Преобразование Радона, связанное с изотропными прямыми на однополостном гиперболоиде Текст научной статьи по специальности «Математика»

а(х) = (аі(х),..., ап(х)), где компоненты аі(х) принадлежат пространству Т>а-\(С). Представление Та действует на пространстве Т>а(С) следующим образом: (Та(д)а)(х) = да(хд). Определим оператор Q : Т>а(С) ^ Т>а(С) так: ^а)(х) = ха(х) = ^хіаі(х). Ядро этого оператора распадается на два подпространства Уо и У2. Подпространство Уо состоит из вектор-функций вида а(х) = ц(х) ■ (—х1,х2,... ,хп), где ц є /иа-2(С), подпространство У2 состоит из вектор-функций а(х) = (0,а2(х),... ,ап(х)) таких, что ^хіаі(х) = 0. Далее, пусть У\ - подпространство в Т>а(С), состоящее из градиентов функций f є Т>а(С):

= х° 1 (аН, хі дїі,...,хі .

дН Зхп'

Мы имеем Q = а/. Пусть Д0 - элемент Казимира.

Пусть а = 0. Тогда Т>а(С) распадается в прямую сумму подпространств Уо, У1 и У2. В "базисе" УО, У1, У2 мы имеем

Та-2 Аа Ва

Та

0

0

Ка

! (а — 2)(а + п — 4) —2А + 2а(а — 1) —2ё1у

Та (Ад) = I 0 а(а + п — 2) 0

\ 0 0 а (а + п — 4)

где А и ё1у - оператор Лапласа и дивергенция:

АН 2 ^ д2Н А дьк

АН = х2 У , аіу V = жм -—.

дх2 дхк

к=2 к к=2 к

Представление Ка группы С в У2 для а общего положения неприводимо.

Преобразование Радона, связанное с изотропными прямыми на однополостном гиперболоиде 1

© Д. В. Тишков

В пространстве Мп, п ^ 4, возьмем билинейную форму [х,у] = —Х1У1 + х2у2 + ... + хпуп. Уравнение [х,х] = 1 задает однополостный гиперболоид X. Группа О = БОо(1,п — 1) действует на X транзитивно: х ^ хд. Стационарная подгруппа точки х0 = (0,..., 0,1) есть ЯОо (1,п — 2). Максимальная компактная подгруппа К С О, сохраняющая координату х1, изоморфна ЯО (п — 1). Горловое сечение У гиперболоида X состоит из точек х таких, что х1 = 0. Оно есть орбита точки х0 относительно К. Пусть С - конус в Мп, задаваемый условиями: [х,х] =0, х1 > 0. Группа О действует на С транзитивно. Пусть 5 - сечение конуса С плоскостью х1 = 1. Возьмем в 5 точку £0 = (1, 0,..., 0,1).

Изотропной прямой называется прямая, целиком лежащая на X. Всякая такая прямая состоит из точек у + Ь£, Ь € М, где у € У, £ € Б и [у,£] =0. Группа О естественным образом действует на многообразии М изотропных прямых. Это действие транзитивно. Стационарная подгруппа в К пары (у0, £0), где у0 = (0,..., 1, 0), есть ЯО(п — 3), так что М есть многообразие Штифеля БО(п — 1)/ЯО(п — 3) ранга 2 и размерности 2п — 5.

хРабота поддержана грантами: РФФИ 05-01-00074а, 06-06-96318 р_центр_а, 07-01-91209 ЯФ_а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП.2.1.1.351 и Темпланом № 1.5.07.

Преобразование Радона Я, связанное с изотропными прямыми, ставит в соответствие функции / € ^(%) функцию ф = Я/ из 'П(М), которая получается из / интегрированием по прямым из М:

При п = 4 преобразование Радона Я было использовано в [1] для того, чтобы получить формулу Планшереля для X. Общий случай существенно отличается от п = 4.

Теорема 1 Образ преобразования Радона Я есть подпространство в 'П(М), в котором действуют представления группы К со отаршими весами V = (^1, 0,..., 0).

Квазирегулярное представление группы О в ) раскладывается [2] по неприводимым унитарным представлениям Та, связанным с конусом, непрерывной серии с кратностью два, дополнительной серии с целыми а с кратностью один и дискретной серии с кратностью один. Соответственно пространство ) распадается в прямую сумму попарно ортого-

нальных подпространств: Ь2^) = УС0 + У(1) + Ув + Уа. Первые два пространства состоят соответственно из четных и нечетных функций.

Теорема 2 Замыкание ядра Нет Я преобразования Радона Я в Ь2^) есть прямая сумма Уе°° + Ус1 + Ув. Преобразование Радона Я на подпространстве Уа взаимно однозначно.

1. И. М. Гельфанд, М. И. Граев, Н. Я. Виленкин. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений. М.: Физматгиз, 1962.

2. В. Ф. Молчанов. Формула Планшереля для гиперболоидов. Тр. Матем. ин-та им. В.А.Стеклова, 1980, том 147, 65-85.

Формула следа Кириллова для компактной группы Ли О состоит в том, что преобразование Фурье характера неприводимого представления, умноженного на квадратный корень ■](X) из якобиана экспоненциального отображения, есть дельта-функция (с множителем), сосредоточенная на соответствующей О-орбите в коприсоединенном представлении.

Интересно найти преобразование Фурье от матричных элементов неприводимого представления (или всей матрицы представления) алгебры Ли д группы О, умноженных на .](X). Мы находим ответ для группы О = Яи(2). Оказывается, в этом случае преобразование Фурье от матрицы неприводимого представления, умноженной на .](X), есть матрица данного представления (с общим множителем), умноженная на производную по радиальному направлению от дельта-функции, сосредоточенной на орбите (сфере), отвечающей тривиальному представлению.

Приведем точные формулы. Группа О = Яи(2) состоит из матриц:

Литература

Об одном аналоге формулы следа Кириллова 1

© Д. С. Тугарев

д

х + іу и + IV —и + т х — іу

Работа поддержана Научными Программами "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы": проект

РНП.2.1.1.351 и Темплан N0. 1.5.07.