CC BY
20
МАТЕМАТИКА
УДК 519.718
В. В. Чугунова
ОБ ОДНОМ МНОЖЕСТВЕ ФУНКЦИЙ
Аннотация. Рассматривается реализация булевых функций схемами из ненадежных функциональных элементов в базисах, содержащих функцию h(xb ..., x2k+1) множества И2к + 1. Предполагается, что базисные элементы независимо друг от друга с вероятностью е (е е (0; 1/2)) подвержены инверсным неисправностям на входах элементов. В работе показано: 1) в произвольном конечном полном базисе B, содержащем функцию h(x1, ..., Х2к+1) множества И2к + 1, все булевы
1 _ к+1 к+2
функции можно реализовать схемами с ненадежностью не более ае + е
при е <-------1-----, где а = , т - наибольшее число входов элементов
48ат2 (2к +1)
в полном конечном базисе B; 2) в базисе B , содержащем все функции, зависящие не более чем от двух переменных, и функцию h(x1, ..., Х2к+1) е И2к + 1, функции 0, 1, x1, x2, ..., xn можно реализовать абсолютно надежно, а все остальные функции можно реализовать асимптотически оптимальными по надежности схемами, функционирующими с ненадежностью, асимптотически
(при е ^ 0) равной аек+1, где а = с2++1 .
Ключевые слова: булевы функции, синтез, асимптотически оптимальные по надежности схемы.
bstract. The realization of Boolean functions with circuits of unreliable functional ements in bases, contained the function h(x1, ..., Х2к+1) from set И2к + 1 is consid-ed. The basis elements are supposed to be prone to inverse faults on element inputs iependently from each other with the probability (е е (0; 1/2)). I this work there are demonstrated: 1) in arbitrary finite full basis B, contained function h(x1, ..., Х2к+1) of set И2к + 1, all Boolean functions are possible to realize with circuits with reliability at most аек+1 + ек+2 at е<----1-----, where а = с|к"+1, m is the greatest
48ат2(2к +1)
number of element inputs in finite full basis B; 2) in basis B, contained all functions, depended at most on two variables, and the function h(x1, ..., X2k+1) е И2к + 1, functions are possible to realize with asymptotically optimal on reliability circuits, worked with unreliability, asymptotically equal to aеk+1 (at е ^ 0), where a = с|к+1. Keywords: boolean functions, asymptotically optimal reliable circuits.
Впервые задачу синтеза надежных схем из ненадежных элементов рассматривал Дж. фон Нейман [1]. Он предполагал, что все элементы схемы независимо друг от друга с вероятностью е (е < 1/2 ) подвержены инверсным неисправностям на выходах, когда функциональный элемент с приписанной ему булевой функцией e(x) в неисправном состоянии реализует e(x).
Для повышения надежности схем Дж. фон Нейман использовал схему, реализующую функцию голосования £}(Xl, X2, xз) = хх V Х1Х3 V X2 xз . Позднее М. А. Алехина и С. И. Аксенов ввели в рассмотрение новые классы функций,
б ^ { 51 52 8] 83 52 83 } G { §2 52
корректирующих ошибки: Ь]= {Xl1X22 V Xl1Xз3 V X22Xз3 }, G2 = {Xl1X22 V
V х^3х44 }, G3 = {(x5l V х^2 )&(х^3 V х44 )} (где 8г- е {0, 1}, i = 1, 2, 3, 4).
С. И. Аксенов показал [2], что при инверсных неисправностях на выходах элементов наличие любой из функций множества G = G1 и G2 и G3 в заданном полном базисе Б гарантирует реализацию произвольной булевой функции схемой, функционирующей с вероятностью ошибки не больше е + се2 , где е < d, c, d - некоторые положительные константы.
В работе [3] М. А. Алехина ввела новый класс функций Mk, повышающих надежность схем, и доказала для него теорему 1. Множество Mk -множество всех булевых функций m( Xl,..., Xk) ^ > 3), обладающих свойством: найдется такой набор (¿1,..., bk), что на нем и всех соседних с ним наборах функция т( Х1,..., Xk) принимает значение 0, а на наборе (¿>1,..., bk) и всех соседних с ним наборах - значение 1. Наборы (¿1,...,bk) и (¿1,...,bk) называются характеристическими наборами функции т(Х1,..., Xk).
Теорема 1 [3]. Пусть /(Х1,..., хп) - произвольная булева функция, а S-схема, ее реализующая с ненадежностью Р(5) < р. Пусть схема 5т реализует функцию т( Х1,..., Xk) е Mk и Р(5т) < р . Обозначим V1 и V0 - вероятности ошибок схемы Зт на характеристических наборах. Тогда функцию /(Х1,..., хп) можно реализовать такой схемой ф(5), что Р(ф(5)) < шах^1, V0} + + ср2 , где положительная константа с < кС^/2].
