CC BY
41
Подставив (3.3), (3.4) в (3.2), получим требуемую формулу (3.1). □
УДК 517.98
Конечномерный анализ на комплексном
гиперболоиде 3
© О. В. Гришина
Ключевые слова: комплексный гиперболоид, представления, сферические функции, гармонические многочлены
Исследован конечномерный анализ на комплексном гиперболоиде в C3, он связан с разложением на неприводимые составляющие тензорных произведений конечномерных представлений группы SL(2, C).
Finite dimensional analysis on the complex hyperboloid in C3 is investigated, it is related to decomposition into irreducible constituents of the tensor products of finite dimensional representations of the group SL(2, C).
В этой работе мы переносим на комплексный гиперболоид результаты работы [2] о конечномерном анализе для вещественного гиперболоида в трехмерном пространстве. Этот анализ связан с разложением на неприводимые составляющие тензорного произведения произвольного неприводимого конечномерного представления группы ЯЬ(2, С) и его контраградиентного. Такие тензорные произведения реализуются в многочленах на гиперболоиде. Мы находим действие соответствующих сплетающих операторов (преобразований Пуассона и Фурье), вычисляем сферические функции и устанавливаем "формулу Планшереля".
§ 1. Представления группы ЯЬ(2, С)
Приведем некоторые факты о представлениях группы О = ЯЬ(2, С), см., например, [1]. Группа О состоит из комплексных матриц
а8 — в! = 1- (1-1)
3Работа поддержана грантами: РФФИ 07-01-91209 ЯФ_а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП.2.1.1.351 и Темпланом 1.5.07.
Для такой матрицы д обозначим через 'д матрицу, получающуюся перестановкой а с 8 и в с 7:
8 7
дд в а
Соответствие д ^ д есть инволютивный изоморфизм группы О на себя. Его можно получить так: д = 1д1, где I
I = (0 г
1 V1 о
Нам потребуются подгруппы Z, Н, N группы О, состоящие соответственно из матриц
'10\ (а 0 \ /1 п
С 1 ) , V 0 а-1 ) , ^01
Алгебра Ли 0 группы О состоит из из комплексных матриц X со следом
0. Алгебра 0 есть прямая сумма 0 = з + ^ + п, где подалгебры 3, (), п состоят соответственно из матриц
00 \ ( А 0 \ ( 0 п
С 0 ) , ^ 0 —А ) , ^00
Мы будем использовать два дробно-линейных действия группы О на комплексной плоскости С:
_ ах + 7 ^ ^ 8х + в
х ^ г = х • д = —----, х ^ а = х •а =--------.
вх + 8 1х + а
Пусть I -целое или полуцелое неотрицательное число, т. е. 21 Е N. Мы обозначаем N = {0,1,2,...}. Пусть V - пространство многочленов <^(х) от х степени ^ 21, а V1 - пространство многочленов ф(~х) от х степени ^ 21. Одночлены 1,х,... ,х21 и 1,х,... ,х21 образуют базисы в VI и V1, соответственно, так что размерность обоих этих пространств равна 21+1. Аналитическое представление П1 группы О действует в пространстве VI по формуле
Mg)^)(z) = ^(z • g)(Pz + 8)
2l
Антианалитическое представление ni группы G действует в пространстве Vi по формуле
(щ(дУф)(г) = ф(г^д )(pz + 8)21,
Пусть теперь 2l1, 2l2 Е N. Представление nlltl2 = nll ® nl2 действует в пространстве Vlltl2 = Vll®Vl2, состоящем из многочленов f (z,z) двух переменных z и z степени ^ 2li и ^ 2l2, соответственно, по формуле
(nli,l2(g)f)(z,z) = f (z • 9,zTg)(Pz + 8)2^(ez + 8)212■
Следовательно, nl = nl 0, nl = n0,l. Базис в Vll,l2 состоит из одночленов {zkzm}, где 0 ^ k ^ 2l1, 0 ^ m ^ 2l2, так что dim Vll^2 = (2l1 + 1)(2l2 + 1).
