Синтез асимптотически оптимальных по надежности схем Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.718+004.312

M. А. Алехина, А. В. Васин СИНТЕЗ АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫХ ПО НАДЕЖНОСТИ СХЕМ

Аннотация. Рассматривается задача синтеза асимптотически оптимальных по надежности схем, реализующих булевы функции, при инверсных неисправностях на выходах элементов в некоторых полных неприводимых базисах из двухвходовых функциональных элементов. Доказано, что в рассматриваемых базисах все булевы функции можно реализовать асимптотически оптимальными по надежности схемами, причем почти для всех функций эти схемы функционируют с ненадежностью, асимптотически равной 2е при е^-0 (е - вероятность инверсной неисправности на выходе базисного элемента). Сложность этих схем асимптотически не больше чем в три раза превышает сложность минимальных схем, построенных из абсолютно надежных элементов. Ключевые слова: надежные схемы, ненадежные элементы, инверсные неисправности, синтез схем, булевы функции.

Abstract. Circuits of two inputs functional elements are considered in some full irreducible bases. It’s possible to realize all boolean functions by asymptotically optimal reliable circuits.

Unreliability of these circuits is asymptotically equal 2e for almost all boolean functions with е ^ 0 (e is the probability of inverse failure at the output of the base element). Complexity of these circuits exceeds asymptotically complexity of the minimal absolutely reliable circuits of functional elements in three times.

Keywords: reliable circuits, unreliable elements, inverse failure, synthesis of circuits, boolean functions.

Введение

Все разнообразные средства цифровой техники: ЭВМ, микропроцессорные системы измерений и автоматизации технологических процессов, цифровая связь и телевидение и т.д. - строятся на единой элементной базе, в состав которой входят чрезвычайно разные по сложности микросхемы - от логических элементов, выполняющих простейшие операции, до сложнейших программируемых кристаллов, содержащих миллионы логических элементов.

Логические элементы цифровых устройств во многом определяют функциональные возможности последних, их конструктивное исполнение, технологичность, надежность. Именно надежности комбинационных схем (схем из логических элементов) посвящена эта статья, причем элементам схемы могут быть приписаны не только конъюнкция, дизъюнкция, отрицание, стрелка Пирса и штрих Шеффера, но и другие булевы функции. Такие элементы принято называть функциональными.

Впервые задачу синтеза надежных комбинационных схем из ненадежных функциональных элементов (ФЭ) рассматривал Дж. фон Нейман [1]. Он предполагал, что все элементы схемы независимо друг от друга с вероятностью е е (0; 1/2) подвержены инверсным неисправностям на выходах. Эти неисправности характеризуются тем, что в исправном состоянии функциональный элемент реализует приписанную ему булеву функцию ф, а в неисправном - функцию ф. С помощью итерационного метода Дж. фон Нейман

установил, что в произвольном полном базисе при є є (0; 1/6) любую булеву функцию можно реализовать схемой, вероятность ошибки на выходе которой при любом входном наборе значений переменных не превосходит с1є (с1 -некоторая константа, зависящая от базиса). В частности, если базис содержит функцию голосования g(Л},X2,xз) = XlX2 V Xlxз V X2xз, то произвольную булеву функцию можно реализовать схемой, вероятность ошибки на выходе которой при любом входном наборе значений переменных не превосходит є + с2є2 при є< С3 , где с2, с3 - некоторые константы. Основной недостаток метода Дж. фон Неймана в том, что сложность схемы с ростом числа итераций увеличивается экспоненциально (примерно в 3* раз, где к - число итераций).

Затем схемы с инверсными неисправностями на выходах элементов исследовались в работах Р. Л. Добрушина, С. И. Ортюкова [2], Д. Улига [3] и некоторых других авторов, причем главное внимание уделялось сложности схем. Задача синтеза оптимальных по надежности схем решена в [7]. Сформулируем результаты, полученные названными авторами. Рассматривается реализация булевых функций схемами из ненадежных функциональных элементов в произвольном конечном полном базисе В = {^1, ^2,..., ет}, т є N. Множество всех функциональных элементов Е,, функции еі которых принадлежат базису В, будем также называть базисом В. Каждому элементу базиса Е, приписано положительное число у(Е,) - вес данного элемента. Веса элементов могут принимать любые положительные значения в зависимости от условия задачи. Сложность L(S) схемы S определяется как сумма весов всех входящих в нее элементов. Предполагается, что все элементы схемы независимо друг от друга с вероятностью є переходят в неисправные состояния. Ненадежность Р(5) схемы S определяется как максимальная вероятность ошибки на выходе схемы при всевозможных входных наборах. Надежность схемы S равна 1 - Р(5).

Вводится функция Шеннона Ьпє (п) = шахшіпЬ(Б), характеризующая

Р’ /5

сложность схем, реализующих функции от п переменных в базисе В, где минимум берется по всем схемам 5 из ненадежных элементов, реализующим функцию/х1, х2, ..., хп) с ненадежностью Р(5) < р, а максимум - по всем булевым функциям / от п переменных.

Пусть р = шіп (у(Еі )/(п(Е,) -1)), где минимум берется по всем элемен-

Еі

там Еі базиса, для которых п(Е,) > 1, п(Е,) - число существенных переменных функции е,, реализуемой элементом Е, і = 1,..., т.

Для схем, реализующих булевы функции от п переменных и состоящих только из надежных элементов (т.е. при є = 0 и р = 0), выполняется соотношение Еоо(п)~р-2п /п [4].

