CC BY
17
где p, q E N, r, s E Z. Заметим, что при r < 0 формула (3) отличается от обычного умножения обобщенной функции на многочлен множителем 1/2.
Можно еще включить в наш класс функции xm sgn x, аналогично мы получаем
xm sgn x о 5(q')(x)=0, m ^ 0, (4)
x-r о x-r+k sgn x = x-2r+k sgn x, k ^ 2r, (5)
однако непонятно, например, чему равняется левая часть (5) при r ^ k ^ 2r — 1.
Формула (3) с r = 1, q = 0 и формула (4) с m = q = 0 совпадают с формулами (1). Отметим, что умножение о не является ассоциативным, например, (x-1 о x) о 5(x) = 1 о §(x) = (1/2)S(x), но x-1 о (x о S(x)) = x-1 о 0 = 0.
Литература
1. Ding X., Wang Xh. Multiplication of weak functions. Acta Math. Sci. Ser. B, 2005, vol. 25, No. 3, 569-576.
Интегральная геометрия на полной линейной группе, связанная с нильпотентными подгруппами 1
© С. В. Кольцова
Рассматривается нильпотентная подгруппа Z = Znl,..,nr группы С = СЬ(и, М) или С = СЬ(и, С), ассоциированная с разбиением п = и\ + ... + пг. Она состоит из блочных нижних треугольных матриц с единичными матрицами на диагонали. Определяется интегральное преобразование 3 = 3П1...,Пг, относящее финитным или быстро убывающим функциям / на С их интегралы по двусторонним классам смежности (плоскостям) Н = g-1Zg2'■
(3/)(н) = / /(д-1^2)^.
Jz
Решается задача о восстановлении исходной функции / на С через ее интегральное преобразование 3 /.
Обозначим через К многообразие указанных плоскостей. Его размерность равна размерности группы С, поэтому К является комплексом.
Почти всякая плоскость Н может быть записана в виде ^(,2, где £ 1 и ^2 - блоч-
ные верхние треугольные матрицы с единичными матрицами на диагонали, а 5 - блочнодиагональная матрица с блоками 5П1 ,...,5Пг. Поэтому функция (3/){Н) есть функция Ф(СьС2,5).
Для группы С = СЬ(п, С) случай Л , 1 , ... , 1 (тогда Z - максимальная нильпотентная подгруппа) был рассмотрен Гельфандом и Граевым в [1].
Существует связь между этой задачей интегральной геометрии и формулой Планшере-ля на группе С. Именно, формула Планшереля на группе СЬ(п, С) следует из формулы
обращения как раз для преобразования Л,1....1. В случае группы СЬ(п, М) это не так, надо
вместо Л д ,... , 1 взять 32,2 ,...2 ,г, где г = 2 или г = 1 соответственно при четном или нечетном п. Более того, мы получаем формулы обращения (2), см. ниже, для СЬ(п, С), отвечающие произвольному разбиению числа п. В случае СЬ(п, М) коэффициент в формуле (1), см. ниже, равен 0 для любой подгруппы Znl,..,nr нечетной размерности. Для Z2,..,2,r он не равен нулю.
хРабота поддержана грантами: РФФИ N0. 05-01-00074а, N0. 06-06-96318 р_центр_а, Научной Программой "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы" РНП.2.1.1.351 и Темпланом N0. 1.5.07.
Основной результат состоит в том, что К есть допустимый комплекс, см. [2] по поводу понятия допустимого комплекса. Этот факт равносилен следующему утверждению.
Пусть К(А,В) обозначает результант характеристических многочленов матриц А и В. Обозначим через Ке многообразие плоскостей комплекса К, проходящих через единицу е группы О. Для О = ОЬ(п, М) мы имеем
[ Ь6Ф((,(,5) % = о/(е), (1)
,;Ке д=е
ЖЄ
где
г,д = П п( ,
, дё„ д5„
<я "
Аналогично, для ОЬ(п, С) мы имеем
I' Ьд Гд Ф(С,С,Я) ад = о/(е). (2)
Ьд=п
Р<д р я
Ж
Є
д=е
Литература
1. И. М. Гельфанд, М. И. Граев. Комплексы плоскостей в пространстве Сп и формула Планшереля на группе СЬ(п, С). Докл. АН СССР, 1968, том 179, N0. 3, 522-525.
2. И. М. Гельфанд, М. И. Граев, З. Я. Шапиро. Интегральная геометрия на к-мерных плоскостях. Функц. анализ и его прил., 1967. том 1, вып. 1, 15-31.
Многочлены над двумерными алгебрами 1 © Н. А. Малашонок
Обозначим через А двумерную ассоциативную алгебру над М. Она состоит из элементов (чисел) г = х+іу, х,у Є М, с соотношением і2 = а+2/Зі, где а, в - некоторые фиксированные числа из Є М. Обозначим О = а + в2. Мы решаем классические задачи о многочленах Р(г) = апгп + ап-іги-1 + ... + ао, ап = 0, над А: об их корнях и о разложении их на множители.
Алгебра А называется алгеброй эллиптического, гиперболического или параболического типа соответственно при О < 0, О > 0, О = 0. Алгебра С комплексных чисел принадлежит эллиптическому типу, для нее а = — 1, в = 0, так что О = — 1. Для алгебр эллиптического типа указанные выше задачи решаются точно так же, как для С.
Алгебра А гиперболического типа (О > 0) обладает делителями нуля, они образуют два идеала Іі = Меі, І2 = МЄ2, где
Ші +і —ш2 — і а . ^ а п^.
еі = ------, Є2 = ---, Ші = —в + 4 О, Ш2 = —в — V О.
2л/й 2л/О
В качестве базиса в А удобно взять как раз эти элементы еі, е2. Для них имеют место соотношения е2 = еі, е2 = е2, ЄіЄ2 = 0. В этом базисе число г = х + іу запишется так: г = {еі + пе2, где £ = х — Ш2У, П = х — Шіу. Разложим коэффициенты а^ многочлена Р(г) по
хРабота поддержана Российским Фондом Фундаментальных Исследований: грант 05-01-00074а и Научными Программами "Развитие Научного Потенциала Высшей Школы": проект РНП.2.1.1.351 и Темплан 1.5.07.
