Об асимптотически оптимальных По надежности схемах в некоторых специальных базисах Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 519.718

М. А. Алехина, Д. М. Клянчина

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫХ ПО НАДЕЖНОСТИ СХЕМАХ В НЕКОТОРЫХ СПЕЦИАЛЬНЫХ БАЗИСАХ1

Аннотация. Рассматривается реализация булевых функций схемами из ненадежных функциональных элементов в полном конечном базисе B, содержащем специальные функции. Предполагается, что все элементы схемы независимо друг от друга с вероятностью е е (0,1/2) подвержены неисправностям типа 0 на выходах. Доказано, что почти для всех булевых функций асимптотически оптимальные по надежности схемы функционируют с ненадежностью, асимптотически равной е при е ^ 0. Эта оценка ненадежности в два раза меньше, чем в случае инверсных неисправностей на выходах элементов в соответствующих базисах.

Ключевые слова: булевы функции, функциональные элементы, асимптотически оптимальный, надежность.

Abstract. An article examines an implementation of the Boolean functions in the circuits with unreliable functional elements in complete finite B basic sets, containing special functions. It is assumed that all the circuit elements irrespective of each other are subject to 0 type failures at the outputs with the probability е е (0,1/2). The article proves that the circuits with asymptotically optimum reliability implement Boolean functions with the value of unreliability being equal е when е^-0. The present value of unreliability is twice lower in comparison with inverse failures at the outputs of the relevant basic sets’ elements.

Keywords: Boolean functions, functional elements, asymptotically optimum reliability.

Введение

Введем множества булевых функций:

M1 = { x1 ( v X3 ), ) ( v X3 ), x1 ( v X3 ), ) v X2X3 , X1 v x2X3, X1 v x2X3 };

M2 = { ( v X2 jx v X2 v X3) , ( X1 vX2)( vX2 vX3 j,

(X1 v X2 )( v X2 v X3), ( v X2 v X3 )& ( v X2 v X3 )& & ( v X? v X3),

(1 v X2 v X3) ( v X2 v X3) ( v X2 v X3) };M3 = {(xi v X2 )(x1 v X2 v X3)} .

Рассмотрим реализацию булевых функций схемами из ненадежных функциональных элементов [1] в полном конечном базисе B, содержащем некоторую функцию из множества M = MinM2nM3. Считаем, что схема реали-

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РГНФ, номер проекта 09-06-28615а/В.

зует функцию /(,Х2,...,хп), если при поступлении на входы схемы набора а = (,°2,. .,ап) при отсутствии неисправностей на выходе схемы появляется значение / (а). Допустим, что все элементы схемы независимо друг от

друга с вероятностью е (ее (0,1/2)) переходят в неисправные состояния типа 0 на выходах. Эти неисправности характеризуются тем, что в исправном состоянии функциональный элемент реализует приписанную ему булеву функцию, а в неисправном - константу 0.

Пусть (&,а) — вероятность появления /(а) на выходе схемы S,

реализующей булеву функцию /(Х), при входном наборе а . Ненадежность Р(5) схемы & определяется как максимальное из чисел (&,а) при всевозможных входных наборах а . Надежность схемы & равна (1 — Р(5)).

Пусть Ре( / ) = т£ Р (&), где & - схема из ненадежных элементов, реализующая булеву функцию / . Схему А из ненадежных элементов, реализующую булеву функцию / , назовем асимптотически оптимальной по на, , , , Р(А)

дежности, если Р(А)~Ре (/) при е^0, т.е. Пт—-—^ = 1.

е^° Ре(/)

Пусть В3 - множество всех булевых функций, зависящих от трех переменных х1, х2, х3.

В работе [2] введены множества функций G1, G2, G3, G4, где G1 - множество функций, конгруэнтных функциям ха ха V ха Хз°3 V ха Хз°3; G2 -множество булевых функций, зависящих от переменных х1, х2, х3 и конгруэнтных функциям ха ха © хз°3, аг- е{0,1}, г е{ 1,2,3} ; G3 - множество функций,

конгруэнтных функциям ха1 ха2 V ха2 хзаз, а г е {0,1}, г е {1,2,3} ; G4 - множество функций, зависящих от переменных х1, х2, х3, х4 и конгруэнтных функциям ха1 ха2 V ха3 ха4 или (ха1 V ха2х ха3 V ха4), где а е{0,1}, г е{ 1,2,3,4}.

