CC BY
26
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА
Том 151, кн. 2
Физико-математические пауки
2009
УДК 519.95
О НАДЕЖНОСТИ СХЕМ В БАЗИСАХ,
СОДЕРЖАЩИХ ФУНКЦИИ НЕ БОЛЕЕ ЧЕМ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ
М.А. Алехина, A.B. Васин
Аннотация
Рассматривается реализация булевых функций схемами из ненадежных элементов в полном базисе B, содержащем функции не более чем трех переменных. Предполагается, что базисные элементы подвержены инверсным неисправностям па выходах, переходят в неисправные состояния независимо друг от друга с вероятностью е (е € (0; 1/2)). Найдено множество G функций, существенно зависящих от трех переменных, и доказано,
е
(при е ^ 0) тогда и только тогда, когда G П B = 0.
Ключевые слова: ненадежные функциональные элементы, оптимальные схемы, инверсные неисправности, реализация булевых функций схемами из ненадежных функциональных элементов, синтез падежных схем.
1. Необходимые понятия и вспомогательные утверждения
Рассматривается реализация булевых функций схемами из ненадежных функциональных элементов (ФЭ) в произвольном полном конечном базисе B. Предполагается, что все элементы схемы независимо друг от друга с вероятностью е (е £ (0; 1/2)) подвержены инверсным неисправностям на выходах (так же, как у Дж. фон Неймана [1]). Эти неисправности характеризуются тем, что в исправном состоянии функциональный элемент реализует приписанную ему булеву функцию e, а в неисправном - функцию е.
Считаем, что схема из ненадежных элементов реализует булеву функцию f (xi, x2,..., xn), если при поступлении на входы схемы набора а = (ai, а2,..., an) при отсутствии неисправностей в схеме на ее выходе появляется значение f(а). Обозначим через Рд~у(6',а) вероятность ошибки на входном наборе а схемы А, реализующей функцию /. Число P(S) = тахРа) назовем ненадежностью
схемы S. Надежность схемы S равна 1 — P(S).
Пусть Pe(f) = inf P(S), где инфимум берется по всем схемам S из ненадежных элементов, реализующим функцию f (xi, Х2,..., xn). Схема A из ненадежных
f
PF(f)
надежности, если Р(А) ~ Pe(f) при е —>■ 0, то есть lim р^^ = 1-
f
ты, S - любая схема, реализующая f. Пусть подсхема С схемы S содержит, выход схемы S и реализует булеву функцию h с ненадежностью P(С) < 1/2. Обозначим через pi1,...,p1k всевозможные различные вероятности ошибок на выходе схемы С при нулевых входных наборах Ь, то есть h(b) = 0. Аналогично, пусть p01,... ,pom - всевозможные различные вероятности ошибок на
а б в
Рис. 1. Схема Я
выходе схемы С при единичных входных наборах Ь, то есть Л-(Ь) = 1. Полагаем р1 = тт{рц,... }, р0 = тт{р01, • • • ,рот}- Тогда вероятности ошибок на выходе схемы Б удовлетворяют неравенствам Р^Б, а) > р1, если /(а) = 0; Р0(Б, а) > р0, есл и / (а) = 1.
Следствие 1 [2]. Р(Б) > р\ г = 0,1.
Пусть Б - произвольная схема, реализующая булеву функцию /, отличную от константы. Пусть выходному элементу Е немы Б приписана функция е, причем первый вход элемента Е соединен с выходом некоторой подсхемы Б1 , второй вход элемента Е - с выходом некоторой подсхемы Б2 и схемы Б1 и Б2 не имеют общих элементов. Обозначим через Ру-щ(Б.1,а) вероятность ошибки на входном наборе а схемы , ревизующей функцпю /¿, г = 1, 2. Справедливы леммы НО.
Лемма 1. Если элементу Е приписана функция е (импликация), то вероятности ошибок на выходе схемы Б (рис. 1, а) равны:
Р0(Б, а) = £ + (1 — 2е)Р1(Б1, а)(1 — Р1(Б2,а)^, если мобор а является нулевым, для функции /1 и /2, то ее ть /¿(а) = 0, г =1, 2;
Р0(Б, а) = £ + (1 — 2£)Р1(Б1,а)Р0(Б2,а), если мо бор а - такой, что /1(а) = 0, /2(а) = 1^
Р1(Б, а) = £ + (1 — 2£)(Р0(Б1, а) + Р1(Б2, а) — Р0(Б1; а)Р1(Б2, а)), если набор а -такой, что /1 (а) = 1, /2 (а) = 0;
Р0(Б,а) = £ +(1 — 2£)(1 — Р0(Б1;а))Р0(Б2,а), если набор а является единичным для функций /1 и /2, то ее ть /¿(а) = 1, г = 1, 2.
