О тензорных произведениях представлений трехмерной группы Лоренца Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.98

О тензорных произведениях представлений трехмерной группы Лоренца 1

© В. Ф. Молчанов, Е. В. Сарычева

Ключевые слова: группы и алгебры Ли; представления групп Ли; тензорные произведения; сплетающие операторы.

Написаны в компактной реализации сплетающие операторы, дающие разложение на неприводимые составляющие тензорного произведения неприводимых конечномерных представлений группы SOo(l,2). Эти операторы оказываются дифференциальными операторами.

В настоящей работе мы пишем в компактной реализации преобразования Пуассона (сплетающие операторы) для тензорного произведения Т) ® Тт неприводимых конечномерных представлений группы SOo(l,2) со старшими весами

I и т. Эти формулы справедливы также и для случая, когда одно из представлений бесконечномерно. В [2] такие формулы были написаны для т — 1. Для некомпактной реализации преобразования Пуассона для тензорного произведения T)(g>Tm представлений группы SL(2,R) (с произвольными /, т) были написаны в нашей работе [1], см. также [3].

Напомним некоторый материал из [1]. Группа G = SL(2,M) состоит из вещественных матриц второго порядка с определителем единица:

9= ( “ j )> <*6-01 = 1.

Всякое конечномерное неприводимое представление Т[ группы G задается числом I (старшим весом), таким, что 21 е N = {0,1,2,...}. Оно действует в пространстве Vi многочленов /'(.т) от х степени ^ 21 (так что dim V/ = 21 +1) по формуле

(Ti(g) /) (ж) = f(x) [рх + 8)21, х = х-д^ J ,

мы считаем, что G действует справа.

Тензорное произведение Wlm = Vl ® Vrn состоит из многочленов f(x, у) степени ^ 21 по х и степени ^ 2т по у. Представление Т; ® Тт группы G действует в Wlm п0 формуле

(Tlm(g)f) (х, у) = fix, у){рх + S)21 (ру + 5)2т.

'Работа поддержана грантом РФФИ 13-01-00952 и Госзаданием Минобрнауки 1.3445.2011.

Обозначим

г = т — I.

Мы будем использовать следующее обозначение для "обобщенных степеней" (мы предпочитаем его символу Похгаммера):

= а (а + 1)... (а + s — 1),

здесь а - число или оператор, s Є N.

Пространство Wim = Vi®Vm разлагается в сумму подпространств:

v,®vm = + и$“> +... + wfrzh +

инвариантных и неприводимых относительно Ті ® Тт. Ограничение представления Ті ® Тт на эквивалентно 71, так что

Ті ® Тт = ТИ + ТИ+1 + . . . + T;+m_ 1 + Т;+тга.

Теорема 1 ([1]) Сплетающие операторы М: Vk —> даются следую-

щей формулой:

(М^’т)/) (ж, у) = (к * Г) _ г + 1)Н х

5=0 '

/ J \ /c+r-S

/(х)-

Этот оператор можно записать в виде произведения к + г линейных дифференциальных операторов, а именно,

/ \ Г rl 1

(Mfm)/j (*,у) = (У - z)Z+m“fc |(У - ®) ^ + к - г + 1 j /(ж),

подробно:

(м^’т)/) (ж, у) = (у- х)1+т~к |(y-x)^ + A;-r + l| х

х ~ Х^^х + к ~ Г + 2} ' " ~ X^~cL + 2к} ^

Перейдем теперь к компакт,ной реализации представлений TJ. Здесь мы должны считать, что І Є N. Пусть С - конус в R3, задаваемый условиями —х\ + х\ + х\ = 0, Xi > 0. Реализуем R3 как множество матриц

х = 1( ~ХЗ X2-Xl \

2 \ х2 + Xi х3 )’

Группа G действует сопряжениями: х i-» g~lxg. Это дает гомоморфизм g i-> g группы G на трехмерную группу Лоренца G = SOo(l,2). На конусе действие транзитивно.