Обозначим G = G1nG2nG3 (|G| = 56). В случае инверсных неисправностей на выходах элементов доказано [2], что если полный конечный базис В содержит некоторую функцию множества G, то любую функцию / в этом базисе В можно реализовать схемой А с ненадежностью Р(А) < е + 200е2 при всех ее (0,1/960]. Последнее утверждение верно и в случае неисправностей типа 0 на выходах элементов [3-5]. Учитывая, что при неисправностях типа 0 на выходах элементов любая схема, содержащая хотя бы один функциональный элемент и реализующая отличную от константы 0 функцию, имеет ненадежность не менее е [3], получаем следующий результат: если полный конечный базис В содержит некоторую функцию множества G, то для почти всех функций асимптотически оптимальные по надежности схемы функционируют с ненадежностью, асимптотически равной е при е ^ 0. Это свойство базиса будем называть е-свойством.

Множество G является критериальным (исчерпывающим) [2], если базис В содержит только функции трех переменных, т.е. В с В3, а его элементы подвержены инверсным неисправностям на выходах. В работе [6] доказано,

что функции множества О не являются исчерпывающими, если базис В с В3, а базисные элементы подвержены неисправностям типа 0 на выходах. В работе [6] найдено такое множество М * функций трех переменных, что если полный конечный базис В содержит некоторую функцию множества М *, то базис В обладает е-свойством. Ответ на вопрос «Является ли множество М * пО исчерпывающим, если полный конечный базис В с В3, а его элементы подвержены неисправностям типа 0 на выходах?» получен в этой работе. Ответ отрицательный, далее будет доказано, что множество О не является исчерпывающим в случае неисправностей типа 0 на выходах элементов и В с В3.

Функции множества М исследовал А. В. Васин [7]. Для инверсных неисправностей на выходах элементов он доказал, что:

1) если полный конечный базис В содержит некоторую функцию множества М, то любую функцию / в этом базисе можно реализовать схемой А с ненадежностью Р(А) < 2е + 204е2 при всех е є (0,1/960];

2) если базис В с В3\О и ВиМФ 0, то в базисе В почти для всех функций асимптотически оптимальные по надежности схемы функционируют с ненадежностью, асимптотически равной 2е при е ^ 0. Эта асимптотическая оценка ненадежности в два раза хуже аналогичной оценки при неисправностях типа 0 на выходах элементов, полученной в этой работе.

Вспомогательные ранее известные результаты

Обозначим через /а функцию / , если ст = 1, и функцию / , если

ст = 0, а схему, реализующую функцию /а (ає {0,1}), будем обозначать £а.

Пусть схема £я реализует функцию g є О4 (напомним, что

g = ха ха V ха х£4 , или g = (ха V х^2)(ха V х^), а* є {0,1}, іє {1, 2, 3, 4}).

Возьмем схему £а', реализующую функцию /, схему £а2 , реализующую функцию /°2 , схему £а3, реализующую функцию /°3, и схему £а4 , реализующую функцию /°4 . Используя схемы £г, £, £°2 , £°3 и £°4 , построим схему (рис. 1), которую также обозначим Ф(£:, 5°). Нетрудно проверить, что и в этом случае схема Ф(£, £0) реализует функцию / Всюду далее схему £1 будем обозначать £.

Пусть схема Sg реализует функцию g є Оі (т.е. функция g имеет вид

g = хах2°2 V х^1 х^3 V х^2х^3, аі є {0,1}, і є {1, 2, 3}). Возьмем схему £°1, реализующую функцию /а1, схему £°2, реализующую функцию /°2, и схему £°3, реализующую функцию /°3. Используя схемы £я, £а1, £°2 и

£°3, построим схему Ф(£0, £1) (рис. 2). Нетрудно проверить, что схема Ф(£“, £1) реализует функцию /

Операция Ф (рис. 1, 2) по схемам £ и £0, реализующим булевы функции /и / соответственно, строит схему Ф(£, £0), реализующую функцию/ Результат п -кратного применения (п є N) операции Ф к схемам £ и £ будем обозначать Фп(£, £0). Применение операции Ф к некоторым схемам £ и £ при некоторых условиях на их ненадежности Р(£) и Р(£0) приводит к схемам,

имеющим более высокую надежность, чем исходная схема £. В том случае, когда операция Ф применяется только к схемам £ (т.е. когда все числа Сі = 1), результат ее применения будем обозначать Ф(£). Если же операция Ф применяется только к схемам £ (т.е. когда все числа ^ = 0), результат ее применения будем обозначать Ф(£0).