аа /1 /2
есть /¿(а) = 0, г = 1, 2. По формуле полной вероятности вычислим вероятность ошибки на выходе схемы Б: Рэ (Б, а) = (1 — Р1 (Б1, а))£ + Р1 (Б1, а)((1 — Р1 (Б2, а))(1 —
— £) + £Р1(Б2, а)) = £ + (1 — 2£)Р1(Б1, а)(1 - Р1(Б2,а)).
Пусть входной набор а - такой, что /1 (а) = 0, /2 (а) = 1. Вычислим вероятность ошибки на выходе схемы Б, используя формулу полной вероятности: Р0(Б, а) =
= Р1(Б1, а)Р0(Б2, а)(1 — £) + (1 — Р^БьВДф, а))£ = £ + (1 — 2£)Р1(БЬа)Р0(Б2,а).
Пусть входной набор а - такой, что /1(а) = 1, /2(а) =0. По формуле полной
Б Р1 ( Б, аа ) = (1 —
— Р0(Б1,а))(1 — Р1(Б2,а))£ + (1 — (1 — Р0(Бь а))(1 — Р^, а)))(1 — £) = £ + (1 —
— 2£)(Р0(Б1, а) + Р1 (Б2, а) — Р0(Б1, ВД (Б2, а)).
аа /1 /2
/¿(а) = 1, г = 1,2. По формуле полной вероятности вычислим вероятность ошибки на выходе схемы Б: Р0(Б, а) = (1 — Р](Б1, а))Р](Б2, а)(1 — £) + (1 — (1 —
— Р0(БьЙ))Р0(Б2,5))£ = е + (1 - 2е)(1 - Р0(БЬЙ))Р0(Б2,Й).
Лемма 1 доказана. □
Леммы 2 10 доказываются аналогично лемме 1.
Лемма 2. Если элементу Е приписана функция е = © (сложение по модулю 2), то есть Е - двоичный сумматор, то вероятности ошибок на выходе схемы Б (рис. 1, а) равны:
Р1(Б,а) = £ + (1 - 2£)(Р1(Бьа) + Р^, а) - 2Р1(Бьа)Р1(Б2,а)), если на бор а является нулевым, для функции /1 и /2, то ееть /¿(а) =0, г = 1,2;
Ро(Б,а) = £ +(1 - 2£)(Р1(Б1, а)+ Ро(Б2, а) - 2Р^БЬ а)Ро(Б2, а)), если набор а -такой, что /1 (а) = 0, /2 (а) = 1;
Ро(Б,а) = £ +(1 - 2£)(Ро(Б1, а)+ Р1(Б2, а) - 2Ро(Бьа)Р1(Б2,а))г если набор а -такой, что /1 (а) = 1, /2 (а) = 0;
Р1(Б,а) = £ + (1 - 2£)(Ро(Б1,а) + Ро(Б2, а) - 2Ро(Бь а)Ро(Б2, а)), если мобор а является единичным для функций /1 и /2, то ее ть /¿(а) = 1, г = 1,2.
Лемма 3. .Если элементу Е приписана функция е = & (конъюнкция), то
Б
Р1(Б, а) = £ + (1 - 2£)Р1(Б1,а)Р1(Б2, а),если мо бор а является нулевым, для функций /1 и /2, то ее ть /¿(а) = 0, г = 1, 2;
Р1(Б,а) = £ + (1 -2£)Р1(Б1, а)(1 -Ро(Б2, а)), если набор а - такой, что /1(а) = = 0, /2(0) = 1;
Р1(Б,а) = £ + (1 - 2£)(1 -Ро(Б1; а))Р1(Б2, а), если набор а - такой, что /1(а) = = 1, /2(а)=0;
Ро(Б, а) = £ + (1 - 2£)(Ро(Б1, а) + Ро(Б2,а) - Ро(Б1; а)Ро(Б2, а)), если набор а является единичным для функций /1 и /2, то ее ть /¿(а) = 1, г = 1,2.