Следствие 1. Пусть полный базис Б содержит функцию т(Х1,..., Xk) е е Mk, а функциональные элементы с вероятностью е подвержены инверсным неисправностям на выходах. Пусть / (Х1,..., хп) - произвольная булева функция, а S - схема, реализующая ее с ненадежностью Р(5) < 5е (5 - положительная константа). Тогда функцию / (х1,..., хп) можно реализовать такой
схемой А над Б, что Р(А) < е + се2 (положительная константа с < /2]52).
Из рассмотренных выше результатов следует, что существуют такие булевы функции, наличие которых в рассматриваемом базисе при инверсных неисправностях на выходах позволяет реализовать почти все булевы функции асимптотически оптимальными по надежности схемами с ненадежностью е (при е ^ 0).
Пусть функциональные элементы подвержены инверсным неисправностям на входах. Эти неисправности характеризуются тем, что поступающее на каждый вход элемента значение а (а е {0, 1}) с вероятностью е (0 < е < 1/2) может превратиться в значение а . Очевидно, что при инверсных неисправностях на входах с увеличением ^ - числа входов каждого элемента базиса Б, его ненадежность увеличивается до ¿е . Возникает вопрос: можно ли при инверсных неисправностях на входах элементов реализовать произвольную бу-
леву функцию схемой с ненадежностью порядка e[i/2] + 1 (где t > 3)? Ответ на него получен в этой статье.
Пусть Pj(a)(S, а) - вероятность появления значения f (а) на выходе
схемы S, реализующей булеву функцию f (x) = f (xi,..., xn) при входном наборе а . Ненадежность P(S) схемы S определяется как максимальное из чисел Pj(а)(S, а) при всевозможных входных наборах а . Надежность схемы S равна 1 - P(S).
Обозначим Pe (f) = inf P(S), где S - схема из ненадежных элементов, реализующая булеву функцию f (X). Схему A из ненадежных элементов, реализующую булеву функцию f (X), назовем асимптотически оптимальной (наилучшей) по надежности, если P(A) ~ Pe (f) при є ^ 0.
Рассмотрим множество функций H2k + 1, содержащее функции h(x1, ..., x2k + 1), существенно зависящие от (2k + 1) (где k = 1, 2, ...) переменных и обладающие свойствами:
1) найдется такой набор значений переменных b = (bi,..., b2k+i), что на нем и на всех наборах а = (а1,..., а2к+1) таких, что
2к+1
Р(а, b) = 2 І аі - Ь{ |< к,
i=1
функция принимает значение 0, т.е. h(b) = h(S) = 0;
2) на наборе b = (¿1..., b2k+1) и на всех наборах С = (q,..., С2k+1), таких,
что
- 2k+1 _
р(С,b) = 2 І Сі -bi |< k, i=1
функция принимает значение 1, т.е. h(b) = h(C) = 1.
Наборы b = (Й1,...,b2k+1) и b = (b1,...,b2k+1) назовем характеристическими наборами функции h(xb ..., x2k + 1).
Функции множества H2k+i можно представить в виде ДНФ. Для этого фиксируем числа 81, 82, ..., S2k+i є {0, 1} и получаем соответствующую им функцию:
§ § 5
h( x1,..., x2k+1) = V x11 x2 2... xiki+k1+1 ,
¿1 ,/'2,..., ik+]Є{1, 2,..., 2k+1}
v фір
где под знаком дизъюнкции стоят все возможные элементарные конъюнкции ранга (k + 1) от (2k + 1) переменных (их C2k+1 штук).
Число функций во множестве H2k + 1 равно: |H2k + i| = 22k + \
Пример 1. При k = 1 множество рассматриваемых функций H3 имеет
вид: h(x1, x2, x3) = x^1 x^2 v xj8' x^3 v x^2x^3, где Si є {0, 1}, i = 1, 2, 3.
Пример 2. При k = 2 и §! = 52 = 83 = 54 = §5 = 1 функция множества Н5 может быть задана СДНФ: И( Х1,Х2, Х3,Х4, Х5) = Х1Х2Х3Х4Х5 V ххХ3Х4Х5 V
V Х1Х2 Х3 Х4 Х5 V Х1Х2Х3 Х4 Х5 V Х1Х2 Х3Х4 Х5 V Х1Х2 Х3 Х4Х5 V Х1Х2 Х3 Х4 Х5 V
V Х1Х2 Х3 Х4 Х5 V Х1Х2 Х3 Х4 Х5 V Х1Х2 Х3 Х4Х5 V Х1Х2 Х3 Х4 Х5 V Х1Х2 Х3 Х4 Х5 V
V Х1Х2 Х3 Х4 Х5 V Х1Х2 Х3 Х4 Х5 V Х1Х2 Х3 Х4 Х5 V Х1Х2 Х3 Х4 Х5 .