Рис. 1

Рис. 2

Лемма 1 [3]. Допустим, что произвольную функцию /можно реализо-

вать схемой £ с ненадежностью не больше р (р < 1/2). Пусть £ - схема, лизующая функцию g є О1 и О4 с ненадежностью Р(£ё) (Р(£8) < 1/2), причем

у0 и у1 - вероятности ошибок схемы £ё на наборах (с^, а2, 03,04) и

02,03,04) соответственно, если g зависит от четырех переменных, и

на наборах (а, а2, 03) и (а, О2,03) соответственно, если g зависит от

трех переменных. Тогда схема Ф(£, £0) реализует функцию / с ненадежностью

Р(Ф(£, £0)) < шах{у0, ^} + 4р • Р£) + 6р2, если g є О4 (рис. 1),

Р(Ф(£, £0)) < шах{у0, ^} + 3р • P(£g) + 3р2, если gє О1 (рис. 2).

Лемма 2 [8]. В произвольном полном конечном базисе В любую булеву функцию /можно реализовать такой схемой £, что при всех е є (0, 1/960] ее ненадежность Р(£) < 5,2е.

Лемма 3 [6]. Пусть схема £ь реализует функцию Н(х1,х2,х3) =

= хС1 хС2 © х3С3, аі є {0,1}, і є {1,2,3} с ненадежностью Р(£и), причем w1 -вероятности ошибок схемы £ на наборах (С1, О2, 0), (О1, О2, 1). Тогда можно построить такую схему £8, реализующую функцию g(х1,х2,х3) =

= (х1 х^ V х1 х3 V х2х3 )°3, что P(£g) < Р(£ъ) + 2 р© ( р© - максимальная из ненадежностей схем, реализующих функции х1 © х2 и х1 © х2 © 1 в рассматриваемом базисе), а для вероятностей ошибок у1 и у0 схемы £ на наборах

2

(0,0,0) и (1,1,1) выполняются нераєенс^тєа: У1, У0 < ^ш.ах{^0, ^1} + 2 р© .

и

Основные результаты Лемма 4. Пусть ф(х1,х2,х3) є М1иВ, тогда в базисе В функцию g є О4 можно реализовать такой схемой £ что при єє(0;1/2) ее ненадежность Р£) < 2є, а вероятности ошибок у0 и у1 схемы £g на наборах

(а,а2,03,а4) и (,а2,С3,04) соответственно удовлетворяют неравенствам у0 < е и у1 < е.

Доказательство. Пусть базис В содержит функцию из множества М1. Возможны следующие варианты:

1. ф(,х2,х3 ) = х1 (2 V х3), тогда из нее подстановкой ^ вместо х1 и

подстановкой 22 вместо х2 и х3 получим функцию Ф1 = ^1^2 . Тогда g =ф(Ф1 (ъг2 ),х2,х3 ) = ( V ^2 )(х V х3)є О4 , причем а1 = 1, а2 = 1, а3 = 0, а4 = 0 . Схему из двух элементов, реализующую функцию g, обозначим £g. Вычислим вероятность ошибки у0 на выходе схемы £g на наборе

(1, а2, а3, а4 )=(1, 1, 0, 0) и получим у0 = £ . Вычислим вероятность ошибки у1 на выходе схемы £g на наборе (1, а2, С3, а4 )=(0, 0, 1, 1) и получим У1 = 0 .

2. ф(,х2,х3 ) = х (х2 V х3), тогда из нее подстановкой 21 вместо х1 и подстановкой 22 вместо х2 и х3 получим функцию Ф1 = 2^2. Тогда g =ф(Ф1 (21,22 ), х2,х3 ) = (21 V 22 )(^2 V х3 ) є О4 , причем а1 = 1, а2 = 1, а3 = 0, а4 = 1. Схему из двух элементов, реализующую функцию g, обозначим £g. Вычислим вероятность ошибки у0 на выходе схемы £g на наборе

(1, а2, а3, а4 )=(1, 1, 0, 1) и получим У0 = є . Вычислим вероятность ошибки у1 на выходе схемы £g на наборе (1, а2, а3, а4 )=(0, 0, 1, 0) и получим

у1 = 0 .

3. ф(, х2, х3 ) = х ((2 V х3), тогда из нее подстановкой 21 вместо х1 и х3, подстановкой 22 вместо х2 получим функцию Ф2 = 2122 . Тогда g = Ф (Ф2 (21,22 ), х2,х3 ) = (21 V 22 )(^2 V х3 ), причем а1 = 1, а2 = 1, а3 = 0, а4 = 1. Схему из двух элементов, реализующую функцию g, обозначим £g. Вычислим вероятность ошибки у0 на выходе схемы £g на наборе (1, а2, а3, а4 )=(1, 1, 0, 1) и получим У0 = £ . Вычислим вероятность ошибки у1 на выходе схемы £g на наборе (1, а2, С3, а4 )=(0, 0, 1, 0) и получим

у1 = 0 .

