Об одном аналоге формулы следа Кириллова Текст научной статьи по специальности «Математика»

Преобразование Радона Я, связанное с изотропными прямыми, ставит в соответствие функции f £ Р(Х) функцию ф = Я/ из Р(М), которая получается из f интегрированием по прямым из М:

При п = 4 преобразование Радона Я было использовано в [1] для того, чтобы получить формулу Планшереля для Х. Общий случай существенно отличается от п = 4.

Теорема 1 Образ преобразования Радона Я есть подпространство в Р(М), в котором действуют представления группы К со отаршими весами V = (и\, 0,..., 0).

Квазирегулярное представление группы О в Ь2(Х) раскладывается [2] по неприводимым унитарным представлениям Та, связанным с конусом, непрерывной серии с кратностью два, дополнительной серии с целыми а с кратностью один и дискретной серии с кратностью один. Соответственно пространство Ь2(Х) распадается в прямую сумму попарно ортогональных подпространств: Ь2(Х) = V,0 + VС(1) + Vs + Vd. Первые два пространства состоят соответственно из четных и нечетных функций.

Теорема 2 Замыкание ядра Кег Я преобразования Радона Я в Ь2(Х) есть прямая сумма Vс0 + V,1 + Vs. Преобразование Радона Я на подпространстве Vd взаимно однозначно.

1. И. М. Гельфанд, М. И. Граев, Н. Я. Виленкин. Интегральная геометрия и связанные с ней вопросы теории представлений. М.: Физматгиз, 1962.

2. В. Ф. Молчанов. Формула Планшереля для гиперболоидов. Тр. Матем. ин-та им. В.А.Стеклова, 1980, том 147, 65-85.

Формула следа Кириллова для компактной группы Ли О состоит в том, что преобразование Фурье характера неприводимого представления, умноженного на квадратный корень ■](X) из якобиана экспоненциального отображения, есть дельта-функция (с множителем), сосредоточенная на соответствующей О-орбите в коприсоединенном представлении.

Интересно найти преобразование Фурье от матричных элементов неприводимого представления (или всей матрицы представления) алгебры Ли д группы О, умноженных на .](X). Мы находим ответ для группы О = Яи(2). Оказывается, в этом случае преобразование Фурье от матрицы неприводимого представления, умноженной на .](X), есть матрица данного представления (с общим множителем), умноженная на производную по радиальному направлению от дельта-функции, сосредоточенной на орбите (сфере), отвечающей тривиальному представлению.

Приведем точные формулы. Группа О = Яи(2) состоит из матриц:

Литература

Об одном аналоге формулы следа Кириллова 1

© Д. С. Тугарев

д

х + іу и + т

-и + ІУ х — іу

Работа поддержана Научными Программами "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы": проект

РНП.2.1.1.351 и Темплан 1.5.07.

где х,у,и,у Є М и х2 + у2 + и2 + V2 = 1, так что С есть единичная сфера в М4. В качестве инвариантной меры на С возьмем евклидову меру йд = V\-1йхйуйи на этой сфере. Мера всей группы равна 2п2.

Алгебра Ли а группы С изоморфна М3, в качестве базиса в д возьмем следующие матрицы:

і 0 \ / 0 і \ /01

L1 ^0 -,)’ L = (, i о) • L = V -1 0

Экспоненциальное отображение сопоставляет матрице X = x.L. + X2L2 + X3L3 из g матрицу

eX = cos ||X II • E + X

из G, здесь E - единичная матрица, норма IX|| отвечает скалярному произведению (X, Y) = xy + Х2У2 + Х3У3. Это скалярное произведение только множителем отличается от формы Киллинга. Квадратный корень из якобиана экспоненциального отображения есть

7(Yл sin llXII

J (X л = TXT ■

Неприводимые представления Ti группы G нумеруются числами l = 0,1/2,1, 3/2, ■■■, характер Xl представления Ti есть

X (ех) sin(21 + 1)IIX 1

Xl(e > = sin |XI ■

Формула Кириллова в нашем случае есть

У ei^,x')Xi(eX) J(X) dX = 4п2 • S(m2 - (2l + 1)2),

где S(t) - дельта-функция Дирака на прямой, dX = dx.dx2dx3, интеграл берется по R3. В частности, для l = 0 имеем

22

У ei{t’x)J(X) dX = 4^2 • 5(||£||2 - 1)

Дифференцируя это по и принимая во внимание, что матричные элементы представления Т1 являются линейными функциями от Ж1,Ж2,Жэ, мы получаем

I ег^Т(X)У(X) dX = -8п2г • Т(У) • ¿'(||£||2 - 1),

где У = ^¿1 + ^2^2 + ^¿3.

Асимптотическое разложение преобразования Березина для пространств ранга два 1

© С. В. Цыкина

В [2] мы рассматривали полиномиальное квантование на пара-эрмитовых симметрических пространствах О/Н, где О = БОо(р,д), связная компонента единицы Не есть

хРабота поддержана Российским Фондом Фундаментальных Исследований: гранты 05-01-00074a, 07-0191209 ЯФ_a, Голландской Организацией Научных Исследований (КШС): грант 047-017-015, Научными Программами "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы": проект РНП.2.1.1.351 и Темплан N0. 1.5.07.