуле:

(п_(g)f) (с) = (Св + 5)к f (С • д).

Наряду с этим представлением рассмотрим представление п+, к € М, индуцированное характером р ^ с_к подгруппы Р_. Оно действует в пространстве Ук по формуле:

(п+ Ш) (п) = (п_Ш) (п) = (пД + т) f (п • д).

Пусть а - подалгебра в 0, состоящая из диагональных матриц X с диагональю и1} ■■.,ип, и1 + ■■■ + ип = 0. Веса конечномерных представлений алгебры 0 - это линейные функции а(Х) на а. Отождествим указанные диагональные матрицы X с векторами X = (^1; ■.., ип) из Кп, а функции а - тоже с векторами из Кп , так что

а(Х) = (а,Х) = агщ.

г

В силу соотношения ^1 + ■■■ + ип = 0 координаты вектора а € Кп определены с точностью до общего слагаемого. Мы не будем придерживаться какой-нибудь одной специальной нормировки и будем записывать веса в удобном для нас виде. Равенство весов мы будем обозначать ” ~ ”. Упорядочим веса а лексикографически.

Положительная корневая подалгебра п натянута на Е^, і < і, а отрицательная

З - на Еіз , і > і.

Одночлен £и является собственным для X Є а в представлении п— с весом

а ^ ^иі,..., ип— і, к — ^ ^ и

Старший вес и старший вектор - это (к, 0,..., 0) и £>к. Младший вес и младший вектор - это (0,..., 0, к) и 1. Одночлен пи в представлении п+ является собственным для X Є а с весом

а ~ —ип-і, Ні — к^ .

Старший вес есть (к,..., к, 0) ~ (0,..., 0, —к), старший вектор есть 1. Младший вес и младший вектор - это (—к, 0,..., 0) и пк.

Пусть ¿(Лі,..., Лп) - размерность конечномерного неприводимого представления группы О со старшим весом Л = (Лі,..., Ап). Как известно, см., например, [3],

П(Лі — і — Лз + і)

¿(Ль ..., Лп) = 1! 2!... (п — 1)! . (3Л)

Отсюда получаем,что размерность ¿(к, 0, ... , 0) представления п— и размерность ¿(0, ... , 0, —к) представления п+ равны друг другу:

¿(к, 0, ..., 0) = ¿(0, ... , 0, —к) = ^ + 1 ^ . (3.2)

Кратности весов в представлениях п± равны 1.

На Ук существует единственная с точностью до множителя билинейная форма, инвариантная относительно пар (п+,п—) и (п— ,п+). Обозначим через Ек такую форму, нормированную условием Ек (1,1) = 1. В базисе хи форма Ек диагональна, "скалярный квадрат" элемента базиса есть

Ек(хи, хи) = (—1)иі+-+и-і иі!..ип-і!кк — ^ Ні)! .

§ 4. Пpедставления, связанные с G/H

В этом параграфе мы описываем представления Та££, а Е C, е = 0,1, связанные с G/H. Мы опираемся на [5], [6]. Вспомним подгруппы и разложения группы G, связанные с разложением n = 1 + (n — 2) + 1, см. § 1 (б).

Представление Та,£ группы G индуцируется следующим характером иа,£ группы B: а£

w.#) = хФГ = (

где матрица b Е B дается (1.4). Оно действует правыми сдвигами:

(Та,£(9) ÿ)(s) = tKsg), s E G,

в пространстве Va,£(G), которое состоит из функций ф Е C™(G), удовлетворяющих условию:

ф(Ьд) = va,£(b) ф(д), b Е B, g Е G.

Представление Та,£ может быть реализовано в однородных функциях на некотором конусе в алгебре Ли 0. Пусть У обозначает множество матриц из Mat (n, R) ранга 1 и со следом 0. Это множество лежит в алгебре Ли 0 и представляет собой конус: вместе с каждой точкой y оно содержит всю образующую {ty}, t Е R*. Этот конус состоит из матриц u'v, где u,v Е Rn \ {0} с условием (u, v) = 0. Его размерность равна 2n — 2. Он есть G-орбита относительно действия (2.2). Обозначим y0 = e1en. Всякая точка y ЕУ имеет вид:

y = y(g) = g-ly°g-

Пусть Va££(У) обозначает пространство функций f Е Cте(У), удовлетворяющих условию:

f(ty) = t",£f(y), y Е У, t Е Г.