Для инверсных неисправностей на выходах элементов в [2] доказано, что если 0 <є<Єо , р > q(є)Lg, где - минимальное число надежных элементов, необходимое для реализации функции голосования g(Х1, Х2, Х3) = = Х1Х2 V Х1Х3 V Х2Х3 в рассматриваемом базисе, q(є) - некоторая функция та-

Известия высших учебных заведений. Поволжский регион 2 2

кая, что q(-) = е + 3е + о(е ) при е ^ 0, то существует такая функция р(е) ^ р при е ^ 0, что Ьр е (п) < р(е)-2” /п.

Для инверсных неисправностей на выходах элементов с вероятностью ошибки е доказано [3], что для любых, сколь угодно малых чисел с и Ь (с, Ь > 0) существует число е' (е'е (0, 1/2)) такое, что при любом е (ее (0, е')) и любом р, удовлетворяющем условию р > (1 + Ь) е (точнее р > ^(е) ), спра-

ведливо соотношение Ьр е (п) < (1 + с)р • 2п /п.

Таким образом, в результатах С. И. Ортюкова и Д. Улига асимптотика функции Шеннона сохраняется с точностью до множителя, сколь угодно близкого к единице (при этом вероятность сбоя е ограничена константой), т.е. найденные ими методы синтеза позволяют строить асимптотически оптимальные по сложности схемы, функционирующие с некоторым уровнем надежности.

Пусть Ре (/) = т£ Р(5), где инфинум берется по всем схемам ^ из ненадежных элементов, реализующим функцию/(х1, х2, ..., хп). Схема А из ненадежных элементов, реализующая функцию / называется асимптотически опР (/)

тимальной по надежности, если Р(А) ~ Ре (/) при е ^ 0, т.е. Нт — ----= 1

е^0 Р(А)

(здесь Р(А) - ненадежность схемы А, Р(А) = тахР/(~)(А,а), где Р/(~)(А,а) -

вероятность ошибки на входном наборе а схемы А, реализующей функцию/ максимум берется по всем входным наборам а схемы А).

В работе [5] рассмотрены инверсные неисправности на выходах элементов и доказано, что при этих неисправностях в базисах {х1 |х2} и {хДх2} почти все булевы функции можно реализовать асимптотически наилучшими по надежности схемами, функционирующими с ненадежностью, асимптотически равной 3е при е ^ 0. Асимптотически оптимальные по надежности схемы можно строить со сложностью, по порядку равной сложности минимальных схем, состоящих только из надежных элементов. Далее сложность схемы - число функциональных элементов (ФЭ) в ней, поэтому веса всех элементов равны единице.

Из работы [5] известно, что при инверсных неисправностях на выходах элементов произвольную булеву функцию нельзя реализовать схемой сколь угодно высокой надежности. В других (отличных от {х1 |х2} и {хДх2}) полных неприводимых базисах из двухвходовых ФЭ до сих пор были известны лишь верхние оценки ненадежности схем [6]. Вопрос о возможности построения асимптотически оптимальных по надежности схем в этих базисах остается открытым. Какой максимальной надежности можно добиться при использовании ненадежных элементов, подверженных этим неисправностям? И какова сложность этих схем? Ответ на эти вопросы для некоторых полных неприводимых базисов из двухвходовых ФЭ получен в этой работе.

1 Вспомогательные утверждения

Далее будем считать, что ФЭ подвержены инверсным неисправностям на выходах элементов.

Будем считать, что схема реализует функцию / (х1, х2, ..., хп), если при поступлении на входы схемы набора а = (а1, а2, ..., ап) при отсутствии неисправностей на выходе схемы появляется значение /(а). Предполагается, что все элементы схемы имеют не более двух входов, один выход и независимо друг от друга с вероятностью ее (0; 1/2) подвержены инверсным неисправностям на выходах (так же, как у Дж. фон Неймана).

Теорема 1.1. Пусть / - произвольная булева функция, отличная от константы, 5 - любая ее реализующая схема. Пусть подсхема С схемы 5 содержит выход схемы 5 и реализует булеву функцию g с ненадежностью

Р(С) < 1/2. Обозначим через рц,..., р^ всевозможные различные вероятности ошибок на выходе схемы С при нулевых входных наборах Ь , т.е. g(Ь) = 0. Аналогично, пусть р01,...,р0т - всевозможные различные вероятности ошибок на выходе схемы С при единичных входных наборах Ь , т.е. g (Ь) = 1. Полагаем, р1 = тт{рп,..., р^}, р0 = тт{роь..., р0т }. Тогда вероятности ошибок на выходе схемы 5 удовлетворяют неравенствам Р1(5,а) > р1, если / (а) = 0; Р0(5, а) > р0, если / (а) = 1 [7].

Следствие 1.1. Из теоремы 1.1 следует, что Р(5) > р1, г = 0,1 [7].

Пусть 5 - произвольная схема, реализующая булеву функцию /, отличную от константы. Пусть выходному элементу Е схемы 5 приписана функция е, причем первый вход элемента Е соединен с выходом некоторой подсхемы 51, второй вход элемента Е соединен с выходом некоторой подсхемы 52, и схемы и 52 не имеют общих элементов. Обозначим Р/.(~)(5г-,а) -

вероятность ошибки на входном наборе а схемы 5^, реализующей функцию /■, г = 1, 2. Докажем леммы 1.1-1.4.

