Тензорные произведения представлений трехмерной группы Лоренца и тавтологического представления Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.98

Тензорные произведения представлений трехмерной группы Лоренца и тавтологического представления 1

© В. Ф. Молчанов, Е. В. Сарычева

Тензорное произведение представления основной серии и трехмерного представления трехмерной группы Лоренца раскладывается на неприводимые. Вычислены явно сплетающие операторы, дающие это разложение. Они оказываются дифференциальными операторами.

Ключевые слова: группы и алгебры Ли, представления групп Ли, группа Лоренца, тензорные произведения

Введем в К3 билинейную форму

[х,у] = -ХхУх + Х2У2 + ХзУз,

где х = (х]_, х2,х3), у = (у1, у2, уз). Пусть С+ - конус в К3, задаваемый условиями [х, х] = 0, х1 > 0. Пусть О = ЯО0(1, 2) - связная группа линейных преобразований К3, сохраняющих форму [х,у]. Мы будем считать, что О действует справа: х ^ хд, в соответствии с этим записываем вектор в виде строки.

Пусть Та, а Е С, - представление группы О, связанное с конусом, см. [1]. Оно действует сдвигами в пространстве Vа (С) функций класса Сна С + , однородных степени а. Тавтологическое представление р группы О дается формулой р(д) = д. Мы рассматриваем тензорное произведение Та ® р для а общего положения и даем разложение его на неприводимые составляющие

Та ® р = Тст_1 + Та + Тст+1,

см. теорему 1.1. Мы пишем в явном виде сплетающие операторы Тт ^ Та ® р, т = а — 1,а,а + 1, они оказываются дифференциальными операторами порядка

0,1, 2, соответственно. Любопытно отметить, что дифференциальные операторы порядка 2, см. (2.5), появлялись в [3] совсем по другому поводу.

Такая задача для группы ЯО0(1,п — 1) была рассмотрена в [2] для общего случая п > 5. Наш случай п = 3 имеет отличия от общего случая. В [2] использовалась другая реализация представлений Та.

хРабота поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП 1.1.2/9191, ФЦП 14.740.11.0349 и Темпланом 1.5.07.

§ 1. Разложение тензорного произведения

Сначала напомним некоторый материал из [1] о представлениях группы G. Мы используем компактную картину. Пусть S - сечение конуса C + плоскостью x1 = І, это окружность, состоящая из точек s = (І, sin а, cos а), а Є R. Через D(S) обозначается пространство функций класса Cна S, мы будем также писать f (а) вместо f (s). Представление Tj, а Є C, группы G действует в D(S) следующим образом:

индекс 1 указывает первую координату.

Алгебра Ли 0 группы О состоит из вещественных матриц X третьего порядка, удовлетворяющих условию XI + IX' = 0, где I = diag { — 1,1,1}, штрих означает транспонирование. Базис в ней образован матрицами

Lo = . (І.І)

Представление р группы G действует в трехмерном пространстве V1 функций f (в) с базисом 1, sin в, cos в по формулам (1.2), (1.3), (1.4) с а = 1 и с заменой а на в.

Тензорное произведение Та = Тст ® р группы G действует в пространстве

В представлении элементам базиса (1.1) отвечают операторы

T(j (Lo)

д

(1.2)

T(j (L2)

T(j (Li)

да

д

cos а ■ ——+ а sin а , да

д

— sin а ■ ——+ а cos а . да

(1.3)

(1.4)

D(S) = V(S) ® V1 функций

f (а, в) = fi(a) + f2(a) sin в + fs(a) cos в, где fi E D(S); элементам X из алгебры Ли 0 отвечают операторы

(І.5)

Т (X ) = Tj (X)+ p(X).

