Конечномерные пространства функций на двумерных алгебрах, инвариантные относительно движений Текст научной статьи по специальности «Математика»

Одним из основных шагов в доказательстве теоремы служит интегральное представление многочленов из Vim:

f (z )= f Kim(z,C )F (Z) dZ,

Jz

здесь F - обобщенная функция на группе Z, сосредоточенная в единице E, в этой точке с = 0, s = 0, t = 0. Ядро Klт m(z,Z), z,Z G Z, имеет следующее выражение: пусть z имеет параметры с, s, t, см. (1), а Z имеет параметры a, и, v, пусть J - диагональная матрица порядка n — 2 с диагональю {-1,1, ■ ■ ■ , 1}, тогда

Klm(z, Z) = (1 — sJv + aac)1 (1 — uJt + ca)m.

Таким образом, ядро Kimm(z, Z) служит производящей функцией для многочленов из V,т. В частности, дельта-функция 8(z), сосредоточенная в точке E, переходит в 1.

В работе [1] рассматривались представления Tim с l = m, такие представления используются при изучении полиномиального квантования на G/H.

Литература

1. Н. Б. Волотова. Индикаторные системы для представлений вырожденных серий линейной группы. Вестник Тамбовского унив. Сер.: Естеств. и техн. науки, 2007, том 12, вып. 4, 430-432.

2. Д. П. Желобенко. Компактные группы Ли и их представления. М.: Наука, 1970.

УДК 517.98

Конечномерные пространства функций на двумерных алгебрах, инвариантные относительно

1

движений 1

© Д. С. Тугарёв

Ключевые слова: двумерные алгебры, группа движений, оператор Лапласа

Описываются конечномерные пространства функций на алгебрах обобщенных комплексных чисел, инвариантные относительно группы движений

A description of finite dimensional spaces of functions on algebras of generalized complex numbers invariant with respect to a motion group is presented

1 Работа поддержана Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП.2.1.1.351 и Темпланом 1.5.07.

Пусть А - алгебра обобщенных комплексных чисел г = х + іу, і2 = а + Ї2/3. Она изоморфна одной из трех алгебр С, О, Л - алгебре комплексных (і2 = — 1), двойных (і2 = 1), и дуальных чисел (і2 = 0), соответственно. Число г = х — іу называется сопряженным числу г = х + іу. В качестве координат на А можно взять г и г.

Показательная функция ех определяется как сумма ряда (гп/п!). Пусть

О - группа "движений" алгебры А: она порождается параллельными сдвигами и умножениями на вгі, Ь Є К ("вращениями"). Оператор Лапласа

д а2

dzdz

инвариантен относительно группы О. В координатах х,у на алгебрах С, О, Л оператор Лапласа есть соответственно

д2 д2 д2 д2 д2

+

dx2 dy2 dx2 dy2 dx2

Для алгебры Л инвариантным оператором является также А1 = d/dx.

Опишем конечномерные пространства V функций f Є C^(A), инвариантные относительно G.

Пространство V, инвариантное относительно группы G, назовем неразложимым, если его нельзя представить в виде прямой суммы подпространств V1 и V2, инвариантных относительно G.

Назовём неразложимое пространство V, инвариантное относительно группы G, слабо неразложимым, если не существует подпространств V1 и V2, инвариантных относительно G, с пересечением Vo = V1 П V2, таких, что V/Vo = V1/V0 + V2/V0.

Теорема 1.1 Пусть A есть C или D. Всякое конечномерное слабо неразложимое инвариантное относительно G пространство V состоит из многочленов f (z,z) степени ^ k по z и степени ^ m по z. Его размерность равна (k + ^(m + І).

Таким образом, пространство V есть пространство решений системы уравнений:

д\ к+1 Ґд\ m+1

Tz) f = 0'{rn) f = 0-

Возьмем в V базис, состоящий из одночленов zrzs, r ^ k, s ^ m. В этом базисе оператор Лапласа А имеет жорданову нормальную форму, количество жорда-новых клеток равно k+m+1, все жордановы клетки имеют собственное число 0. Базис для одной клетки образован одночленами zrzs с фиксированой разностью r s.

Теорема 1.2 Пусть А = Л. Всякое конечномерное слабо неразложимое инвариантное относительно О пространство V состоит из многочленов f (х,у) степени ^ т по у и степени ^ к + т по совокупности х,у. Его размерность равна (к + 1 + т/2)(т + 1).

Таким образом, пространство V есть пространство решений системы уравнений:

д \ т+1 / д д \ к+т+\

ду) ^ 0 (удх + ду) ^ 0'

Возьмем в V базис, состоящий из одночленов хгув, г + 5 ^ к + т, в ^ т. В этом базисе оператор Ді имеет жорданову нормальную форму. Базис для одной клетки образован одночленами хгуя с фиксированным в, количество жордано-вых клеток равно т +1, для всех клеток собственное число есть 0.

УДК 517.98

Вычисление собственных чисел преобразования Березина 1

( С. В. Цыкина

Ключевые слова: симплектические многообразия, псевдо-ортогональные группы, полиномиальное квантование, преобразование Березина.

Мы рассматриваем полиномиальное квантование на пара-эрмитовых симметрических пространствах G/H с псевдоортогональной группой движений G = SOo (p, q). Мы вычисляем собственные числа преобразования Березина на неприводимых конечномерных подпространствах.

We consider polynomial quantization on para-Hermitian symmetric spaces G/H with the pseudo-orthogonal group G = SOo (p, q). We compute eigenvalues of the Berezin transform on irreducible finite dimensional subspaces.

Мы рассматриваем полиномиальное квантование на пара-эрмитовых симметрических пространствах О/И с псевдоортогональной группой движений С = ЯО0(р, д). Все такие пространства (с данной О) получаются факторизацией из "самого большого" пространства О/И с И = ЯО0(р — 1,д — 1) х ЯО0(1,1). Размерность всех этих пространств О/И равна 2п — 4, где п = р + д, сигнатура

хРабота поддержана грантами: РФФИ 07-01-91209 ЯФ_а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП.2.1.1.351 и Темпланом 1.5.07.