Минимизируя СДНФ, получим: И(х\, х2, х3, х4, х5) = Х1 х2 х3 V Х1 х2 х4 V
V Х1 Х2 Х5 V Х2 Х3 Х4 V Х2 Х3 Х5 V Х3 Х4 Х5 V Х2 Х4 Х5 V Х1 Х3 Х4 V Х1 Х3 Х5 V Х1 Х4 Х5.
В случае k = 2 и произвольных 8г- е {0, 1}, рассуждая аналогично, по-
1 , ч 5, 82 53 5, 52 54 8, 52 §5
лучим: п(Х1, Х2, Х3, Х4, Х5) = Х11 Х22Х33 V Х11 х^2х44 V Х11 х^2Х55 V
52 53 54 52 53 55 53 54 55 52 54 55 5 53 54 5. 53 55
V Х22 Х33 х44 V Х22 Х33 Х55 V Х33 х44Х55 V Х22 х44Х55 V Х11 Х33 х44 V Х11 Х33 Х55 V
V х^х^4х5§5 , где е {0, 1}, i = 1, 2, 3, 4, 5.
Теорема 2. Пусть полный базис В содержит функцию Н(х\, ..., х2Д+1) е е Н2к + 1, а функциональные элементы с вероятностью е подвержены инверсным неисправностям на входах. Допустим, что произвольную булеву функцию /(Х) можно реализовать такой схемой 5, что Р(5) < р. Тогда функцию
/ (Х) можно реализовать такой схемой ф(5) над В, что
Р(ф(5)) < аек + 1 + (2k + 1)ар2, (1)
где а = С2А++1 .
Доказательство. Пусть /(Х) - произвольная булева функция, а 5 -схема, реализующая ее с ненадежностью Р(5) < р в базисе В, содержащем функцию к(х\, . ., х2Д+1), удовлетворяющую условиям теоремы 2. Пусть элемент Ек реализует функцию Л(хь ..., х2Д+1) и Р(ЕЙ) < р. Так как множество функций Н2Д + 1 С M2k + 1, то для функций Н(Х\, ..., Х2k+l) утверждение теоремы 1 справедливо.
Найдем вероятности ошибок на выходе функционального элемента Ек на характеристических наборах: V1 =у2 = С^+^еk+1(1 -е)k +
+ С2ДЙеД+2(1 -е)д-1 + ... + сЦ+хе1к (1 -е) + С22д+1е2д+1 < сЩ^1.
Используя теорему 1, по схеме 5 построим такую схему ф(5), ненадежность которой: Р(ф(5)) < аеДх1 + ср2, где а = С2++1, с < (2Д + 1)а.
Схема ф(5) является искомой схемой ф(5).
Теорема 2 доказана.
Следствие 1. При Д = 1 неравенство (1) принимает вид
Р(Ф(5)) < 3е2 + 9р2. (2)
Следствие 2. При Д = 2 неравенство (1) принимает вид
Р(Ф(5)) < 10е3 + 50р2. (3)
Следствие 3. При Д = 3 неравенство (1) принимает вид
Р(Ф(5)) < 35е4 + 245р2. (4)
Следствие 4. При Д = 4 неравенство (1) принимает вид
Р(ф(5)) < 126є5 + 1134р2. (5)
Пусть В1 - произвольный конечный полный базис, содержащий хотя бы одну из функций множества Н3, а т - наибольшее число входов элементов базиса В1 (т > 3). Тогда в базисе В1 справедлива теорема 3.
Теорема 3. При є < 1/(432т2) любую булеву функцию /(х) в полном конечном базисе В1 можно реализовать такой схемой 5, ненадежность которой Р(5) < 3є2 + є3.
Для доказательства теоремы 3 используем леммы 1 и 2.
Лемма 1 [2]. Если В - конечный полный базис, тогда функцию штрих Шеффера х | у можно реализовать над В схемой, в которой не более шести функциональных элементов.
Лемма 2 [4]. Если схема в произвольном базисе В реализует функцию штрих Шеффера х |у с ненадежностью Р(5*) < ц, то при ц < 1/50 любую булеву функцию /(х) в базисе В можно реализовать схемой 5, ненадежность которой Р(£) < 4ц.
Доказательство теоремы 3. В базисе В1, содержащем хотя бы одну из функций множества Н3, можно построить схему 5*, реализующую функцию штрих Шеффера х| у и состоящую из не более шести функциональных элементов (лемма 1), т.е. Р(5*) < 6тє, тогда ц < 6тє, где т - наибольшее число входов элементов базиса В1 (т > 3).
Следовательно, используя лемму 2, получим: при є < 1/(300т) любую булеву функцию /(х) в базисе В1 можно реализовать схемой 5, ненадежность которой Р( 5) < 24тє.