Введем следующие три оператора M0, M1, M2, отображающие D(S) в D(S). Пусть ^ E D(S). Тогда

(Мо^)(а,в) = (1 - cos(a - в)) ■ <^(а), (1.6)

(М1^)(а,в) = (1 — cos(a — в)) ■ <^'(а) — аsin(a — в) ■ <^(а), (1.7)

(M2<^) (а, в) = (1 — cos(а — в)) ■ ^''(а) — (2а + 1) sin(а — в) ■ <^'(а)

+ ((а + 1)2 + а(а + 1) cos(а — в)- ■ <^(а), (1.8)

штрих обозначает производную по а. Эти операторы сплетают соответственно TCT_i, Tj, Tj+i с Ta, то есть

Т (g) Mj = Mj TJ—i+j (£^ g E G (1.9)

или, эквивалентно,

Т(X) Mj = Mj Tj—i+j(X), X E 0.

Последнее соотношение проверяется непосредственной выкладкой для X = Lo,Li,L2. _

Всякая функция f из D(S), см. (1.5), есть линейная комбинация функций из образов операторов Mj, то есть существуют такие функции u,v,w из D(S), что

f = M0u + Miv + M2w. (1.10)

Докажем это. Подставим в (1.10) значения M0u, Miv, M2w по (1.6), (1.7), (1.8) и сравним с (1.5), мы получим для u,v,w систему уравнений

fi = u + v' + w'' + (а + 1)2w,

f2 = — sin а ■ u + [— sin а ■ v' + а cos а ■ v]

+ [— sin а ■ w'' + (2а + 1) cos а ■ w' + а(а + 1) sin а ■ w],

f3 = — cos а ■ u + [— cos а ■ v' — а sin а ■ v]

+ [— cos а ■ w'' — (2а + 1) sin а ■ w' + а (а + 1) cos а ■ w].

Эта система решается следующим образом. Обозначим

Л-(а) = f (а,а) = Д(а) + f2(а) sin а + fз(а)cos а, (1.11)

у(а) = fe(а, а) = f2^)cos а — fз(а)sin а. (1.12)

Из системы сразу получаем

h = (а + 1)(2а + 1) w,

у = а v + (2а + 1) w',

откуда находим сначала w и затем v. После этого находим u из первого уравнения. Окончательно получаем

u = fi--------у' + (2—+ГТ h'' — 2—тт h, (1.13)

а а(2а + 1) 2а + 1

1 у — , V, h', (1.14)

а а(а + 1)

w = -:--------------------г h. (1.15)

(а + 1)(2а + 1) V ;

Мы доказали теорему.

Теорема 1.1 Представление Т- = Т- ® р группы С разлагается в прямую сумму: Т- = Тст-1 + Т- + Тст+1. Разложение делается следующим образом. Сопоставим всякой функции / из ), см. (1.5), три функции и,у,іи по формулам (1.13), (1.14), (1.15) и (1.11), (1.12). Имеет место формула обращения (1.10). Соответствие / ^ (и,^,^| в силу (1.9) С-эквивариантно, то есть

Т-(#)/ ^ ^--^К Т-(#К Т-+1 (9М , 9 Є С.

§ 2. Разложения по базисам

В этом параграфе мы дадим другое доказательство теоремы 1.1с помощью разложений по базисам. Этот подход объясняет вид сплетающих операторов Мо, , ^^2.

Введем следующие элементы из комплексификации 0С алгебры Ли 0:

Ь+ = ^2 + г^1, Ь— = ^2 — 1^1

("повышающий и понижающий операторы”). Соотношения коммутации таковы:

[Ь0,Ь+] = 1Ь+, [Ь0,Ь-] = —гЬ-, [Ь+,Ь-] — 21Ь0.

В представлении Т- им отвечают операторы

Т-^+> =е" (г1а+") • Т-<Ь-> =е-іа (—1^+-)•

Базис в Р(£), состоящий из функций

Фт(а) = еіта, т Є Z,

является собственным для Тд-(Ь0) с собственными числами 1т. Операторы Т-(Ь±) действуют так:

Т-(Ь+) фт = (а — т) фт+1, Т-(Ь-) фт = (а + т) фт-1. (2.1)

Базис в 2?(£), состоящий из функций

Фт,к(а, в) = еітаеікв, т Є Z, к Є { —1, 0,1},

является собственным для Т-(Ь0) с собственными числами 1(т + к). Пусть Жт, т Є Z, - трехмерное подпространство в 2?($) с базисом

фт—1,1 , фт,0 , фт+1,-1. (2.2)

Оно является собственным для Т- (Ь0) с собственным числом 1т.