Вместе с представлениями пі1 ,і2 рассмотрим представления тгі1,і2 (контраградиентные представления):
піі, і2 (д) = піі, і2 (?)•
Все представления пі1, і2 и , і2 неприводимы. Всякое неприводимое представление группы О эквивалентно одному из пі1, і2. В частности, представление , і2 эквивалентно
представлению пі1,і2 - с помощью оператора пі1,і2 (I), т. е. перехода от f (г, г) к инверсной функции f(z,z) = f (1/г, 1/г)г2і1г212 .
В пространстве Уі одночлены 1 и г2і являются соответственно минимальным и максимальным векторами относительно представления пі, т. е. аннулируются соответственно подалгебрами 3 и п, относительно представления Пі таковыми являются одночлены г21 и 1. Следовательно, в пространстве Уі1 і2 одночлены 1 и г2і1 г212 являются соответственно минимальным и максимальным векторами относительно представления пі1,і2 и максимальным и минимальным векторами относительно представления ТГі1,і2 . Все эти одночлены являются собственными векторами для подгруппы Н. Для представлений пі и Пі инвариант относительно Н в пространстве Уі существует при целом I, это - одночлен
Єї (г) = (1.2)
следовательно, для представлений пі1,і2 и тгі1,і2 инвариант относительно Н в
пространстве Уі1,і2 существует при целых 11, 12, это - одночлен
Єі1,і2 (г,г) = гІ1 ?і2 • (1.3)
Этот Н-инвариант - единственный с точностью до множителя.
Представление пі сохраняет следующую невырожденную билинейную форму Аі на Уі: на базисных элементах она задается формулой
Аі (гт,гр) = (-1)т(2/) 6т,2і-р, (1.4)
\т/
такая форма - единственная с точностью до множителя. Наряду с ней рассмотрим форму
Аі(Ф,Ф) = Мр/Ф'),
так что
-і
Л[ ( хт,хр) = (—1)4 20 8т.„.
\ш/
(8т,р - дельта Кронекера). Форма Л1 инвариантна относительно пары (п1,П1):
ЛИп1 (д^^д)^) = Л1(р,ф), р,ф Е Vl, д Е О
Билинейные формы Л1 и Л1 порождают билинейные формы (невырожденные) Л1г, 12 и Л1112 на У1г, 12. На базисных элементах они даются формулами:
„к—т „,р^я\ I 1\к+т( 211^\ (21,2\ <
= к и1 °Р:21-к ^-т-
А,1М (г*?™, грг") = (-1)‘+"^Л б^-^зі-т- (1.5)
А’км (гкгт, ) = (-1)‘+"(^ ‘ V**я,т.
Форма Л11, 12 инвариантна относительно П11, 12, а форма Л^ 12 инвариантна относительно пары (пк, 12 ,П11, 12), т. е.
Лк 12 Ы12(д)1,п11, 12(д)Щ = л111, 12 (f,h), !,п е , 12, д е О.
§ 2. Тензорное произведение п1 ® щ
В этом параграфе мы рассмотрим тензорное произведение аналитического представления и контраградиентного ему. Пусть 21 е N. Пространство ^ = VI ® VI состоит из многочленов f (С, п) от двух переменных С, п степени ^ 21 по каждой из них. Представление Я,1 = п\ ® Од группы О действует в ^ по формуле
Ні (g)f (І,п) = f (С,П)[(вС + 8)(тп + а)]21 •
Многочлен
N = N(£,П) = 1 - ^ обладает следующим свойством:
N (£,ч)
(2.1)
N (І.П)
Следовательно, многочлен
(№ + 8)(7П + а) Фі = N2і
инвариантен относительно Ні:
Ні(д)Фі = Фі, д Є О. Для всякого к1 = 0,1,... , 21 многочлены
ик = N2і-к пк, Ук =
являются минимальным и максимальным векторами, т. е. аннулируются соответственно подалгебрами 3 и п, и являются собственными векторами для подгруппы Н.
Следовательно, каждый многочлен из пары и* и V* порождает неприводимое
(к)
подпространство Жі в Ж, в котором действует представление п*. Получаем разложение на неприводимые компоненты представления:
Ні = по + пі + ... + п2і
2і к к
и пространства:
где
Жі = Ж(0) + Ж(1) + ... + Ж
ж/к) = N2і-к ^/2.
