О тензорных произведениях представлений группы матриц второго порядка Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.98

О тензорных произведениях представлений группы матриц второго порядка 1

© В. Ф. Молчанов, Е. В. Сарычева

Ключевые слова: группы и алгебры Ли, представления групп Ли, тензорные произведения, сплетающие операторы

Тензорное произведение неприводимого конечномерного представления группы ЯЬ(2, М) и ее неприводимого представления размерности 3 раскладывается на неприводимые. Вычислены явно сплетающие операторы, дающие это разложение. Они оказываются дифференциальными операторами.

Настоящая заметка примыкает к нашей работе [1] о тензорных произведениях представлений псевдо-ортогональной группы ЯО0(1, 2). В этой работе [1] мы рассматривали тензорное произведение Та 0 р, где Тст, а € С, - представление группы ЯО0 (1, 2), связанное с конусом, р - тавтологическое представление. Представление Та бесконечномерно, предетавление р имеет размерность 3. Сейчас мы берем несколько большую группу С = ЯЬ(2, М): она дважды накрывает группу ЯО0(1, 2).

Для этой группы мы рассматриваем тензорные произведения Т10Т неприводимых конечномерных представлений Т и неприводимого предетавления Т1 размерности 3. Это тензорное произведение раекладыватея следующим образом:

Само по себе это разложение известно. Наша задача состоит в том, чтобы найти операторы, сплетающие слагаемые в правой части (1) с представлением Т 0 Т1. Ответ дается теоремой 1. Оказывается, что эти операторы являются дифференциальными операторами порядка 0, 1, 2, соответственно.

Группа С = ЯЬ(2, М) состоит из вещественных матриц второго порядка с определителем единица:

Конечномерное неприводимое представление Т группы С задается целым или полуцелым числом (старшим весом) I = 0, 1/2, 1, 3/2, ... (так что 21 -

1Работа поддержана Госзаданием Минобрнауки 1.3445.2011, ФЦП "Научные и научнопедагогические кадры инновационной России" 14.740.11.0349

Т 0 Т1 = Тг-1 + Т + Тг+1.

(1)

целое чиело^ 0). Пуст ь V - пространство много членов <^(ж) етепен и ^ 2/, оно имеет размерность 2/ + 1, базис в VI состоит из одночленов

1, х, х2,...

х

21

Представление Т, группы С действует в VI по формуле:

(Т, («)/)(х) = ^|х±]) (вх + «у21

(мы считаем, что С действует справа).

Тензорное произведение V, = V, ® VI состоит из многочленов /(х,у) степени ^ 2/ по х и степе ни ^ 2 по у, Базис в V, состоит из одноч ленов хтуй, 0 ^ т ^ 2/, к = 0,1, 2. Его удобно расположить в виде матрицы с тремя строками и 2/ + 1 столбцами:

у2 ху2 х2у2 . . . х2,у2

у ху х2у ... х2іу (2)

Їх х2 х2і

•

Тензорное произведение Т, = Т, ® Ті действует в V, по формуле:

Гі(9)/)(ху) = / (ІтВ ■ |уті) (вх + ^ (ву + «)2.

Теорема 1 Пространство V, = V, ® V разлагается в сумму трех подпространств:

Т = я,- + я, + н,+1,

инвариантных и неприводимых относительно Ті = Т, ® Т1. Ограничения на Я,-ь Я,, Я,+1 представления Ті эквивалентны Т,-ь Т,, Т,+1; соответственно,

так что имеет место формула (1). Сплетающие операторы, М0 : ^-:1 ^ Я,-ъ

М1 : V, ^ Я,, М2 : ^+1 ^ Я,+1 даются следующим,и формулам,и:

(Мо^)(х,у) = (х - у)2 ^(х), (3)

(М1^)(х,у) = (х - у)2 ^/(х) - 2/(х - у) ^(х), (4)

(м2^)(х,у) = (х - у)2 ^"(х) - 2/(2/ + 1)(х - у) ^/(х)

+ 2(/ + 1)(2/ + 1) <^(х), (5)

х

Дальше идет доказательство этой теоремы.

Алгебра Ли 0 группы С состоит из вещественных матриц X второго порядка со следом 0, Базис в 0 состоит из матриц

0 0 \ т = ( 1/2 0 \ т /01

1 И , т = I 0 -1/2 і , т+ І00

И

Т(т_) = И!,

Их

И

Т,(Т1) = х— - /,

Их

И

Т,(Т+) = -х2 — + 2/х .