Лемма 1.1. Если элементу Е приписана функция е =^ (импликация), тогда вероятности ошибок на выходе схемы 5 (рис. 1) равны:

Р0 (5, а) = е + (1 - 2е)Р1 (51, а)(1 - Р1 (^2, а)), если набор а является нулевым для функций /1 и /2, т.е. /■ (а) = 0, г = 1, 2 ;

Р0 (5, а) = е + (1 - 2е) Р1 (^1, а) Р0 (52, а), если набор а такой, что А(а) = 0, /2 (а) = 1;

Р1(5, а) = е + (1 - 2е)(Р0 (51, а) + /1(52, а) - Р0 (51, а)Р1 (52, а)), если набор а такой, что /1 (а) = 1, /2 (а) = 0 ;

Р0(5, а) = е + (1 - 2е)(1 - Р)(51, а))Р0 (52, а), если набор а является единичным для функций /1 и /2, т.е. /■ (а) = 1, г = 1, 2 .

Для доказательства достаточно вычислить вероятности ошибок.

Пусть набор а является нулевым для функций /1 и /2, т.е. /■ (а) = 0, г = 1, 2 . По формуле полной вероятности вычислим вероятность ошибки на выходе схемы 5:

Р0 (5, а) = (1 - Р1( 51, а))е + Р1( 51, а )((1 - Р1( 52, а ))(1 - е) + еР (52, а)) =

= е + (1 - 2е) Р1(5^ а )(1 - Р1(52, а)).

X

Рис. 1

Пусть входной набор а такой, что / (а) = 0, / (а) = 1. Вычислим вероятность ошибки на выходе схемы 5, используя формулу полной вероятности:

Ро (5, а) = Р1 (51, а) Ро (^2, а )(1 - е) + (1 - Р1 (5\, а) Ро (52, а ))е =

= £ + (1 - 2 е) Р1( 51, а) Ро ( 52, а).

Пусть входной набор а такой, что /1 (а) = 1, /2 (а) = 0 . По формуле полной вероятности вычислим вероятность ошибки на выходе схемы 5:

Р1(5, а) = (1 - Ро(51, а))(1 - Р1(52, а))е + (1 - (1 - Ро(51, а ))(1 - Р1(52, а )))(1 -е) =

= е + (1 - 2е)(Ро (5l,а) + Р1(52,а) - Ро (51,а)Р1(52,а)).

Пусть входной набор а является единичным для функций /1 и /2, т.е. /■ (а) = 1, ■ = 1, 2 . По формуле полной вероятности вычислим вероятность ошибки на выходе схемы 5:

Ро (5, а) = (1 - Ро (51, а))Ро (52, а)(1 - е) + (1 - (1 - Ро (51, а))Ро (52, а))е =

= е + (1 -2 е)(1 -Ро( 5^ а)) Ро( 52, а).

Лемма доказана.

Лемма 1.2. Если элементу Е приписана функция е = © (сложение по модулю 2), т.е. Е - двоичный сумматор, тогда вероятности ошибок на выходе схемы 5 (рис. 1) равны:

Р (5, а) = е + (1 - 2е)(Р1 (51, а) + Р (52,а) - 2Р (51, а)р (52,а)), если набор а является нулевым для функций /1 и /2, т.е. /■ (а) = о, ■ = 1, 2 ;

Ро (5, а) = е + (1 - 2е)(Р(51, а) + Ро (52, а) - 2р (51, а)Ро (52, а)), если набор а такой, что /1 (а) = о, /2 (а) = 1;

Ро(5, а) = е + (1 - 2е)( Ро( 51, а) + Р (52, а) - 2 Ро (51, а) Р (52, а)), если набор 5 такой, что /1 (а) = 1, /2 (а) = о ;

Р(5,а) = е + (1 -2е)(Ро(51,а) + Ро(52,а) -2Ро(51,а)Ро(52,а)), если набор а является единичным для функций /1 и /2 , т.е. / (а) = 1, ■ = 1, 2 .

Доказательство аналогично доказательству леммы 1.1.

Лемма 1.3. Если элементу Е приписана функция е = & (конъюнкция), тогда вероятности ошибок на выходе схемы 5 (рис. 1) равны:

Р1(5, а) = е + (1 - 2е)Р1 (51, а)Р1 (52, а), если набор а является нулевым для функций /1 и /2, т.е. /■ (а) = о, ■ = 1, 2 ;

Р1(5, а) = е + (1 -2е)Р1(51, а)(1 -Ро(52, а)), если набор а такой, что /1(а) = о, /2 (а) = 1;

Р1 (5, а) = е + (1 - 2е)(1 - Ро (51, а))Р1 (52, а), если набор а такой, что

/1(а) = 1, /2(а) = о;

Ро (5, а) = е + (1 - 2е)(Ро(51, а) + Ро(52, а) - Ро(51, а)Ро (52, а)), если набор а является единичным для функций /1 и /2 , т.е. /■ (а) = 1, ■ = 1, 2 . Доказательство аналогично доказательству леммы 1.1.