Лемма 4. Если элементу Е приписана функция е =~ (эквивалентность),
Б
Ро(Б,а) = £ + (1 - 2£)(Р1(Б1,а) + Р^, а) - 2Р1(Бьа)Р1(Б2,а)), если мо бор а является нулевым, для функций /1 и /2, то ее ть /¿(а) =0, г = 1, 2;
Р1(Б,а) = £ +(1 - 2£)(Р1(Б1, а)+ Ро(Б2, а) - 2Р^БЬ а)Ро(Б2, а)), если набор а -такой, что /1 (а) = 0, /2 (а) = 1;
Р1(Б,а) = £ +(1 - 2£)(Ро(Б1, а)+ Р^, а) - 2Ро(Бьа)Р1(Б2,а))г если набор а -такой, что /1 (а) = 1, /2 (а) = 0;
Ро(Б, а) = £ + (1 - 2£)(Ро(Б1,а) + Ро(Б2, а) - 2Ро(Б1, а)Ро(Б2, а)), если мабор а является единичным для функций /1 и /2, то ее ть /¿(а) = 1, г = 1,2.
Лемма 5. Если элементу Е приписана функция е =| (стрелка Пирса), то
Б
Ро(Б,а) = £ + (1 - 2£)(Р1(Б1,а) + Р1(Б2, а) - Р1(Б1, а)Р1(Б2, а)),е^м набор а является нулевым, для функций /1 и /2, то ее ть /¿(а) =0, г = 1, 2;
Р1(Б,а) = £ + (1 - 2£)(1 - Р1(Б1, а))Ро(Б2, а), если набор а - такой, что /1(а) = = 0, /2(а) = 1;
Р1(Б,а) = £ + (1 - 2£)Ро(Б1, а)(1 - Р1(Б2, а)), если набор а - такой, что /1(а) = = 1, /2(а)=0;
Р1(Б, а) = £ + (1 - 2£)Ро(Б1, а)Ро(Б2, а), если набор а является единичным для функций /1 и /2, то ее ть /¿(а) = 1, г = 1, 2.
Лемма 6. Если элементу Е приписана функция е = | (штрих Шеффера), то
Б
Ро(Б, а) = £ + (1 - 2£)Р1(Б1,а)Р1(Б2,а), если ма бор а является нулевым, для функций /1 и /2, то ее ть /¿(а) = 0, г = 1, 2;
Ро(Б,а) = £ + (1 -2£)(1 -Р1(Б1, а))Ро(Б2, а), если набор а - такой, что /1(а) = = 0, /2(а) = 1;
Р0(Б, а) = £ + (1 — 2£)Р0(Б1, а)(1 — Р1(Б2, а)), если набор а - такой, что /1(а) = = 1, /2(а)=0;
Р1(Б, а) = £ + (1 — 2£)(Р0(Б1, а) + Р0(Б2,а) — Р0(Б1, а)Р0(Б2, а)), если набор а является единичным для функций /1 и /2, то ееть /¿(а) = 1, г = 1,2.
Лемма 7. Если элементу Е приписана функция е то вероятности оши-Б
Р1(Б, а) = £ + (1 — 2£)Р1(Б1, а)(1 — Р1(Б2,а)^, если мобор а является нулевым, для функций /1 и /2, то ее ть /¿(а) = 0, г =1, 2;
Р1(Б, а) = £ + (1 — 2£)Р1(Б1,а)Р0(Б2,а), если мо бор а - такой, что /1(а) = 0, /2(а) = 1^
Р0(Б, а) = £ + (1 — 2£)(Р0(Б1, а) + Р1(Б2, а) — Р0(Б1, а)Р1(Б2, а)), если набор а -такой, что /1 (а) = 1, /2 (а) = 0;
Р1(Б,а) = £ +(1 — 2£)(1 — Р0(Б1,а))Р0(Б2,а), если набор а является единичным для функций /1 и /2, то ее ть /¿(а) = 1, г = 1, 2.
Е
е = V (дизъюнкция), то вероятности ошибок на выходе схемы Б (рис. 1, а) равны:
Р1(Б,а) = £ + (1 — 2£)(Р1(Бьа) + Р1(Б2,а) — Р1(Бьа)Р1(Б2,а)), если мо бор а является нулевым, для функций /1 и /2, то ее ть /¿(а) =0, г = 1, 2;
Р0(Б,а) = £ + (1 — 2£)Р1(Б1,а)(1 — Р0(Б2, а)), если набор а - такой, что /1(а) = = 0, /2(0) = 1;
Р0(Б, а) = £ + (1 — 2£)(1 — Р0(Б1, а))Р1(Б2, а), если набор а - такой, что /1(а) = = 1, /2(а)=0;
Р0(Б, а) = £ + (1 — 2£)Р0(Б1, а)Р0(Б2, а), если мо бор а является единичным для функций /1 и /2, то ее ть /¿(а) = 1, г = 1, 2.