Это пространство изоморфно T>a£(G) с помощью соответствия f (y) = ф(g), y = y(g). Представление Ta,£ действует в Va,£(У) сдвигами:

(Ta,£(g)f )(y) = f (g-1yg)-

Другую реализацию представления мы получим, используя сечение конуса У, являющееся орбитой У (Z) точки y0 относительно подгруппы Z. Она выделяется условием y1n = 1. Эта орбита находится во взаимно-однозначном соответствии с самой подгруппой Z, поэтому нам в основном будет удобнее иметь дело с функциями не на этом сечении, а на самом многообразии Z, прибегая иногда к помощи конуса.

При ограничении функций из £(У) на орбиту У(Z) получаем пространство

Т>а,£(Z) функций из Crx(Z) с некоторыми условиями на бесконечности. Представление Та,£ в этой реализации действует так (см. (1.8) и (1.7)):

(T*Ag)f) (z) = x(zg)a’£ f (z ■ g)-

Элементам Eij, i = j, алгебры Ли 0 отвечают в представлении Та,£ следующие операторы (напомним, что с = st — c). Пусть индексы k, r принимают значения

из {2, ...,n — 1}. Тогда

Диагональной матрице X = diag {v1, ...,vn} из а отвечает следующий оператор:

весами (к+m—a)e1+e—mej — (к+l — a)en. Одночлен cp'cq является собственным вектором для X Є а с весом (p + q — a)(e1 — en).

Сопряженному пространству D'a£(G), отвечает некоторое пространство D£(Z) обобщенных функций на Z. Оно содержится в пространстве D'(Z) обобщенных функций на Z и, в свою очередь, содержит пространство Pol (Z) многочленов на Z и пространство D0 (Z) обобщенных функций на Z, сосредоточенных в единице группы Z, т.е. в точке c = s = t = 0. Пространство D0(Z) состоит из линейных комбинаций дельта-функции 8(z) = 8(c) 8(s2)...8(sn-1) 8(t2)...8(tn-1), сосредоточенной в единице E группы Z, и ее частных производных по c,Si,tj (любого порядка).

Формулы (4.1)-(4.7) порождают представление алгебры Ли 0 в V'a£(Z). Эти представления не зависят от є, поэтому мы будем иногда обозначать их Та. Пространство D0 (Z) как модуль относительно представления Та алгебры Env (0) порожден дельта-функцией 8(z).

Рассмотрим следующий оператор Ba,£, действующий в D£(Z):

Одночлены ck s\ j и dk s\ j являются собственными векторами для X Є а с

B£ f ) (z) = / K(Z,Z)1-n-CT’ £ f (Z) d(, JZ

где

K(z,Z) = (c — sv + а ) (с — ut + a),

матрицы г и £ из X имеют параметры с, 8,1 и а,п,у, соответственно. Интеграл абсолютно сходится при Ке а < 2 — п, он может быть продолжен аналитически по а до мероморфной функции. Эта мероморфная функция имеет полюсы в тех же точках и с теми же кратностями, что и функция

Оператор Ва,£ сплетает представления Та,£ и Ті-п-а,£:

Ті-п-а, £ (д)Ва, £ = Ва, ¡Та, £(д). Композиция Ві-п-а,£ Ва,£ является скалярным оператором:

В1—п—а,£ Ва,£ в(а) є) Еэ

(4.8)

где

Р(а,є)

2п— 3 _2п—5

_5 Г2(а + 1) Г2(2 — п — а)

2а + п — 1

п

х

п — 1 п — 1

сое а +-----------п — сое є +-------------— | п

Если п четно, то Та,£ неприводимо, за исключением целых а (е = 0,1). Если п нечетно, то Та,£ неприводимо, за исключением следующих случаев: (а) а Е

(1/2) + Z, е = 0,1; (б) а Е ^, а ^ 0, а = е; (с) а Е ^, а ^ 1 — п, а = е.

Группа Вейля пары (д, а) есть симметрическая группа Бп. Она переставляет диагональные элементы матрицы X Е а. Возьмем транспозицию (1п) из Бп. В качестве представителя ее в К можно взять следующую матрицу:

0 0 1

0 .1 0

1 0 0

где 1 = diag { — 1,1,..., 1}. Отметим, что и2 = Е, так что w 1 = и. Отображение

О

д ^9= иди есть автоморфизм (внутренний) группы О.

О

Обозначим через Та, £ композицию этого автоморфизма и представления Та,£:

ОО

Та, £ (д) = Та, £(д) = Та, £ (иди).

ОО

Поскольку автоморфизм д ^д - внутренний, представления Та,£ и Та,£ эквивалентны, эквивалентность дается оператором

Еа, £ = Та, £(и),

т. е.