Используя следствие 1 из теоремы 2, по схеме 5 построим схему ф( 5), ненадежность которой Р(ф( 5)) < 3є2 + 9(24тє)2 < 13є при є < тіп{1/(300т); 1/(24-9-2т2)} = 1/(432т2) (по формуле (2)). Применяя теорему 2 еще раз, по схеме ф( 5) построим схему ф2( 5), для которой Р(ф2( 5)) < 3є2 + 9(13є)2 = = 1524є2 < є при є < 1/(432т2). На четвертом шаге итерации построим схему ф3( 5), ненадежность которой Р(ф3( 5)) < 3є2 + 9(є)2 = 12є2 при є < 1/(432т2). По схеме ф3( 5) построим схему ф4( 5), реализующую / (х) с ненадежностью Р(ф4( 5)) < 3є2 + 9(12є2)2 = 3є2 + 1296є4 < 3є2 + є3 при є < 1/(432т2). Схема ф4( 5) искомая, т.е. 5 = ф4( 5).
Теорема 3 доказана.
В базисе В2 - произвольном конечном полном базисе, содержащем хотя бы одну из функций множества Н5, можно аналогично доказать теорему 4.
Пусть т - наибольшее число входов элементов базиса В2 (т > 3).
Теорема 4. При є < 1/(2400т2) любую булеву функцию / (х) в полном конечном базисе В2 можно реализовать такой схемой £, ненадежность которой Р(5) < 10є3 + є4.
Доказательство. В базисе В2, содержащем хотя бы одну из функций множества Н5, можно построить схему 5*, реализующую функцию штрих Шеффера х| у и состоящую из не более шести функциональных элементов (лемма 1), т.е. Р(5*) < 6тє, тогда ц < 6тє, где т - наибольшее число входов элементов базиса В2 (т > 3).
Следовательно, используя лемму 2, получим: при є < 1/(300т) любую булеву функцию /(х) в базисе В2 можно реализовать схемой 5, ненадежность которой Р( Б) < 24тє.
Используя следствие 2 из теоремы 2, по схеме 5 построим схему ф( 5), ненадежность которой Р(ф( 5)) < 10є3 + 50(24тє)2 < 13є приє < тіп{1/(300т); 1/(24-50-2т2)} = 1/(2400т2) (по формуле (3)). Применяя теорему 2 еще раз, по схеме ф( 5) построим схему ф2( 5), для которой Р(ф2( 5)) < 10є3 + 50(13є)2 = = 8451 є2 < є при є < 1/(2400т2). На четвертом шаге итерации построим схему ф3( 5), ненадежность которой Р(ф3( 5)) < 10є3 + 50(є)2 = 51є2 при є < 1/(2400т2). По схеме ф3( 5) построим схему ф4( 5), реализующую / (х) с ненадежностью Р(ф4( 5)) < 10є3 + 50(51 є2)2 < 17є3 при є < 1/(2400т2). Применяя теорему 2 еще раз, по схеме ф4( 5) построим схему ф5( 5), для которой Р(ф5( 5)) < 10є3 + + 50(17є3)2 < 10є3 + є4 при є < 1/(2400т2). Схема ф5( 5) искомая, т.е. 5 = ф5( 5).
Теорема 4 доказана.
В базисе В3 - произвольном конечном полном базисе, содержащем хотя бы одну из функций множества Н7, можно доказать теорему 5.
Пусть т - наибольшее число входов элементов базиса В (т > 3).
Теорема 5. При є < 1/(11760т2) любую булеву функцию / (х) в полном конечном базисе В3 можно реализовать такой схемой 5, ненадежность которой Р(^ < 35є4 + є5.
Доказательство. В базисе В3, содержащем хотя бы одну из функций множества Н7, можно построить схему 5*, реализующую функцию штрих Шеффера х| у и состоящую из не более шести функциональных элементов (лемма 1), т.е. Р(5*) < 6тє, тогда ц < 6тє, где т - наибольшее число входов элементов базиса В3 (т > 3).
Следовательно, используя лемму 2, получим: при є < 1/(300т) любую булеву функцию /(х) в базисе В3 можно реализовать схемой 5, ненадежность которой Р( 5) < 24тє.
