Об умножении обобщенных функций Текст научной статьи по специальности «Математика»

где

а = 4-а пГ(^ + 1)Г(Л + 1)

“ Г(^ + 3/2)Г(Л + 1/2)’

Дельта-функция 5(х) на X, сосредоточенная в точке х0 = (0, 0,1), разлагается по Фат (эту формулу Планшереля мы получаем методом, отличным от метода Наймарка):

ГО

(т2 + р2)

— 1+гр,т(х) Лр.

тЕЪ

5(х) = с I Jo

Об умножении обобщенных функций 1 © Л. И. Грошева

Хорошо известно, что в пространстве обобщенных функций на прямой нельзя разумным образом определить произведение / (х)д(х) для любых обобщенных функций / (х) и д(х), например, непонятно, что такое квадрат дельта-функции Дирака §(х). В работе [1] авторы определяют произведение для введенных ими ранее так называемых слабых функций, в том числе для некоторых обобщенных функций. В качестве иллюстрации они вычисляют (с помощью длинных выкладок) два произведения:

5(х) ■ sgn х = 0, х-1 ■ 5(х) = — 2 5'(х). (1)

Нам показалось любопытным распространить эти результаты на более обширный класс обобщенных функций. Мы будем использовать аналитическое продолжение по параметру. Этот метод оказывается намного более быстрым по сравнению с [1]. Мы возьмем следующую совокупность обобщенных функций: (х) и х—г, где р € N = {0,1, 2,...}, г € Ъ.

Они появляются как старшие лорановские (или тейлоровские) коэффициенты обобщенных функций хх,£ в разложении в ряд по степеням Л — т при целых т. Мы используем здесь обозначение хх,£ = |х|Л sgn£x, где Л € С, е € Ъ. Наше определение произведения / о д обобщенных функций / и д состоит в следующем: мы пишем естественную формулу для обычных функций:

х^’£ х^+^’и = х2^+^,£+^ (2)

где к € Ъ, затем рассматриваем ее как формулу для обобщенных функций, понимая их как аналитические продолжения по Л из полуплоскости И,е Л > а, где а - некоторое число (зависящее от к), далее разлагаем все функции из (2) в ряд Лорана (Тейлора) по степеням Л—т, т € Ъ, тогда формула (2) и даст нам произведение старших коэффициентов. Конечно, такое определение не является единственно возможным, оно зависит от способа введения параметра Л в показатели в левой части (2).

Мы получаем следующие формулы:

6(р)(х) о 6(д)(х) = 0,

х— о ¿М(х) = 2(—1)г е1я+'>(х), (3)

хРабота поддержана Российским Фондом Фундаментальных Исследований: гранты N0. 05-01-00074a и 07-01-91209 ЯФ_a, Научными Программами "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы": проект РНП.2.1.1.351 и Темплан 1.5.07.

где p, q G N, r, s G Z. Заметим, что при r < 0 формула (3) отличается от обычного умножения обобщенной функции на многочлен множителем 1/2.

Можно еще включить в наш класс функции xm sgn x, аналогично мы получаем

xm sgn x о 5(q')(x)=0, m ^ 0, (4)

x-r о x-r+k sgn x = x-2r+k sgn x, k ^ 2r, (5)

однако непонятно, например, чему равняется левая часть (5) при r ^ k ^ 2r — 1.

Формула (3) с r = 1, q = 0 и формула (4) с m = q = 0 совпадают с формулами (1). Отметим, что умножение о не является ассоциативным, например, (x-1 о x) о 5(x) = 1 о §(x) = (1/2)á(x), но x-1 о (x о ö(x)) = x-1 о 0 = 0.

Литература

1. Ding X., Wang Xh. Multiplication of weak functions. Acta Math. Sci. Ser. B, 2005, vol. 25, No. 3, 569-576.

Интегральная геометрия на полной линейной группе, связанная с нильпотентными подгруппами 1

© С. В. Кольцова

Рассматривается нильпотентная подгруппа Z = Znl..,nr группы О = СЬ(и, М) или О = СЬ(и, С), ассоциированная с разбиением п = щ + ... + пг. Она состоит из блочных нижних треугольных матриц с единичными матрицами на диагонали. Определяется интегральное преобразование 3 = 3П1...,Пг, относящее финитным или быстро убывающим функциям / на О их интегралы по двусторонним классам смежности (плоскостям) Н = д—1Zg2:

(3/)(Н) = / /(д—^д2)Лг.

Jz

Решается задача о восстановлении исходной функции / на О через ее интегральное преобразование 3/.

Обозначим через К многообразие указанных плоскостей. Его размерность равна размерности группы О, поэтому К является комплексом.

Почти всякая плоскость Н может быть записана в виде £— 1 ^(,2, где ^1 и ^2 - блочные верхние треугольные матрицы с единичными матрицами на диагонали, а 5 - блочнодиагональная матрица с блоками 5П1 ,...,5Пг. Поэтому функция (3/)(Н) есть функция Ф(СъС2,5).

Для группы О = ОЬ(п, С) случай ¿1 д,... , 1 (тогда Z - максимальная нильпотентная подгруппа) был рассмотрен Гельфандом и Граевым в [1].

Существует связь между этой задачей интегральной геометрии и формулой Планшере-ля на группе О. Именно, формула Планшереля на группе ОЬ(п, С) следует из формулы обращения как раз для преобразования ¿1 д ,... , 1. В случае группы ОЬ(п, М) это не так, надо вместо 311.... , 1 взять ¿2,2 ,...2 ,г, где г = 2 или г = 1 соответственно при четном или нечетном п. Более того, мы получаем формулы обращения (2), см. ниже, для ОЬ(п, С), отвечающие произвольному разбиению числа п. В случае ОЬ(п, М) коэффициент в формуле (1), см. ниже, равен 0 для любой подгруппы Znl..,nr нечетной размерности. Для Z2...,2,r он не равен нулю.

хРабота поддержана грантами: РФФИ ^. 05-01-00074a, ^. 06-06-96318 р_центр_а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП.2.1.1.351 и Темпланом ^. 1.5.07.