CC BY
37
УДК 517.98
ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ПУАССОНА ДЛЯ ТЕНЗОРНЫХ ПРОИЗВЕДЕНИЙ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ГРУППЫ МАТРИЦ ВТОРОГО ПОРЯДКА
© В.Ф. Молчанов
Ключевые слова: группы и алгебры Ли; представления групп Ли; тензорные произведения; сплетающие операторы.
Вычислены явно сплетающие операторы, дающие разложение на неприводимые составляющие тензорного произведения неприводимых конечномерных представлений группы БЬ(2, К.) . Эти операторы оказываются дифференциальными операторами
В настоящей работе мы пишем в явном виде преобразования Пуассона для тензорного произведения Тг 0 Тт неприводимых конечномерных представлений представлений группы О = 8Ь(2, М) со старшими весами I и т . Известно, что это тензорное произведение раскладывается следующим образом:
Т1 0 Тт = Т\1-т\ + Т\1-т\+1 + • • • + Т1+т-1 + Т1+т■ (1)
Наша цель состоит в том, чтобы найти операторы, сплетающие представления Т% из правой части (1) с представлением Т 0 Тт . Эти операторы мы называем преобразованиями Пуассона. Ответ дается теоремой 1. Оказывается, что эти операторы являются дифференциальными операторами порядка к + т — I. Для т = 1 такие операторы были написаны в нашей работе [2]. Сейчас мы используем другой метод. Мы опираемся на наши работы [1]
и [3].
Группа О = 8Ь(2, М) состоит из вещественных матриц второго порядка с определителем единица:
а в 7 5
Всякое конечномерное неприводимое представление Т1 группы О задается числом I (стаpшим весом), таким, что 21 € N = {0,1, 2,.. .} . Оно действует в пространстве У многочленов ф(х) от х степени ^ 21 (так что ёт У = 21 + 1) по формуле
(Т1(д) Ф)(х) = Ф(х)(вх + 5)21, х = х • д = ОХ + 5 , (2)
мы считаем, что О действует справа.
Тензорное произведение Шгт = Уг 0 Ут состоит из многочленов ф(х, у) степени ^ 21 по х и степени ^ 2т по у. Представление Т\т = Тг 0 Тт группы О действует в Ш\т по формуле
(Тгт(д)ф) (х, у) = ф(х, у) (вх + 5)21 (ву + 5)2т.
Мы будем использовать следующее обозначение для "обобщенных степеней" (мы предпочитаем его символу Похгаммера):
а[,5] = а (а + 1)... (а + в — 1).
Теорема1. Пространство Ш\т = У\ 0 Ут разлагается в сумму подпространств:
у 0 Ут = + - - - + <т-1 + Кт'. (3)
2613
инвариантных и неприводимых относительно Тгт = Тг 0 Тт . Ограничение представления Тгт на Ш(,т'> из (3) эквивалентно Т% , так что имеет место формула (1) . Сплетающие операторы М(,т : У% даются следующей формулой:
к+т-г /,
(М<‘-т>ф) (х,у) = ■£ (к + т —(к +1 — т +1)1"1
'А. ) _йх )
{ й \ К+т—1—в
х (у — х)2т-3 ) ф(х). (4)
Дальше идет доказательство этой теоремы.
Меняя в (2) а с 5 и в с 7, мы получим контраградиентное представление Т группы
О:
(ГгЫф) (х) = ф(х) (7х + а)21,
где
_ _ 5х + в - ( 5 7 \
х = х • д =------, а =\ 0 .
7х + а \ в а )
Представление ф эквивалентно представлению ф с помощью отображения
ф ^ ф, ф(х) = х21 ф . (5)
Алгебра Ли а группы О состоит из вещественных матриц второго порядка со следом 0. Базис в ней состоит из матриц:
- = (0 0) • -1=(/ —0/2) • -+=(0 1)
Для этих базисных элементов из а имеем
г
Тг(Ь1) = —ф (Ь1)= х — — I, (6)
г
Т,(Ь+)= Т,(Ь-)= — х2 — + 21 х, (7)
Т,(Ь-)= Т(Ь+) = Г. (8)
Теперь нам будет удобно вместо тензорного произведения Тгт = ф 0 Тт взять эквивалентное ему тензорное произведение Я[т = ф 0 Тт . Вместо переменных х, у возьмем переменные С, п, соответственно, и вместо ф пишем / . Представление Кгт действует в Шгт по формуле
(Rlm(g)/) (С, п) = / ((,ф) (К + 5)21 (тп + а)2т.
Представление Я[т и пространство Шгт разлагаются по формулам (1) и (3).
«Посадим» Ягт и Шгт на однополостный гиперболоид X в М3 , задаваемый уравнением —х\ + х2 + х3 = 1. Реализуем его как множество матриц
х =4 1 — х3 х2 — хЛ (9)
2 I х2 + х1 1+ хз ) ()
2614
с определителем равным нулю. Группа О действует на нем: х ^ д-1хд , причем транзитивно. Стационарной подгруппой точки х0 = (0, 0,1) является подгруппа Н диагональных матриц
Л-1 0
Л0 Л0 .
