Об асимптотически оптимальных схемах в базисе {x|y, x↓y, x&y, x∨y, } Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 519.9

А. В. Васин

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫХ СХЕМАХ В БАЗИСЕ {x\y, xly, x&y, xvy, x }

Аннотация. Рассматривается задача синтеза асимптотически оптимальных схем, реализующих булевы функции, при инверсных неисправностях на выходах элементов в полном базисе {x|y, xly, x&y, xvy, x }. Доказано, что в рассматриваемом базисе все булевы функции можно реализовать асимптотически оптимальными по надежности схемами, причем почти для всех функций эти схемы функционируют с ненадежностью, асимптотически равной 3е при е^-0, где е - вероятность инверсной неисправности на выходе базисного элемента. Ключевые слова: надежные схемы, ненадежные элементы, инверсные неисправности, синтез схем, булевы функции.

Abstract. Circuits of unreliable functional elements are considered in basis {x|y, xly, x&y, xvy, x}. It’s possible to realize all boolean functions by asymptotically optimal reliable circuits. Unreliability of these circuits is asymptotically equal 3e for almost all boolean functions with е ^ 0 (e is the probability of inverse failure at the output of the base element).

Keywords: reliable circuits, unreliable elements, inverse failure, synthesis of circuits, boolean functions.

Введение

Все разнообразные средства цифровой техники: ЭВМ, микропроцессорные системы измерений и автоматизации технологических процессов, цифровая связь и телевидение и т.д. - строятся на единой элементной базе, в состав которой входят чрезвычайно разные по сложности микросхемы - от логических элементов, выполняющих простейшие операции, до сложнейших программируемых кристаллов, содержащих миллионы логических элементов.

Для исключения возможных сбоев в работе цифровых устройств прибегают к различным методам. Одним из таких методов является синтез схем, устойчивых к сбоям. Логические элементы цифровых устройств во многом определяют функциональные возможности последних, их конструктивное исполнение, технологичность, надежность. Надежности комбинационных схем (схем из логических элементов) посвящена данная статья, причем элементам схемы приписаны конъюнкция x1&x2, дизъюнкция xi v x2, отрицание x , антидизъюнкция (стрелка Пирса) x1lx2 и антиконъюнкция (штрих Шеффера) x1 | x2. Именно эти логические элементы обычно используют при построении логических устройств.

Будем рассматривать реализацию булевых функций в полном базисе В = {x|y, xly, x&y, xvy, x }.

Считаем, что схема реализует булеву функцию f(x1, x2, ..., xn), если при поступлении на входы схемы набора a = (a1, a2, ..., an) при отсутствии неис-

правностей на выходе схемы появляется значение /(а). Предполагается, что

все элементы схемы независимо друг от друга с вероятностью ее (0; 1/2) подвержены инверсным неисправностям на выходах.

В работе [1] для инверсных неисправностей на выходах элементов доказано, что при этих неисправностях в базисах {х! |х2} и {хДх^ почти все булевы функции можно реализовать асимптотически наилучшими по надежности схемами, функционирующими с ненадежностью, асимптотически равной 3е при е ^ 0. Асимптотически оптимальные по надежности схемы можно строить со сложностью, по порядку равной сложности минимальных схем, состоящих только из надежных элементов (здесь и далее сложность схемы -число функциональных элементов (ФЭ) в ней).

Из работы [2] известно, что при использовании ненадежных элементов, подверженных инверсным неисправностям на выходах, в базисе {х & у, х V у, х} почти все булевы функции можно реализовать асимптотически оптимальными по надежности схемами, функционирующими с ненадежностью, асимптотически равной 3е при е ^ 0.

В базисе { х^ х2, х! I х2, х} & х2, х} V х2, х } вопрос о возможности построения асимптотически оптимальных по надежности схем оставался открытым. Ответ на него получен в этой работе. Доказано, что в базисе { х^ х2,

х} I х2, х} & х2, х} V х2, х } при инверсных неисправностях на выходах элементов для всех булевых функций можно построить схемы, асимптотически оптимальные по надежности, причем почти для всех функций эти схемы функционируют с ненадежностью, асимптотически равной 3е при е^-0.

1 Вспомогательные утверждения

Теорема 1. Пусть / - произвольная булева функция, отличная от константы, S - любая схема, ее реализующая. Пусть подсхема С схемы S содержит выход схемы S и реализует булеву функцию g с ненадежностью

Р(С) < У2. Обозначим через рц,..., р^ всевозможные различные вероятности ошибок на выходе схемы С при нулевых входных наборах Ь , т.е. g(Ь) = 0. Аналогично, пусть р0},...,Р0т - всевозможные различные вероятности ошибок на выходе схемы С при единичных входных наборах Ь ,

т.е. g (Ь) = Ь Полагаем р = шт{рп,..., р1к }, р0 = min{pol,..., Р0т }. Тогда вероятности ошибок на выходе схемы S удовлетворяют неравенствам Р (£, а) > р}, если /(а) = 0; Р0 (£, а) > р0, если /(а) =}.