(2і)
(2.2)
Возьмем на ^ билинейную форму В1, которая есть "тензорный квадрат" формы Л'г, а именно, для чистых тензоров полагаем
В1 (р ® Ф,р1 ® Ф1) = Л (р,ф1)Л1 (Ф,р{), так что 1 1
В1(скпт, Стпк) = (-1)к+т(^ (Ш
и В1 равна нулю на других парах базисных элементов Ск пт. Форма В1 инвариантна относительно Я^
В1 (Е1 (д)^Кг (g)f2) = Bl(fl,f2).
Подпространства ортогональны относительно В1. Обозначим
Щк = В1 (ик ,Ук). (2.3)
Вычисление дает
= кк'2(И - к)!(Я + к + 1)!
Щк ( * (2к + 1)!(2/)!2 ' ( ' )
Аналогично исследуется тензорное произведение антианалитического представления и контраградиентного ему.
§ 3. Тензорное произведение п11, 12 ® 7С11, 12
В этом параграфе мы рассмотрим тензорное произведение произвольного неприводимого конечномерного представления и контраградиентного ему. Пусть 211, 212 е N. Пространство Ш11,12 = Ц1,12 ^У11,12 состоит из многочленов f (С,п,С,п) от переменных С, п степени ^ 211 по каждой из них и переменных С, п степени ^ 212 по каждой из них. Представление Я11у12 = п11 ^ ® 7г1ь12 группы О действует в пространстве Ш11>12 = Vll >12 ® Vll ,12 по формуле
Яьь(g)f (С,п,С,п) = ^(С • д,п •д,С • д,п • щ)[(вС + 8)Ы + ^Г1 х
х [(вС + 8)(тп + а)] 212.
Многочлен
Ф1ь 2 = М211 N *2 инвариантен относительно Я^^:
Як ,к (g)фll = Ф11 Ь. (3.1)
Для всяких к1 = 0,1,... , 211 и к2 = 0,1,... , 212 многочлены
икък2 = м211-^N2Ь-к2пк1 пк2, ук1,к2 = м211-^N2Ь-к2Ск1 Ск2
являются минимальным и максимальным векторами. Следовательно, каждый многочлен из этих двух многочленов порождает неприводимое подпространство
к2 в ий,, х2, в котором действует представление Пк1, к2. Получаем разложение представления Я^^ на неприводимые компоненты (свободное от кратностей):
Rli,к / j nki,k2 ,
где суммирование ведется по 0 ^ k1 ^ 2/i, 0 ^ k2 ^ 2l2.
Возьмем в Wi1, i2 билинейную инвариантную форму Bi1, i2, которая есть "тензорный квадрат" формы Ali i , а именно, для чистых тензоров полагаем
Bii,i2 (/ 0 h,u 0 v) = A'h^i2 {f, v)A'h,i^ (h,u),
поэтому
Bil ,i2 (fkl ik2 nmi nm2, Сmi C2 nkl nk2)
/ 1 Nki+k2+mi+mW 2l1
(_1) 1 ki
" x2^\ "V2l
k2
1 \"V 2l
rn1
-1
и В11 ,^ обращается в нуль на других парах базисных элементов Ск1 С;к2 п™1 п™2. Форма В11 , l2 инвариантна относительно Я^, l2:
Вн, к (Як Л2 (д)и,Як, l2 (д)^) = Вк, к(и,/у).