Функция х (х2 V х3) конгруэнтна функции ф (х1, х2, х3) = х ((2 V х3), рассмотренной в п. 3, следовательно, для нее утверждение леммы верно.

4. ф(,х2,х3 ) = х V %2х3, тогда из нее подстановкой 21 вместо х1 и

подстановкой 22 вместо х2 и х3 получим Ф1 = 2 V 22 . Тогда

g = ф( (21,22 ),х2, х3 ) = 2122 V х2х3 є 04, причем а1 = 1, а2 = 1, а3 = 0, а4 = 0. Схему из двух элементов, реализующую функцию g, обозначим £g . Вычислим вероятность ошибки у0 на выходе схемы £g на наборе

(1, а2, а3, а4) =(1, 1, 0, 0) и получим у0 = £. Вычислим вероятность ошибки у1 на выходе схемы £g на наборе (1, О2, С3, а4) = (0, 0, 1, 1) и получим у = £ .

5. ф(,х2,х3 ) = х V х2х3, тогда из нее подстановкой 21 вместо х1 и подстановкой 22 вместо х2 и х3 получим Ф1 = 21V 22. Тогда

g = ф(Ф1 (21,22),х2,х3 ) = 2122 V х2х3 є О4 , причем а1 = 1, а2 = 0, а3 = 1,

а4 = 1. Схему из двух элементов, реализующую функцию g, обозначим £g. Вычислим вероятность ошибки у0 на выходе схемы £g на наборе

(1, а2, а3, а4) = (1, 0, 1, 1) и получим у0 = £ . Вычислим вероятность ошибки у1 на выходе схемы £g на наборе (1, О2, О3, О4 )=(0, 1, 0, 0) и получим у = £ .

6. ф(,х2,х3 ) = х V %2х3, тогда из нее подстановкой 21 вместо х1 и

х3, подстановкой 22 вместо х2 получим функцию Ф2 = 21V 22 . Тогда g =ф(Ф2 (21,22 ),х2,х3 ) = 2122 VX2х3 є О4 , причем а1 = 1, а2 = 1, а3 = 0,

а4 = 1. Схему из двух элементов, реализующую функцию g, обозначим £g. Вычислим вероятность ошибки у0 на выходе схемы £g на наборе

(1, а2, а3, а4) =(1, 1, 0, 1) и получим у0 =£ . Вычислим вероятность ошибки у1 на выходе схемы £g на наборе (1, О2, О3, О4 )=(0, 0, 1, 0) и получим у = £ .

Отметим, что функция х V х2 х3 конгруэнтна функции х V х2 х3, рассмотренной в п. 6, следовательно, для нее утверждение леммы верно.

Лемма 4 доказана.

Теорема 1. Пусть полный конечный базис В содержит функцию фє М1. Тогда любую булеву функцию/в базисе В можно реализовать такой схемой А, что при всех е є (0, 1/960] верно неравенство Р(А) < е+15е2.

Доказательство. Пусть ф(х1, х2, х3) єМ1иВ. По лемме 4 функцию

gЄ О4 (т.е. g = хС1 х^2 V х^3 х^4 или g = ( хС1 V хС2)(хС3 V х^4), Оі є {0,1}, іє {1, 2, 3, 4}) в базисе В можно реализовать такой схемой £я, что Р(£я) < 2е, а вероятности ошибок у0 и у1 на наборах (1,02,03,04) и (1,02,03,04) удовлетворяют неравенствам у0 <£, у1 <£. Следовательно, шах{у0, у1}< £.

Пусть /- произвольная булева функция. По лемме 2 функции /и / можно так реализовать схемами £ и £ соответственно, что Р(£) < 5,2е и

Р(£“)< 5,2е. Используя схему £я, а также схемы £01, £°2 , £°3 и £°4 , построим схему Ф(£, £0), реализующую функцию/(рис. 1). По лемме 1 оценим

ненадежность построенной схемы Ф(£, £0), полагая р = 5,2е. Получаем неравенство

Р (Ф(£, £0)) < шах{у0, у1} + 4р • Р(£я) + 6р2 < є + 4 • 5,2е • 2е + 6 • (5,2е)2 <

< е + 204е2 < 1,3е при £ є (0;1/960].