Следствие 1. Из теоремы } следует, что Р(£) > р1, г = 0Д.

Пусть £ - произвольная схема, реализующая булеву функцию /, отличную от константы. Пусть выходному элементу Е схемы £ приписана функция ф, причем первый вход элемента Е соединен с выходом некоторой подсхемы £1, второй вход элемента Е соединен с выходом некоторой подсхемы £2, и схемы £ и £2 не имеют общих элементов. Обозначим Р^(,)(£,а) -

вероятность ошибки на входном наборе а схемы £1, реализующей функцию /, г = ^2. Докажем леммы }-6.

Лемма 1 [3]. Если элементу Е приписана функция е = & (конъюнкция), тогда вероятности ошибок на выходе схемы £ (рис. 1) равны:

р(£,а) = £ + (1 -2£)Р(£1,а)Р £,а), если набор а является нулевым для функций /1 и /2, т.е. /(а) = 0, ■ = 1, 2 ;

Р1(£, а) = е + (1 -2е)Р1(£1, а)(1 -Ро(£2, а)), если набор а такой, что

/1(а) = 0, /2(а) = 1;

Р1(£,а) = £ + (1 -2е)(1 -Ро(£1,а))Р1(£2,а), если набор а такой, что

/1(а) = 1, /2 (а) = 0;

Ро (£, а) = £ + (1 - 2£)(Ро(£1, а) + Ро(£2, а) - Ро (£1, а)Ро (£2, а)), если набор а является единичным для функций /1 и /2 , т.е. /(а) = 1, i = 1, 2 .

Для доказательства достаточно вычислить вероятности ошибок.

Лемма 2. Если элемент Е - дизъюнктор, т.е. ему приписана функция е = V (дизъюнкция), тогда вероятности ошибок на выходе схемы £ (рис. 1) равны:

Р1(£, а) = £ + (1 - 2£)(Р (£1, а) + Р (£2, а) - Р1 (£1, а)Р1 (£2, а)), если набор а является нулевым для функций /1 и /2 , т.е. / (а) = о, i = 1, 2 ;

Ро (£, а) = £ + (1 - 2£)Р1 (£1, а)(1 - Ро (£2, а)), если набор а такой, что

/1(а) = о, /2(а) = 1;

Ро(£, а) = £ + (1 - 2£)(1 - Ро(£1, а))Р1 (£2, а), если набор а такой, что

/1(а) = 1, /2(а) = о;

Ро (£, а) = £ + (1 - 2£)Ро (£1, а)Ро (£2, а), если набор а является единичным для функций /1 и /2, т.е. / (а) = 1, ■ = 1,2 .

Для доказательства достаточно вычислить вероятности ошибок.

Лемма 3. Если элементу Е приписана функция е = I (стрелка Пирса), тогда вероятности ошибок на выходе схемы £ (рис. 1) равны:

Ро (£, а) = £ + (1 - 2£)(Р (£1, а) + р(£2, а) - р(£1, а)Р1 (£2, а)), если набор а является нулевым для функций /1 и /2 , т.е. / (а) = о, ■ = 1, 2 ;

Р (£, а) = £ + (1 - 2£)(1 - Р1 (£1, а))Ро (£2, а), если набор а такой, что

/1(а) = о, /2(а) = 1;

Р1 (£, а) = £ + (1 - 2£)Ро (£1, а)(1 - Р1 (£2, а)), если набор а такой, что

/1(а) = 1, /2(а) = о;

Р (£, а) = £ + (1 - 2£)Ро (£1, а)Ро (£2, а), если набор а является единичным для функций /1 и /2, т.е. /■ (а) = 1, ■ = 1, 2 .

Для доказательства достаточно вычислить вероятности ошибок.

Лемма 4. Если элементу Е приписана функция е = | (штрих Шеффера), тогда вероятности ошибок на выходе схемы £ (рис. 1) равны:

Ро (£, а) = £ + (1 - 2£)Р1 (£1, а)Р1 (£2, а), если набор а является нулевым

для функций /1 и /2, т.е. /■ (а) = о, ■ = 1,2 ;

Ро (£, а) = £ + (1 - 2£)(1 - Р1 (£1, а))Ро (£2, а), если набор а такой, что

/1(а) = о, /2(а) = 1;

Ро(£,а) = £+ (1 -2£)Ро(а)(1 - р(^2,а)), если набор а такой, что /1(0) = 1, /2 (а) = 0;

Р (£, а) = £ + (1 - 2е)(Ро (^1, а) + Ро ($2, а) - Ро (^1, а)Ро (£2, а)), если набор а является единичным для функций /1 и /2 , т.е. /■ (а) = 1, ■ = 1, 2 .