Обозначим
№k,i2,ki,k2 Bk,k (uki ,k2 , vki,k2 ) *
Это число выражается через fiik, см. (2.3), (2.4):
^ii,i2,ki,k2 №ii,ki • ^i2,k2 *
(3*2)
(3*3)
§ 4. Гиперболоид
Введем в С3 билинейную форму
[х,у] = -Х1У1 + Х2У2 + Хзуз. (4.1)
Обозначим через X и X, гиперболоид [х,х] = 1 и конус [х,х] = 1, х = 0, соответственно. Многообразие X может быть реализовано как множество матриц
1 - хз х2 - х1 \ х2 + х1 1 + х3
с определителем равным нулю. Группа О действует в пространстве матриц Ма^2, С) следующим образом: х ^ д-1хд. На гиперболоиде X она действует транзитивно. Стационарная подгруппа точки
х°=«>.0 ч=2 (01)
есть подгруппв Н. Действие группы О на функции f на X сдвигами обозначим через и:
и(g)f (х) = f (д-1хд), д £ О. (4.2)
Введем на X орисферические координаты п:
х = N-1 (£ + п,£ - п, 1+ Сп),
см. (2.1) для N, отсюда
1 хз + 1
N = 2 ’
в матричном виде получим:
X
К -ІП -п N\ І 1
Эти координаты определены всюду на X, за исключением х3 = -1. Действие х -— д-1хд группы О задается дробно-линейным преобразованием отдельно по каждой переменной І и п:
С — С = С • д, п — п = п ■ д,
поэтому и(д)/(І,п) = /(І,д). Начальная точка х0 имеет координаты І = 0,
П = 0. Элемент д, см. (1.1), переводит х0 в точку с координатами
, 7 в (Ло\
С =т, п =-, (4'3)
о а
так что
N = ао' (4'4)
На X имеется два оператора Лапласа А и А (образующие в алгебре дифференциальных операторов, инвариантных относительно О), где
д2
А = N2 д
дІдп
Обозначим через А и А пространства аналитических и антианалитических многочленов в С3, соответственно. Многочлен / из А назовем гармоническим (относительно (4.1)), если
д2 д2 д2 \ = 0
дх\ + дх2 + дх2/ '
Обозначим через Н пространство гармонических многочленов и через Н -соответствующее подпространство в А. Многочлены из тензорного произведения Н&Н назовем би-гармоническими. Обозначим через Нкі, к2 подпространство в Н ® Н, состоящее из однородных многочленов степени к\ по г и степени к2 по г. Ограничения пространств Н ® Н и Нкі,к2 на X обозначим через (Н ®
H)(X) и Нку, к2 (X), соответственно. Это отображение ограничения - взаимно однозначное соответствие.
Кроме того, пространство ('Н®^,)^) совпадает с пространством ограничений на X всех многочленов на С3.
Пространство Нкук2 (X) инвариантно и неприводимо относительно представления и, см. (4.2), соответствующее представление эквивалентно представлению Пку,к2. Многочлены из этого пространства являются собственными для операторов Лапласа:
Дf = к1(к1 + 1)л дг = к2(к2 + 1)г
Обозначим
ту Ш2
Мт1,т2 =^£ (X) (4.5)
г=0 '=0
Вспомним представление Н,1, 12 и пространство , 12 из § 3. Разделим все многочлены г из , 12 на Ф,у, 12. Мы получим пространство Ф-*2 , 12 рациональных
функций от ^,^,п,п.
Из (3.1) следует, что отображение С : Г ^ Ф-1,2Г сплетает Нг1, 12 и ограничение представления и на Ф-1,2 , ,2.
Теорема 4.1 Ф-1г2 Шгъ12 = Му,ъ2л2.
Доказательство. В силу (4.5) и (2.2) достаточно указать в Ф-1,2 Жг1 ,2 хотя бы один элемент из Нку, к2 для всех к1 = 0,1, ■ ■ ■ , 211, к2 = 0,1, ■ ■ ■ , 212. Таким элементом является минимальный вектор
1 = /п \ку ( п_\к2 = ( х1 - х2\к1 ( х1 - х2
к,12 ик1,к2 V 2 У ^ 2 У ,
см. (3.4), поскольку он принадлежит Нку ,к2. П
§ 5. Преобразование Пуассона. Аналитический случай
Перенесем билинейную форму В, из пространства Ж, в пространство М2, =
М2го с помощью оператора С, и сохраним для новой формы то же обозначение, так что 1 1
в,(Ф-1епт, Ф-1т) = (-1У+т(2') Р) ,
форма В, равна нулю для других пар базисных элементов Ф-1£'пт, где ],т ^
21.
Напишем операторы, сплетающие представление Пк и представление и, действующее на М2, (к ^ 21).