О

Та,£ (д) = Еа,£ Та,Дд) Еа,£,

2

заметим, что Еаі = Еа,£. Этот оператор Еа,£ действует следующим образом:

(Еа,!) (с, м) = /(5) («:)" (4.9)

\С С С у

^ о

Заметим, что если г = г • ш, то с = 1/С. Обозначим через Ва,£ композицию операторов Еа,£ и Ва,£:

В а, £ Ва, £Еа, £ Еі— п—а,£ Ва,і

Он имеет следующий вид:

Ва,£ ! (г)= К (г,()і-п-а,£ !(С)

где

К (г,() = (1 — вЛу + са\ (1 — пЛ + са

(4.10)

(4.11)

(4.12)

Оператор Ва,£ сплетает Та,£ с Т 1-п-а,£, а также Та,£ с Т1-п-а,£. Для него справедливо точно такое же соотношение, что и (4.8) для Ва,£:

оо

Ві-п-а,£ Ва,£ Р(аі є) Е-

(4.13)

На языке ядер соотношение (4.13) выражается следующим образом:

К (г, ()і-п-а,£ К ((, гі)а,£ = в(а, є) 6*(г),

(4.14)

где 8Х1 (г) обозначает дельта-функцию на X, сосредоточенную в точке г1. Полагая в (4.14) г1 = Е, получим

К (г, С)і-п-а,£ = в(а, є) 6(г).

(4.15)

Равенство (4.15) означает, что оператор Ва,£ переводит функцию 1 в дельтафункцию 8 (г) с множителем:

о

Ва,£ 1) (г) = в (а, є) 6 (г).

(4.16)

Отсюда в силу сплетаемости, указанной выше, мы получаем для произвольного X из Епу (д):

оо

Ва,£ (Та, £ (X) 1) (г) = в (а, є) Т і-п-а,£ (X) 6 (г)

(4.17)

Ва, £ (Та, £ (X) 1) (г) = в (а, є) (Ті-п-а, ДХ) 6) (г).

о

о

Из (4.13) и (4.16) получаем соотношение (впрочем, вполне очевидное)

О

В 1—п—а,є & — 1

и, аналогично, из (4.13) и (4.17) получаем

Ві-п-а,є (Т 1—п—а,є (X)) & — Та,є(Х) 1,

где X Є Епу (д).

Билинейная форма

(М) — / /

(4.18)

(4.19)

инвариантна относительно пар (Т1—п—а>є, Та,є) и (Т 1—п—а,є, Та,є).

§ 5. Представления Тт

В этом параграфе мы рассмотрим конечномерные представления группы О, связанные с представлениями Та,є.

Пусть т Є N. При є = т в обозначении пространства, представления и оператора с индексами а, є нам будет удобнее вместо є писать т.

Оператор Втт имеет ненулевое ядро, которое мы обозначим через Мт. На нем оператор Ва,т имеет нуль первого порядка по а. Подпредставление Тт представления Тт,т, действующее в Мт, неприводимо.

Обозначим через Вт производную по а в точке а — т от ограничения Ват на Мт:

В — — Вт — 7

йа

Ва

М„

(5.1)

Оператор Вт отображает Мт в ^і—„^—т>т(2) и дает эквивалентность представления Тт и фактор-представления Т1—п—т представления Т1—п—т,т, действующего в фактор-пространстве Т)1—п—т^) пространства Ъ1—п—т,т^) по образу оператора Вт,т. Композиция В1—п—т,т Вт есть скалярный оператор на Мт:

В1—п—т,т Вт Р(т) • Е,

где

(-1)п 2

й

в (т) — й йа

п о2п—4±1 ^2п—2 П

в (а,є)

а=т,є=т

т!

!2

(2т + п — 1) (т + п — 2)!

!2

знак + или - берется соответственно при четном или нечетном п.

О

Определим на Мт оператор Вт аналогично (5.1):

да

О

Ва

(5.2)

Я

а=т

а=т

Он связан с Вт аналогично (4.10)

О

Вт ВтЕт Е\—П—Ш,ШВШ)

где Ет - ограничение оператора Ет,т на Мт. По (4.9) имеем

(Ет/)(с, 5, І) = / (1, —, (сс)т. (5.3)

\с с с )

О

Для оператора Вт имеют место соотношения, аналогичные (4.16), (4.17)

(они получаются из (4.16), (4.17) дифференцированием по а):

(Вт і) (г) = в(т) 8 (г), (5.4)

(Вт (Тт(Х) 1)) (г) = в(т) (гі-и-т,т (X)^ (г).