Для доказательства достаточно вычислить вероятности ошибок.

Лемма 5. Если элементу Е приписана функция е(х,у) еБ, то функция е(х, х) реализует функцию хь, тогда вероятности ошибок на выходе схемы £ (рис. 2) на наборе а равны: Р.ь,~ч(£,а) = £ + (1 -2е)Р/(0)($1,а).

/ (а) / (а)

Для доказательства достаточно вычислить вероятности ошибок.

Лемма 6. Если элемент Е - инвертор, то вероятности ошибок на выходе схемы £ (рис. 3) равны:

Ро(£,а) = £ + (1 -2£)Р[($1,а), если набор а является нулевым для функции / , т.е. /(а) = о;

Р (£, а) = £ + (1 - 2£)Ро ($1, а), если набор а такой, что /(а) = 1.

Для доказательства достаточно вычислить вероятности ошибок.

Пусть в схеме £, реализующей булеву функцию, отличную от константы, выделена подсхема А, имеющая один вход и содержащая выход схемы. Обозначим через £' подсхему, получаемую из схемы £ удалением подсхемы А. Если выполнено неравенство Р(£) > Р(5"), то будем говорить, что схема £' надежнее схемы £ и получается из £ удалением подсхемы А.

Так как схема £ реализует функцию, отличную от константы, схема А реализует либо тождественную функцию, либо инверсию.

х

X

х

х

/2

Я

Рис. 1

Рис. 2

Рис. 3

/ Рис. 4

£

Определение 1. Схема £, реализующая функцию / отличную от константы, является Ьс-схемой, если из нее нельзя получить более надежную

схему, реализующую / или / , удалением подсхемы, реализующей тождественную функцию или инверсию.

Теорема 2 [4, 5]. Пусть схема 5, ненадежность которой равна Р(£), реализует функцию / и является Ьс-схемой. Если в схеме 5 можно выделить подсхему, имеющую один вход, содержащую выход схемы и реализующую инверсию или тождественную функцию с вероятностями ошибок р0 и Р\ такими, что 0 < ро + Рі < 1, то верно неравенство

тіп | Ро ,_р—] < Р( 5).

[ Ро + Рі Ро + Рі І

2 Верхние оценки ненадежности

Теорема 3 [2]. При ее (0,1/128] любую булеву функцию в базисе

_ 2

{х&у, хуу, х } можно реализовать такой схемой £, что Р(£) < 3е + 32е .

Поскольку базис {х&у, хуу, х } с В, то справедлива теорема 4.

Теорема 4. При ее (0,1/128] любую булеву функцию можно реализо-

2

вать схемой 5 в базисе В, что Р(£) < 3е + 32е .

3 Нижние оценки ненадежности

Пусть К(п) — множество булевых функций / зависящих от переменных х1, х2, ..., хп , не представимых в виде (ха &g(х))ь (і = 1, 2, ..., п, а, Ье {0,1}).

Замечание 1. Схема, реализующая функцию из класса К(п), содержит не менее трех элементов.

Теорема 5. Пусть ее (0,1/6], функция /(х) е К(п), и пусть 5 - любая

2 3

схема в базисе В, реализующая функцию / . Тогда Р(5) > 3е- 5е + 2е .

Доказательство. Пусть булева функция / еК(п) и 5 - любая схема, реализующая эту функцию. Без ограничения общности будем считать, что

5 является Ьс-схемой. Поскольку схема 5 содержит не менее трех элементов, выделим в ней подсхему А, состоящую ровно из трех элементов. Возможные варианты для А приведены на рис. 5-12. Сначала рассмотрим схемы на рис. 5 и 6.

В схемах на рис. 5, 6 входы выходного элемента соединены с выходами разных элементов, т.е. в схеме 5 нельзя выделить подсхему с одним входом и одним выходом, содержащую выход схемы. На рис. 5, 6 выходной элемент Е1 не является инвертором, а элементам Е2 и Е3 может быть приписана любая из базисных функций (если это инверсия, то считаем, что на правый вход элемента поступает фиктивная переменная).