Лемма 1.4. Если элементу Е приписана функция е = ~ (эквивалентность), тогда вероятности ошибок на выходе схемы 5 (рис. 1) равны:

Ро (5, а) = е + (1 - 2е)(Р1 (51, а) + Р (52, а) - 2р (51, а)р (52, а)), если набор а является нулевым для функций /1 и /2 , т.е. /■ (а) = о, ■ = 1, 2 ;

р(5, а) = е + (1 - 2е)(р(51, а) + Ро(52, а) - 2Р1(51, а)Ро (52, а)), если набор а такой, что /1 (а) = о, /2 (а) = 1;

р(5, а) = е + (1 - 2е)(Ро (51, а) + Р1(52, а) - 2Ро (51, а)р (52, а)), если набор а такой, что /1 (а) = 1, /2 (а) = о ;

Ро(5,а) = е + (1 -2е)(Ро(51,а) + Ро(52,а)-2Ро(51,а)Р0(52,а)), если набор а является единичным для функций /1 и /2, т.е. /■ (а) = 1, ■ = 1, 2 . Доказательство аналогично доказательству леммы 1.1.

Лемма 1.5. Если элементу Е приписана функция е = & (рис. 2) (конъюнкция), тогда вероятности ошибок на выходе схемы 5 равны:

р(5, а) = е + (1 - 2е)р (51, а), если набор а является нулевым для функции / , т.е. /(а) = о;

Ро(5, а) = е + (1 - 2е)Ро (51, а), если набор а такой, что /(а) = 1. Доказательство аналогично доказательству леммы 1.1.

X

2 Нижние оценки ненадежности схем

2.1 Базис {х © у, х & у, 1}

Ясно, что функции х■ (■ = 1, 2, ..., п) можно реализовать абсолютно надежно (не используя ни одного ФЭ), а константы и функции х■ © х^ , х■ & х^ (■, j = 1, 2, ..., п, ■ Ф ] ) — схемами с ненадежностью е (используя один базисный ФЭ для реализации каждой из указанных функций). Докажем утверждение о нижней оценке для остальных функций/(х1, х2, ..., хп).

Обозначим К1(п) - множество булевых функций, зависящих от переменных х1, х2, ..., хп и отличных от функций о, 1, хь х■ & Xj , х■ © Xj

(■, j = 1, 2, ..., п, ■ Ф j ).

Теорема 2.1. Пусть ее (о, 1/4], функция /(х) е К1(п), и пусть 5 - любая схема, реализующая функцию/ Тогда Р(5) > 2е - 2е2 .

Доказательство. Пусть булева функция / е К1(п), и пусть 5 - любая схема, реализующая эту функцию. В схеме 5 выделим связную подсхему А, состоящую из двух элементов Е1, Е2 и содержащую выход схемы 5. Пусть Е1 -выходной элемент подсхемы А. Очевидно, что приписанная элементу Е1 функция не равна константе 1. Возможны следующие случаи (рис. 3-5):

1. Пусть Е1 - конъюнктор (е1 = &), причем оба его входа соединены с выходом одного элемента (рис. 3). Тогда независимо от приписанной элементу Е2 функции е2 по лемме 1.5 получаем ро = р1 = 2е - 2е2 . По следствию

1.1 верно неравенство Р(5) > 2е - 2е2, т.е. утверждение теоремы справедливо.

2. Пусть Е1 - конъюнктор, а подсхема А имеет вид, как на рис. 4 или 5. В обоих случаях, независимо от приписанной элементу Е2 функции е2, по

о 2

лемме 1.3 получаем р = 2е- 2е . Тогда по следствию 1.1 верно неравенство

о 2

Р(5) > р = 2е - 2е , т.е. утверждение теоремы справедливо.

3. Пусть Е1 - двоичный сумматор. Тогда подсхема А имеет вид, как на рис. 4 или 5. В этих случаях независимо от приписанной элементу Е2 функ-

1 о 2

ции е2 по лемме 1.2 получаем р = р = 2е - 2е . Тогда по следствию 1.1 верно неравенство Р(5) > 2е - 2е2 , т.е. утверждение теоремы справедливо. Теорема доказана.

Как известно [6], при ее (о, 1/24о] любую булеву функцию / можно

реализовать такой схемой 5, что Р(5) < 2е + 27е2 . Из этого результата и теоремы 2.1 следует, что асимптотически оптимальная по надежности схема для функции /(х) е К1 (п) функционирует с ненадежностью, асимптотически равной 2е при е——о.

2”

Число функций в классе К1(п): | К^п) |= 2 - п - 2 - п(п -1). Очевидно,

2п

что с ростом п отношение | К1(п) | /2 стремится к 1, т.е. в классе К1(п) содержатся почти все булевы функции, зависящие от переменных х1, х2, ., хп .

Приведенные утверждения справедливы для двойственных функций в двойственном базисе {х ~ у, х V у, о} при инверсных неисправностях на выходах элементов [7]. Следовательно, в базисе {х ~ у, х V у, о} почти все буле-

вы функции можно реализовать асимптотически оптимальными схемами, ненадежность которых асимптотически равна 2е при е^-0.

Хі Х2

Хз

Х1 Х2

Хз

Х1 Х2

Рис. 3

Рис. 4

2.2 Базис {х ^ у, х © у}

Рис. 5

Ясно, что функции хI (I = 1, 2, ..., п) можно реализовать абсолютно надежно (не используя ни одного ФЭ), а константы и функции х^ ^ х}- ,х, © х}-(1,у= 1, 2, ..., п, I Ф ] ) - схемами с ненадежностью е (используя один базисный ФЭ для реализации каждой из указанных функций). Докажем утверждение о нижней оценке ненадежности для остальных функцийА%\, х2, ..., хп).

Обозначим К2(п) - множество булевых функций, зависящих от переменных х1, х2, ..., хп и отличных от функций 0, 1, хь хI ^ х;, хI © х}-

(1,7 = 1, 2, ..., п, I Ф ]).