Для а Є С пусть Т>а обозначает пространство функций ф(х) на конусе С класса С°° однородных степени а, то есть г1>(их) = иаф{х), и > 0. Рассмотрим на конусе два сечения У и 5 плоскостями Х\ — Х2 = 1 и Х\ = 1, соответственно. Точки у Є У и в Є 5 имеют вид:

Отображение вдоль образующих переводит у в в так, что £ = ^ (а/2).

Пространство Ц многочленов /(£) от t степени ^ 21 получается при ограничении на У функций из некоторого подпространства в V). Ограничения на 5 этих функций дают пространство, обозначим его снова V/, состоящее из линейных комбинаций экспонент егра, где р - целое число, \р | ^ I. Мы будем также писать <р(а) вместо Многочлену /(£) из V/ отвечает функция

индекс 1 указывает первую координату. Тензорное произведение Ті ® Ттп действует в пространстве Уі®Ут функций (р(а, /?).

Перепишем (1) в реализации на 5. Мы используем

ір(а) =/(і) • (1 - сое а)1, і =

В этих функциях представление Ті действует по формуле

(р(а, Р) = / (ж, у) • (1 - сое а)1 • (1 - сое р)т .

где

Обозначим

V

а і 2

Мы получаем следующую теорему.

Теорема 2 Сплетающие операторы М^’т\ к е {|г|, |r| + 1,..., I + т}, в реализации на S даются следующей формулой:

(а, /3) = (2sinv),+m-fe |2sin?;-^—(к — г + 1) cos г>| х

х I 2 sin v — (к — г + 2) cos v 1 ... х

х і 2 sin у—--------(2/с) cos v 1 ip(a). (2)

^ da J

Заметим, что, в отличие от (1), диффереициальные операторы в (2) не коммутируют.

Формула (2) справедлива также и для случая, когда одно из представлений, скажем, Т/, бесконечномерно, тогда I может быть любым комплексным числом: I = а £ С, а индекс к принимает тогда значения из множества

{а — т, сг — т + 1, ... ,а + т — 1, а + т}, см. также [2] для т = 1.

Литература

1. В. Ф. Молчанов. Преобразования Пуассона для тензорных произведений представлений группы матриц второго порядка. Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки, 2013, том 18, вып. 5, 2613— 2616.

2. В. Ф. Молчанов, Е. В. Сарычева. Тензорные произведения представлений трехмерной группы Лоренца и тавтологического представления. Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки, 2012, том 17, вып. 1, 99-104.

3. В. Ф. Молчанов, Е. В. Сарычева. О тензорных произведениях представлений группы матриц второго порядка. Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки, 2013, том 18, вып. 1, 120-124.

Поступила в редакцию 16 ноября 2013 года

V. F. Molchanov, Е. V. Sarycheva. On tensor products of representations of three-dimensional Lorentz group

We write in the compact realization intertwining operators that decompose tensor products of irreducible finite-dimensional representations of the group SOo(l,2) into irreducible constituents. These operators turn out to be differential operators.

Keywords: Lie groups and Lie algebras; representations of Lie groups; tensor products; intertwinning operators.

Молчанов Владимир Федорович, Тамбовский государственный университет имени Г. Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, доктор физико-математических наук, профессор, зав. кафедрой математического анализа, e-mail: [email protected]

Сарычева Елена Витальевна, Тамбовский государственный университет имени Г. Р. Державина, г. Тамбов, Российская Федерация, аспирант кафедры математического анализа, e-mail: [email protected]

Molchanov Vladimir Fedorovich, Tambov State University named after G. R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, Doctor of physics and mathematics, Professor, Head of mathematical analysis chair, e-mail: [email protected]

Sarycheva Elena Vitalievna, Tambov State University named after G. R. Derzhavin, Tambov, Russian Federation, post-graduate student of the mathematical analysis chair, e-mail: evseeva.elena. [email protected]