Ядро Пуассона, соответствующее Н-инварианту вк, см. (1.2), определяется по формуле:
Рк(х; ^) = Рк (С,п; *) = (пк (д-1)вк)(z),
где £,п - орисферические координаты точки х = д 1х д. Его явное выражение таково:
рк (І,п;г)
(г - І)(1 - ІгГ к
или
к
N
рк (С.’Г, г) = [х,г/]‘
(5.1)
где у - точка конуса Х0:
г2 + 1 г2 - 1
У = I -----------•---------• г
у I 2 ’ 2 ’
Преобразование Пуассона Рк : Ук ^ М2, определяется следующим образом:
(ркV)(C, п) = Ак(пк(д-1)вк, V) (5^2)
где Ак - билинейная форма (1.4) на Ук. Оно сплетает Пк и и:
РкПк (д) = и (д)Рк ■
Следовательно, по (4.5) его образ есть Нк(X) = Hk)o(X). Обозначим
Ркт =(-1)кРк -гт (б^Э)
По (5.1), (5.2) и (1.4) имеем
**.<£, п) = N-к (т)-1 ± (к)(т -}) ?п~’ ’>к-1 ■ <5-4)
В частности, получаем минимальный и максимальный векторы:
к //- \ к / , \ к
п\ к_ /хі - х^^ _/І\ _(х\ + х2
Ю = 1^^ • Рклк = (, N \ 2
Заметим, что Гк,т(І, п) = Гк,2к-т(п, І). Поскольку Нк(X) неприводимо, значения формы Ві на базисе Гк,т отличаются от значений формы Ак на базисе гт только множителем, который в силу (2.3) равен Щк, см. (2.4), так что по (1.4) получаем
/2к\ -і
В1(Гк,т^ Гк,2к-т) = ( 1)т( ) Щк' (5'5)
\Ш )
Теперь мы можем переписать ядро Пуассона (5.1) следующим образом:
2к /2к\
Рк(І,п; г) = ^2(-1)к+3 ( • ) Гк,2к-3 (І,п) г • (5'6)
3=0
при фиксированном г это есть элемент из Нк (X).
(ГкГ)(г) = В,(Рк( • ; г), Г( • )■
Используя (5.6), получаем
2к (2к)
(ГкГ)(г) = 5](-1)к'+' ( . В,{Гк,2к-',Г) г'■ (5,7)
'=0 '3'
Преобразование Фурье Гк сплетает и и Пк и является сопряженным к преобразованию Пуассона:
В, (Г, Рк V) = Ак (Гк Г,р), (5-8)
где V £ У,, Г £ М2,; композиция этих двух преобразований есть скалярный
оператор:
Гк рк = 1^1,к E,
эти свойства получаются из (5.7) и свойств преобразования Пуассона.
Следовательно, если Г £ Нк (X), то
Вг (Г, Г) = ц—Ак (Гк Г, Гк Г),
а для произвольного Г £ М2, имеем
2,
В, (Г, Г) = £ ^Ак (Гк Г, Гк Г )■ к=0
Эту формулу можно рассматривать как формулу Планшереля, мерой Планшереля
служит ^-к1.
Под действием преобразования Пуассона Н-инвариант вк переходит в сферическую функцию:
Фк = Рквк ■ (б^)
По (5.3) имеем Фк = (-1)кГк,к, поэтому
Фк(х) = (-1)кN-k(^к) 1 £ (к)2«п)к-
= 1)^к) Рк (хз),
где Рк (£) - многочлен Лежандра. Сферическая функция инвариантна относительно Н. Ее можно рассматривать как "обобщенную функцию действующую на Г £
М2г: в самом деле, из (5.9) и (5.8) получаем
В,(Фк ,Г ) = Ак (вк, Гк Г )■
Сдвинутая сферическая функция и(д-1)Фк1,к2 есть аналог ядра Бергмана:
2к (2к )
и(д-1)Фк(и,у) = ^2(-1)3+д( Л • Гк,3(и,у)Гк,2к-3(£,п), (5Л0)
'=0 \ 3 /
где £,п - орисферические координаты точки х = д-1х0д.