Теорема 2.2. Пусть ее (0,1/4], функция /(х) е К2(п), и пусть 5 - любая схема, реализующая функцию/ Тогда Р(5) > 2е - 2е2 .

Доказательство. Пусть булева функция / е К2(п), и пусть 5 - любая схема, реализующая эту функцию. В схеме 5 выделим связную подсхему А, состоящую из двух элементов Е\, Е2 и содержащую выход схемы 5 (рис. 3-5). Пусть Е] - выходной элемент подсхемы А. Возможны три случая. Поскольку функция / не равна константе, то случай на рис. 3 невозможен, какой бы ни была функция ех.

1. Пусть Е1 - импликатор, тогда независимо от того, первый или второй вход элемента Е1 соединен с выходом элемента Е2 (рис. 4, 5), и какая припи-

1 2

сана элементу Е2 функция е2, по лемме 1.1 получаем р = 2е - 2е . По след-

1 2

ствию 1.1 верно неравенство Р(5) > р = 2е- 2е , т.е. утверждение теоремы справедливо.

2. Если Е1 - двоичный сумматор, то независимо от того, первый или второй вход элемента Е1 соединен с выходом элемента Е2 (рис. 4, 5), и приписана элементу Е2 функция е2, по лемме 1.2 получаем р1 = р0 = 2е - 2е2 . Тогда

по следствию 1.1 верно неравенство Р(5) > 2е - 2е2 , т.е. утверждение теоремы справедливо.

Теорема доказана.

Как известно [6], при ее(0, 1/160] любую булеву функцию / можно

2

реализовать такой схемой 5, что Р(5) < 2е + 29е . Из этого результата и теоремы 2.2 следует, что асимптотически оптимальная по надежности схема для функции /(х) е К2(п) имеет ненадежность, асимптотически равную 2е при е—>0.

?п

Число функций в классе К2(п): | К2(п)|= 2 - п - 2 - 3п(п -1)/2. Оче-

2п

видно, что с ростом п отношение | К2(п)|/2 стремится к 1, т.е. в классе

К2(п) содержатся почти все булевы функции, зависящие от переменных

х1, x2, —, хп.

Известно [7], что приведенные утверждения справедливы для двойственных функций в двойственном базисе {х -Д у, х ~ у} при инверсных неисправностях на выходах элементов. Следовательно, в базисе {х -Д у, х ~ у} почти все булевы функции можно реализовать асимптотически оптимальными схемами, ненадежность которых асимптотически равна 2е при е—0.

2.3 Базис {х ~ у, х & у, 0}

Ясно, что функции хI (I = 1, 2, ..., п) можно реализовать абсолютно надежно (не используя ни одного ФЭ), а константы и функции х1 ~ х7, х1 & х (1,7 = 1, 2, ..., п, I Ф 7 ) - схемами с ненадежностью е (используя один базисный ФЭ для реализации каждой из указанных функций). Докажем утверждение о нижней оценке для остальных функцийДхь х2, ..., хп).

Пусть К3(п) - множество булевых функций, зависящих от переменных хь х2, ..., хп и отличных от функций 0, 1, хг-, хI ~ х , хI & х^ (I, 7 = 1, 2, ..., п,

I Ф 7 ).

Теорема 2.3. Пусть ее (0,1/4], /(х) - произвольная функция,/е К3(п),

2

и пусть 5 - любая схема, реализующая функцию/. Тогда Р(5) > 2е - 2е .

Доказательство. Пусть булева функция / е К3(п), и пусть 5 - любая схема, реализующая эту функцию. В схеме 5 выделим связную подсхему А, состоящую из двух элементов Е\, Е2 и содержащую выход схемы 5. Пусть Е1 -выходной элемент подсхемы А.

1. Если Е1 - конъюнктор, то независимо от того, первый или второй вход элемента Е1 соединен с выходом элемента Е2 (рис. 4, 5), и какая приписана элементу Е2 функция е2, по лемме 1.3 получаем р0 = 2е- 2е2. Тогда по

0 2

следствию 1.1 верно неравенство Р(5) > р = 2е- 2е , т.е. утверждение теоремы справедливо.

2. Если элементу Е1 приписана эквивалентность ~, то независимо от того, первый или второй вход элемента Е1 соединен с выходом элемента Е2 (рис. 4, 5), и какая приписана элементу Е2 функция е2, по лемме 1.4 получаем

10 2 2 р = р = 2е - 2е . Тогда по следствию 1.1 верно неравенство Р(5) > 2е - 2е ,

т.е. утверждение теоремы справедливо.

3. Пусть Е1 - конъюнктор (е! = &), причем оба его входа соединены с выходом одного элемента (рис. 3). Тогда независимо от приписанной элемен-

0 1 2

ту Е2 функции е2, по лемме 1.5 получаем р = р = 2е - 2е . По следствию 1.1

верно неравенство Р(5) > 2е - 2е2, т.е. утверждение теоремы справедливо. Теорема доказана.

Как известно [6], при ее(0, 1/240] любую булеву функцию / мож-

2

но реализовать такой схемой 5, что Р(5) < 2е + 27е . Из этого результата и теоремы 2.3 следует, что асимптотически оптимальная по надежности схема для функции /(х) е К3 (п) имеет ненадежность, асимптотически равную 2е при е— 0.

