Тензорное произведение представлений обобщенной группы Лоренца, связанных с конусом, и тавтологического представления Текст научной статьи по специальности «Математика»

этому базису: ak = Ukei + Vk&2- Уравнение P(z) = 0 равносильно системе двух вещественных алгебраических уравнений степени ^ п:

A(£) = 0, В(п) = 0, (1)

где A(£) = Uk£k, В(п) = Vknk, суммирование по к = 0,1,...,п. Если не все коэф-

фициенты ak лежат в одном из идеалов, то ни одно из уравнений (1) не превращается в тождество (0 = 0), пусть £i,... ,£r и ni,... ,П - решения этих уравнений, тогда многочлен P(z) имеет rl корней zts = Ctei + nse2 (назовем их корнями первого типа, их не больше, чем п2). Теперь пусть все ak принадлежат одному идеалу, например, Д. Тогда второе уравнение в (1) исчезает, а уравнение P(z) = 0 имеет бесконечно много решений, они располагаются на r прямых £t +12, параллельных идеалу I2 (эти прямые назовем корнями второго типа).

В частности, пусть P(z) имеет ровно п2 корней zts. Возьмем какую-нибудь перестановку t ^ s(t) индексов {1,... ,п}. Имеет место разложение на множители: P (z) = апП {z—ztyS(t)). Имеется п! таких разложений.

Алгебра A параболического типа (D = 0) тоже обладает делителями нуля, они образуют один идеал I = Re2, где е2 = —в + i, так что е2 = 0. В качестве базиса в A удобно взять элементы ei = 1 и е2. Тогда для z, ak, A(£), B(n) получаем те же выражения, что и выше, с изменением: £ = x + ву, П = У. Уравнение P(z) = 0 равносильно системе двух уравнений A(£) = 0, В(£) + A'(£)у = 0. Простому корню £j многочлена A(£) отвечает корень zj = Cjei —B(£j)/A'(£j)e2 многочлена P(z) (корень первого типа). Пусть корень £j - кратный и B(Cj) = 0. Тогда все точки прямой £j +1 являются решениями уравнения P(z) = 0 (такую прямую назовем корнем второго типа). Таким образом, P(z) имеет не более чем п корней (первого или второго типа). Разложение на множители, вообще говоря, неоднозначно.

Тензорное произведение представлений обобщенной группы Лоренца, связанных с конусом, и тавтологического представления 1

© В. Ф. Молчанов

Пусть О - группа О = БОо(1,п — 1), сохраняющая билинейную форму [х,у] = —Х\У\ + ... + хпуп в Мп. Пусть Та, а € С, - представление гпуппы О, связанное с конусом С = {[х,х] = 0,х\ > 0}. Оно действует сдвигами в пространстве (С) функций класса Сна С, однородных степени а. Тавтологическое представление р группы О дается формулой р(д) = д. Мы даем разложение тензорного произведения Та = Та-\ 0 р. Отметим любопытное явление - появление в разложении "жордановых" клеток. Задача о разложении представления Та появилась в связи с изучением представлений группы О в дифференциальных формах на конусе С. Мы будем рассматривать общий случай п > 5.

Исследование указанного тензорного произведения оказалось возможным благодаря использованию новой реализации представлений Та. Эта реализация состоит в следующем. Пусть f € (С). Тогда функция Н(х2 ,...,хп) = f (1,х2/х1,... ,хп/х1), х € С, есть

функция на Мп-1, однородная степени 0. Функция f восстанавливается по функции Н так: f (х) = х°Н(х2,... ,хп). Представление Та в функциях Н действует следующим образом: (Та(д)Н) (х2, ■ ■ ■ ,хп) = ('х1/х1^ Н(х2,... ,хп), где х = хд. Достоинство этой реализации состоит в том, что базисным элементам алгебры Ли д отвечают операторы, имеющие весьма простые выражения. Пусть Т>а (С) есть пространство функций (столбцов)

хРабота поддержана Российским Фондом Фундаментальных Исследований: гранты 05-01-00074а, 05-01-00001а, 07-01-91209 ЯФ_а и 06-06-96318 р_центр_а, Голландской Организацией Научных Исследований (КШО): грант 047-017-015, Научными Программами "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы": проект РНП.2.1.1.351 и Темплан N0. 1.5.07.

а(х) = (аі(х),..., ап(х)), где компоненты аі(х) принадлежат пространству Т>а-\(С). Представление Та действует на пространстве Т>а(С) следующим образом: (Та(д)а)(х) = да(хд). Определим оператор Q : Т>а(С) ^ Т>а(С) так: ^а)(х) = ха(х) = ^хіаі(х). Ядро этого оператора распадается на два подпространства Уо и У2. Подпространство Уо состоит из вектор-функций вида а(х) = ц(х) ■ (—хі,х2,... ,хп), где ц є /иа-2(С), подпространство У2 состоит из вектор-функций а(х) = (0,а2(х),... ,ап(х)) таких, что ^хіаі(х) = 0. Далее, пусть У\ - подпространство в Т>а(С), состоящее из градиентов функций f Є Т>а(С):

= х° 1 (аН, хі , ...,хі .

дН Зхп'

Мы имеем Q gradf = аf. Пусть Д0 - элемент Казимира.

Пусть а = 0. Тогда Т>а(С) распадается в прямую сумму подпространств Уо, VI и У2. В "базисе" У0, У1, У2 мы имеем

Та-2 Аа Ва

Та

0

0

Ка

! (а — 2)(а + п — 4) —2А + 2а(а — 1) —2ё1у

Та (Ад) = I 0 а(а + п — 2) 0

\ 0 0 а (а + п — 4)

где А и ё1у - оператор Лапласа и дивергенция:

АН 2 ^ д2Н А дьк

АН = х2 У , аіу V = жм -—.

дх2 дхк

к=2 к к=2 к

Представление Ка группы С в У2 для а общего положения неприводимо.

Преобразование Радона, связанное с изотропными прямыми на однополостном гиперболоиде 1

© Д. В. Тишков

В пространстве Мп, п ^ 4, возьмем билинейную форму [х,у] = —хіУі + х2У2 + ... + хпуп. Уравнение [х,х] = 1 задает однополостный гиперболоид X. Группа С = БОо(1,п — 1) действует на X транзитивно: х ^ хд. Стационарная подгруппа точки х° = (0,..., 0,1) есть ЯОо (1,п — 2). Максимальная компактная подгруппа К С С, сохраняющая координату хі, изоморфна ЯО (п — 1). Горловое сечение У гиперболоида X состоит из точек х таких, что хі = 0. Оно есть орбита точки х0 относительно К. Пусть С - конус в Мп, задаваемый условиями: [х,х] =0, хі > 0. Группа С действует на С транзитивно. Пусть 5 - сечение конуса С плоскостью хі = 1. Возьмем в 5 точку £0 = (1, 0,..., 0,1).

Изотропной прямой называется прямая, целиком лежащая на X. Всякая такая прямая состоит из точек у + Ь£, Ь Є М, где у Є У, £ Є Б и [у,£] =0. Группа С естественным образом действует на многообразии М изотропных прямых. Это действие транзитивно. Стационарная подгруппа в К пары (у0, £0), где у0 = (0,..., 1, 0), есть ЯО(п — 3), так что М есть многообразие Штифеля БО(п — 1)/ЯО(п — 3) ранга 2 и размерности 2п — 5.

хРабота поддержана грантами: РФФИ 05-01-00074а, 06-06-96318 р_центр_а, 07-01-91209 ЯФ_а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП.2.1.1.351 и Темпланом № 1.5.07.