Гармонический анализ на паре гиперболоидов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Секция: ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ АНАЛИЗ

УДК 517.98

Гармонический анализ на паре гиперболоидов 1

© А. А. Артемов

Строится гармонический анализ на паре двойственных гиперболоидов в Мп. Он сводится к разложению по смешанным сферическим функциям дельта-функции (или ее производных) от псевдоскалярного произведения [х,у\, где аргументы х,у находятся на разных гиперболоидах

Ключевые слова: канонические представления, гиперболоиды, сферические функции, формула Планшереля

Мы продолжаем сюжет о гармоническом анализе на паре гиперболоидов [1]. Возьмем в пространстве Кп, п ^ 4, билинейную форму

[х, у] = -Х1У1 + Х2У2 + ... + хпуп.

Группа <2 = 8О0(1,гг — 1) (обобщенная группа Лоренца) сохраняет эту форму. Мы рассматриваем в Кп однополостный гиперболоид X и двуполостный гиперболоид 3^, определенные уравнениями [х,х] = 1 и [х,х] = —1, соответственно. Гиперболоид у распадается на две полы У+ = ^ 1} и У~ = {хх ^ — 1}.

Каждая из них есть пространство Лобачевского размерности п — 1. Группа (7 действует (линейно) на X, У+, У~ транзитивно. Стационарная подгруппа точки х° = (0, ...,0,1) € X есть 80о(1,п — 2), стационарная подгруппа точки у0 = (1,0, ...,0) Е У+ есть 80(п — 1). Многообразия X, У+, У~ являются симметрическими пространствами группы (7. Многообразие X - псевдо-риманово, многообразия У± - римановы. Ранг всех этих пространств равен 1.

1 Работа поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП.1.1.2.1474, ФЦП 14.740.11.0349 и Темпланом 1.5.07.

Как известно, гармонический анализ на однородном многообразии М сводится к тому, чтобы разложить по сферическим функциям дельта-функцию на М, сосредоточенную в начальной точке.

Поэтому естественно назвать гармоническим анализом на паре гиперболоидов X и У+ разложение по смешанным сферическим функциям дельта-функции Щх°,у]) = 5(уп) на У+.

Это равносильно разложению полуторалинейной формы

А(/,Ч= [ 6{[х,у]) 1(х) Н(у)с1хс1у,

о ХхУ+

где /1 Е Т>{Х), Н Е Т>(У+), по скалярным произведениям компонент Фурье функций / и /г.

Более того, мы можем расширить эту задачу и рассмотреть полуторалинейную форму Ап(/, 1г), т е N = {0,1,2,...}, ядром которой служит производная дельта-функции 5^([х,у]). Ее разложение вытекает из нижеследующей теоремы.

Теорема 1 Обобщенная функция 6^(уп) на 3^+ разлагается по смешанным сферическим функциям Фсг,и, непрерывной серии (а = (2 — гг)/2 + гр)

следующим образом:

оо

й{ТП){Уп) = [ ^{сг) МтМ ®аАУ)

сг=(2—п)/2+гр

где множитель ио (а) есть мера Планшереля на У+,

= 2т+1 (-1Г т! ^ г(т + 3-"--)/г(^р1).

Напомним [1], что смешанная сферическая функция Фа)£ на У+ выражается через функцию

2~2а ( 1 — х \

Р(г) = Р(а,т;г) = Г^а~+Т) Е (^2а+г+1’ 2а_т5 2а+15 J >

где ^ - гипергеометрическая функция Гаусса, а, т - комплексные параметры, от мнимого аргумента:

Ф„Ау) = (2тг)<"-1)/2(е”,г/2 + (-1)£е-^’г/2)"1 х

х (Уп + 1)("~3)/4 [Р(гу„) + (—1 )еР(-гуп)],

со; = (п — 3)/4 и т = (п — 3)/2. Функция Р(г) аналитична в плоскости 2 с разрезом (—оо,—1]. Она тесно связана с функцией Лежандра первого рода Р~2а(г):

Р~2а(г) = (г2 - 1 )аР(г).

Форма Лт(/,/г) разлагается по компонентам Фурье непрерывной серии для гиперболоидов X и У+ с теми же множителями, что и в теореме 1.

Литература

1. А. А. Артемов. Разложение функции Березина на пространстве Лобачевского по смешанным сферическим функциям. Вестник Тамбовского унив. Серия: Естеств. и техн. науки, 2010, том 15, вып. 1, 358-361.

A. A. Artemov. Harmonic analysis on a pair of hyperboloids

We costruct harmonic analysis on a pair of dual hyperboloids. It reduces to the decomposition over mixed spherical functions of the delta function 6([x,y]) (or its derivatives), here x,y belong to different hyperboloids

Keywords: canonical representations, hyperboloids, spherical functions, Plancherel formula

УДК 517.98

Сплетающие операторы для группы Лоренца 1

© О. В. Бетина

Мы рассматриваем сплетающие операторы для группы Лоренца БЬ(2,С) в несколько необычной форме. Это позволяет связать представления алгебры Ли этой группы в многочленах от 2г, г и в обобщенных функциях, сосредоточенных в точке г = 0

Ключевые слова: группа Лоренца, обобщенные функции, преобразование Пуассона Группа Є = БЬ(2,С) состоит из комплексных матриц второго порядка:

Для такой матрицы д обозначим через д матрицу, получающуюся перестановкой

а с 6 и (3 с 7:

Соответствие д д есть инволютивный изоморфизм группы (7 на себя. Для Л € С, к 6 а Е С\{0}, обозначим

1 Работа поддержана грантами: РФФИ 09-01-00325 а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП.1.1.2.1474, ФЦП 14.740.11.0349 и Темпланом 1.5.07.

а8 — (3 7 = 1.