Определим для всякой Н-инвариантной функции Q £ М2, свертку с Q, это следующий оператор Г ^ Q * Г в М2г:
^*Г )(£,п) = Вг (и (д-1^,Г )■
В частности, свертка с функцией Ф-1 - единичный оператор, поэтому Ф-1 играет роль дельта-функции. Сдвинутая функция и(д-1)Ф-1 - следующая функция от двух пар переменных (назовем ее ядром Березина):
К(£ ч Г(1 - ип)(1 - &)12г
К,(£,п; и,у) =
К1 - Сп)(1 - иь)\
или, в терминах точек гиперболоида,
к( \ ([х,У\ + 1^ 21
Кг(х,У) = ( -----2"
Таким образом, ядро К, обладает воспроизводящим свойством:
В, (К,(г; • ),Г ( • )) = Г (г), Г £ М2, ■
Для сферической функции Фк свертка с Ц-1Фк является проектированием в М2г на Нк(X) (это следует из (5.7) и (5.10)).
Следовательно, мы получаем разложение:
2, 11
Ф- 1 = X] *Ф*
к'
к=0
Эту формулу тоже можно рассматривать как формулу Планшереля.
С точки зрения спецфункций эта формула эквивалентна разложению по многочленам Лежандра:
£« + '>(Г-ЖГ+ТТи> Р»>■
Для преобразования Пуассона мы можем написать дифференциальную формулу:
<PkV)<£,V)-СкЫ)к(±)к 1^(1-+]) в + *)2к, М!)
где ск = к!/(2к)!, а £,п - орисферические координаты точки х = д-1х0д. Достаточно доказать эту формулу для базисных функций гт:
(И \ к
ТГг) „0(аг + 7 № + 0)
Иг)
Последняя формула следует из (5.3), (5.4), (4.3), (4.4).
В этом параграфе мы действуем по схеме § 5 и используем обозначения из § 5. Перенесем билинейную форму В11,\2 из пространства , 12 в пространстве М4211, 212 с помощью оператора С, и сохраним для новой формы то же обозначение, так что
Вг I (Ф-1^1 ,р2г\тг'Пт2, Ф-1£т1 пк1 г]к2) =
(^'цу'еу'е'-'
форма В\1, I, равна нулю для других пар базисных элементов.
Ядро Пуассона, соответствующее Н-инварианту 9к1 кк,, см. (1.3), определяется по формуле:
рк1,к, (,,п,1,т г,г) = (^к1,к, (9-1)0к1,к,)(г,г)
где - орисферические координаты точки х = д-1х°д. Его явное выражение таково:
к2
— I Г — , III — ) * (Г — ,111 — 7П1
Р| /А А - -\
к1,к2( г,г) =
или
Рк1, к2(х,х;г,г) = [х,у]к1 [х,у]к2,
где у - точка конуса из § 5.
Преобразование Пуассона Рк1,к2 : Ук1,к2 ^ М211,212 определяется следующим образом:
(Рк1,к2ф)(,>п>£>п) Ак1,к2 (пк1 ,к2 (д ~)®к1,к2 , Ф)
где Ак1 кк2 - билинейная форма (1.5) на Ук1, к2. Оно сплетает пк1,к2 и и. Следовательно, по (4.5) его образ есть Нк1,к2(X).
Обозначим:
Рк1,к2,тит2 = (-1)к1+к2Гкък2 гт1 гт2
Имеем
Рк1 к2 т1 т2 (,,П,,,П) = Ркът1 (,,п) • Рк2,т2(,,п).
В частности, получаем минимальный и максимальный векторы:
> - 0(1 - ІПЇ к1 > - С)(1 - хпУ
N . N _
Рк1,к2,0 ,0 Рк1,0Рк2,0 ) Рк1,к2,2кі,2к2 Рк1,2кі Рк2,2к2 ■
Поскольку Нкі, к2 (X) неприводимо, значения формы ВІ1,І2 на базисе Рк1,к2,т1 ,т2 отличаются от значений формы Лк1гк2 на базисе XтіХ™2 только множителем, который в силу (3.2) равен /лІ1 ,І2,к1,к2, см. (3.3), так что по (1.5) получаем
В (Р Р ) (_ 1)т1+т2 ((2^2
ВІ1,І2 (рк1,к2,т1,т2 )гк1,к2,2к1— т1,2к2— т2) ( 1) І II
\rnij \Ш2/
Теперь мы можем переписать ядро Пуассона следующим образом (см. (5.6)):
рк1 м (,,п,1,тг,г) = рк1 (,,п; г)рк2 (,,П; Ю
Определим преобразование Фурье Гк1,к2 : М.2г1>212 ^ Ук1,к2:
(^к1,к2р)(г,г) = Вк, 12 (рк1,к2( • ; г,г),Р)
Подставляя ядро Пуассона, получим
2к1 2к2 /Ок \ \
(Тк,мР)(г,г) = £ £(-1)к.+к2+->+« ‘ * В,ь11 ,Р) .