Введем на X орисферические координаты £, п :
х = 1{ П)' Н = ! — СП- (10)
Действие группы О в этих координатах разделяется: если точка х имеет координаты С, П , то точка д-1хд имеет координаты С, Т. Базисная точка х0 имеет координаты С = 0, п = 0 . Элемент д € О переводит х0 в точку с координатами С = 7/5 , п = в/а , так что N = (а5)-1 . В частности, таковым является элемент
д, = ( ^ пN ) . (11)
Отображение
/ ^ р = N-2т/, / € Шгт, (12)
переводит Шгт в пространство Нгт некоторых рациональных функций Р от С,п .В силу
(9) и (10) эти рациональные функции являются многочленами от х1 , х2 , х3 на X .В
частности, многочлену / = 1 отвечает многочлен 2-2т(х3 + 1)2т .
Отображение (12) сплетает Я[т и представление иг , г = т — I, группы О , индуцированное характером Н ^ Х-2г подгруппы Н . В орисферических координатах представление иг есть
(иг(д)Р)(С,п) = р(1ф) (вС + 5)-2г.
Обозначим через Н(,т образ подпространства при отображении (12).
Пусть Z обозначает пространство обобщенных функций на М , сосредоточенных в точке Ь = 0. Оно состоит из линейных комбинаций дельта-функции 5(Ь) и ее производных 5(р\Ь) . Формулы (6), (7), (8) определяют представление, обозначим его снова Т, алгебры Ли а в Z . Более того, оно определено не только для 21 € N , но и для произвольных I € М . Нам потребуются целые и полуцелые отрицательные I. В частности, представление Т-к-1 , 2к € N , действует на 5(р\ь) следующим образом:
Т-к-1 (Ьг) 5(р'(Ь) = (к — р) 5(р'(Ь),
Т-к-1 (Ь+) 5(р) (Ь)= р (2к + 1 — р) 5(р-1'(Ь),
Т-к-1 (Ь-) 5(р) (Ь) = 5(р+1'(Ь) .
Оно имеет в Z инвариантное подпространство, натянутое на 5(р (Ь) , р ^ 2к + 1. Фактор-пространство по нему обозначим через Z-к-l . Фактор-представление Т-к-1 в Z-к-l эквивалентно Тк , поэтому оно поднимается на группу О .
Рассмотрим билинейную форму
Р (Ь) / (Ь) йЬ (13)
-с©
2615
на Z х Ук . Она инвариантна относительно пары (Т-к-1,Тк) , то есть
{Т-к-1 (д-1) Р,/} = {Г,Тк (д) /}, д € О. (14)
Обобщенная функция 5(к+т\Ь) (заметим, что к + г есть целое число) является собственной функцией для подгруппы Н с собственным значением Х2г . Поэтому отображение Рк,г : Ук ^ Нгт , задаваемое формулой
(Рк,г/) (х) = (—1)к+г {Т-к-1 (д-1) 5(к+г , /},
где х €Х, д, см. (11), сплетает Тк с иг . Следовательно, образ этого отображения есть как раз Н^,т . В силу (14), (13), (11), (2) мы имеем:
(Pbrf) (x) = (|)
k+r
г=о
Вычисление (например, с помощью индукции по к + г ) дает
к+г ч
(Рк,г/) (х) = £ Г + М (к — г + 1)М (^)‘ /(K+•->(()■ (15)
8=0 ^ '
Вернемся теперь от гиперболоида к Т\ 0 Тт . Для этого по (5) надо в (15) взять С = х ,
п = 1/у (так что N = 1 — х/у), вместо / написать ф и умножить (в силу (12)) правую
часть (15) на N2т. Мы получим (4).
ЛИТЕРАТУРА
1. Молчанов В.Ф., Волотова Н.Б. Конечномерный анализ на однополостном гиперболоиде. Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. 2010. Т. 15. Вып. 1. С. 375-379.
2. Молчанов В.Ф., Сарычева Е.В. О тензорных произведениях представлений группы матриц второго порядка. Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. 2013. Т. 18. Вып. 1. 120-124.
3. Molchanov V.F., Volotova N.B. Finite dimensional analysis and polynomial quantization on a hyperboloid of one sheet. Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. 1998. Т. 3. Вып. 1. 65-78.
БЛАГОДАРНОСТИ: Работа поддержана РФФИ (проект № 13-01-00952-а) и Госзадани-ем Минобрнауки 1.3445.2011.
Molchanov V.F. POISSON TRANSFORMS FOR TENSOR PRODUCTS OF REPRESENTATIONS OF THE SECOND ORDER MATRIX GROUP
We compute explicitly intertwining operators that decompose tensor products of irreducible finitedimensional representations of the group SL(2, R) into irreducible constituens. These operators turn out to be differential operators
Keywords: Lie groups and Lie algebras; representations of Lie groups; tensor products; intertwinning operators.
2616
