Сплетающие операторы для группы Лоренца Текст научной статьи по специальности «Математика»

Литература

1. А. А. Артемов. Разложение функции Березина на пространстве Лобачевского по смешанным сферическим функциям. Вестник Тамбовского унив. Серия: Естеств. и техн. науки, 2010, том 15, вып. 1, 358-361.

A. A. Artemov. Harmonic analysis on a pair of hyperboloids

We costruct harmonic analysis on a pair of dual hyperboloids. It reduces to the decomposition over mixed spherical functions of the delta function 5([x,y]) (or its derivatives), here x,y belong to different hyperboloids

Keywords: canonical representations, hyperboloids, spherical functions, Plancherel formula

УДК 517.98

Сплетающие операторы для группы Лоренца 1

© О. В. Бетина

Мы рассматриваем сплетающие операторы для группы Лоренца 8Ц2,С) в несколько необычной форме. Это позволяет связать представления алгебры Ли этой группы в многочленах от г, г и в обобщенных функциях, сосредоточенных в точке г = 0

Ключевые слова: группа Лоренца, обобщенные функции, преобразование Пуассона Группа С? = 8Ь(2,С) состоит из комплексных матриц второго порядка:

Для такой матрицы д обозначим через д матрицу, получающуюся перестановкой а с 6 и (3 с 7:

Соответствие д «-)■ д есть инволютивный изоморфизм группы G на себя. Для Л £ С, к Е Z, а Е С\{0}, обозначим

1 Работа поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП.1.1.2.1474, ФЦП 14.740.11.0349 и Темпланом 1.5.07.

ад — /?7 = 1.

Отметим формулы дифференцирования:

^ _л,л _ А + /с ->А_1^_1 д ^Хк _ А — к ^А_1)Аг+1 дг 2 ’ дг 2

Мы будем также использовать обозначение ("обобщенные" степени):

а= а(а — 1)(а — 2)... (а — п + 1).

Представления основной серии группы (7 определяются следующим образом. Пусть о е С, 2т 6 Ъ. Обозначим через Т>а<т пространство функций /(г) из С°°(С) таких, что инверсная функция г2а'2т / (—1 / г) тоже принадлежит С00(С). Представление Та<т основной серии действует в Т>а%т по формуле

{Т.М1)(*) = V* + Ь?°ат, ? = .

Контраградиентное представление Та<т получается из Та,т с помощью инволюции:

Т„,т{9) = Т„,т{д).

Представления Та>т и То-)ТП эквивалентны.

Введем оператор Аа^т:

(Аг,т/) {%) — [ (1 ~ гги)-2*^'"2™¡(и)) (1и(1у , т = и + гу.

Jc

Этот оператор сплетает Та>тп и Т-а-2,-т, а также Та>т и Т_ст_2)-т. Обычно рассматривают сплетающий оператор с ядром (г — гу)-2<т-4>-2тз однако для наших целей (построение полиномиального квантования и изучение конечномерного анализа на комплексном гиперболоиде) более удобен именно введенный оператор Аа>т.

Композиция операторов Л_а_2,_т и Аа}ТП есть скалярный оператор, т. е. оператор умножения на число:

А-а-2-тАа,т = ^0,0 ТТЬ)Е,

где

^о,о (сг,ш) = (-1)

2т

7Г

т2 — (сг + I)2

Пусть д - алгебра Ли группы (7. Она действует в Х>а)ТП с помощью некоторых дифференциальных операторов первого порядка. Эти операторы порождают представление алгебры Ли 0 и ее универсальной обертывающей алгебры не только в XV,т, но и в других пространствах, например, в пространстве С00(С), в пространстве Ро1 (С) многочленов на С, в пространстве Р'(С) обобщенных функций на С, в пространстве V¿(С) обобщенных функций на С, сосредоточенных в нуле.

Пространство Т)'0(С) состоит из линейных комбинаций дельта-функции 5(z, z) и ее производных 6(k,l\z,z) .

Пространства Pol (С) и V0(C) являются модулями Верма относительно Та^т. Сплетающий оператор Аа,т переводит базис zkzl в Pol (С) в базис S^(z,z) в V о (С) и обратно (с множителями):

А^т (z^) =u}kii(a,m)-d{h'l)(z,z),

А.а.2>_m (S^l\z,z)) = (а + тУк\а - т)Ю • гЧ,

где

га) = -(-1)

2т

7Г

(а + 1 + т)(*+1)(а + 1 — га)(*+1) ’

Рассмотрим приводимый случай. Пусть а = 1\ + тп = — /2, где 1\ и /2

принадлежат N = {0,1,2,...}. Тогда представление Та^т имеет инвариантное конечномерное неприводимое подпространство Ци12, состоящее из многочленов двух переменных гиг степени ^ 21\ и ^ 212 соответственно по каждой переменной. Модуль Vо (С) относительно Т-а-2-т имеет подмодуль, инвариантный относительно д. Фактор-модуль по нему эквивалентен Элемент

в этом фактор-модуле, инвариантный относительно диагональной подалгебры, есть 8^2\г,г). Ему отвечает преобразование Пуассона Р/ь/2 из конечномерного анализа на комплексном гиперболоиде, см. [1], в дифференциальной форме:

№ь*2/)(£,77) = с! {Т-о-2-т{д~1)5{1и12\г,г)} ¡(г)(1хс1у ■! (1хс1у

'с

ЯІІ+І2 \h+h 0

= с(_1) аОТ? JW(Pz + sr(Pz + s)

z=0

где £,77 - орисферические координаты точки х гиперболоида, £ = 7/5, 77 = /3/а,

c = qlA = (ii)!(J2)!/(2i,)!(2l2)!

Литература

1. О. В. Гришина. Конечномерный анализ на комплексном гиперболоиде. Вестник Тамбовского унив. Серия: Естеств. и техн. науки, 2008, том 13, вып. 6, 485-498.

О. V. Betina. Intertwinning operators for the Lorentz group

We consider intertwinning operators for the Lorentz group SL(2,C) in a non-usual form. It allows to link representations of the Lie algebra of this group on polynomials in г and z with representations on distributions concentrated at the point z = 0

Keywords: the Lorentz group, distributions, a Poisson transform