Преобразование Радона, связанное с изотропными прямыми на однополостном гиперболоиде Текст научной статьи по специальности «Математика»

ПРЕОБРАЗОВАНИЕ РАДОНА, СВЯЗАННОЕ С ИЗОТРОПНЫМИ ПРЯМЫМИ НА ОДНОПОЛОСТНОМ ГИПЕРБОЛОИДЕ 1

© Д. В. Тишков

В пространстве Мп, п ^ 4, возьмем билинейную форму сигнатуры (1,п — 1):

[х, у] = —Х1У1 + Х2У2 + ... + Хпуп.

Уравнение [х,х] = 1 задает однополостный гиперболоид X. Группа О = ЯО° (1, п — 1) действует на X транзитивно: х ^ хд (мы пишем векторы в виде строки, группа действует справа). Преобразование Радона Я, связанное с изотропными прямыми на однополостном гиперболоиде X в Мп, при п = 4 было использовано в [1] для того, чтобы получить формулу Планшереля для X. Мы изучаем это преобразование для произвольного п (п ^ 4). Общий случай существенно отличается от п = 4.

Пусть Н — стационарная подгруппа точки х0 = (0,..., 0,1). Она изоморфна

ЯО° (1, п — 2). Следовательно, X = О/Н. Обозначим через К подгруппу в О, сохраняющую координату х1. Она изоморфна ЯО (п —1) и является максимальной компактной подгруппой в О.

Горловое сечение гиперболоида X — это множество У точек х из X таких, что х1 = 0. Оно есть орбита точки х0 относительно К. Это — единичная сфера в Мп_1.

Пусть С — конус в Мп, задаваемый условиями: [х,х] =0, х1 > 0. Группа О действует на С транзитивно. Пусть 5 — сечение конуса С плоскостью х1 = 1, оно состоит из точек в = (1,^2, ...,вп), 82 + ... + вп = 1, так что Б — это единичная сфера в Мп_1. Возьмем в Б точку £° = (1, 0,..., 0,1).

Изотропной прямой (прямолинейной образующей) называется прямая, целиком лежащая на X. Всякая такая прямая состоит из точек у + Ь£, Ь £ М, где у £ У, £ £ Б и [у, £] = 0.

Таким образом, многообразие М изотропных прямых есть множество пар векторов на единичной сфере в Мп_1, ортогональных друг другу, это — многообразие Штифеля ранга 2 и размерности 2п — 5. Группа О естественным образом действует на многообразии М. Элемент д £ О переводит пару (у,£) в пару (х, £), где

С = (£д)/(£д)и % = хд — (хдЬ

индекс 1 обозначает первую координату. Это действие транзитивно. Подгруппа К действует на парах (у,£) сдвигами: (у,£) ^ (ук,£к). Стационарная подгруппа пары (у°,£°), где у° = = (0,..., 1, 0), есть ЯО (п — 3), так, что М = ЯО (п — 1)/ЯО (п — 3).

Преобразование Радона Я, связанное с изотропными прямыми, ставит в соответствие функции f £ ) функцию ф = Я/ из Р(М), которая получается из f интегрированием

по прямым из М :

/ГО

/ (у + Ь£) (И

-ГО

хРабота поддержана РФФИ (проекты № 05-01-00074а, №06-06-96318 р_центр_а, №07-01-91209 ЯФ_а), научной программой «Развитие Научного Потенциала Высшей Школы» РНП. 2.1.1.351 и темпланом № 1.2.02.

Известно, что квазирегулярное представление и группы К на М содержит неприводимые представления со старшими весами V = (^1,^2, 0,..., 0), где ^1 ^ V2 ^ 0. Для краткости будем в этом случае писать V = ^1^2). Кратность вхождения представления

в и равна V! — V2 + 1. Пусть Р(М) обозначает подпространство в Р(М), в котором действует .

Т е о р е м а 1. Образ преобразования Радона Я есть подпространство в Р(М), содержащее Т>и(М) с весами V, для которых V2 = 0, то есть с весами V = ^1, 0).

Напомним [3], что квазирегулярное представление группы О в Ь2^) раскладывается по неприводимым унитарным представлениям Та, связанным с конусом (см. [2]). В разложении участвуют представления непрерывной серии (И,е а = (2 — п)/2) с кратностью два, представления дополнительной серии с целыми а ((2 — п)/2 < а < 0) с кратностью один и представления дискретной серии (а = 0,1,...) с кратностью один. Соответственно пространство Ь2^) распадается в прямую сумму попарно ортогональных подпространств:

) = Ус(0) + У« + V, + УЛ. (1)

Первые два пространства состоят соответственно из четных и нечетных функций.

Теорема 2. Замыкание ядра Кег Я преобразования Радона Я в Ь2^) есть прямая сумма первых трех подпространств в правой части (1). Преобразование Радона Я на подпространстве У^ взаимно однозначно.

Рассмотрим оператор проектирования на подпространство У^, в котором действует дискретная серия. Это — интегральный оператор с ядром К(х, у), инвариантным относительно диагонального действия группы О, так что К(х,у) вполне определяется функцией (обобщенной) К (х) = К (х,х°).

Теорема 3. Функция К (х) есть

К(х) = с ■ Ь(хп ± г0),

где с — некоторая постоянная,

Ь(г) = (г — 1)-(п-1)/2 (г + 1)-(п-3)/2.

ЛИТЕРАТУРА

1. Гельфанд И.М., Граев М.И., Виленкин Н.Я. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений. М.: Физматгиз, 1962.

2. Молчанов В.Ф. Представления псевдо-ортогональной группы, связанные с конусом // Матем. сб. 1970. Т. 81, №3. C. 358-375.

3. Молчанов В.Ф. Формула Планшереля для гиперболоидов // Труды МИАН. 1980. Т. 147. С. 65-85.

Тишков Дмитрий Владимирович Тамбовский государственный ун-т Россия, Тамбов e-mail: [email protected]

Поступила в редакцию l0 мая 2007 г.