Лемма 9. Если элементу Е приписана функция е(ж1,ж2) и е(х, х) = жь, Ь € € {0,1}, то вероятность ошибок на выходе схемы Б (рис. 1, ф на наборе а равна Pf 5(3) (Б, а)= £ + (1 — 2£)Р/С5) (Б1,а).
Е
Б
Р0(Б, а) = £ + (1 — 2£)Р1(Б1, а), если набор а - такой, что ./(а) = 0;
Р1(Б, а) = £ + (1 — 2£)Р0(Б1, а), если набор а - такой, что /(а) = 1.
Пусть В2 _ множество всех булевых функций, зависящих от переменных х1, Х2 .
Из лемм 1 10 следует теорема
Теорема 2. Если схема Б (рис. 1, а-в), построенная в базисе Р2, содержит ровно 2 элемента, а ее выходному элементу приписана функция е(ж1,ж2), отличная от констант и тождественной функции, то существует г € {0,1} такое, что p¿ = 2£ — 2£2.
ЕБ
сана одна из функций х1 V х2 или х1 ^ х2. Поскольку на схемы Б1 и Б2
(рис. 1, а) приходится ровно один элемент, то из лемм 1, 6, 8 следует, что на любом нулевом наборе вероятность ошибки равна р1 = р1 = £ + (1 — 2£)£ = 2£ — 2£2.
ЕБ
х1 | х2, х1 ^ х2, то из лемм 3, 5, 7 следует, что на любом единичном
наборе вероятность ошибки равна р0 = р0 = £ + (1 — 2£)£ = 2£ — 2£2 .
Если выходному элементу Е схемы Б (рис. 1, а) приписаны функция Х1 © х или Х1 ~ Х2 , то из лемм 2 и 4 получаем, что па любом входном наборе вероятность 2£ — 2£2 р0 = р1 = 2£ — 2£2
а бег
Рис. 2. Возможные варианты схемы A
Если выходному элементу Е схемы Б (рис. 1, б) приписана функция Х1|Х2, Х1 V Х1 ^ Х2, Х1 I Х2, Х1&Х2, Х1 — Х2, Х1 ф х^и Х1 ~ Х2, то из леммы 9 следует, что на любом входном наборе вероятность ошибки равна 2е — 2е2, то есть р0 = р1 = 2е — 2е2.
Если выходному элементу Е схемы Б (рис. 1, в) приписана функция Х, то из леммы 10 следует, что на любом наборе вероятность ошибки равна 2е — 2е2, то есть р0 = р1 = 2е — 2е2 .
Теорема 2 доказана. □
2. Оценки ненадежности схем в базисе B2
Теорема 3 [3]. В базисе {x1&x2,x1 © x2,1} щи е < 1/240 любую функцию f (xi, x2,..., xn) можно реализовать такои схемой S, что P(S) < 2е + 27е2.
Поскольку {x1&x2, x1 © x2,1} С B2 , из теоремы 3 следует
Теорема 4. В базисе B2 при е < 1/240 любую булеву функцию f (x1, x2,..., xn) можно реализовать такой схемой S, что P(S) < 2е + 27е2.
Очевидно, что функции x¿ (i = 1, 2,..., n) можно реализовать абсолютно надежно (не используя ни одного ФЭ), а функции x¿, xi |xj, xi | xj , xi ~ xj , xi ^ xj , xi ^ xj, x¿ © xj , xi&xj , xi V xj и константы 0,1 (i,j = 1, 2,..., n, i = j) — схема-
е
указанных функций).
Пусть Ki(n) - множество булевых функций, зависящих от переменных xi, x2, .. ., xn и отличньк от функций 0, 1, xi , xi , xi|x^ xi I xj , xi ~ xj , xi ^ xj , xi '' j y xi ©© j y i&xj, xi V xj (i,j = 1, 2,..., n, i = j). Нетрудно проверить, что |K1(n)| = 22" - 5n2 + 3n - 2.
Замечание 1. Для реализации любой функции из класса K1(n) схемой в ба-B2
Теорема 5. Пусть е < 1/4, функция f (ж) G K1 (n) и пуст,ь S - любая схема в базисе B2, реализующая функцию f. Тогда P(S) > 2е — 2е2.
