CC BY
22
УДК 519.718
А. В. Васин
О БАЗИСАХ, В КОТОРЫХ АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫЕ СХЕМЫ ФУНКЦИОНИРУЮТ С НЕНАДЕЖНОСТЬЮ 5е
Аннотация. Рассматривается реализация булевых функций схемами из ненадежных элементов в полном базисе В С В3 (В3 - множество всех булевых функций, зависящих от переменных xi, Х3). Предполагается, что все эле-
менты схемы независимо друг от друга с вероятностью е (ее (0,1/2)) подвержены инверсным неисправностям на выходах. Найдены базисы, в которых почти булевы функции можно реализовать асимптотически оптимальными по надежности схемами, функционирующими с ненадежностью 5е при е —— 0. Других таких базисов В с В3, в которых почти булевы функции можно реализовать асимптотически оптимальными по надежности схемами, функционирующими с ненадежностью 5е, нет.
Ключевые слова: ненадежные функциональные элементы, асимптотически оптимальные по надежности схемы, инверсные неисправности на выходах элементов, синтез схем из ненадежных элементов.
Abstract. We consider realization of Boolean functions by circuits composed of unreliable functional elements in some complete finite basis В с B3 (B3 is the set of all Boolean functions of three variables x1, x2, and x3). We assume that all elements are subjected independently of each other to inverse failures at the output with the probability е (ее (0,1/2). In this article we found bases, in which almost all boolean functions is possible to realize by asymptotically optimal on reliability circuits with unreliability equal 5е with е —0. We proved that there are not other bases where it’s possible to realize almost all boolean functions by asymptotically optimal on reliability circuits with unreliability 5е
Keywords: unreliable functional elements, circuits asymptotically optimal with respect to reliability, inverse failures on outputs of elements, synthesis of circuits composed of unreliable elements.
Схемой из функциональных элементов в базисе В будем называть ациклический упорядоченный орграф, в котором:
1) каждому истоку (полюсу) приписана некоторая переменная, причем разным истокам приписаны разные переменные (истоки при этом называются входами схемы, а приписанные им переменные - входными переменными);
2) каждой вершине, в которую входят k > 1 дуг, приписана булева функция из базиса В, существенно зависящая от k переменных (вершина с приписанной функцией при этом называется функциональным элементом);
3) некоторые вершины выделены как выходы (истоки одновременно могут являться выходами).
Глубиной схемы будем называть длину максимального пути в ней. Глубиной функционального элемента схемы будем называть длину максимального пути между ним и выходным элементом схемы.
Слоем глубины k (или k -м слоем) назовем множество всех функциональных элементов схемы глубины k .
Заметим, что из определения схемы следует, что функциональные элементы, реализующие константы, не имеют входов.
Далее будем предполагать, что базис В есть одно из множеств {x1 & Х2, Х1 &Х2 &Х3, Х1, 0,1} , {Х1 &Х2, Х1 &Х2 &Х3, Х1 &Х2, Х1 &Х2 &Х3, 0,1}, {Х1 v Х2,
Х1 v Х2 v Х3, Х1, 0, 1}, или {Х1 v Х2, Х1 v Х2 v Х3, %1 v Х2, Х1 v Х2 v Х3, 0,1}. Элементы базиса подвержены инверсным неисправностям на выходах. Эти неисправности характеризуются тем, что в исправном состоянии функциональный элемент реализует приписанную ему булеву функцию e , а в неисправном -функцию e.
Предполагается, что все элементы схемы переходят в неисправные состояния независимо друг от друга с вероятностью ее (0, 1/2).
Будем считать, что схема из ненадежных элементов реализует булеву функцию f (Х1, Х2, ..., Хп), если при поступлении на входы схемы набора a = (a1, a2, ..., an) при отсутствии неисправностей в схеме на ее выходе появляется значение f (a).
Набор a = (a1, a2, ..., an) называется нулевым (единичным) для функции f (Х1, Х2, ..., Хп), если значение функции f (a1, a2, ..., an) равно нулю (единице).
Обозначим (s, a) - вероятность ошибки на входном наборе a
схемы S, реализующей функцию f . Число P( S) = max Г, („) (s, a) назовем
a f ( a )
ненадежностью схемы S. Надежность схемы S равна 1 - P(S)
Пусть Ге (f) = inf Г (S), где е - вероятность инверсной неисправности
S
на выходе функционального элемента, а инфимум берется по всем схемам S из ненадежных элементов, реализующим функцию f (Х1, Х2, ..., Хп). Схема A из ненадежных элементов, реализующая функцию f, называется асимптотически оптимальной по надежности, если P(A) ~ Ге (f) при е —0, т.е.
lim Pf = 1.
е—0 P(A)
С. И. Аксеновым [1] получена верхняя оценка ненадежности схем в произвольном полном конечном базисе при инверсных неисправностях на выходах элементов. Он доказал: существуют такие положительные константы С , е0 ( е0 е (0, 1/2) ), что при ее (0, е0) любую булеву функцию можно реализовать схемой S, ненадежность которой
P(S) < 5е + се2.