Пусть выход элемента Е2 (Е3) не соединен со входом элемента Е3 (Е2) (см. рис. 5). Если выходному элементу Е1 схемы А (рис. 5) приписана одна из

функций I или &, тогда из лемм 1 и 3 следует, что на любом единичном на-

2

боре вероятность ошибки равна Р0 =е + (1 - 2е)(2е -е ) и, следовательно, 0 2 3

Р = 3е - 5е + 2е . Если же выходному элементу Е1 схемы А (рис. 5) приписана одна из функций | или V , то из лемм 2 и 4 получаем, что на любом еди-

ничном наборе вероятность ошибки равна р =е + (1 - 2е)(2е - е ) и, следова-

12 3 2 3

тельно, р = 3е- 5е + 2е . И по следствию 1 получаем, Р(Б) > 3е- 5е + 2е .

*1 *2

*3 *4

*1 *2

*3

Пусть выход одного из элементов (например, для определенности выход Е2) соединен со входом другого элемента (Е3) (см. рис. 6). Заметим, что элемент Е3 не может быть инвертором, иначе схема реализует константу, что противоречит условиям теоремы. Если выходному элементу Е1 схемы А (рис. 6) приписана одна из функций -I или &, тогда независимо от приписанной элементу Е2 функции е2 вероятность ошибки Ро = р0 = (1 - е)(2е(1 - е)) +

+е(1 - е) = 3е - 5е + 2е .

Если выходному элементу Е1 схемы А (рис. 6) приписана одна из функций | или V , то независимо от приписанной элементу Е2 функции е2 вероят-

1 2 3

ность ошибки Р1 = р = (1 - е)(2е(1 - е)) + е(1 - е) = 3е - 5е + 2е . И по следст-

2 3

вию 1 получаем Р(£) > 3е - 5е + 2е .

Пусть в схеме ^ можно выделить подсхему А1 с одним входом, содержащую выход схемы. Возможны случаи, изображенные на рис. 7-12.

Из лемм 5 и 6 следует, что для любой из подсхем А1 (рис. 7-12) верно равенство ро = Р1. Причем для подсхем А1 на рис. 7, 8 выполнено равенство Ро = Р1 =е, а для подсхем А1 на рис. 9-12 выполнено равенство Ро = Р1 = 2е(1 -е). И в том, и в другом случаях при ее (0, 1/128] условие

0 < Ро + Р1 < 1 теоремы 2 выполнено, поэтому

Р(£) > шт<

Ро

Р1

.Ро + Р1 Ро + Р1.

1 2 3

При ее(о,1/6] верно неравенство >3е-5е + 2е . Следовательно,

2 3

Р(£) > 3е - 5е + 2е . Теорема доказана.

Хі Х2

І I

\Є4 /

\/ Е4 Хз

\Є2(Є3) /

\/Е2(Ез)

г

\ е і / ' Еі . Аі

Рис. 7 Хі Х2

Хі Х2

Хі Х2

Хі Х2

Хі Х2

Из теоремы 5 следует, что при ее (о, 1/128] любая схема, удовлетворяющая условиям теоремы 4 и реализующая булеву функцию /(*) е К(п),

является асимптотически оптимальной по надежности и функционирует с ненадежностью, асимптотически равной 38 при 8^-0.

Таким образом, расширение неприводимых полных базисов {х|у}, {хіу}, а также базиса {х&у, хчу, х } до базиса В = {х\у, хіу, х&у, хчу, х } не повлияло на асимптотическую оценку ненадежности схем.

Список литературы

1. Алехина, М. А. О надежности и сложности схем в базисе {х|у} при инверсных неисправностях элементов / М. А. Алехина // Дискретный анализ и исследование операций. - Новосибирск : Изд-во института математики. - 2005. - Апрель-июнь. - Т. 12. - № 2. - С. 3-11. - (Серия 1).

2. Васин, А. В. Об асимптотически оптимальных схемах в базисе {х & у, х V у, х} при инверсных неисправностях на выходах элементов / А. В. Васин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физикоматематические науки. - 2008. - № 4. - С. 3-17.

3. Алехина, М. А. Синтез асимптотически оптимальных по надежности схем / М. А. Алехина, А. В. Васин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Технические наук. - 2009. - № 2.

4. Алехина, М. А. Синтез асимптотически оптимальных по надежности схем из ненадежных элементов : монография / М. А. Алехина. - Пенза : Информационно -издательский центр ПензГУ, 2006.

5. Чугунова, В. В. Синтез асимптотически оптимальных по надежности схем при инверсных неисправностях на входах элементов : дис. ... канд. физикоматематических наук / В. В. Чугунова. - Пенза, 2007.

Васин Алексей Валерьевич Vasin Alexey Valeryevich

аспирант, post-graduate student,

Пензенский государственный Penza State University

университет

УДК 519.9 Васин, А. В.

Об асимптотически оптимальных схемах в базисе {х|у, х^у, х&у, хуу, х } / А. В. Васин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009. - № 1 (9). - С. 3-10.