2п

Число функций в классе К3(п): | К3(п) |= 2 - п - 2 - п(п -1). Очевидно,

2п

что с ростом п отношение | К3(п) | /2 стремится к 1, т.е. в классе К3(п) содержатся почти все булевы функции, зависящие от переменных хь х2, ..., хп .

Из работы [7] известно, что приведенные утверждения справедливы для двойственных функций в двойственном базисе {х © у, х V у, 1} при инверсных неисправностях на выходах элементов. Следовательно, в базисе {х © у, х V у, 1} почти все булевы функции можно реализовать асимптотически оптимальными схемами, ненадежность которых асимптотически равна 2е при е— 0.

2.4 Базис {х ~ у, х & у, х © у}

Ясно, что функции х, (I = 1, 2, ..., п) можно реализовать абсолютно надежно (не используя ни одного ФЭ), а константы и функции х{ ~ х;-, х{ & х}-, хI © х}- (1,7 = 1, 2, ..., п, I Ф 7 ) - схемами с ненадежностью е (используя один базисный ФЭ для реализации каждой из указанных функций). Докажем утверждение о нижней оценке для остальных функций_Дх1, х2, ..., хп).

Обозначим К4(п) - множество булевых функций, зависящих от переменных хь х2, ..., хп и отличных от функций 0, 1, хг-, хI ~ х;-, хI & х7 , хI © х7

(г,7 = 1, 2, ..., п, I Ф ]).

Теорема 2.4. Пусть ее (0,1/4], /(х) - произвольная функция,/е К4(п),

и пусть 5 - любая схема, реализующая функцию/. Тогда Р(5) > 2е - 2е .

Доказательство. Пусть булева функция /е К4(п), и пусть 5 - любая схема, реализующая эту функцию. В схеме 5 выделим связную подсхему А, состоящую из двух элементов Е\, Е2 и содержащую выход схемы 5. Пусть Е1 -выходной элемент подсхемы А.

1. Если Е1 - конъюнктор, то независимо от того, первый или второй вход элемента Е1 соединен с выходом элемента Е2 (рис. 4, 5), и какая приписана элементу Е2 функция е2, по лемме 1.3 получаем р0 = 2е- 2е2. Тогда по

1 2

следствию 1.1 верно неравенство Р(5) > р = 2е- 2е , т.е. утверждение теоремы справедливо.

2. Если Е1 - двоичный сумматор, то независимо от того, первый или второй вход элемента Е1 соединен с выходом элемента Е2 (рис. 4, 5), и какая

приписана элементу Е2 функция е2, по лемме 1.2 получаем р1 = р0 = 2е - 2е2 .

Тогда по следствию 1.1 верно неравенство Р(5) > 2е- 2е2, т.е. утверждение теоремы справедливо.

3. Если элементу Е1 приписана эквивалентность ~, то независимо от того, первый или второй вход элемента Е1 соединен с выходом элемента Е2 (рис. 4, 5), и какая приписана элементу Е2 функция е2, по лемме 1.4 получаем

р1 = р0 = 2е - 2е2 . Тогда по следствию 1.1 верно неравенство Р(5) > 2е - 2е2,

т.е. утверждение теоремы справедливо.

4. Пусть Е1 - конъюнктор (е! = &), причем оба его входа соединены с выходом одного элемента (рис. 3). Тогда независимо от приписанной элементу Е2 функции е2, по лемме 1.5 получаем р0 = р1 = 2е - 2е2 . По следствию 1.1

верно неравенство Р(5) > 2е - 2е2, т.е. утверждение теоремы справедливо. Теорема доказана.

Как известно [6], при ее(0, 1/240] любую булеву функцию / можно

2

реализовать такой схемой 5, что Р(5) < 2е + 27е . Из этого результата и теоремы 2.3 следует, что асимптотически оптимальная по надежности схема для функции /(х) е К4 (п) имеет ненадежность, асимптотически равную 2е при е^-0.

2п

Число функций в классе К4(п): | К4(п)|= 2 - п - 2 - 3п(п -1)/2. Оче-

2п

видно, что с ростом п отношение | К4(п)|/2 стремится к 1, т.е. в классе

К4(п) содержатся почти все булевы функции, зависящие от переменных

х1, x2, ., хп.

Приведенные утверждения справедливы для двойственных функций в двойственном базисе {х © у, х V у, х ~ у} при инверсных неисправностях на выходах элементов [7]. Следовательно, в базисе {х © у, х V у, х ~ у} почти все булевы функции можно реализовать асимптотически оптимальными схемами, ненадежность которых асимптотически равна 2е при е^-0.

3 Сложность асимптотически оптимальных по надежности схем

Из результатов разд. 2 следует, что почти для всех функций асимптотически оптимальные по надежности схемы в рассматриваемых базисах функционируют с ненадежностью, асимптотически равной 2е при е^-0. Оценим сложность асимптотически оптимальных схем в рассматриваемом базисе. Но прежде ответим на вопрос, являются ли схемы, построенные С. И. Ортюковым и Д. Улигом асимптотически оптимальными по надежности.

Пусть далее веса всех базисных элементов равны 1. Тогда р = 1, а сложность схемы - число элементов в ней.

Для ответа на поставленный вопрос нужно оценить минимальное число Ьг надежных элементов, необходимое для реализации функции голосования в рассматриваемых базисах. Нетрудно проверить, что трех элементов недостаточно для реализации функции голосования g, т.е. Ьг > 4. Значит, схемы, построенные С. И. Ортюковым и Д. Улигом, функционируют с ненадежностью не больше р, и р > q(е)Lg > 4е. В то время как из [6] следует, что любую булеву функцию в этих базисах можно реализовать схемой, ненадежность

которой асимптотически не больше 28 при 8^-0. Таким образом, нет оснований считать схемы, построенные С. И. Ортюковым и Д. Улигом, асимптотически оптимальными по надежности.