Используя следствие 3 из теоремы 2, по схеме 5 построим схему ф( 5), ненадежность которой Р(ф( 5)) < 35є4 + 245(24тє)2 < 13є при є < тіп{1/(300т); 1/(24-245-2т2)} = 1/(11760т2) (по формуле (4)). Применяя теорему 2 еще раз, по схеме ф( 5) построим схему ф2( 5), для которой Р(ф2( 5)) < 35є4 + + 245(13є)2 < є при є < 1/(11760т2). На четвертом шаге итерации построим схему ф3( 5), ненадежность которой Р(ф3( 5)) < 35є4 + 245(є)2 < 246є2 при є < 1/(11760т2). По схеме ф3( 5) построим схему ф4(5), реализующую /(х) с ненадежностью Р(ф4(5)) < 35є4 + 245(246є2)2 = 60305є4 < є3 при є <
< 1/(11760т2). Применяя теорему 2 еще раз, по схеме ф4( 5) построим схему ф5( 5), для которой Р(ф5( 5)) < 35є4 + 245(є3)2 < 35є4 + є5 при є < 1/(11760т2). Схема ф5( 5) искомая, т.е. 5 = ф5( 5).
Теорема 5 доказана.
В базисе В4 - произвольном конечном полном базисе, содержащем хотя бы одну из функций множества Н9, можно доказать теорему 6.
Пусть т - наибольшее число входов элементов базиса В4 (т > 3).
Теорема 6. При є < 1/(54432т2) любую булеву функцию / (х) в полном конечном базисе В4 можно реализовать такой схемой 5, ненадежность которой Р(^ < 126є5 + є6.
Доказательство. В базисе В4, содержащем хотя бы одну из функций множества Н9, можно построить схему 5*, реализующую функцию штрих Шеффера х | и состоящую из не более шести функциональных элементов (лемма 1), т.е. Р(5*) < 6тє, тогда ц < 6тє, где т - наибольшее число входов элементов базиса В3 (т > 3).
Следовательно, используя лемму 2, получим: при є < 1/(300т) любую булеву функцию /(х) в базисе В4 можно реализовать схемой 5, ненадежность которой Р( 5) < 24тє.
Используя следствие 4 из теоремы 2, по схеме 5 построим схему ф( 5), ненадежность которой Р(ф( 5)) < 126є5 + 1134(24тє)2 < 13є при є <
< тіп{1/(300т); 1/(24-1134-2т2)} = 1/(54432т2) (по формуле (5)). Применяя теорему 2 еще раз, по схеме ф( 5) построим схему ф (5), для которой Р(ф2( 5)) < 126є5 + 1134(13є)2 < є при є < 1/(54432т2). На четвертом шаге итерации построим схему ф3( 5), ненадежность которой Р(ф3( 5)) < 126є5 + + 1134(є)2 < 1135є2 при є < 1/(54432т2). По схеме ф3( 5) построим схему ф4( 5), реализующую /(х) с ненадежностью Р(ф4( 5)) < 126є5 + 1134(1135є2)2 <
< 2983є3 при є < 1/(54432т2). Применяя теорему 2 еще раз, по схеме ф4( 5) построим схему ф5( 5), для которой Р(ф5( 5)) < 126є5 + 1134(2983є3)2 <
< 20724є5 < є4 при є < 1/(54432т2). На следующем шаге итерации построим схему ф6( 5), ненадежность которой Р(ф6( 5)) < 126є5 ++ 1134(є4)2 < 126є5 + є6 при є < 1/(54432т2). Схема ф6( 5) искомая, т.е. 5 = ф6( 5).
Теорема 6 доказана.
Теорема 7. Пусть т - наибольшее число входов элементов в полном конечном базисе В, содержащем хотя бы одну функцию И(х1, ..., х2к + і) множества Н2к + 1 (т > 3), тогда любую булеву функцию /(х) в базисе В при
є <------21------ можно реализовать схемой 5, ненадежность которой
48ат (2к +1)
Р(5) < аєк+1 + єк+2 , где а = , к = 1, 2, ...
Доказательство. Проведем индукцией по числу к.
При к = 1 утверждение верно (см. теорему 3).
При к = 2 утверждение верно (см. теорему 4).
При к = 3 утверждение верно (см. теорему 5).
При к = 4 утверждение верно (см. теорему 6).
Допустим, что при к > 5 утверждение теоремы 7 верно, т.е. в базисе В, содержащем функцию к(х1, ..., х2к -1), найдется такая схема 5, реализующая функцию /(х), ненадежность которой: Р( 5) < аєк + єк + 1 < (а + 1)єк 1
при є <
48т 2(2к - 1)С2\-1
Докажем справедливость теоремы для (к + 1), т.е. в базисе В, содержащем функцию Н( х1,..., х2к+1). Так как базис В содержит функцию Н(х1,..., х2к+1), то можно считать, что он содержит и функциюН(х1,..., х2к-1) , т.к. функцию И(х1,..., х2к-1) можно получить из к( х1,..., х2к+1) отождествлением переменных (например, х2к+1 с х2к-1, х2к с х2к-2). Поэтому в базисе В можно построить схему 5, реализующую функцию /(х), с ненадежностью Р( 5) < аєк + єк + 1 < (а + 1)єк при є <---21------ (из предыдущего
48ат (2к +1)
пункта доказательства). Тогда, используя теорему 2, по схеме 5 построим схему ф(5), для которой Р( ф(5)) < аєк + 1 + (2к + 1)а(а + 1)2є2к < аєк + 1 +
+ Д- (1 +11 —-1----------- є2к-3 < аєк+1 + є2к-3 < аєк+1 + єк+2 при
483 І а ) т (2к + 1)2
є <-----21-------. Схема ф(5) является искомой схемой 5, т.е. 5 = ф(5).