Доказательство. Пусть булева функция f G K^n), a S - любая схема, реализующая эту функцию. В схеме S выделим связную подсхему A, состоящую из двух различных элементов E1, E2 причем выход эле мента E1 является выходом
SA дется такое i G {0,1}, та о pi > 2е — 2е2. Тогда то следствию 1 верно P (S) > 2е —2е2.
Теорема доказана. □
Е2
может быть любым, поэтому утверждение теоремы 5 останется верным, если выходной элемент Е1 имеет не более двух входов, а элемент Е2 — &-входов, к >3.
Из теорем 4 и 5 следует, что в базисе В2 асимптотически оптимальные по надежности схемы для почти всех функций (поскольку |К1(п)|/22 ^ 1 с ростом п) функционируют с ненадежностью, асимптотически равной 2£ при £ ^ 0.
3. Об одном классе функций
Пусть В - произвольный полный конечный базис. Рассмотрим три множества: С = К1 х22 V х^1 Жд3 V х22Жд3 |< € {0,1}, г € {1, 2, 3}}, С2 - множество функций, зависящих от переменных Ж1, Ж2, жз , и конгруэнтньж функцпям ж^1 х22 © ж^3 , С3 - множество функций, зависящих от переменных Ж1, Ж2, жз , конгруэнтных функциям хд1 Ж22 V х22х23, где <, <2, <г3 € {0,1}. Полагаем С = С1 и С2 и С3.
Замечание 3. |С1| = 8, |С2| = 24, |С31 = 24, |С| = 56.
Обозначим через С* множество функций, конгруэнтных функциям х^1 х^2 V х2х23 V хд2х23, или х2 хд2 V х23х24, или (х2 V хд2) • (ж23 V жд4), где < € {0, 1}, г = 1, 2, 3, 4.
С.И. Аксенов [4] доказал, что при инверсных неисправностях на выходах эле-
С*
ВБ
ционирующей с ненадежностью Р(Б) < £ + се2, где £ < с, ^ — некоторые положительные константы.
В
С*
Теорема 6 [3]. Допустим,, что любую функцию можно реализовать схемой с ненадежностью не больше р (р < 1/2). Пусть схема Бд реализует функцию д € € С* с ненадежноетью Р(Бд) < р, причем V1 и V0 - вероятности ошибок схемы Бд на наборах (<г1, <2, а3) и (<1,02,03) соответственно, если д зависит от трех переменных, и на наборах (04,03,03,0,4) и (<1,<2,<3, <4) соответственно, если д зависит от четырех переменных. Тогда произвольную функцию /(х1,...,хп) можно реализовать такой схемой Б, что Р(Б) < тах{«0, V1} + 6р2.
В
функцию ^ € С1, то любую булеву функцию можно реализовать такой схемой Б, что Р(Б) < £ + 6р2.
Лемма 12 [5]. При £ < 1/960 любую функцию / в базисе В можно реализовать схемой А с ненадежностью Р(А) < 24£.
Теорема 7. При £ < 1/960 любую функцию / в базисе В можно реализовать схемой А с ненадежностью Р(А) < 5£ + 182£2 < 5,2£.
Доказательство. Пусть / - произвольная булева функция, а £ < 1/960. д С* ,
Бд
реализующую. Тогда тах{«0,«1} < 5£. Пусть функция д существенно зависит от к (к = 3, 4) переменных. Возьмем к схем Б2 , каждая из которых реализует функцию /2 (< € {0,1}, г = 1, 2,..., к) с ненадежностью не больше 24£ (по лемме
12 это возможно). Соединим выход схемы с г-м входом схемы Бд. Нетрудно видеть, что построенная таким образом схема реализует функцию /. Обозначим ее х(£0, £1)- По теореме 6 имеем Р(х(£0,£1)) < 5е + 6(24е)2 < 8.бе, так как е < 1/960. Проделом еще один шаг итерации: по схеме х(£0,£1) построим схему х2(£0, £1)) реализующую /. По теореме 6 получим Р(х2(£0,£1)) < 5е + + 6(8.6е)2 < 5.5е. Следующий шаг итерации позволяет построить схему х3(£0, £1)) для которой Р(х3(£0,£1)) < 5е + 6(5.5е)2 = 5е + 182е2 < 5.2е.