По схеме Ф(£, £0) построим схему Ф2(£, £0) и снова применим лемму 1 для оценки ненадежности схемы Ф2(£, £0), полагая р = 1,3е. Получаем неравенство

Р(Ф2(£, £)) < шах{у0, у1} + 4р • P(£g) + 6р2 < е + 4 • 1,2е • 2е + 6 • (1,2е)2 <

< е + 19е2 < 1,02е при £ є (0; 1/960].

По схеме Ф2(£, £0) построим схему Ф3(£, £0) и по лемме 1 оценим ненадежность схемы Ф3(£, £0), полагаяр = 1,02е:

Р(Ф3(£, £0)) < шах{у0, у1} + 4р • P(£g) + 6р 2 <

< е + 4 • 1,02е• 2е + 6 • (1,02е)2 < е+15е2.

Схема Ф3(£, £0) = А - искомая.

Теорема 1 доказана.

Лемма 5. Пусть ф(х1,х2,х3)є М2иВ, тогда в базисе В функцию Нє02

(т.е. Н(х1,х2,х3) = хО1 х02 © х03, Оі є {0,1},іє{1, 2, 3}) можно реализовать

такой схемой £Н что Р(£Н) < 2е, а вероятности ошибок ^0, w1 на выходе схемы £и на наборах (01,02,1), (01,02,0) соотвественно удовлетворяют неравенствам < е, w1 < е.

Доказательство. Проверим верность леммы для функций множестваМ2.

1. Пусть ф(х1,х2,х3) = (х1 V х2 )(( V х? V Ї3 ). Тогда Н(х1,х2,х3) =

= ф(ф(х1,х1,х2),х3,х3) = х^ © х3, т.е. о1 = 1, о2 = 0, о3 = 1. Поскольку для реализации функции Н двух элементов достаточно, верно неравенство Р(£Н) < 2е. Вычислим вероятность ошибки на выходе схемы £Н на наборе (01,02,1) = = (0,1,1) и получим ^0 = е. Вычислим вероятность ошибки w1 на выходе схемы £Н на наборе (01,02,0) = (0,1,0) и получим w1 = 0.

2. Пусть ф(х1,х2,х3)= (21 V х? )( V х2 V х3). Тогда Н(х1,х2,х3) =

= ф(ф(х1,х2, х1), х3, х1) = х1х2 © х3, т.е. о1 = 1, о2 = 1, о3 = 0. Поскольку для реализации функции Н двух элементов достаточно, верно неравенство Р(£Н) < 2е. Вычислим вероятность ошибки на выходе схемы £Н на наборе (01,02,1) = = (0,0,1) и получим ^0 = е. Вычислим вероятность ошибки w1 на выходе схемы £Н на наборе (01,02,0) = (0,0,0) и получим w1 = е.

3. Пусть ф(х1,х2,х3) = (( V х2)( V х2 V х3 ). Тогда Н(х1,х2,х3) =

ф(ф(х1,х1,х2),х3,х3) = хх © х3 , т.е. о1 = 0, о2 = 1, о3 = 1. Поскольку для реализации функции Н двух элементов достаточно, верно неравенство Р(£Н) < 2е. Вычислим вероятность ошибки на выходе схемы £И на наборе (01,02,1) = = (1,0,1) и получим ^0 = е. Вычислим вероятность ошибки w1 на выходе схемы £Н на наборе (01,02,0) = (1,0,0) и получим w1 = 0.

4. Пусть ф(х1,х2,х3)= (х1 V х2 V х3 )( V х2 V х3 )( V х2 V х3 ). Тогда Н(х1,х2,х3) = ф(ф(х1,х1,х2),х1,х3) = хх © х3, т.е. о1 = 1, о2 = 0, о3 = 1. Поскольку для реализации функции Н двух элементов достаточно, верно неравенство Р(£Н) < 2е. Вычислим вероятность ошибки ^0 на выходе схемы £Н на наборе (0Ь02,1) = (0,1,1) и получим ^0 = е. Вычислим вероятность ошибки w1 на выходе схемы £Н на наборе (01,02,0) = (0,1,0) и получим w1 = е.

5. Пусть ф(х1,х2,х3) = ( V х2 V х3 )(( V х2 V Ї3 )( V х2 V Ї3 ). Тогда Н(х1,х2,х3) = ф(ф(х1,х1,х2),х1,х3) = х1х2 © х3, т.е. о1 = 1, о2 = 1, о3 = 0. Поскольку для реализации функции Н двух элементов достаточно, верно неравенство Р(£Н) < 2е. Вычислим вероятность ошибки ^0 на выходе схемы £Н на наборе (01,02,1) = (0,0,1) и получим ^0 = е. Вычислим вероятность ошибки w1 на выходе схемы £Н на наборе (01,02,0) = (0,0,0) и получим w1 = е.