В работе [2] явно найдены константы с , е0 и доказана теорема 1. Теорема 1 [2]. При ее (0,1/960] в произвольном полном конечном базисе любую функцию f можно реализовать схемой A с ненадежностью
P(A) < 5е + 182е2 < 5,2е.
Это утверждение верно и в полных базисах
В С {Х1 & Х2, Х1 & Х2 & Х3, Х1, 0, 1} ;
B с (xj & Х2, Xj & Х2 & X3, x & X2, xl & X2 & X3, 0, 1} ;
B с (xj v X2, Xj v X2 v X3, Xj, 0, 1};
B с (xj v X2, Xj v X2 v X3, Xj v X2, Xj v X2 v X3, 0, !} .
В данной статье найдены все базисы B, содержащие функции трех переменных, в которых для почти всех булевых функций асимптотически оптимальные по надежности схемы имеют ненадежность 5е при 0 .
Сформулируем и докажем необходимые утверждения.
Теорема 2 [3]. Пусть f - произвольная булева функция, отличная от константы, S - любая схема, ее реализующая. Пусть подсхема C схемы S содержит выход схемы S и реализует булеву функцию h с ненадежностью P(C) < 1/2. Обозначим через рц, ..., всевозможные различные вероятности ошибок на выходе схемы C при нулевых входных наборах Ь , т.е. h(b) = 0. Аналогично, пусть poi, ..., Pom - всевозможные различные вероятности ошибок на выходе схемы C при единичных входных наборах b , т.е. h(b) = 1. Полагаем р = min{pn, ..., p^}, р0 = min{poi, ..., Pom}. Тогда вероятности ошибок на выходе схемы S удовлетворяют неравенствам Pi (S, а) > p1, если f (а) = 0; Po (S, a) > p0 , если f (a) = 1.
Следствие 1 [3]. P(S) > pi, i = 0, 1.
Пусть в схеме, реализующей булеву функцию, отличную от константы, выделена подсхема A, имеющая один вход, содержащая выход схемы. Обозначим через S' подсхему, получаемую из схемы S удалением подсхемы A. Если выполнено неравенство P(S) > P(S'), то будем говорить, что схема S' надежнее схемы S и получается из S удалением подсхемы S' .
Так как схема S реализует функцию, отличную от константы, схема A реализует либо тождественную функцию, либо инверсию.
Схема S, реализующая функцию f, отличную от константы, является Ьс-схемой, если из нее нельзя получить более надежную схему, реализующую f или f , удалением подсхемы, реализующей тождественную функцию или инверсию.
Теорема 3 [3, 4]. Пусть схема S, ненадежность которой равна P(S), реализует функцию f и является Ьс-схемой. Если в схеме S можно выделить подсхему, имеющую один вход, содержащую выход схемы и реализующую инверсию или тождественную функцию с вероятностями ошибок p0 и p1, такими, что 0 < p0 + p1 < 1, то верно неравенство
Обозначим K(n) - множество булевых функций f (xj, X2, ..., xn), не
Заметим, что: 1) константы 0,1^ К(п); 2) в рассматриваемых базисах В любая схема S, реализующая функцию/, содержит не менее пяти элементов.
представимых в виде (xfh(X))b (i = !, 2, ..., n; a, b є (0, !}).
Лемма 1 [5]. Пусть ее (0, 1/960], булева функция f е K(n), а S - такая схема, реализующая f что P(S) < 5,2е . Если в схеме S можно выделить
связную подсхему A, функционирующую с ненадежностью P(A) < 5е(1 - е)4 , состоящую хотя бы из пяти элементов, имеющую один вход и содержащую выход схемы, то схема S не является Ьс-схемой.
Пусть E - функциональный элемент, которому приписана булева функция е(Х1, Х2, ..., xm), mе N. Элемент E* с приписанной ему булевой функ-
*
цией е (x1, Х2, ..., xm), двойственной функции е(Х1, Х2, ..., xm), называется двойственным элементу E, если на любом входном наборе (Ь1, Ь2, ..., bm) для вероятностей ошибок верно равенство
Pe (bj, b2,..., bm) (E, (b1, b2,..., bm ) )= )e*(b\ b2 b ) (E ,(b1, b2, ..., bm ) ).
Две схемы S и S назовем двойственными, если одна получается из другой заменой всех элементов на двойственные им элементы соответственно.
Теорема 4 [6]. Для любых двойственных схем S и S верно равенство
*
P(S) = P(S ).
Заметим, что утверждение о нижней оценке ненадежности, доказанное в полном конечном базисе B, верно для любого полного базиса B' с B .
Теорема 5. Пусть базис B = {x1 & x2, x1 & x2 & x3, x[, 0, 1}, ее (0, 1/960], функция f (x)е K(n), а S - любая схема, реализующая функцию f. Тогда P(S) > 5е(1 - е)4 .
Доказательство. Пусть функция f (je) е K(n), а S - произвольная схема, реализующая функцию f Без ограничения общности схему S можно считать bc-схемой.