Их

На базисе |хт} в V, эти операторы действуют следующим образом:

Т,(Т_) іт = ті™-1, (6)

Т,(Т_) і™ = (т - /) і™, (7)

Т, (Т+) і™ = (2/ - т) Г+1. (8)

Возьмем в Т = V ® V подпространства Жт с базисом из одночленов (в таблице (2) эти одночлены располагаются по диагоналям)

х™+1, х™у , хт-1у2 , (9)

где т = -1, 0, 1, ..., 2/ + 1, подразумевается, что одночлены со степенями х-2, х-1, х2^1, х2,+2 отсутствуют, так что размерность подпространства Жт равна 3 для 1 ^ т ^ 2/ - 1, равна 2 для т = 0и т = 2/ и равна 1 для т = -1

и т = 2/ + 1, Подпространства Жт - собственные для /?](Т1) с собственным

т - /

Оператор Ті (Т+) переводит Жт в Жт+1; его ограничение па Жт есть оператор А+ с матрицей (в базисах (9))

2/ - т - 1 0 0

А(+} = ( 2 2/ - т 0

0 1 2/ - т +1

а оператор Т,(Т_) переводит Жт в Жт-1, его ограничен и е на Жт есть оператор А- с матрицей

т + 1 1 0

А—= І 0 т 2

\ 0 0 т- 1

(мы не показываем / в обозначении для А^), координаты векторов в Жт записываем в виде столбца. Поэтому оператор Ят = переводит Жт в

себя. Для него следующие векторы (столбцы) являются собственными:

/ 1\ /-2/ + т\ / (2/ - т)(2/ - т + 1)

Ст = I -2 I , Пт = I 2/ - 2т I , Ст = I 2(т +1)(2/ - т + 1)

у 1 у у т ! у т(т + 1)

с собственными значениями

т(2/ - т - 1), (т + 1)(2/ - т), (т + 2)(2/ - т + 1),

соответственно, В базисах {£т, пт, (т} операторы А^^ диагональны:

/ т — 10 0 \

А<т) = I 0 т 0 I .

(11)

у 0 0 т + 1 /

Запишем собственные векторы в виде функций:

£т = (ж — у)2 ■ жт—1, 1 ^ т ^ 2/ — 1,

Пт = (ж — у)2 ■ тжт—1 — 2/ (ж — у) ■ жт , 0 ^ т ^ 2/,

(т = (ж — у)2 ■ т(т + 1) жт—1 — 2(2/ + 1) (ж — у) ■ (т + 1) жт

(12)

(13)

+ (2/ + 2)(2/ + 1) ■ жт+1, —1 ^ т ^ 2/ + 1.

(14)

Обозначим через Яг-1, Яг и Я1+1 подпространства в V с базисами {£т}, {пт} и {Ст}, соответственно. Их размерности равны 2/ —1 2/+1, 21+3, соответственно. Их сумма равна V

Сравним формулы (6), (7), (8) с формулами (10), (11) и тем, что 7)(Ь1) умножает на т — /, Мы видим, что действие операторов Ли 7)(£±) и 7)(Ь1) в Яг-Ь Яг и Я1+1 совпадает с действием операторов Ли 7](Ь±) и ТД^) в Т/1—1, VI и Т/1+1, соответственно. Следовательно, соответствия

являются эквивариантными отображениями пространств ^-1; V и ^+1 па пространства Яг-Ь Яг и Я1+1, соответственно.

Пусть <^(£) - произвольный МНОГО член ИЗ К, 5 = / — 1,/,/ + 1:

2«

Оператор і = 0,1, 2 сопоставляет этому многочлену <^(і) из К, 5 = / — 1 + і, следующий многочлен М^ из Я5:

М1 : ^ пк, 0 ^ к ^ 2/,

М2 : ^ Ск_1, 0 ^ к ^ 2/ + 2,

<^(і) = X! ск .

21—2

к=0

21

к=0

21+2

Подставляя сюда выражения (12), (13), (14), получим как раз формулы (3), (4), (5), При вычислении надо использовать формулы

^ ст ■ тхт-1 = ^(ж), ^ ст ■ т(т — 1) жт-2 = ^/;(ж).

Литература

1, В, Ф, Молчанов, Е, В, Сарычева, Тензорные произведения представлений трехмерной группы Лоренца и тавтологического представления. Вестник Тамбовского университета. Серия: Естественные и технические науки, 2012, том 17, вып. 1, 99-104.

Поступила в редакцию 16 ноября 2012 года

V. F. Molchanov, Е. V. Sarvcheva. On tensor products of representations of the second order matrix group

We decompose into irreducible constituens the tensor product of a irreducible finitedimensional representation of the group SL(2, R) and its irreducible three-dimensional representation. We compute explicitly intertwinning operators giving this decomposition, they turn out to be differential operators

Keywords: Lie groups and Lie algebras, representations of Lie groups, tensor products, intertwinning operators