48ат2(2к +1)
Таким образом, при є <---------21------ в базисе В можно построить
48ат (2к +1)
схему 5, реализующую произвольную булеву функцию /(х), для которой Р(5) < аєк+1 + єк+2, т.е. теорема 7 верна.
Теорема 7 доказана.
Таким образом, показано, что при инверсных неисправностях на входах элементов наличие хотя бы одной функции к(х1,..., х2к+1) є Н2к+1 в полном конечном базисе В позволяет реализовать все булевы функции схемами с ненадежностью не более аєк+1 + єк+2 при є <--------21-------, где а = С2++1, т -
48ат2(2к +1)
наибольшее число входов элементов в полном конечном базисе В.
Пусть В' - это множество всех булевых функций, зависящих не более чем от двух переменных. Тогда множество попарно неконгруэнтных булевых функций, зависящих (возможно, фиктивно) от двух переменных х1, х2, есть М(х1, х2) = {х1 & х2, х1 V х2, х1 | х2, х1 X х2, х1 — х2, х1 х2, х1 ~ х2, х1 © х2, х1, 0, 1}. При перечислении функций использованы следующие обозначения: х1І х2 = х V х2, х1 X х2 = х1& х2, х1 ~ х2 = х1 & х2 V х1 & х2, х1 — х2 =
= х V х2, х1 — х2 = х1 & х2 , х1 © х2 = х1 & х2 V *1 & х2 .
Пусть базис В = М(х1, х2)и{Л(хь ..., х2к + 1)}, где Л(хь ..., х2к + 1) є Н2к + 1. Тогда в базисе В справедливы теоремы 8 и 9.
Теорема 8. Пусть в базисе В є<---------1---3 (где а = ^¿+1), а /(х) -
48а(2к +1)3
произвольная функция. Тогда функцию /в базисе В можно реализовать схемой 5, ненадежность которой Р(5) < аєк+1 + єк+2.
Доказательство. В базисе В, содержащем функции, зависящие не более чем от двух переменных, и функцию Н(х1, ..., х2к+1) є Н2к+1 , наибольшее
число входов т = 2к + 1 имеет функциональный элемент, реализующий функцию Н(Х1,..., Х2к+1) . Справедливость теоремы 8 непосредственно следует из теоремы 7, т.к. базис В удовлетворяет всем условиям теоремы 7. Теорема 8 доказана.
Пусть К(п) - множество, содержащее функции х, (г = 1, п ) и константы
0, 1, которые в базисе В можно реализовать абсолютно надежно, т.к. элементы, реализующие константы 0 и 1 при инверсных неисправностях на входах считаем абсолютно надежными. Очевидно, число функций во множестве
„ 2п
К (п) равно (п + 2) и мало по сравнению с общим числом 2 булевых функций от п переменных.
Теорема 9. Пусть е<-------1---, /(Х) - булева функция, / £ К(п), £ -
2(2к +1)
любая схема в базисе В, реализующая /(Х). Тогда Р(£) > аек + 1 - акек + 2, где
а = ск+1 а = с2 к+1 .
Для доказательства теоремы 9 воспользуемся леммой 3.
Лемма 3 [5]. Пусть / (Х) - произвольная булева функция, отличная от
константы, ^ - любая схема ее реализующая. Пусть подсхема В схемы ^ со-
держит выход схемы ^ и реализует булеву функцию /'(Х) с ненадежностью Р(В) < 1/2. Обозначим р1 - минимум вероятностей ошибок на выходе схемы В по таким входным наборам Ь , что /'(Ь) = 0 . Аналогично, р0 - минимум вероятностей ошибок на выходе схемы В по таким входным наборам Ь , что
/ '(Ь) = 1.
Тогда вероятности ошибок на выходе схемы S удовлетворяют условиям:
Р\№, а ) > р1, если /(а) = 0;
Р00% а ) > р0, если /(а) = 1.
Замечание 1 [5]. Из леммы 3 следует, что Р(£) > тах{р0, р1}. Доказательство теоремы 9. Пусть / (Х) - булева функция, удовлетворяющая условиям теоремы, а ^ - произвольная схема, ее реализующая в базисе В . Поскольку / £ К(п), схема ^ содержит хотя бы один ненадежный элемент. Обозначим Е\ - ненадежный элемент, содержащий выход схемы S. Возможны случаи:
1. Элемент Е1 реализует функцию Х1 & х2. Вероятности ошибок на выходе элемента Е1 при поступлении на его входы соответствующих входных наборов равны: Р^00) = е2, Р0(11) = 2е - е2, Рх (01) = е - е2, Рх(10) = е - е2. При е < 1/4 применима лемма 3. Так как р0 = 2е - е2, р1 = е2, то (см. замечание 1) Р(^ > 2е - е2.