При а = 1 — п — т, т Є N модуль ^) имеет единственный неприводимый

фактор-модуль, содержащий класс смежности дельта-функции 8(г). Обозначим этот фактор-модуль через М1-п-т. Представление алгебры Епу (д) в нем эквивалентно

О

Тт. Оператор Вт: Мт ^ £>0(Z) порождает оператор Мт ^ М1-п-т, который

О

мы снова обозначим Вт. Последний оператор сплетает представления алгебры Епу (д) в Мт и М1-п-т и дает указанную выше эквивалентность этих представлений.

Теорема 5.1 Пpост,pанст,во Мт есть некот^ое npостpанство многочленов от с,в,і. Стаpший вес npедстлв.лени.я Тт есть (т, 0,..., 0, —т), pазмеpность pавна

¿(т, 0,..., 0, —т) =

/ \ 2

2т + п — 1 I т + п — 2

п 1 т

Стаpший вект^ есть многочлен (сс)т, младший вект^ есть многочлен 1.

Они получаются дpуг из дpуга с помощью опеpатоpа Ет = Тт('ш).

Доказательство. Функция 1 лежит в Мт. В самом деле, поскольку в (а, е), см. (13.39), обращается в нуль при а = т, е = т, равенство (4.16) показывает,

О

что 1 лежит в ядре оператора Вт,£.

Функция 1 является младшим вектором в Мт. В самом деле, как сразу видно из (4.3), (4.4), (4.6), (4.7), она обращается в нуль отрицательной корневой подалгеброй 3, натянутой на Е^, г > ]. Ее вес (-т, 0,..., 0, т) есть младший вес представления Тт.

Все пространство Мт получается из младшего вектора - функции 1 - действием операторов Тт,£(Х), X Е Епу (0), или многократным применением операторов Тт,£(Х), X Е 0. Как видно из (4.1) - (4.7), это пространство состоит из некоторых многочленов от с, в, Ь (от с,в,1,с).

Представление группы О, действующее в этом пространстве, есть конечномерное неприводимое представление со старшим весом (т, 0,..., 0, -т). Старший вектор

получается из младшего вектора с помощью оператора Ет, см. (5.3). Формула

(5.3) дает, что этот старший вектор есть (сс)т. Наконец, формула для размерности получается из (3.1). □

Пространство Мт может быть охарактеризовано как множество решений индикаторной системы уравнений [2].

О О

Обозначим через Тт ограничение представления Тт т на Мт. Имеем

Тт (д) = ЕтТт(д)Ет. Перепишем (4.18) для нашего случая:

ОО

В 1—п—т,т Т 1-п-т,т (Х) & Тт(Х) 1;

О

где X Є Епу(д). Это равенство говорит, что Мт есть образ оператора Ві-п-т,є, рассматриваемого на обобщенных функциях, сосредоточенных в нуле: с = в =

Ь = 0, т.е. в единице группы Z. Пусть Е - такая обобщенная функция. Тогда (4.11) дает

( К (г,()т ЕК) = f(г), (5.5)

ОО

где К дается формулой (4.12), f - многочлен из Мт. Поскольку К (г,()т есть

О

многочлен от с, в, Ь, в, и, V, равенство (5.5) показывает, что этот многочлен К (г, С)т есть "производящая функция” для элементов из пространства Мт, т.е.

О

Мт имеет базисом как раз те одночлены по с, в, Ь (или с), которые входят в К (г, ()т. Например, при т =1 базис состоит из и2 — 1 многочленов 1, ві, ^, с, с, вві, сЬ^, здесь выписано и2 многочленов, между ними есть одно соотношение: с+с — вЬ =

0.

На пространстве Мт существует единственная с точностью до множителя билинейная форма, инвариантная относительно пары (Тт, Тт) (и тем самым

ОО

относительно пары (Тт, Тт)). Обозначим через Ьт такую форму, нормированную условием:

Ьт (1, (сс)т) = 1. (5.6)

Введем еще форму

О

Ьт (f, ^) — Ьm(Emf, ^) — Ьт(f, Ет^.

ОО

Она инвариантна относительно пар (Тт, Тт) и (Тт, Тт). Условие нормировки

о о

(5.6) дает условие Ьт (1, 1) = 1. Формы Ьт и Ьт только множителем (одним

о

и тем же) отличаются соответственно от форм (Вт/, к) и (Вт ¡, к), см. (4.19).