Лемма 3.1. Пусть й - полный в Р2 базис. Пусть функции/и / реализованы схемами , Sст2 и 5^ в базисе й с ненадежностью не более р.

Пусть g є О = {И є р : И(х^, Х2, Х3) = х^1 х^2 V х^1 х^3 V х^2 х^3}, а 5^ - схема, реализующая g с ненадежностью не больше р, причем У0 - вероятность ошибки схемы Sg на наборе (ст}, Ст2, СТ3), а У} - на наборе (СТ}, СТ2, СТ3). Тогда схема « (рис. 6) реализует функцию / в базисе й с ненадежностью Р(«) < тах{Уі, Уо} + 6р2 [6].

х

Рис. 6

Лемма 3.2. Пусть В - произвольный полный базис. Пусть схема «1 реализует булеву функцию / с ненадежностью Р(«1). Пусть схема О реализует функцию g с ненадежностью Р(О). Тогда/можно реализовать схемой «2, для которой Р«) < Р(О) + 3Р2(^), Ь«) = 3Ь«) + Ь(О) [7].

3.1 Базис {х © у, х & у, 1}

Лемма 3.3. При є є(0, 1/240] функцию голосования g в рассматриваемом базисе можно реализовать такой схемой «, что Р(^ < 2є + 35є2, = 52.

Доказательство. Поскольку для реализации g схемой Sg достаточно четырех элементов, то P(Sg) < 4є. Вероятности ошибок У} и Уо схемы Sg на на-

2 3 4

борах (000) и (111) соответственно: ^ = Уо = 2є-є - 4є + 4є < 2є. Для повышения надежности будем использовать схему Sg. Возьмем еще три экземпляра схемы Sg и соединим выходы этих схем со входами исходной схемы Sg. Построенную таким образом схему обозначим ф ^). Применим лемму 3.1 и

получим, что Р( ф ^)) < 2є + 96є2 < 2,4є при є < 1/240, = 3 • 4 + 4 = 16.

2

Проделаем еще один шаг итерации: по схеме ф ^) построим схему ф (Sg), реализующую g. Тогда Р( ф2(Sg)) < 2є + 35є2 при є < 1/240, Ь( ф2(Sg)) =

2

= 3 • 16 + 4 = 52. Схема ф (Sg) искомая, лемма доказана.

Теорема 3.1. Для любого Ь (Ь > 0) существует константа 82 є (0, 1/2) такая, что при любых 8 є (0, 82) любую булеву функцию / (х1, х2, ..., хп) можно реализовать в базисе {х © у, х & у, 1} такой схемой S, что Р(^ < 28 +8482, Ь^ < 3(1 + Ь) • 2” /п.

Доказательство. Пусть / (х1, х2, ..., хп) - произвольная булева функция. Воспользуемся результатом Д. Улига (см. [3], а также введение), полагая с = 1/100. Тогда существует 81 такое, что при любом 8 є (0, 81) и р = 1,018 Ьг функцию/можно реализовать схемой S1, для которой Р^) < 1,018 Ьг < 4,048 и Ь^) < (1 + Ь) • 2”/п. По лемме 3.3 при 8 є (0, 1/240] функцию голосования g(x1, х2, х3) можно реализовать схемой О, для которой Р(О) < 28 + 358 , Ь(О) = 52. Возьмем три экземпляра схемы S1 и соединим их выходы со входами схемы О. Построенную схему обозначим через S. Пусть 82 = тіп{81, 1/240}, тогда по лемме 3.3 при 8 є (0, 82) получаем Р(^ < Р(А) + 3Р2^) < 28 + + 3582 + 3(4,04 8)2 < 28 + 8482. Очевидно, Ь^ = 3Ь(Sl) + Ь(О) = 3Ь(^) + 52 < < 3Ь(Sl) < 3(1 + Ь) • 2”/п.

Теорема доказана.

Теорема 3.1 справедлива в двойственном базисе {х < у, х V у, 0} при инверсных неисправностях на выходах элементов [7].

Замечание 3.1. Очевидно, предложенный в теореме 3.1 метод синтеза асимптотически оптимальных по надежности схем S можно осуществить в любом полном базисе В при инверсных неисправностях на выходах элементов, причем сложность этих схем удовлетворяет неравенству Ь(^ < 3(1 + Ь)р • 2”/п, где Ь - любое, сколь угодно малое, положительное число.

Замечание 3.2. Поскольку оценка сложности в теореме 3.1 асимптотическая, то сложность схемы, реализующей функцию голосования, на нее не влияет.

3.2 Базис {х Д у, х © у}

Лемма 3.4. При є є (0, 1/240] функцию голосования g в рассматриваемом базисе можно реализовать такой схемой S, что Р(^ < 2є + 35є2, Ь^ = 52.

Доказательство аналогично доказательству леммы 3.3 с той лишь разницей, что схема О1 из четырех элементов реализует функцию хх V х^3 V х2 х3 =

= [(х1 © хг) Д (х2 © х3)] © х2 .