Оператор Т- (Ь+) переводит Шт в Жт+1, его ограничение на Шт есть оператор с матрицей (в базисах (2.2))

а — т +1 1 0

А+ = ( 0 а — т 2

0 0 а — т — 1

а оператор Т- (Ь-) переводит Жт в Жт-1, его ограничение на Жт есть оператор А- с матрицей

а + т — 1 0 0

А- = I 2 а + т 0

у 0 1 а + т +1

мы не показываем а в обозначениях, координаты векторов в Шт записывем в виде столбца. Поэтому оператор Кт = переводит Wm в себя. Для него

следующие векторы (столбцы) являются собственными:

/ 1\ / а + т\ / (а + т)(а + т +1)

Ст = I —2 I , Пт = I —2т І , Ст = I 2(а + т + 1)(а — т + 1)

у 1 у у —а + тУ у (а — т)(а — т + 1)

с собственными значениями

(а — т — 1)(а + т), (а — т)(а + т + 1), (а — т + 1)(а + т + 2), соответственно. В базисах {£т, пт, Ст} операторы А? диагональны (ср. с (2.1)

а — 1 — т 0 0

А+) = | 0 а — т 0 | , (2.3)

0 0 а + 1 — т

а — 1 + т 0 0

А-) = І 0 а + т 0 | . (2.4)

0 0 а + 1 + т

Возьмем произвольную функцию ф из ©($) и разложим ее в ряд Фурье:

ф ^ ^ стфт. т€Ъ

Пусть С, П, С обозначают функции из Х>(5') с теми же коэффициентами Фурье ст в базисах {£т}, {пт}, {Ст}, соответственно, то есть

Эти функции £, п, С совпадают с точностью до множителя с функциями М0^, М^, М2^, соответственно, а именно, £ = — 2М0^, п = 2гМ^, £ = 2М2^. При вычислении надо использовать тсш^т = — г^;, ^ т2стфт = — ^/;.

Под действием операторов Тст функции £, п, С преобразуются по представлениям Тст_1, Тст, Тст+1, соответственно: надо сравнить (2.3), (2.4) с (2.1). Отсюда следует сплетаемость операторов М0, М1, М2.

Запишем операторы М1, М2 в несколько иной форме, используя экспоненты вместо синусов и косинусов:

1. Н. Я. Виленкин. Специальные функции и теория представлений групп. М.: Наука, 1965

2. В. Ф. Молчанов. Тензорное произведение представлений обобщенной группы Лоренца, связанных с конусом, и тавтологического представления. Вестник Тамбовского унив. Серия: Ест. техн. науки, 2008, том 13, вып. 1, 13-14.

3. V. F. Molchanov. Canonical representations and overgroups. Amer. Math. Soc. Transl, Ser. 2, vol. 210 (Adv. in the Math. Sci.-54), 2003, 213-224.

V. F. Molchanov, E. V. Sarycheva. Tensor products of representations of the three-dimensional Lorentz group and the tautologic representation

We decompose the tensor product of a principal series representation and the tautologic representation of the three-dimensional Lorentz group into irreducible constituents. The decomposition is given by some intertwining operators. They turn out to be differential operators

Keywords: Lie groups and algebras, representations of Lie groups, Lorentz group, tensor products

Mip = ^ — 1 e-ia+ie (^ + iap) — 1 eia-ie (^ — гар) ,

M2^ = <p" + (a + 1)2p

+ і e-ia+ie {—— (2a + 1)ip' + a(a + 1)p}

+ і eia-ie + (2a + 1),y + .

(2.5)

Эти два оператора можно выразить через операторы Ли:

M2

M1

Литеpатуpа