о

По (5.4) мы получаем (Вт 1, 1) = в(т), так что

Ьт(Л Ь) = (Bmf, ^, (5.7)

в(т)

§ 6. Тензорное произведение пк 0 п+

В этом параграфе мы рассматриваем тензорное произведение

Як = пк 0

Это представление группы О действует в пространстве Шк многочленов f (£,п) от двух совокупностей переменных £ = (£1, £п-1), П = (ПЪ "ч ПП- 1) степени не

выше к по каждой совокупности - по формуле:

№(д)Л(£,п) = (&в + + с) К• д, п•»)

(6.1)

По (3.2) его размерность равна [¿(к, 0,..., 0)]2.

Многочлен N(£,п), см. (2.3), обладает следующим свойством

N(С • д,п • д) = N(С,п) (СР + &)(п(с + с)

-і

Поэтому отображение Шт — Шк, 0 ^ т ^ к, состоящее в умножении на Nк-т, сплетает Ят с Як.

Отсюда следует, что многочлен

Фк = Nк = (1 — (С,п))к

неподвижен относительно Як-

Як(д)Фк = Фк, д є С,

(6.2)

(6.3)

и что многочлены

Пк,т = Nк-т £1т Ук,т = Nк-т (-П1 )т, (6.4)

где т = 0,1,к, являются соответственно старшими и младшими векторами

в представлении Як, т.е. обращаются в нуль положительной и отрицательной корневыми подалгебрами п и 3, соответственно.

Лемма 6.1 Пpедставление Як pасnадает,ся в щямую одно^атную сумму:

Як = То + Т1 + ... + Тк. (6.5)

Доказательство. Многочлены Nk-m £1т и Nk-m (—п1)т являются весовыми векторами с весами (т, 0,0, -т) и (-т, 0,0,т), соответственно. Это означает, что представление Як содержит неприводимые представления Тт, т = 0, 1, .. , к

(см. § 5). С другой стороны, размерность представления Як в точности совпадает с суммой размерностей этих представлений:

к

¿(к, 0,..., 0) • ¿(0,..., 0, — к) = [¿(к, 0,..., 0)]2 = в(т, 0,..., 0, —т). (6.6)

т=0

В самом деле, из (3.2) легко выводим, что

[в(т, 0,..., 0)]2 — [в(т — 1, 0,..., 0)]2 = в(т, 0,..., 0, —т).

Отсюда и получается (6.6) и, следовательно, (6.5). □

Соответственно (6.5) пространство Шк распадается в прямую сумму подпространств Шк,т, т = 0,1, ...к.

Обозначим через Ш(к) инвариантное относительно Як подпространство в Шк, порожденное младшим вектором Vk,к = (—П1)к. Его вес есть (—к, 0, ..., 0, к).

Такой вес встречается в Як один раз. Следовательно, именно в Ш(к) действует представление Тк - со старшим весом (к, 0, ... 0, —к). Старший вектор в Ш(к) есть £к (так что Ш(к) можно было бы определить и как оболочку этого старшего вектора £к).

Заметим, что Ш(0) есть одномерное пространство: Ш(0) = С. В силу леммы 16.2 подпространство в Шк, порожденное младшим вектором Nk-m(—п1 )т, есть не что иное, как Nк-тШ(т).

Итак, мы доказали теорему:

Теорема 6.2 Представление Як группы С распадается в прямую однократную сумму (6.5). Соответствующее разложение пространства Шк на неприводимые подпространства есть

Шк = Шк, о + Шк, 1 + ... + Шк, к, Шк,т = ^-тШ(т).

§ 7. Н-инварианты

В этом параграфе мы находим векторы, инвариантные относительно подгруппы Н, в пространствах некоторых представлений, рассмотренных нами ранее. Для бесконечномерных представлений эти Н-инварианты оказываются, как правило, обобщенными функциями.

Сначала рассмотрим представления Та,є.

Сразу предъявим Н-инвариант ва,є. В реализации на У это - обобщенная функция

0а,є(У) = {іТ(Х°у)} а'є = yan^, где у = д-1у0д, х0 см. (2.1). В реализации на Z получаем

0а,є(г) = {іг (х0у(г))}ст,є = С,є. (7.1)

Обобщенная функция ва£(г) регулярна (является локально интегрируемой функцией) при Ке а > — 1, аналитически зависит от а и может быть продолжена во всю комплексную плоскость а до мероморфной функции - с полюсами второго порядка в точках а Е — 1 — £ — 2М

Следующие утверждения содержатся в [5].

Размерность пространства Н-инвариантных векторов в Т>£ (Г) относительно Та,£ равна 1, за исключением случая п = 3, а = — к — 1, £ = к + 1, к Е N. В этом случае размерность равна 2. Базис для а общего положения есть ва,£.

Если представление Та,£ приводимо, то в каждом неприводимом подфакторе имеется единственный с точностью до множителя Н-инвариант.

