Многочлены над двумерными алгебрами Текст научной статьи по специальности «Математика»

Основной результат состоит в том, что К есть допустимый комплекс, см. [2] по поводу понятия допустимого комплекса. Этот факт равносилен следующему утверждению.

Пусть К(А,В) обозначает результант характеристических многочленов матриц А и В. Обозначим через Ке многообразие плоскостей комплекса К, проходящих через единицу е группы С. Для С = СЬ(и, М) мы имеем

[ Ь&Щ,(,5) = о/(е), (1)

,;Ке о=е

ЖЄ

где

г„ = П п( ,

, д5„ д5„

<я

Аналогично, для СЬ(и, С) мы имеем

I' Ь&Ь6Ф(С,С,5) г ад = о/(е). (2)

Ж

Є

8=е

Литература

1. И. М. Гельфанд, М. И. Граев. Комплексы плоскостей в пространстве С” и формула Планшереля на группе СЬ(и, С). Докл. АН СССР, 1968, том 179, N0. 3, 522-525.

2. И. М. Гельфанд, М. И. Граев, З. Я. Шапиро. Интегральная геометрия на к-мерных плоскостях. Функц. анализ и его прил., 1967. том 1, вып. 1, 15-31.

Многочлены над двумерными алгебрами 1 © Н. А. Малашонок

Обозначим через А двумерную ассоциативную алгебру над М. Она состоит из элементов (чисел) г = х+іу, х,у Є М, с соотношением і2 = а+2/Зі, где а, в - некоторые фиксированные числа из Є М. Обозначим О = а + в2. Мы решаем классические задачи о многочленах Р(г) = апгп + ап-іги-1 + ... + ао, ап = 0, над А: об их корнях и о разложении их на множители.

Алгебра А называется алгеброй эллиптического, гиперболического или параболического типа соответственно при О < 0, О > 0, О = 0. Алгебра С комплексных чисел принадлежит эллиптическому типу, для нее а = —1, в = 0, так что О = —1. Для алгебр эллиптического типа указанные выше задачи решаются точно так же, как для С.

Алгебра А гиперболического типа (О > 0) обладает делителями нуля, они образуют два идеала Іі = Меі, І2 = МЄ2, где

Ші +і —ш2 — і а . ^ а п^.

еі = ------, Є2 = ---, Ші = —в + 4 О, Ш2 = —в — V О.

2л/й 2л/О

В качестве базиса в А удобно взять как раз эти элементы еі, е2. Для них имеют место соотношения е2 = еі, е2 = е2, ЄіЄ2 = 0. В этом базисе число г = х + іу запишется так: г = {еі + пе2, где £ = х — Ш2У, П = х — Шіу. Разложим коэффициенты а^ многочлена Р(г) по

хРабота поддержана Российским Фондом Фундаментальных Исследований: грант 05-01-00074a и Научными Программами "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы": проект РНП.2.1.1.351 и Темплан 1.5.07.

этому базису: ак = ик+ Ьк&2- Уравнение Р(г) = 0 равносильно системе двух вещественных алгебраических уравнений степени ^ и:

А(£) = 0, В(п) = 0, (1)

где А(£) = ^2 ик £к, В(п) = ^2 Ьк Пк, суммирование по к = 0,1,...,и. Если не все коэффициенты ак лежат в одном из идеалов, то ни одно из уравнений (1) не превращается в тождество (0 = 0), пусть £1,... ,£г и П1 ,••• - решения этих уравнений, тогда многочлен

Р(г) имеет г1 корней г^3 = ^в1 + пе2 (назовем их корнями первого типа, их не больше, чем и2). Теперь пусть все ак принадлежат одному идеалу, например, /1. Тогда второе уравнение в (1) исчезает, а уравнение Р(г) = 0 имеет бесконечно много решений, они располагаются на г прямых £ + /2, параллельных идеалу /2 (эти прямые назовем корнями второго типа).

В частности, пусть Р(г) имеет ровно и2 корней г^. Возьмем какую-нибудь перестановку £ ^ в(1) индексов {1,... ,и}. Имеет место разложение на множители: Р (г) = апП {^г-г1^(г)). Имеется и! таких разложений.

Алгебра А параболического типа (О = 0) тоже обладает делителями нуля, они образуют один идеал / = Мв2, где в2 = —в + *, так что е2 = 0. В качестве базиса в А удобно взять элементы е1 = 1 и е2. Тогда для г, ак, А(£), В(ц) получаем те же выражения, что и выше, с изменением: £ = х + ву, п = у. Уравнение Р(г) = 0 равносильно системе двух уравнений А(£) = 0, В(£) + А'(£)у = 0. Простому корню многочлена А(£) отвечает корень г^ = £]е1—В(£^)/'А'(^)е2 многочлена Р(г) (корень первого типа). Пусть корень ^ - кратный и В(£^) = 0. Тогда все точки прямой + / являются решениями уравнения Р(г) = 0 (такую прямую назовем корнем второго типа). Таким образом, Р(г) имеет не более чем и корней (первого или второго типа). Разложение на множители, вообще говоря, неоднозначно.

Тензорное произведение представлений обобщенной группы Лоренца, связанных с конусом, и тавтологического представления 1

© В. Ф. Молчанов

Пусть С - группа С = БОо(1,и — 1), сохраняющая билинейную форму [х,у] = —Х1У1 + ... + хпуп в Мп Пусть Та, а € С, - представление гпуппы С, связанное с конусом С = {[х,х] = 0,Х1 > 0}. Оно действует сдвигами в пространстве (С) функций класса Сна С, однородных степени а. Тавтологическое представление р группы С дается формулой р(д) = д. Мы даем разложение тензорного произведения Та = Та-1 0 р. Отметим любопытное явление - появление в разложении "жордановых" клеток. Задача о разложении представления Та появилась в связи с изучением представлений группы С в дифференциальных формах на конусе С. Мы будем рассматривать общий случай и > 5.

Исследование указанного тензорного произведения оказалось возможным благодаря использованию новой реализации представлений Та. Эта реализация состоит в следующем. Пусть f € (С). Тогда функция Н(х2 ,...,хп) = f (1,х2/х1,... ,хп/х1), х € С, есть

функция на Мп-1, однородная степени 0. Функция f восстанавливается по функции Н так: f (х) = х°Н(х2,... ,хп). Представление Та в функциях Н действует следующим образом: (Та(д)Н) (х2,... ,хп) = ('х1/х1^ Н(х2,... ,хп), где х = хд. Достоинство этой реализации состоит в том, что базисным элементам алгебры Ли д отвечают операторы, имеющие весьма простые выражения. Пусть Т>а (С) есть пространство функций (столбцов)

хРабота поддержана Российским Фондом Фундаментальных Исследований: гранты 05-01-00074a, 05-01-0000^, 07-01-91209 ЯФ_a и 06-06-96318 р_центр_а, Голландской Организацией Научных Исследований (КШС): грант 047-017-015, Научными Программами "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы": проект РНП.2.1.1.351 и Темплан №. 1.5.07.