Пусть A - связная подсхема схемы S, состоящая хотя бы из одного элемента и содержащая выход схемы. Обозначим через pu, ..., p^ всевозможные различные вероятности ошибок на выходе схемы A при нулевых входных наборах b . Аналогично, пусть po1, ..., pom - всевозможные различные вероятности ошибок на выходе схемы A при единичных входных наборах b . Полагаем p1 = min{pu, ..., p1k}, p0 = min{po1, ..., pom}.
Оценим ненадежность схемы S:
1. Если подсхема A имеет один вход, то A реализует тождественную функцию или инверсию (т.к. f (x)е K(n) и 0, 1g K(n)).
Возможны два варианта:
1.1. Ненадежность схемы A удовлетворяет неравенству: P(A) > 5е(1 - е)4 ,
01
тогда этому неравенству удовлетворяет хотя бы одно из чисел p или p , и по следствию 1 получаем P(S) > 5е(1 - е)4 .
1.2. Ненадежность схемы A удовлетворяет неравенству: P(A) < 5е(1 - е)4 , что противоречит лемме 1.
2. Если в схеме S нельзя выделить подсхему A, имеющую ровно один вход и содержащую выход схемы, то выделим связную подсхему C схемы S
из пяти элементов, содержащую выход схемы S (это возможно сделать, т.к. /(Х) е К(п). В этом случае выходному элементу Е\ приписана либо функция х\%2, либо х\Х2Х3 .
2.1. Пусть в схеме С элементу Е\ приписана функция хх .
2.1.1. Пусть в схеме С элемент Е1 размещен на 0-м слое, Е2 и Е3 - на 1-м слое, Е4 и Е5 - на 2-м слое, и удалением истоков (входных вершин) и некоторых ребер из схемы С можно получить граф, изображенный на рис. 1.
Заметим, что элементам Е2 и Е3 не может быть приписана константа 0 (иначе вся схема S реализует константу 0, что противоречит выбору функции /(Х) е К(п)) и константа 1 (этот случай рассмотрен в п. 1 доказательства). Выходы элементов Е4 и Е5 могут быть соединены только со входами элементов Е2 и Е3 . Для каждой из возможных схем ошибка в точности одного любого элемента на единичном наборе приводит к появлению нуля на выходе схемы С. Следовательно, р0 > 5е(1 -е)4, и по следствию 1 верно
2.1.2. Пусть в схеме С элемент Е1 размещен на 0-м слое, Е2 и Е3 - на 1-м слое, Е4 - на 2-м слое и Е5 - на 3-м слое, и удалением истоков (входных вершин) и некоторых ребер из схемы С можно получить граф, изображенный на рис. 2. Заметим, что элементам Е2 , Е3 и Е4 приписаны функции, отличные от констант 0 и 1.
Е
Рис. 1. Схема С после удаления входных вершин и части ребер
Р(Б) > 5е(1 -є)4.
ЧЕ
4
Рис. 2. Схема С после удаления входных вершин и части ребер
2.1.2.1. Пусть элементу Е2 приписана функция Х1Х2 или Х1Х2Х3 (рис. 2). Тогда на единичном наборе при ошибке в точности одного любого элемента на выходе схемы С появится нуль. Следовательно, р0 > 5е(1 — е)4, и по следствию 1 верно Р(£) > 5е(1 — е)4 .
2.1.2.2. Пусть элемент Е2 - инвертор (рис. 2). Поскольку схема С реализует функцию /(Х) е К(п), ни один из входов элемента Е3 не может быть соединен с полюсом схемы ^ (иначе /(Х)£ К(п)). Возможны следующие случаи:
2.1.2.2.1. Хотя бы один из входов элемента Е3 соединен с выходом элемента Е4. Тогда элементу Е3 приписана одна из функций Х1Х2 или Х1Х2Х3 (иначе случай рассмотрен в п. 1). Тогда на единичном наборе при ошибке одного любого элемента на выходе схемы С появится нуль. Следовательно, р0 > 5е(1 — е)4, и по следствию 1 верно Р(5) > 5е(1 — е)4 .
2.1.2.2.2. Один из входов элемента Е3 соединен с выходом элемента Е5 . Тогда на единичном наборе при ошибке одного любого элемента на выходе схемы С появится нуль. Следовательно, р0 > 5е(1 — е)4, и по следствию 1
верно Р(£) > 5е(1 — е)4 .
2.1.2.2.3. Ни один из входов элемента Е3 не соединен с выходами других элементов схемы С. Тогда в схеме S существует элемент Еб выход которого соединен со входом элемента Е3 . Следовательно, в схеме S можно выделить подсхему С' из элементов Е1, Е2, Е3, Е4 и Еб. Схема С' удовлетворяет случаю 2.1.1.
2.1.3. Пусть в схеме С элемент Е1 размещен на 0-м слое, Е2 - на 1-м слое, Е3 и Е4 - на 2-м слое и Е5 - на 3-м слое и удалением истоков (входных вершин) и некоторых ребер из схемы С можно получить граф, изображенный на рис. 3. В этом случае элементу Е2 приписана функция Х1Х2 или Х1Х2 Х3, элементам Е3, Е4, Е5 не может быть приписана константа 0, и элементу Е3 не может быть приписана константа 1. Для каждой из таких схем ошибка одного любого элемента на единичном наборе приводит к появлению нуля на выходе схемы С. Следовательно, р0 > 5е(1 — е)4, и по следствию 1 верно Р(£) > 5е(1 — е)4 .