Оператор Ва,£ переводит 0а,£ в 01-п-а,£ с множителем:

Ва,£ £ ] (а> £) @1—п—а,£>

где

. (а £) (2_)п-2 (—1)£ — СОв ап Г2(а +1)

(а,£) = (2п) сов (а + п) п • ГрОТП)•

Нас сейчас интересуют случаи а = т и а = 1 — п — т при т Е М, т = £. Мы специализирум предыдущие утверждения, используем формулу (7.1), определение

О

Тт и тот факт, что оператор Ет, см. (5.3), переводит с™ в ст. Мы получаем

Теорема 7.1 Пространство H-инвариантов в пространстве Mm относительно представления Tm одномерно. В реализации на У базисом служит многочлен @m(y) = {tr(x°y)}m, а в реализации на Z - многочлен

Om{z) = {tr (x°y(z))}m = Cm.

Пространство H-инвариантов в Mm относительно представления Tm одномерно. Базисом служит многочлен cm

m

Теперь найдем инварианты относительно Env (h) в фактор-модуле M1-n-m, см. § 5. Для m = 1, 2,.. определим следующий элемент из Env (0):

Xm = (E1n + Y )(2Ein + Y )...(mEin + Y),

где

Y = E12E2n + E13E3n + ... + E1,n-1En-1,n.

Отметим, что E1n и Y коммутируют.

Лемма 7.2 Оператор Tm(Xm) переводит 1 в cm с множителем:

Tm(Xm) 1 = XmC71, (7.2)

где

_m!(2m + п - 2)!

*m , оМ . (7.3)

(m + п — 2)!

Доказательство. По формулам (4.1), (4.2), (4.5) (с m вместо а) получаем для r = 0,1, ..,m — 1:

Тт(Е1п) сг = (т — г) с — тсгс,

Тт(ЕиЕп) сг = (т — г) (сг+1 + тсгв^) ,

так что

Тт(У) сг = (т — г) {(т + п — 2)сг+1 + тсгс} ,

следовательно,

Тт((т — г)Е1п + У) сг = (т — г) (2т + п — 2) сг+1^

Отсюда получаем (7.2), (7.3). □

Теорема 7.3 Фактор-модуль М1-п-т имеет единственный с точностью до

множителя элемент, инвариантный относительно алгебры Епу(^). Это -

класс смежности обобщенной функции

^1-п-т = От$) (7-4)

где

= £ (т—от Ш' Ат-■ д>< = £ ^

О

Доказательство. Обозначим через Xm следующий элемент из Env (0)

О

Xm = wXmW = Ad W ■ Xm = (19.21)

= (En1 + V)(2En1 + V) ... (mEn1 + V), (19.22)

где

V = En2E21 + En3E31 + ... + En,n-1 En-1, 1.

Отметим, что En1 и V коммутируют. По лемме 7.2 имеем

О О О

Bm (AmCm) = (Bm (Tm(Xm) 1) = ß(m) T 1-n-m,e (Xm) S.

Для всякого X E Env(g) мы имеем:

О

Ta,£ (X) = Ta,£(wXw).

Поэтому из (7.6), (7.7) мы получаем

ОО

Bm (AmCm) = ß(m) T1-n-m,e(Xm) S. (7.8)

Обозначим

О

Z1—n—m T1-n-m,e(Xm) S (7.9)

Из (7.8) следует, что класс смежности этой обобщенной функции (1-п-т инвариантен относительно Епу (^). Теперь нужно показать, что (1-п-т имеет явное выражение

(7.4), (7.5). Докажем это индукцией по т. Как видно из формул (4.4), (4.6), (4.7), операторы Та,£(Епг), Та,£(Ег1), и, стало быть, операторы Та,£(У) не зависят от

а, £. Поэтому мы будем опускать индексы 1 — п — т, £ в обозначении операторов Т1-п-т, £ (Епг) и т.д. и писать Т(Епг) и т.д.

По (4.4), (4.7) имеем

д д

T (V) = (п — 2) дс + öCS + Ast, (7Л0)

где

n- 1

S = ^s д^г.

i=2 г

Для дельта-функции Дирака S(ж) на прямой справедливо следующее соотношение:

к!

xrS(k)(x) = (—1)r r)! S(k-r)(x), (7.11)

где S(p)(x) обозначает p-ую производную от S(x).

Применяя это сотношение, получаем для нашей дельта-функции S на Z, сосредоточенной в единице, следующую формулу:

SS = — (n — 2)S,

так что по (7.10) имеем

T (V) S = Ast S,

и по (4.6)

T (X1) = T (En1 + V) = ^ дс + A**) S.