Теорема доказана. □
Теорема 8. Пусть базис В содержит функцию ^ € С2, о е < 1/960. Тогда любую функцию / в этом базисе можно реализовать схемой А с ненадежностью Р(А) < е + 200е2 .
Доказательство. Пусть ^(ж1,ж2,ж3) = ж^1 ж!р Ф Жд3 € С2, где ст^ € {0,1}, г = 1, 2, 3. Поскольку В - полный базис, то (ж1 Ф ж2)д € [В]. Реализуем функции (ж1 Ф ж2)СТ1®СТ3 и (ж1 Ф ж3)СТ2®СТ3 такими схемами и соответственно, что
Р(£©д1) < 5.2е и Р(£фСТ2) < 5.2е (используя теорему 7). Построим схему £д (см. рис. 3), которая реализует функцию ^((ж1 Ф ж2)СТ1®СТ3, (ж2 Ф ж3)СТ2®СТ3,ж1) = (ж1 Ф ж2 Ф аз)(ж1 Ф ж2 Ф аз) Ф жд3 = (жд3 Ф ж2)(жд3 Ф ж2) Ф жд3 = жд1 ж2 V жд1 жз V ж2жз из множества 6*1. Для схемы £д вычислим вероятности ошибок на наборах а = = (а1,0, 0) и 3 = (а1,1,1) соответственно.
Вероятность ошибки V1 схемы £д та таборе а = (а1,0, 0) удовлетворяет неравенству: V1 < е + 2(5.2е)е + (5.2е)2 < е + 37.5е2.
Аналогично вычисляется и оценивается вероятность ошибки V0 схемы £д на наборе 3 = (аь1,1): V0 < е + 2(5.2е)е + (5.2е)2 < е + 37.5е2
А
ненадежностью Р(А) < е + 37.5е2 + 6(5.2е)2 < е + 200е2.
Теорема доказана. □
Теорема 9 [6]. Пусть базис В содержит функцию ^ € С3, о е < 1/960. Тогда /А
Р(А) < е + 8е2.
/
не менее одного элемента. Тогда для любой схемы £, реализующей /, при е < 1/2 верно неравенство Р(£) > е.
Для доказательства достаточно выделить выходной элемент и вычислить вероятности ошибок.
Из теорем 8-10 следует, что наличие в базисе функций из классов С2 и С3 обеспечивает реализацию почтн всех булевых функций асимптотически оптимальными схемами, ненадежность которых равна ^и £ ^ 0.
4. О надежности схем в базисе В3
Пусть Вз - множество всех булевых функций, зависящих от трех переменных
Ж1 5 х2 5 Ж3 •
Теорема 11. При £ < 1/240 любую функцию /(х1, х2,..., хп) в базисе В3 можно реализовать схемой А с ненадежностью Р(А) < £ + 27£2.
Доказательство. Поскольку {х1&х2,ж1 © х2,1} С В3, то по теореме 3 любую функцию /(х1, х2,..., хп) можно ревизовать схемой Б с ненадежностью Р(Б) < 2£ + 27£2. Базис В3 содержит функцию голосования х1х2 V х1х3 V х2х3, поэтому вероятности ошибок элемента голосования равны V1 = V0 = £. Применим следствие 2 и получим Р(А) < £ + 6 • (2£ + 27£2)2 < £ + 27£2 при £ < 1/240.
Теорема доказана. □
Из теорем 10 и 11 следует, что в базисе Вз асимптотически оптимальные по надежности схемы для почтн всех функций функционируют с ненадежностью, асимптотически равной £ щи £ ^ 0. Этот результат известен [1], мы лишь де-
1/240 27
этой работе для полноты изложения.
5. О надежности схем в базисе Вз\С
Обозначим В* = Вз\С. Пусть К2(п) - множество булевых функций /(х1,Ж2,..., хп), те представимых в виде (х?&Л.(х))ь или (ж?&жЬ V ж?&жЬ&Л.(х))с, где ^(ж) - произвольная функция, г,^ € {1, 2,. ..,п}, а, Ь, с € {0,1}. Нетрудно заметить, что К2(п) С К1(п).
Замечание 4. Для реализации любой функции из класса К2(п) схемой в ба-В*
Теорема 12. Пусть £ < 1/4, функция /(ж) € К2 (п) и пуст,ь Б - любая схема В* / Р(Б) > 2£ — 2£2
Доказательство. Пусть /(ж) € К2(п) и пусть Б - любая схема в базисе В*, / Б А
Е1 Е2 Б
Е1 А
Е1
Е1 Е1
Е1
переменных), тогда по теореме 5 утверждение теоремы верно.