.7=0 9=0 \ 3 / \ Ч /
Преобразование Фурье , к2 сплетает и и Пк1, к2 и является сопряженным
преобразованию Пуассона:
В11,12 (Р, Рк1, к2 ф) Ак1, к2 (^"к1, к2 Р,ф),
где ф € У^ г12, Р € М2г1, 212. Композиция этих двух операторов есть скалярный оператор:
Гк1,к2Рк1,к2 ^11,12 ,к1,к2 Е'
Для произвольного Р € Л4211,212 имеем
211 212
В11,12 (Р,Р ) = X X Ак1,к2 (^к1,к2 Р, Рк1,к2 Р )•
к1=0 к2=0
Эту формулу можно рассматривать как формулу Планшереля, мерой Планшереля
служит .
Под действием преобразования Пуассона Н-инвариант дк1,к2 переходит в сферическую функцию:
Фк1,к2 Рк1,к2 @к1,к2 •
Имеем Фк1,к2 = (-1)к1+к2Рк1,к2,к1,к2 , поэтому
Фк,.к, (х) = (-1)к'1+к2(Рк1 (х3)Рк, (хз)
где Рк (£) - многочлен Лежандра. Сферическая функция инвариантна относительно
Н. Ее можно рассматривать как "обобщенную функцию действующую на многочлены
Р € М211,212 :
В11,12 (Фк1 ,к2 ,Р) Ак1,к2 (^к1 ,к2 , ^к1,к2Р)•
Определим для всякой Н-инвариантной функции Q € М.211,212 свертку с Q, это следующий оператор Р ^ Q * Р в М.2г1>212:
)(,,п,Ы = В1112 (и (д-1ЮР),
где - орисферические координаты точки х = д-1х0д.
В частности, свертка с функцией Ф-1г2 - единичный оператор, поэтому Ф-1г2 играет роль дельта-функции. Сдвинутая функция и(д-1)Ф-1г2 (назовем ее ядром Березина) есть (см. (5.11))
К11,12 (,,п,и,ъ; ,,п,й,^) = К11 (,,п; и,у)К12 (,,п,й,у).
Ядро Кг112 обладает воспроизводящим свойством:
В11,12 (К11,12 (г,г; • ),Р( • )) = Р(z,z), Р €М211,212 •
Следовательно, получаем разложение:
211 212
Ф-,12 ^ у ^ у №1-1,12,к1,к2 Фк1,к2
к1=0 к2=0
Эту формулу можно также считать аналогом формулы Планшереля.
Для преобразования Пуассона мы можем написать дифференциальную формулу:
(Тк,м№,п,Ш = Ск,м(-1)к'1+к4^ ‘ (д \ (? г)(в2+г)2к,^б)2*,
где ск1,к2 = ск1 ск2, см. § 5, и связаны с д формулами (1.1), (4.3).
Эта формула получается из формулы для базисных функций, которая доказывается аналогично соответствующей формуле из § 5:
(VklMzmizm2)(C,V,C,n) = ckl(-1)kl(^) (az + Y)mi(0z + 6)2kl-mi x
d
kl
\2ki-mi
z=0
X Ck2(-!)k2(^) (az + y)m2(ez + 8)
d
k2
dz J
2k2-m2
z=0
Литература
1. Д. П. Желобенко. Компактные группы Ли и их представления.
2. V. F. Molchanov, N. B. Volotova. Finite dimensional analysis and polynomial quantization on a hyperboloid of one sheet. Вестник Тамбовского университета. Сер. Естеств. и техн. науки, 1998, том 3, вып. 1, 65-78.