Это доказывает справедливость (7.4) для m =1 (начало индукции).

Для проведения индукционного шага надо будет вычислить, как действуют операторы S и T(V) на A^S.

Найдем SAktS. В силу (7.11) нам надо сначала вычислить

д

£ дхг f <7-12>

г

где f = Q~2 Xj aj)к, затем заменить хг на д/двг и aj на д/дЬ^, применить это к S и умножить все это на (—1). Выражение (7.12) равно

д

(n — 2)f + Y1 хгдх- f. (7Л3)

Но f - однородный многочлен от хг степени к, поэтому (7.13) равно (п — 2 + к) f. Следовательно,

S А% S = —(п — 2 + k) Akt S

и, по (7.10),

Т (V )Д* 5

-к~до + Д** ) Д**5'

Пусть теперь равенство (7.4) выполняется для т. Покажем, что тогда оно выполняется для т + 1. Имеем (напомним, что Еп1 и V коммутируют):

Т Хт+1 5 =

д

(т +1) д~с + Т(V)

= ^2(т+1)

г=0 т

+ Е

т!

Т[Хт) 5

д

т!

(т — г)! \дс д хг

г+1

-і дт-г5+

г=0

(т — г)! \дс

д

— (т — г) — + Дзі

дт-г 5'

Коэффициент в правой части при (д/дс) Дт+1 к д равен т!/(т + 1 — к)!, что и завершает доказательство теоремы. □

О

Отметим, что, как следует из (7.8), (7.9) и (7.3), (5.2), оператор Вт переводит ст в (1-п-т с множителем:

Вт (с ) Цт Сі-п—ті

где

в (т)

(—1)п2

по 2п—4±12п—2 П

т!

Хт 4 " (2т + п — 1)! (т + п — 2)!’

знак + или - берется соответственно при четном или нечетном п.

§ 8. Квазирегулярное представление в многочленах на О/И

Обозначим через 8т(Х) пространство ограничений на X многочленов от матричных элементов х^ матриц х из Ма (п, К), однородных степени т, к Є N. Обозначим

Мк(X) = Бо(Х) + Бі(Х) + ''' + Бк(X)'

Это - пространство ограничений на X всех многочленов степени ^ к. Действие и группы О в функциях на X, определенное (2.4), сохраняет все эти пространства. Пространства ) неприводимы, в каждом из них есть И-инвариантный

вектор, единственный с точностью до множителя. Следовательно, пространство И -инвариантных векторов в Мк (X) имеет размерность к + 1.

Это доказывается переходом сначала к комплексификации пространства X, а затем к его компактной форме ЯИ(п)/и(п — 1).

Вспомним пространство Шк из § 6. Разделим все многочлены f из Шк на многочлен Фк, см. (6.2), т.е. рассмотрим отображение о к пространства Шк:

f (£,п)

(ок f )(х)

фк (С,П)

в пространство функций на X (£, п - орисферические координаты точки х).

Теорема 8.1 Отображение ак есть изоморфизм пространства Шк на пространство Мк(X); сплетающий представления Як и и группы С. При этом каждое подпространство Шкт отображается на Бт(Х); т = 0,1,к.

Доказательство. Пусть х имеет кординаты £,ц, тогда д-1хд имеет координаты (см. § 2). Поэтому, используя (6.1) и (6.3), получаем для Е = //Фк:

/ (С,Д) (Як(д)/)(^,п) (Як (д)/)(^,п)

Фк (£,С) (Кк (д)фк )(€,П) фк (С,П)

что и означает, что ак сплетает Як и и.

Возьмем в Шкт младший вектор Ук,т, см. (6.4). Отображение ак переводит его в функцию (—п1/Х)т, а это есть не что иное, как многочлен хтп из Бт(Х). В силу С-инвариантности каждое Шкт, т = 0,1, ..,к, вкладывается в Бт(Х). Так что все Шк вкладывается в Мк(Х).

Поскольку Як = Т0 +Т1 +...+Тк и каждое Тт имеет одномерное пространство Н-инвариантов (теорема 7.1), размерность пространства Н-инвариантов в Шк равна к + 1. Она совпадает с размерностью пространства Н-инвариантов в Мк (X). Следовательно, отображение а к является биекцией Шк на Мк (X). □

§ 9. Преобразование Пуассона

Возьмем Н-инвариант 9т в пространстве Мт из теоремы 7.1 в реализации на У. Согласно [4] он порождает ядро Пуассона

Рт(х,У) = {Тт(д-1)0т) (У) = От^Уд^),

где х = д-1х0д, у Е У. Подставляя выражение для От(у) из теоремы 7.1, получаем

Рт(х,у) = {1г(ху)}т (9.1)

Нам потребуется это ядро со специализацией у = у (г) = г-1у°г, г Е X, в этом случае обозначим его Рт(х,г).