2.1.4. Пусть в схеме С элемент Е1 размещен на 0-м слое, Е2 - на 1-м слое, Е3 - на 2-м слое и Е4, Е5 - на 3-м слое, и удалением истоков (входных вершин) и некоторых ребер из схемы С можно получить схему, изображенную на рис. 4. В этом случае элементу Е2 не может быть приписана функция, равная константе 0 или 1.
2.1.4.1. Пусть элементу Е2 приписана функция Х1Х2 или Х1Х2Х3 (рис. 4). В этом случае элементам Е4 и Е5 не может быть приписана функция, равная константе 0 (иначе /(Х) £ К(п)). Тогда на единичном наборе при
ошибке одного любого элемента на выходе схемы С появится нуль. Следовательно, р0 > 5е(1 - е)4, и по следствию 1 верно Р(£) > 5е(1 - е)4 .
5
1
Рис. 3. Схема С после удаления входных вершин и части ребер
Рис. 4. Схема С после удаления входных вершин и части ребер
2.1.4.2. Пусть элемент £2 - инвертор (рис. 4). В этом случае элементам Е4 и £5 не может быть приписана функция, равная константе 1 (иначе /(х) *£ К(п)). Поскольку схема С реализует функцию /(х) е К(п), ни один из входов элемента £1 не может быть соединен с полюсом схемы ^. И второй вход элемента £1 не может быть соединен с выходом элемента £3 , т.к. этот случай рассмотрен в п. 1. Возможны следующие варианты:
2.1.4.2.1. Второй вход элемента £1 соединен с выходом элемента £4 ( £5 ). В этом случае элементу £4 ( £5 ) не может быть приписана функция, равная константе 0 или 1. Тогда в схеме С существует элемент £5, выход которого соединен со входом элемента £4 ( £5 ). Следовательно, в схеме С можно выделить подсхему С' из элементов £1, £2, £3, £4 (£5) и £5 . На еди-
ничном наборе при ошибке в точности одного любого элемента на выходе схемы С' появится нуль. Следовательно, р0 > 5е(1 - е)4, и по следствию 1 верно Р(£) > 5е(1 - е)4 .
2.1.4.2.2. Ни один из входов элемента £1 не соединен с выходом элемента Е4 или £5 . Тогда в схеме £ найдется элемент £5, реализующий функцию, отличную от константы, выход которого соединен со входом элемента £1. Поскольку /(х) е К(п), в схеме £ найдется элемент £7 (элемент £7 может совпадать с одним из элементов £4 или £5), выход которого соединен со входом элемента £5 . Тогда в схеме £ можно выделить подсхему С' из элементов £1, £2, £3, £5 и £7, в которой на единичном наборе при ошибке одного любого элемента на выходе схемы С' появится нуль. Следовательно, р0 > 5е(1 - е)4, и по следствию 1 верно Р(£) > 5е(1 - е)4 .
2.1.5. Пусть в схеме С элемент £1 размещен на 0-м слое, £2 - на 1-м слое, £3 - на 2-м слое и £4 - на 3-м слое, £5 - на 4-м слое, и удалением истоков (входных вершин) и некоторых ребер из схемы С можно получить граф, изображенный на рис. 5,а. В этом случае элементам £2, £3 и £4 приписаны функции, отличные от констант 0 и 1. Во всех возможных схемах, за исключением случаев, изображенных на рис. 5,б,в, ошибка одного любого элемента в схеме С приводит к появлению нуля на выходе элемента £1. Следовательно, в этих случаях р0 > 5е(1 - е)4, и по следствию 1 верно Р(£) > 5е(1 - е)4 . Рассмотрим варианты схем, изображенных на рис. 5,б,в.
е =хх
з і г
или .V .V .V
1 2 з
е = хх
4 12
или V V .V
1 2 3
е = X X
1 2
\е, = С£ 2 12 Л Е
- или V,
е = & Е е =&*Е е =&*Е
і і її її
а) б) в)
Рис. 5. Схема С после удаления входных вершин и части ребер
2.1.5.1. Для схем С, соответствующих рис. 5,б, вход элемента £1 не может быть соединен с полюсом схемы £ и с выходом элемента £3 (иначе /(х) £ К(п) или случай рассмотрен в п. 1). Возможны следующие варианты:
2.1.5.1.1. Второй вход элемента £1 соединен с выходом элемента £4. Тогда на единичном наборе при ошибке одного любого элемента на выходе схемы С появится нуль. Следовательно, р0 > 5е(1 -е)4, и по следствию 1 верно Р(£) > 5е(1 - е)4 .
2.1.5.1.2. Второй вход элемента £1 соединен с выходом элемента £5 . Тогда в схеме С существует элемент £5, выход которого соединен со входом элемента £5 . Следовательно, в схеме £ можно выделить подсхему С' из элементов £1 , £2 , £3 , £5 и £5 . На единичном наборе при ошибке одного любого элемента на выходе схемы С' появится нуль. Следовательно, р0 > 5е(1 - е)4, и по следствию 1 верно Р(£) > 5е(1 - е)4 .