Лемма 5 доказана.

Теорема 2. Пусть полный базис В содержит функцию ф(,х2,х3)є є М2. Тогда любую булеву функцию /в базисе В можно реализовать схемой А так, что при всех еє (0, 1/960] верно неравенство Р(А) < е + 100е2.

Доказательство. Пусть ф(х1, х2, х3) єМ2иВ. Применима лемма 5, согласно которой в базисе В некоторую функцию Нє 02, т.е. функцию вида Н( х1, х2, х3) = хС1 х02 © х03, а і є {0,1}, іє{1, 2, 3}, можно реализовать такой схемой £Н, что Р(£Н) < 2е, а вероятности ошибок ^0, w1 на выходе схемы £Н на наборах (01,02,1), (01,02,0) соотвественно удовлетворяют неравенствам ^0 < е, w1 < е.

По лемме 2 функции х1 © х2 и х1 © х2 © 1 можно реализовать схемами £1 и £2 соответственно так, что Р(£1) < 5,2е и Р(£2) < 5,2е. Следовательно, р© =шах{Р(£1),Р(£2)} < 5,2е.

По лемме 3, используя схему £н, построим такую схему £g, реализующую функцию g (х1, х2, х3) — (х^2 V х1х3 V х2 х3) 3, что Р(£^ < Р(£н) + 2 р© <

< 2е + 2 • 5,2е < 12,4е, а для вероятностей ошибок у1 и у0 схемы £ на наборах

2

(0,0,0) и (1,1,1) выполняются неравенства: у1, у0 < шах{^0, ^1} + 2 р© <

< е + 2(5,2е)2 < е + 54,1 е2 при еє (0, 1/960].

Пусть / - произвольная булева функция.

Если 03 = 1, то возьмем три экземпляра схемы £, реализующей функцию / с ненадежностью Р(£) < 5,2е (по лемме 2 это возможно), а также один экземпляр схемы £г и построим схему Ф(£) (рис. 2), реализующую функцию / . По лемме 1 оценим ненадежность построенной схемы Ф(£): Р(Ф(£)) <

< е + 54,1 е2 + 3 ■ 5,2е ■ 12,4е + 3 ■ (5,2е)2 < е +328,7е2 < 1,35е при е є (0, 1/960]. По схеме Ф(£) построим схему Ф2(£). Применим лемму 1 и получим: Р(Ф2(£)) <

< е + 54,1 е2 + 3 ■ 1,35е ■ 12,4е +3-(1,35е)2 < е + 110е2 < 1,115е при е є (0, 1/960]. По схеме Ф2(£) построим схему Ф3(£). Применим лемму 1 и получим: Р(Ф3(£)) < е + 54,1 е2 + 3 ■ 1,115е ■ 12,4е + 3 ■ (1,115е)2 < е + 100е2. Схема Ф3(£) = А - искомая.

Если 03 = 0, то возьмем три экземпляра схемы £0, реализующей функцию / с ненадежностью Р(£0) < 5,2е (по лемме 2 это возможно), а также

один экземпляр схемы £я и построим схему Ф(£0) (рис. 2), реализующую функцию / . По лемме 1 оценим ненадежность построенной схемы Ф(£0): Р(Ф(£0)) < е + 54,1 е2 + 3 ■ 5,2е ■ 12,4е + 3 ■ (5,2е)2 < е + 328,7е2 < 1,35е при е є (0, 1/960]. По схеме Ф(£0) построим схему Ф2(£0). Применим лемму 1 и получим: Р(Ф2(£0)) < е + 54,1е2 + 3 ■ 1,35е ■ 12,4е + 3 ■ (1,35е)2 < е + 110е2 <

< 1,1 15е при е є (0, 1/960]. По схеме Ф2(£0) построим схему Ф3(£0). Применим лемму 1 и получим: Р(Ф3(£0)) < е + 54,1е2 + 3 ■ 1,115е ■ 12,4е + 3 ■ (1,115е)2 <

< е + 100е2. Схема Ф3(£0) = А - искомая.

Теорема 2 доказана.

Лемма 6. Пусть ф(х1,х2,х3)= (х1 V х2 )(5с1 V х2 V х3 ) (т.е. ф(х1,х2,х3) є М3), содержится в базисе В, тогда в базисе В можно построить такую схему £# реализующую функцию g(х1, х2, х3) = х1 х2 V х1 х3 V х2 х3 , что Р£) < 4е, а вероятности ошибок у1 и у0 схемы £ на наборах (0,0,0) и (1,1,1) равны: у1 = 0, у0 = е.