2. Элемент Е1 реализует функцию Х1 V х2. Вероятности ошибок на выходе элемента Е1 при поступлении на его входы соответствующих входных наборов равны: Р^00) = 2е - е2, Р0(11) = е2, Р0(01) = е - е2, Р0(10) = е - е2. При е < 1/4 применима лемма 3. Так как р1 = 2е - е2, р0 = е2, то (см. замечание 1) Р(^ > 2е - е2.
3. Элемент Е1 реализует функцию Х1 д х2. Вероятности ошибок на выходе элемента Е1 при поступлении на его входы соответствующих входных наборов равны: Р0(00) = е - е2, Р0(11) = е - е2, Р0(01) = е2, Р! (10) = 2е - е2. При е < 1/4 применима лемма 3. Так как р1 = 2е - е2, р0 = е2, то (см. замечание 1) Р(5) > 2е - е2.
4. Элемент Е1 реализует функцию Х1 -д х2. Вероятности ошибок на выходе элемента Е1 при поступлении на его входы соответствующих входных наборов равны: Р^00) = е - е2, Р1(11) = е - е2, Р! (01) = е2, Р0(10) = 2е - е2. При е < 1/4 применима лемма 3. Так как р0 = 2е - е2, р1 = е2, то (см. замечание 1) Р(5) > 2е - е2.
5. Элемент Е1 реализует функцию Х1 ~ х2. Вероятности ошибок на выходе элемента Е1 при поступлении на его входы соответствующих входных наборов равны: Р0(00) = Р0(11) = Р1(01) = Р1(10) = 2е - 2е2. При е < 1/4 применима лемма 3. Так как р1 = р0 = 2е - 2е2, то (см. замечание 1) Р(£) > 2е - 2е2.
6. Элемент Е1 реализует функцию х1 © х2. Вероятности ошибок на выходе элемента Е1 при поступлении на его входы соответствующих входных наборов равны: Р1(00) = Р1(11) = Р0(01) = Р0(10) = 2е - 2е2. При е < 1/4 применима лемма 3. Так как р1 = р0 = 2е - 2е2, то (см. замечание 1) Р($) > 2е - 2е2.
7. Элемент Е1 реализует функцию х1 |х2. Вероятности ошибок на выходе элемента Е1 при поступлении на его входы соответствующих входных наборов равны: Р0(00) = е2, Р1(11) = 2е - 2е2, Р0(01) = е - е2, Р0(10) = е - е2. При е < 1/4 применима лемма 3. Так как р1 = е - е2, р0 = е2, то (см. замечание 1) Р(5) > е - е2.
8. Элемент Е1 реализует функцию х1Хх2. Вероятности ошибок на выходе элемента Е1 при поступлении на его входы соответствующих входных наборов равны: Р0(00) = е2, Р1(11) = 2е - 2е2, Р1(01) = е - е2, Р1(10) = е - е2. При е < 1/4 применима лемма 3. Так как р1 = е - е2, р0 = е2, то (см. замечание 1) Р(5) > е - е2.
9. Элемент Е1 реализует функцию Х . Вероятности ошибок на выходе элемента Е1 при поступлении на его входы соответствующих значений равны: Р1(0) = Р0(1) = е. При е < 1/4 применима лемма 3. Так как р1 = р0 = е, то (см. замечание 1) Р(£) > е.
10. Элемент Е1 реализует функцию Н(Х\,..., Х2к+\) е Н2к+1. Вероятности ошибок на выходе элемента Е1 при поступлении на его входы характеристических наборов равны: р1 = р0 = Скд!"+1ек+1(1 -е)к + Ск++1ек+2(1 -е)к 1 +
1 <^2к „2кп 1 г2к+1„2к+1 ^ ^к+1 к+1/1 -\к - 1
.. + С2к+1е (1 -е) + С2к+1е > С2к+1е (1 -е) при е<
2(2к +1) Учтем, что:
(1 - є)к = с0 є0 - Ск є1 + с|є2 - с|є3 +... + є{ єг - с[+1єг+1 +... + (-1)к СІ єк .