2.1.5.1.3. Второй вход элемента £1 не соединен с выходами других элементов схемы С. Тогда в схеме £ существует элемент £5 , реализующий неконстантную функцию, выход которого соединен со входом элемента £1 . Поскольку /(х) е К(п), в схеме £ найдется элемент £7 (элемент £7 может совпадать с одним из элементов £4 или £5 ). Тогда в схеме £ можно выделить подсхему С' из элементов £1 , £2 , £3 , £5 и £7 , в которой на единичном наборе при ошибке одного любого элемента на выходе схемы С' появится нуль. Следовательно, р0 > 5е(1 - е)4, и по следствию 1 верно Р(£) > 5е(1 -е)4.
2.1.5.2. Для схем С, соответствующих рис. 5,в, входы элемента £2 не могут быть соединены с полюсом схемы £ (иначе /(х)£ К(п)). Возможны следующие варианты:
2.1.5.2.1. Все входы элемента £2 соединены с выходом элемента £3 . Тогда в схеме £ существует элемент £5 , выход которого соединен со входом элемента £1 , и в схеме £ можно выделить подсхему С' из элементов £1 , £2 , £3 , £4 и £5 . На единичном наборе при ошибке одного любого элемента на выходе схемы С' появится нуль. Следовательно, р0 > 5е(1 -е)4, и по следствию 1 верно Р(£) > 5е(1 -е)4.
2.1.5.2.2. Хотя бы один из входов элемента £2 соединен с выходом одного из элементов £4 или £5 . Тогда на единичном наборе при ошибке одного любого элемента на выходе схемы С появится нуль. Следовательно, р0 > 5е(1 - е)4, и по следствию 1 верно Р(£) > 5е(1 - е)4 .
2.1.5.2.3. Второй и третий (если элементу £2 приписана функция Х1Х2 *3) входы элемента £2 не соединены с выходами других элементов схемы С. Тогда в схеме С существует элемент £5 , выход которого соединен со входом элемента £2 , и в схеме £ можно выделить подсхему С' из элементов £1 , £2 , £3 , £4 и £5 . На единичном наборе при ошибке одного любого эле-
мента на выходе схемы С' появится нуль. Следовательно, р0 > 5е(1 — е)4, и по следствию 1 верно Р(£) > 5е(1 — е)4 .
2.1.6. Пусть в схеме С элемент £ размещен на 0-м слое, £2 - на 1-м слое, £3, £4, £5 - на 2-м слое, и удалением истоков (входных вершин) и некоторых ребер из схемы С можно получить граф, изображенный на рис. 6. В этом случае элементу £2 приписана функция ххХ3 . Во всех возможных схемах С ошибка одного любого элемента на единичном наборе приводит к появлению нуля на выходе элемента £1 . Следовательно, в этих случаях
р0 > 5е(1 — е)4, и по следствию 1 верно Р(£) > 5е(1 — е)4 .
Е Ё~
*.3 л 4 _ '
е =&тЕ
1 1
Рис. 6. Схема С после удаления входных вершин и части ребер
2.2. Пусть в схеме С элементу £1 приписана функция х^Х3 . Заметим, что ни один из входов элемента £1 не может быть соединен с полюсом схемы £ (иначе /(Х) £ К(п)), и ни один из входов элемента £1 не может быть соединен с выходом элемента, реализующего константу 0 (ина-
че /(Х) £ К(п)). Возможны следующие варианты:
2.2.1. Если одна любая пара входов элемента £1 отождествлена, то элемент £1 функционирует аналогично элементу с приписанной функцией Х1Х2 . Этот случай рассмотрен в п. 2.1.
2.2.2. Все три входа элемента £1 соединены с выходами различных элементов £2, £3 , £4 . Заметим, что хотя бы двум из элементов £2, £3, £4 приписана функция, отличная от константы 1 (иначе /(Х) £ К(п) или случай рассмотрен в п. 1). Будем считать, что это элементы£2,£3 . Тогда ни один из входов элемента £2 не может быть соединен с полюсом схемы £ (иначе /(Х) £ К(п)), поэтому существует элемент £5, выход которого соединен со входом элемента £2 . Тогда на единичном наборе при ошибке в точности одного любого элемента на выходе схемы С появится нуль. Следовательно, р0 > 5е(1 — е)4, и по следствию 1 верно Р(£) > 5е(1 — е)4 .
Теорема доказана.
Теорема 6. Пусть базис В = {Х1 V Х2, Х1 V Х2 V Х3, Х1, 0, 1} , ее (0, 1/960], функция /(Х)е К(п), а Б - любая схема, реализующая функцию /. Тогда Р(Б) > 5е(1 — е)4 .
Доказательство теоремы следует из теорем 4 и 5, поскольку утвержде-
*
ние, доказанное в базисе В для функции /, верно в двойственном базисе В
*
для двойственной функции / .
Теорема 7. Пусть базис В = {Х1 & Х2, Х1 & Х2 & Х3, Х1 & Х2, Х1 & Х2 & &Х3, 0, 1}, ее (0, 1/960], функция /(Х)е К(п), а Б - любая схема, реализующая функцию/ Тогда Р(Б) > 5е(1 — е)4 .