Е1 А е1
зависящая от трех переменных, и а = (е0, е1, е2, е^, е4, е®, е6, е7) - набор ее значений. Возможны следующие случаи.
1. Пусть в наборе а значений функции е1 ровно одна единица. Тогда е1 = = х?1 х?2х?3, оде a¿ € {0,1}, г = 1, 2, 3, е1(а1, а2, аз) = 1. Вероятность ошибки на выходе схемы А равна р0 = р0 = £(1— £) + (1— £)£ = 2£—2£2. Последствию 1 имеем Р(Б) > р0 = 2£ — 2£2.
2. Пусть в наборе и значений функции в1 ровно две единицы, тогда в1 = = ж^1 ж^2ж^3 V ж^1 ж22ж33, оде а®, Ъ® € {0, 1}, г = 1, 2, 3, в1(а1,а2,аз) = 1 и в1(&1, Ъ2, Ъз) = 1.
Возможны два случая.
(a) р(3, Ъ) = 1. Для определенности пусть а1 = Ъ^, тогда е1 = ж^1 ж^2ж^3 V ж^1 ж^2 ж^3 = ж^2 ж^3, то есть в этом случае функция е1 зависит от двух переменных, что противоречит ее выбору.
(b) р(3, Ъ) > 2. Вероятность ошибки схемы А па каждом (из двух) единичном наборе равна р0 = р0 = е(1 — е) + (1 — е)е = 2е — 2е2. По следствию 1 получаем Р(£) > р0 = 2е — 2е2 .
3. Пусть в наборе 3 значений функции в1 ровно три единицы, то есть существуют три различных набора (а^, а2г), азг)), г = 1,2,3, такие, что
0 гД®) Д®) Д®Ь — т
е1(а1 ,а2 ,аз ) = 1-Возможны три случая:
(a) Для всех г,у € {1, 2, 3}, г = у верно р(3(г), З^) > 2. Вероятность ошибки схемы А на кладом единичном наборе равна р0 = р0 = е(1 — е) + (1 — — е)е = 2е — 2е2. По следствию 1 получаем Р(£) > р0 = 2е — 2е2.
(b) Пусть р(3(1),3(2)) = 1, р(3(з),3(г)) > 2, г = 1, 2. Будем считать, что наборы 3(1) и 3(2) - соседние по к-й компоненте, к € {1, 2, 3}. Возможны два случая. Ь1) Выход элемента £2 соединен с к-м входом элемента £1 и других элементов в схеме £ нет. Тогда / / К2 (п), что неверно. Следовательно, если выход элемента £2 соединен с к-м входом элемента £1, то в схеме £ имеете еще хотя бы один элемент £з, выход которого соединен с одним из входов элемента £1. Вероятность ошибки на выходе подсхемы, состоящей из элементов £1 и £з, на каждом единичном наборе равна р0 = р0 = е(1 — е) + (1 — е)е = 2е — 2е2. По следствию 1 верно неравенство Р(£) > р0 = 2е — 2е2. Ь2) Выход элемента £2 соединен со
£1 к А £1 £з
ном наборе равна р0 = р0 = е(1 — е) + (1 — е)е = 2е — 2е2. По следствию Р(£) > р0 = 2е — 2е2
(c) Пусть р(3(1), 3(г)) = 1, г = 2,3. Тогда все три набора имеют одинаковую координату с некоторым номером т € {1, 2, 3}. В этом случае е1(ж1, ж2, жз) = ж^™^(ж1, ж2, жз). Следовательно, выход элемента £2 должен быть соединен с т-м входом элемента £1 (иначе / / Й2(п)). Веро-
А
р0 = р0 = е(1 — е) + (1 — е)е = 2е — 2е2. По следствию 1 верно неравенство Р(£) > р0 = 2е — 2е2.
4. Пусть в наборе 3 значений функции в1 четыре нуля и четыре единицы. Тогда возможны следующие случаи:
(a) Функция е1 = жд, а € {0,1}, г = 1, 2, 3, но тогда две другие переменные фиктивные для функции е1, что неверно.
(b) Функция е1 конгруэнтна функции ж^1 ж!р V ж^1 ж!р, а® € {0,1}, г = 1, 2, то есть существенно зависит от двух переменных, что неверно.