Теорема 3.2. Для любого Ь (Ь > 0) существует константа 82 є (0, 1/2) такая, что при любых 8 є (0, 82) любую булеву функцию/(х1, х2, ..., хп) можно реализовать в базисе {х Д у, х © у} такой схемой S, что Р(^ < 28 +14682, Ь(S) < 3(1 + Ь) • 2” /п.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 3.1.

Теорема 3.2 справедлива в двойственном базисе {х -Д у, х < у} при инверсных неисправностях на выходах элементов [7].

3.3 Базис {х < у, х & у, 0}

Лемма 3.5. При є є (0, 1/240] функцию голосования g в рассматриваемом базисе можно реализовать такой схемой S, что Р(^ < 2є + 35є2, Ь^ = 52.

Доказательство аналогично доказательству леммы 3.3 с той лишь разницей, что схема G1 из четырех элементов реализует функцию Xx v xx v X2 X3 =

= (xi ~ X2)&(Xi ~ X3) ~ Xi.

Теорема 3.3. Для любого b (b > G) существует константа є2 є (G, 1/2) такая, что при любых є є (G, є2) любую булеву функцию f (x1, x2, ..., xn) можно реализовать в базисе {x ~ y, x й y, G} такой схемой S, что P(S) < 2є + 14бє2, L(S) ~ 3(1 + b) • 2n/n.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 3.1.

Теорема 3.3 справедлива в двойственном базисе {x Єy, x v y, 1} при

инверсных неисправностях на выходах элементов [7].

3.4 Базис {x ~ y, x й y, x Є y}

Теорема 3.4. Для любого b (b > G) существует константа є2 є (G, 1/2) такая, что при любых є є (G, є2) любую булеву функцию f (x1, x2, ..., xn) можно реализовать в базисе {x ~ y, x й y, x Є y} такой схемой S, что P(S) < 2є + 84є2, L(S) ~ 3(1 + b) • 2n/n.

Доказательство аналогично доказательству теоремы 3.1 и опирается на лемму 3.3.

Теорема 3.4 справедлива в двойственном базисе {x Є y, x v y, x ~ y} при инверсных неисправностях на выходах элементов [7].

Заключение

В базисах {x Є y, x й y,1}, {x ~ y, x v y,G}, {x — y, x Є y}, {x — y, x ~ y}, {x ~ y, x й y, G}, {x Є y, x v y,1}, {x ~ y, x й y, x Є y}, {x ~ y, x v y, xЄy}, удовлетворяющие условиям теорем 3.1-3.4, при инверсных неисправностях на выходах элементов для всех булевых функций можно построить схемы, асимптотически оптимальные по надежности, причем почти для всех функций эти схемы функционируют с ненадежностью, асимптотически равной 2є при є^-G. Сложность этих схем асимптотически не больше чем в три раза превышает сложность минимальных схем, построенных из абсолютно надежных элементов.

Список литературы

1. Neuman von J. Probabilistic logics and the synthesis of reliable organisms from unreliable components / J. von Neuman // Automata studies / ed. by C. Shannon, Mc. Carthy J. - Princeton : Princeton University Press, 195б. - (Русский перевод: Автоматы. - М. : ИЛ, 195б. - С. б8-139).

2. Ор тюков, С. И. Об избыточности реализации булевых функций схемами из ненадежных элементов / С. И. Ортюков // Труды семинара по дискретной математике и ее приложениям (Москва, 27-29 января 1987 г.). - М. : Изд-во Моск. ун-та, 19S9. - С. 1бб-1б8.

3. Uhlig, D. Reliable networks from unreliable gates with almost minimal comlexity / D. Uhlig // Fundamentals of Computation Theory. Intern. сonf. FCT'87 (Kazan, June 19S7). Proc. - Berlin : Springer-Verl., 19S7. - P. 4б2-4б9. - (Lecture Notes in Com-put. Sci.; V. 278).

4. Лупанов, О. Б. Об одном методе синтеза схем / О. Б. Лупанов // Известия вузов. Радиофизика. - 195S. - Т. 1. - № 1. - С. 12G-14G.

5. Алехина, М. А. О надежности и сложности схем в базисе (х|>’} при инверсных неисправностях элементов / М. А. Алехина // Дискретный анализ и исследование операций. - Новосибирск : Изд-во института математики. - 2005. - Апрель-июнь. - Т. 12. - № 2. - С. 3-11. - (Серия 1).

6. Алехина, М. А. Верхние оценки ненадежности схем в некоторых базисах при инверсных неисправностях на выходах элементов / М. А. Алехина, А. В. Шилов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. - 2006. - № 5(26). -С. 4-12. - (Естественные науки).

7. Алехина, М. А. Синтез асимптотически оптимальных по надежности схем из ненадежных элементов : монография / М. А. Алехина. - Пенза : Информационно-издательский центр ПензГУ, 2006.

Алехина Марина Анатольевна

доктор физико-математических наук, профессор, заведующая кафедрой дискретной математики, Пензенский государственный университет

E-mail: alehina@pnzgu.ru

Васин Алексей Валерьевич аспирант,

Пензенский государственный университет

E-mail: dm@pnzgu.ru

Alekhina Marina Anatolyevna Doctor of physico-mathematical sciences, professor, head of discrete mathematics sub-department, Penza State University

Vasin Alexey Valeryevich Postgraduate student, Penza State University

УДК 519.718+004.312 Алехина, М. А.

Синтез асимптотически оптимальных по надежности схем /

М. А. Алехина, А. В. Васин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические науки. - 2009. - № 2 (10). - С. 48-62.