Доказательство. Заметим, что при отождествлении входных переменных в базисном элементе получаются схема из одного элемента, функционирующая с ненадежностью е и реализующая базисную функцию или тождественную функцию. Поэтому будем считать, что схемы строятся в базисе В = {Х1 & Х2, Х1 & Х2 & Х3, Х1 & Х2, Х1 & Х2 & Х3, Х1, 0, 1}, а отождествление входов элементов в схемах не допускается. Напомним, что из определения схемы следует, что элементы, реализующие константы 0 и 1, не имеют входов.
Пусть функция /(Х) е К(п), а Б - произвольная схема, реализующая функцию /(Х). Без ограничения общности схему Б можно считать Ьс-схемой.
Пусть А - связная подсхема схемы Б, состоящая хотя бы из одного элемента и содержащая выход схемы. Обозначим через рц, ..., р^ всевозможные различные вероятности ошибок на выходе схемы А при нулевых входных наборах Ь . Аналогично, пусть Р01, ..., Р0т - всевозможные различные вероятности ошибок на выходе схемы А при единичных входных наборах Ь . Полагаем р1 = шт{рп, ..., р1к}, р0 = тт{р0Ь ..., Р0т}.
Оценим ненадежность схем Б. Возможны случаи:
1. Если подсхема А имеет один вход, то А реализует тождественную функцию или инверсию (т.к. /(Х) е К(п) и 0, 1£ К(п)). Возможны два варианта:
1.1. Ненадежность схемы А удовлетворяет неравенству:
Р(А) > 5е(1 — е)4 , тогда этому неравенству удовлетворяет хотя бы одно из чисел р0 или р1, и по следствию 1 получаем Р(Б) > 5е(1 — е)4 .
1.2. Ненадежность схемы А удовлетворяет неравенству:
Р(Б) < 5е(1 — е)4, что противоречит лемме 1.
2. Если в схеме Б нельзя выделить подсхему А, имеющую ровно один
вход и содержащую выход схемы, то выделим связную подсхему С схемы Б из пяти элементов, содержащую выход схемы Б (это возможно сделать, т.к. /(Х) е К(п)). В этом случае выходному элементу £1 приписана либо функция Х^1 Х2 , либо Х^1 Х2Х3, ^ е {0,1} . Рассмотрим возможные варианты:
2.1. Пусть элементу £1 приписана функция Х1Х2. Поскольку схема Б реализует функцию /(Х) е К(п) и отождествление входов элементов недопустимо, в схеме Б найдутся два различных элемента £2 и £3 , выходы которых соединены с первым и вторым входами элемента £1 соответственно. Заметим, что элементам £2 и £3 не могут быть приписаны константа 0 (иначе /(Х) £ К(п)) и константа 1 (иначе либо /(Х) £ К(п), либо случай рассмотрен в п. 1), и ни один из входов элементов £2 и £3 не может быть соединен с полюсом схемы Б (иначе /(Х) £ К(п)). Если выход элемента £2 (£3) соединен с одним из входов элемента £2 (£3), то элементу £2 (£3) приписана
одна из функций Х^1 Х2 , Х^1 Х2Х3, ^ е {0,1} (иначе случай рассмотрен в п. 1). Следовательно, схема, состоящая из элементов £1 , £2 и £3 , имеет по крайней два входа. Поэтому в схеме Б найдутся два различных элемента £4 и £5 (иначе в схеме Б можно выделить подсхему из элементов £1, £2, £3 , имеющую один вход и содержащую выход схемы, а этот случай рассмотрен в п. 1), выходы которых соединены со входами элементов £2 или £3 .
Схема С состоит из пяти различных элементов £1, £2, £3, £4 и £5 . Для каждой из возможных схем С ошибка в точности одного любого элемента на единичном наборе приводит к появлению нуля на выходе схемы С. Следовательно, р0 > 5е(1 — е)4, и по следствию 1 верно Р(Б) > 5е(1 — е)4 .
2.2. Пусть элементу £1 приписана функция Х1Х2Х3 . Поскольку схема Б реализует функцию /(Х) е К(п) и отождествление входов элементов недопустимо, в схеме Б найдутся три различных элемента £2, £3 и £4, выходы которых соединены с первым, вторым и третьим входами элемента £1 соответственно. Заметим, что элементам £2, £3 и £4 не может быть приписана константа 0 (иначе /(Х) £ К(п)), и по крайней мере двум из элементов £2, £3 , £4 приписана функция, отличная от константы 1 (иначе либо
/(Х) £ К(п), либо случай рассмотрен в п. 1). Поскольку ни один из входов элементов £2 , £3 и £4 не может быть соединен с полюсом всей схемы Б (иначе /(Х) £ К(п)) и функция / отлична от константы, в схеме Б найдется элемент £5 , выход которого соединен с входом хотя бы одного из элементов £2, £3 или £4, которому приписана неконстантная функция. Схема С состоит из пяти различных элементов £1 , £2 , £3 , £4 и £5 . Для каждой из возможных схем С ошибка в точности одного любого элемента на единичном наборе приводит к появлению нуля на выходе схемы С. Следовательно,
р0 > 5е(1 — е)4, и по следствию 1 верно Р(Б) > 5е(1 — е)4 .