(с) Функция е1 = х1 © х2 © хз © а, а € {0,1}. Тогда вероятность ошибки схемы А та каждом наборе равна р1 = р1 = р0 = р0 = £(1 — £) + (1 — £)£ = = 2£—2£2 . По следствию 1 справедливо неравенство Р(Б) > р0 = 2£—2£2, то есть утверждение теоремы верно.
е1 € Вз\С ницы и четыре нуля. нет.
5. Случаи, когда в наборе а значений функции е1 пять единиц, шесть единиц или семь единиц аналогичны рассмотренным в п. 3, 2 или 1 доказательства соответственно с заменой & на V V на &, 1 на 0, 0 на 1.
е1 € Вз\С
Теорема доказана. □
Замечание 5. Поскольку |Р2(п)\К2(п)| < 4 • (22" 1 + (п2 — п) • 22" 2), следовательно, |К2(п)| > 22" — 4 • (22"-1 + (п2 — п) • 22"-2).
Пусть В' - полный базис, содержащий функции не более чем трех переменных. 1) Из теорем 11 и 12 следует, что если В' П С = 0, то в баз и се В' для почти всех булевых функций (поскольку |К2(п)|/22 ^ 1 с ростом п) асимптотически оптимальные по надежности схемы функционируют с ненадежностью, асимптотически равной 2£ щи £ ^ 0.
В' П С = 0 В'
булевых функций асимптотически оптимальные по надежности схемы функционируют с ненадежностью, асимптотически равной ^и £ ^0.
Таким образом, в базисе В' ненадежность асимптотически (при £ ^ 0) оп-
£
В' П С = 0
Summary
М.А. Alekhina, A.V. Vtwin. Он Reliability of Combinatorial Circuits in Bases Containing Functions with at Most Three Variables.
We consider the realization of Boolean functions by combinatorial circuits with gates realizing functions from a complete basis B, containing functions with at most three variables. We assume that gates can have inverse faults on the outputs independently with the probability e (e G (0; 1/2))- We describe a set G of Boolean functions depending essentially on three variables, and prove that for almost all Boolean functions the unreliability of asymptotically optimal circuits is asymptotically equal to e (when e tends to 0) if and only if G П B = 0.
Key words: unreliable functional gates, optimal combinatorial circuits, inverse faults, realization of Boolean functions by combinatorial circuits with unreliable functional gates, synthesis of reliable circuits.
Литература
1. von Neuman J. Probabilistic logics and the synthesis of reliable organisms from unreliable components // Automata studies / Eds. C. Shannon, J.Mc. Cart.liy. Princeton: Princeton Univ. Press, 1956. = Автоматы. M.: Иностр. лит., 1956. С. 68 139.
2. Алехина М.А. Синтез асимптотически оптимальных по надежности схем из ненадежных элементов. Пенза: Ипф.-изд. центр ПГУ, 2006. 157 с.
3. Алехина М.А., Шилов А.В. Верхние оценки ненадежности схем в некоторых базисах при инверсных неисправностях па выходах элементов // Изв. вузов. Поволжский регион. Естеств. пауки. 2006. Л' 5 (26). С. 4 12.
4. Аксенов С.И. О надежности схем над произвольной полной системой функций при инверсных неисправностях па выходах элементов // Изв. вузов. Поволжский регион. Естеств. пауки. 2005. 6 (21). С. 42 55.
5. Алехина М.А. О надежности схем в базисах, содержащих медиану // Дискретные модели в теории управляющих систем: VIII Междупар. копф., Москва, 6 9 апр. 2009 г. / Отв. ред. В.Б. Алексеев, В.А. Захаров. М.: Изд. отдел ф-та ВМиК Моск. уп-та: МАКС Пресс, 2009. С. 13 17.
6. Васин А,В, О функциях специального вида // Дискретные модели в теории управляющих систем: VIII Междупар. копф., Москва, 6 9 апр. 2009 г. / Отв. ред. В.В. Алексеев, В.А. Захаров. М.: Изд. отдел ф-та ВМиК Моск. уп-та: МАКС Пресс, 2009. С. 43 46.
Поступила в редакцию 25.03.09
Алехина Марина Анатольевна доктор физико-математических паук, заведующий кафедрой «Дискретная математика» Пензенского государственного университета. E-mail: amaQsura.ru, alehinaQpnzgu.ru
Васин Алексей Валерьевич аспирант кафедры «Дискретная математика» Пензенского государственного университета. E-mail: alvarvasinQmail.ru