Доказательство. Пусть ф(х1, х2, х3) = (х1 V х2)(( V х? V х3 ) содержится в базисе В. Тогда функция ф(ф(х2, х3, х2), х2, х1) = хх V х2х3 = т(х1, х2, х3)є О3 , причем о1 = 1, о2 = 1, о3 = 1. Поскольку для реализации функции т двух элементов достаточно, верно неравенство Р(£т) < 2е. Вычислим вероятность ошибки Р0(£т, (1,1,1)) схемы £т на наборе (1,1,1) и получим Р0(£т, (1,1,1)) = е. Вычислим вероятность ошибки Р1(£т, (0,0,0)) схемы £т на наборе (0,0,0) и получим Р1(£т, (0,0,0)) = 0.

Моделируя формулу т (, т (, х2, х3), х3), построим схему £г, состоящую из четырех элементов и реализующую функцию g (х1, х2, х3) =

= х1 х2 V х1 х3 V х2 х3 . Тогда Р£) < 4е. Вычислим вероятность ошибки у1 схемы £ на наборе (0,0,0) и получим у1 = 0. Вычислим вероятность ошибки у0 схемы £8 на наборе (1,1,1) и получим у0 = е.

Лемма 6 доказана.

Теорема 3. Пусть полный базис В содержит функцию ф(,х2,х3 )є М3. Тогда любую булеву функцию/в базисе В можно реализовать схемой А так, что при всех е є (0, 1/960] верно неравенство Р(А) <

< е + 16е2.

Доказательство. Пусть ф(х1, х2, х3) = (21 V х2) (Зеї V х2 V х3) єМ3иВ.

Тогда по лемме 6 функцию g(х1, х2, х3) = х1 х2 V х1 х3 V х2 х3 можно реализовать такой схемой £я, что Р£) < 4е, а вероятности ошибок у1 и у0 схемы £ на наборах (0,0,0) и (1,1,1) соответственно равны у1 = 0, у0 = е.

Пусть /- произвольная булева функция. Возьмем три экземпляра схемы £, реализующей функцию / с ненадежностью Р(£) < 5,2е (по лемме 2 это возможно), а также один экземпляр схемы £я и построим схему Ф(£) (рис. 2), реализующую функцию / . По лемме 1 оценим ненадежность построенной схемы Ф(£): Р(Ф(£)) < е + 3 ■ 4е ■ 5,2е + 3 ■ (5,2е)2 < е + 143,5е2 < 1,2е при е є (0, 1/960]. По схеме Ф(£) построим схему Ф2(£). По лемме 1 оценим ненадежность схемы Ф2(£) и получим Р(Ф2(£)) < е + 3 ■ 4е ■ 1,2е + 3 ■ (1,2е)2 <

< е + 18,72е2 < 1,2е при е є (0, 1/960]. По схеме Ф2(£) построим схему Ф3(£).

По лемме 1 оценим ненадежность схемы Ф3(£) и получим .Р(Ф3(£)) <8 + + 3 • 48 • 1,028 +3 • (1,028)2 < 8 + 1682. Схема Ф3(£) = А - искомая.

Теорема 3 доказана.

Выводы

1. Если полный конечный базис В содержит функцию ф(, Х2, Х3 )е М,

то любую булеву функцию /в базисе В можно реализовать схемой А так, что при всех 8 е (0, 1/960] верно неравенство Р(А) < 8 + 10082.

2. При неисправностях типа 0 на выходах элементов функции множества Мобладают тем же свойством, что и функции множества М * п О, т.е. наличие их в полном конечном базисе В гарантирует реализацию почти всех булевых функций асимптотически оптимальными по надежности схемами, функционирующими с ненадежностью, асимптотически равной 8 при 8 ^ 0.

В заключение укажем известные [3-6] на момент написания статьи функции ф(х1,Х2,Х3) такие, что если полный конечный базис содержит

функцию ф, то он обладает 8-свойством.

Булевы функции Л и /2 назовем конгруэнтными, если одна из них может быть получена из другой заменой переменных (без отождествления). Пусть ХсВ3. Обозначим Со^г(Х) - множество всех функций, зависящих от переменных х1 , х2, х3, каждая из которых конгруэнтна некоторой функции множества X. Например, Со^г{1, хь Х1& х2}={1, хь х2, х3, Х1&Х2, х2&х3, Х1&Х3}.