2.3. Пусть элементу £1 приписана функция Х1Х2. Поскольку схема Б реализует функцию /(Х) е К(п) и отождествление входов элементов недопустимо, в схеме Б найдутся два различных элемента £2 и £3 , выходы которых соединены с первым и вторым входами элемента £1 соответственно.
Элементам £2 и £3 не могут быть приписаны константы 0 и 1 (иначе либо /(Х)£ К(п), либо случай рассмотрен в п. 1). Поскольку выход элемента £2 соединен с первым входом элемента £1 , выход элемента £2 может быть соединен со входом элемента £3 только, если элементу £3 приписана одна из функций Х1Х2 или Х1Х2Х3 , и в этом случае выход £2 соединен с первым входом элемента £3 (иначе /(Х) £ К(п)). Поэтому второй и третий (если есть) входы элемента £3 не могут быть соединены с выходом элемента £2 . Ни один из входов элемента £3 не может быть соединен с полюсом всей схемы Б (/(Х) £ К(п)).
2.3.1. Пусть элементу £3 приписана функция Х1Х2 .
2.3.1.1. Выход элемента £2 соединен с первым входом элемента £3 . Тогда в схеме Б всегда найдется элемент £4 , отличный от элемента £2 , выход которого соединен со вторым входом элемента £3 . Элементу £4 не может быть приписана константа (иначе либо /(Х) £ К(п), либо случай рассмотрен в п. 1). Ни один из входов элемента £4 не может быть соединен с полюсом всей схемы Б (иначе /(Х)£ К(п)). Поэтому в схеме Б найдется элемент £5 , отличный от элемента £2 , выход которого соединен с одним из входов элемента £4 . Схема С состоит из пяти различных элементов £1 , £2 , £3 , £4 и £5 . Для каждой из возможных схем С ошибка в точности одного любого элемента на единичном наборе приводит к появлению нуля на выходе схемы С. Следовательно, р0 > 5е(1 — е)4, и по следствию 1 верно Р(Б) > 5е(1 — е)4.
2.3.1.2. Выход элемента £2 не соединен со входами элемента£3 . Тогда в схеме Б найдутся два различных элемента £4 и £5 , отличные от элемента £2 , выходы которых соединены со входами элемента £3 . Схема С состоит из пяти различных элементов £1 , £2 , £3 , £4 и £5 . Для каждой из возможных схем С ошибка в точности одного любого элемента на единичном наборе приводит к появлению нуля на выходе схемы С. Следовательно,
р0 > 5е(1 — е)4, и по следствию 1 верно Р(Б) > 5е(1 — е)4 .
2.3.2. Пусть элементу £3 приписана функция Х1Х2Х3 . Поскольку выход элемента £2 не может быть соединен со вторым или третьим входом элемента £3 , то в схеме Б найдутся два различных элемента £4 и £5 , отличные от элемента £3 , выходы которых соединены со вторым и третьим входами элемента £3 . Схема С состоит из пяти различных элементов £1, £2, £3 , £4 и £5 . Для каждой из возможных схем С ошибка в точности одного любого элемента на единичном наборе приводит к появлению нуля на выходе схемы С. Следовательно, р0 > 5е(1 — е)4, и по следствию 1 верно Р(Б) > 5е(1 — е)4 .
2.3.3. Пусть элементу £3 приписана тождественная функция. В этом случае выход элемента £2 не может быть соединен с входом элемента £3 .
Тогда в схеме Б найдется элемент £4, отличный от элемента £2, выход которого соединен с входом элемента £3 . Элементу £4 не может быть приписана константа (иначе либо /(Х) £ К(п), либо случай рассмотрен в п. 1). Ни один из входов элемента £4 не может быть соединен с полюсом схемы Б (иначе /(Х)£ К(п)). Поскольку выход элемента £2 соединен с первым входом элемента £1 , выход элемента £2 может быть соединен со входом элемента £4 только, если элементу £4 приписана одна из функций Х1Х2 или Х1Х2Х3, и в этом случае £2 соединен первым входом элемента £4 (иначе /(Х) £ К(п)). Поэтому хотя бы один вход элемента £4 соединен с выходом элемента, отличного от £2 . Поэтому в схеме Б найдется элемент £5, отличный от элемента £2, выход которого соединен с одним из входов элемента £4. Схема С состоит из пяти различных элементов £1, £2, £3, £4 и £5 . Для каждой из возможных схем С ошибка в точности одного любого элемента на единичном наборе приводит к появлению нуля на выходе схемы С. Следовательно,
р0 > 5е(1 — е)4, и по следствию 1 верно Р(Б) > 5е(1 — е)4 .
2.3.4. Пусть элементу £3 приписана функция хх или хх Х3. Тогда в схеме Б найдутся два различных элемента £4 и £5 , отличные от элемента £2 , выходы которых соединены с входами элемента £3 . Схема С состоит из пяти различных элементов £1, £2, £3 , £4 и £5 . Для каждой из возможных схем С ошибка в точности одного любого элемента на единичном наборе приводит к появлению нуля на выходе схемы С. Следовательно,
р0 > 5е(1 — е)4, и по следствию 1 верно Р(Б) > 5е(1 — е)4 .