Лемма 9.1 Пусть х Е X имеет орисферические координаты £,ц, а матрица г Е X имеет параметры с, в, Ь, пусть с = вЬ—с. Тогда ядро Пуассона выражается следующим образом:

(—сщ — ^2вп +1) (^1— ^2 + с)

N (С,п)

(9.2)

т

Доказательство. Матрицы х и у (г) можно записать в виде произведения столбца на строку:

х

N

П'П—1 \ 1 )

(Cl -fn-1 1), y(z)

1

-t2 —tn-1

V C і

(CS2 ... Sn-1 1).

Теперь (9.2) получается из (9.1) с y = y(z). □

1

При фиксированном х Є X ядро Пуассона Рт(х, г) есть многочлен из Мт, а при фиксированном г Є X оно есть многочлен из Бm(X).

Преобразованием Пуассона назовем следующий оператор из Мт в 5m(X):

(Vmf )(х) = Ьт(Рт(х, 0 , f ) =

= Ьт (Тт(9—1)вт, ¡) =

= Ьт(вт, ТтШ), (9.3)

где х = д—1х°д, Ьт - форма из § 5. В силу инвариантности формы Ьт этот оператор сплетает Тт и и:

РтТт(д) = и (д)Рт'

Теорема 9.2 Преобразование Пуассона Pm изоморфно отображает пространство Mm на пространство Sm(X).

В самом деле, младший вектор 1 Є Mm под действием Pm переходит в коэффициент при (cc)m в (9.2), т.е. в (—n1/N)m = х^. Аналогично, старший вектор (cc)m Є Mm переходит в свободный член (относительно параметров c,s,t) в (9.2^ тх. в (£i/N)m = xm1. □

Запишем преобразование Пуассона Рт в дифференциальной форме. Пусть Бт - оператор, сопряженный к оператору От, см. (7.5), т.е.

°т = Е т—) (—1)г (I)д-

г=о 4 ' 4 7

Теорема 9.3 Преобразование Пуассона Рт выражается следующей дифференциальной формулой:

('Pmf )(х) = отТт(д)1 (-) , (9.4)

Ат х=Е

где х = д—1х°д, матрица г имеет параметры с,в,і, коэффициент Хт дается сформулюй (7.3).

Доказательство. Перепишем (9.3) с помощью (5.7):

(Pmf)(x) = -Ц (Бтвт, Tm(g)f), (9.5)

р (m)

где, напомним, 9т = ст. Так как ст = Emcm, то по (7.8) и (7.9) мы имеем

Б ft __ Б E Ст ____R ст ____ в(m) Z (9 6)

Bmftm БтЕтс Бт c ^ S1—п—тj (9.6)

Ат

где (1-п-т дается формулами (7.4), (7.5). Подставляя (9.6) в (9.5), получаем

(Vmf)(x) = f Ul-n-т, Тт(д)А,

Ат ^ '

что и есть (9.4). □

Литература

1. Н. Б. Волотова. Преобразование Пуассона для пространства SL (n, R)/

GL (n—1, R): дифференциальная формула. Державинские чтения V: Материалы научн. конф. Тамбов: изд-во ТГУ, 2000, 10-11.

2. Н. Б. Волотова. Индикаторные системы для представлений вырожденных серий линейной группы. Вестник Тамбовского унив. Сер. Естеств. и техн. науки, 2007, том 12, вып. 4, 430-432.

3. Д. П. Желобенко. Компактные группы Ли и их представления. М.: Физматгиз, 1970.

4. В. Ф. Молчанов. Гармонический анализ на однородных пространствах. Итоги науки и техн. Сер. Совр. пробл. матем. Фундам. напр. / ВИНИТИ. 1990, том 59, 5-144.

5. G. van Dijk, V. F. Molchanov. The Berezin form for rank one para-Hermitian symmetric spaces, J. Math. Pures Арр1., 1998, t. 77, No. 8, 747-799.

6. G. van Dijk, V. F. Molchanov. Tensor products of maximal degenerate series representations of the group SL (n, R). J. Math. Pures Арр1., 1999, t. 78, No. 1, 99-119.

7. V. F. Molchanov, N. B. Volotova. Finite dimensional analysis and polynomial quantization on a hyperboloid of one sheet. Вестник Тамбовского унив., Сер. Естеств. и техн. науки, 1998, том 3, вып. 1, 65-78.