Обозначим О * = О п Congr{ М *} п Со^г{М):

О * =О1пО2пО3 и Сощг{ Х1Х2 V Х1Х2Х3, Х1Х2 V Х1Х2Х3, Х1Х2 V Х1Х2Х3,

Х1Х2 V Х1Х2 Х3, Х1Х2 Х3 V Х1Х2 Х3 V Х1Х2 Х3, Х1Х2 Х3 V ХХ Х3 V Х1Х2 Х3,

Х1Х2Х3 V Х1Х2Х3 , Х1Х2Х3 V Х1Х2Х3 , Х1 X V Х3 ), Х1 X V Х3 | ,

Х1 X V Х3 ), ) V Х2 Х3 , Х1 V Х2 Х3, Х1 V Х2 Х3 , (Х1 V Х2 )(3с1 V Х2 V Х3) ,

X X V Х2 )( V Х2 V Х3), ( V Х2 )( V Х2 V Х3),

( V Х2 V Х3) ( V Х2 V Х3) ( V Х2 V Х3),

( V Х2 )( V Х2 V Х3), (( V Х2 V Х3) ( V Х2 V Х3) (1 V Х2 V Х3) },

| О * |= 116, в то время как |О| = 56 .

Вопрос «Является ли множество О * исчерпывающим, если базис В с В3, а базисные элементы подвержены неисправностям типа 0 на выходах?» остается открытым.

Цель дальнейших исследований авторов - найти и описать все функции ф(х1, Х2, Х3), наличие которых в полном конечном базисе В гарантирует реализацию почти всех булевых функций асимптотически оптимальными по надежности схемами, функционирующими с ненадежностью, асимптотически равной 8 при 8 ^ 0.

Список литературы

1. Редькин, Н. П. Надежность и диагностика схем / Н. П. Редькин. - М. : Изд-во МГУ, 1992.

2. Алехина, М. А. О надежности схем в базисах, содержащих функции не более чем трех переменных / М. А. Алехина, А. В. Васин // Ученые записки Казанского государственного университета. - 2009. - Т. 151. - Кн. 2. - С. 25-35. - (Физикоматематические науки).

3. Алехина, М. А. Синтез асимптотически оптимальных по надежности схем / М. А. Алехина. - Пенза : Информац.-издат. центр ПГУ, 2006. - 156 с.

4. Алехина, М. А. О надежности схем в одном базисе / М. А. Алехина // Проблемы автоматизации и управления в технических системах : труды Междунар. конф. (г. Пенза, 20-23 октября 2009 г.). - Пенза : Изд-во ПГУ, 2009. - С. 43-44.

5. Пичугина, П. Г. Оптимальные схемы в специальном базисе / П. Г. Пичугина // Проблемы автоматизации и управления в технических системах : труды Междунар. конф. (г. Пенза, 20-23 октября 2009 г.). - Пенза : Изд-во ПГУ, 2009. -С. 82-85.

6. Алехина, М. А. Достаточные условия реализации булевых функций асимптотически оптимальными схемами с тривиальной оценкой ненадежности / М. А. Алехина, Д. М. Клянчина // Надежность и качество : труды Междунар. симпозиума (Пенза, 24-31 мая 2010 г.). - Пенза : Изд-во ПГУ, 2010. - Т. 1. - С. 229-232.

7. Васин, А. В. Необходимые и достаточные условия реализации булевых функций асимптотически оптимальными схемами с ненадежностью 2е / А. В. Васин // Дискретная математика и ее приложения : материалы X Международного семинара (г. Москва, 1-6 февраля 2010 г.). - М. : Изд-во мех.-мат. фак. МГУ, 2010. - С. 94-97.

8. Алехина, М. А. О надежности схем в базисах, содержащих медиану / М. А. Алехина // Дискретные модели в теории управляющих систем : труды VIII Междунар. конф. - М. : Издательский отдел ф-та ВМиК МГУ им. М. В. Ломоносова ; МАКС Пресс, 2009. - С. 13-17.

Алехина Марина Анатольевна

доктор физико-математических наук, профессор, заведующая кафедрой дискретной математики, Пензенский государственный университет

E-mail: dm@pnzgu.ru

Клянчина Дарья Михайловна аспирант, Пензенский государственный университет

E-mail: dm@pnzgu.ru

Alekhina Marina Anatolyevna Doctor of physical and mathematical sciences, professor, head of sub-department of discrete mathematics,

Penza State University

Klyanchina Darya Mikhaylovna Postgraduate student,

Penza State University

УДК 519.718 Алехина, М. А.

Об асимптотически оптимальных по надежности схемах в некоторых специальных базисах / М. А. Алехина, Д. М. Клянчина // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. - № 4 (16). - С. 3-13.