2.4. Пусть элементу £1 приписана функция Х1Х2Х3 . Поскольку схема Б реализует функцию /(Х) е К(п) и отождествление входов элементов недопустимо, в схеме Б найдутся три различных элемента £2, £3 и £4, выходы которых соединены с первым, вторым и третьим входами элемента £1 соответственно. Элементу £2 не может быть приписана константа 1, а элементам £3 и £4 - константа 0 (иначе /(Х) £ К(п)). По крайней мере двум элементам из £2, £3, £4 приписана функция, отличная от константы (иначе либо /(Х) £ К(п), либо случай рассмотрен в п. 1). Таким образом, хотя бы один из элементов £3 , £4 реализует неконстантную функцию. Тогда в схеме Б найдется элемент £5 , отличный от элементов £1, £2, £3 и £4, соединенный с одним из входов элементов £3 или £4 (иначе либо /(Х) £ К(п), либо случай рассмотрен в п. 1). Схема С состоит из пяти различных элементов £1, £2, £3 , £4 и £5 . Для каждой из возможных схем С ошибка в точности одного любого элемента на единичном наборе приводит к появлению нуля на выходе схемы С. Следовательно, р0 > 5е(1 — е)4, и по следствию 1 верно Р(Б) > 5е(1 — е)4 .
Все возможные варианты для подсхемы С схемы Б рассмотрены. Теорема доказана.
Теорема 8. Пусть базис В = (хі V х^, х^ V х2 V Х3, х^ V х^, х^ V Х2 V Х3,
0. 1} , ее (0, 1/960], функция /(х)е К(п), а Б - любая схема, реализующая
функцию/. Тогда Р(Б) > 5е(1 - е)4 .
Доказательство теоремы следует из теорем 4 и 7, поскольку утвержде-
*
ние, доказанное в базисе В для функции /, верно в двойственном базисе В
*
для двойственной функции / .
Из теорем 5-8 следует, что в полном базисе В с (хі & х2, хі & х2 & хз, хі, 0, 1} или В с (хі V х2, хі V х2 V хз, х1, 0, 1}, или В с (хі &х2, хі &х2 & & хз, хі & х2, хі & х2 & хз, 0, 1} , или В с (хі V х2, хі V х2 V хз, хі V х2, хі V Vх2 V хз, 0, 1} при ее (0, 1/960] любая схема, реализующая функцию
/(х) е К(п), функционирует с ненадежностью, не меньше 5е(1 - е)4 .
Таким образом, из теорем 1 и 5-8 следует, что в указанных базисах почти все булевы функции можно реализовать асимптотически оптимальными по надежности схемами, функционирующими с ненадежностью 5е при е —— 0 . Из результатов С. И. Аксенова [7] следует, что других базисов В с Вз, в которых асимптотически оптимальные по надежности схемы функционируют с ненадежностью 5е при е — 0, нет.
Список литературы
1. Аксенов, С. И. О надежности схем над произвольной полной системой функций при инверсных неисправностях на выходах элементов / С. И. Аксенов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. - 2005. - № 6 (21). -С. 42-55. - (Естественные науки).
2. Алехина, М. А. О надежности схем в базисах, содержащих функции не более чем трех переменных / М. А. Алехина, А. В. Васин // Ученые записки Казанского государственного университета. - 2009. - Т. 151. - Кн. 2. - С. 25-з5. - (Физикоматематические науки).
3. Алехина, М. А. Синтез асимптотически оптимальных по надежности схем из ненадежных элементов : монография / М. А. Алехина. - Пенза : Информационно -издательский центр ПГУ, 2006.
4. Чугунова, В. В. Синтез асимптотически оптимальных по надежности схем при инверсных неисправностях на входах элементов : дис. ... канд. физикоматематических наук / Чугунова В. В. - Пенза, 2007.
5. Васин, А. В. Об асимптотически оптимальных схемах в базисе (х1 &х2,х1} при инверсных неисправностях на выходах элементов / А. В. Васин // Дискретный анализ и исследование операций. - 2009. - Т. 16. - № 6. - С. 12-22
6. Алехина, М. А. О надежности двойственных схем в полном конечном базисе / М. А. Алехина, П. Г. Пичугина // Синтез и сложность управляющих систем : материалы XVIII Международной школы-семинара (г. Пенза, 28 сентября - з октября 2009 г.). - М. : Изд-во мех.-мат. ф-та МГУ, 2009. - С. 10-із.
Васин Алексей Валерьевич ассистент, кафедра дискретной математики, Пензенский государственный университет
Vasin Aleksey Valeryevich Assistant, sub-department of discrete mathematics, Penza State University
E-mail: alvarvasin@mail.ru
УДК 519.718 Васин, А. В.
О базисах, в которых асимптотически оптимальные схемы функционируют с ненадежностью 5е / А. В. Васин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2010. -№ 1 (13). - С. 64-79.