Воспользуемся условием: СкеГ - Скк+1еГ+1 = Скег
( пг+1 г+1 ^
1 - ск є Ск єг
= С. єг
(1 к! г !(к - г)! єг-є ^
(г +1)!(к - г -1)!' к! ' єг
= Ск єг (1 - — ■ 1 г +1
т п.- ^ 1 п . к -г к -г 1
Так как 0 <е<-----------, то 0 <------е <-----------------, поэтому
2(2к +1) г +1 г + 1 2(2к +1)
„к - г 1 к - г 1 к 1 к 111
0 <------е<----------------<----------------<-------------<-------= —
г + 1 г +1 2(2к +1) г + 1 2(2к +1) г +1 4к + 2 2 4 8
с п к - г 1 к - г
Если 0 <------е < —, то 0 < 1----------е < 1, поэтому:
г +1 8 г +1
Скег - Ск+1ег+1 = Ске -е | > 0.
Значит: (1 -е)к = Ск’е0 - С1ке1 + С^е2 - С^е3 + ... + С1кег - Ск+У+1 + + ... + (-1)кС|ек > С°е0 - С\е1= 1 - ке.
Таким образом, р1 = р0 = С^е1*+1(1 -е)к + С^1ек+2(1 -е)к -1 + ... + + С22кк+1е2к(1 -е) + С22к+11е2к+1 > С^++1Ек+1(1 -е)к > С^++1Ек+1(1 - ке) при е<- 1
2(2к +1)
При є<--------1--- применима лемма 3 (см. замечание 1), поэтому
2(2к +1)
Р№ > аєк + 1 (1 - кє) = аєк + 1 - акєк + 2, где а = С^ .
Теорема 9 доказана.
Из теоремы 9 следует, что схемы, построенные при доказательстве теоремы 8, являются асимптотически оптимальными по надежности для почти
всех функций (кроме Хі (і = 1, п) и констант 0, 1) в базисе В . Функции х^ (і = 1, п ) и константы 0, 1 в базисе В можно реализовать абсолютно надежно.
В работе [6] доказано, что если из базиса В убрать функцию к(Х1,..., Х2к+1)є Н2к+1, то в полученном базисе М справедливы теоремы 10 и 11.
Теорема 10 [6]. При є є (0; 1/100] любую булеву функцию / (X) в базисе М можно реализовать такой схемой S, что Р(£) < 2є + 19є2.
Теорема 11 [6]. Пусть є є (0; 1/6], / (X)- булева функция, отличная от
функций Хі , Хі (і = 1, п ) и констант 0, 1, а ^ - схема, реализующая /(X) в базисе М. Тогда Р(£) > 2є - 2є2.
Таким образом, из теорем 10 и 11 следует, что асимптотически оптимальные по надежности схемы в базисе М функционируют с ненадежностью 2є при є ^ 0.
Сравнивая полученные в этой работе результаты (теоремы 8 и 9) с результатами работы [6] (теоремы 10 и 11), приходим к выводу, что наличие в рассматриваемом базисе функции к( Х1,..., Х2.+1) є Н2к+1 позволяет реализовать почти все функции (кроме Хі (і = 1, п) и констант 0, 1) в этом базисе с большей надежностью.
Список литературы
1. Нейман, фон Дж. Вероятностная логика и синтез надежных организмов из ненадежных компонент / Дж. фон Нейман // Автоматы. - М. : Изд-во иностр. лит., 1956. - С. 68-139.
2. Аксенов, С. И. О надежности схем над произвольной полной системой функций при инверсных неисправностях на выходах элементов / С. И. Аксенов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. - 2005. - № 6 (21). -С. 42-55. - (Естественные науки).
3. Алехина, М. А. О функциях и схемах, корректирующих ошибки / М. А. Алехина // Синтез и сложность управляющих систем : материалы XVI Международной школы-семинара. - М. : Изд-во мех.-мат. ф-та МГУ, 2006. - С. 8-12.
4. Алехина, М. А. Об асимптотически наилучших по надежности схемах в базисе {&, V, } при инверсных неисправностях на входах элементов / М. А. Алехи-
на, В. В. Чугунова // Дискретный анализ и исследование операций. - 2006. -Т. 13. - № 4. - С. 3-17. - (Сер. 1).
5. Алехина, М. А. Нижние оценки ненадежности схем в некоторых базисах при однотипных константных неисправностях на входах элементов / М. А. Алехина // Дискретный анализ и исследование операций. - 2002. - Т. 9. - № 3. - С. 3-28. -(Сер. 1).
6. Чугунова, В. В. О надежности схем в некоторых приводимых полных базисах / В. В. Чугунова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2007. - № 2. - С. 25-37.
Чугунова Варвара Валерьевна
кандидат физико-математических наук, доцент, кафедра дискретной математики, Пензенский государственный университет
E-mail: [email protected]
Chugunova Varvara Valeryevna Candidate of physico-mathematical sciences, associate professor, sub-department of discrete mathematics, Penza State University
УДК 519.718 Чугунова, В. В.
Об одном множестве функций / В. В. Чугунова // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. -2009. - № 2 (10). - С. 2-13.
