Об асимптотически оптимальных схемах в базисе при инверсных неисправностях на выходах элементов Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

УДК 718.95

А. В. Васин

ОБ АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫХ СХЕМАХ В БАЗИСЕ {х & у, х V у, х } ПРИ ИНВЕРСНЫХ НЕИСПРАВНОСТЯХ НА ВЫХОДАХ ЭЛЕМЕНТОВ

Рассматривается задача синтеза асимптотически оптимальных схем, реализующих булевы функции, при инверсных неисправностях на выходах элементов в базисе {х & у, х V у, х}. Доказано, что почти все булевы функции можно реализовать асимптотически оптимальными по надежности схемами, которые функционируют с ненадежностью, асимптотически равной 3є при є^-0, где є - вероятность инверсной неисправности на выходе базисного элемента. Сложность предлагаемых схем превышает сложность минимальных схем, построенных только из надежных элементов, не более чем в 3 раза.

Введение

Впервые задачу синтеза надежных схем из ненадежных функциональных элементов (ФЭ) рассматривал Дж. фон Нейман [1]. Он предполагал, что все элементы схемы независимо друг от друга с вероятностью є (єє (0; 1/2)) подвержены инверсным неисправностям на выходах. Эти неисправности характеризуются тем, что в исправном состоянии функциональный элемент реализует приписанную ему булеву функцию ф, а в неисправном - функцию ф. С помощью итерационного метода Дж. фон Нейман установил, что в произвольном полном базисе при єє (0; 1/6) любую булеву функцию можно реализовать схемой, на выходе которой вероятность ошибки при любом входном наборе значений переменных не превосходит с1є (с1 - некоторая константа, зависящая от базиса).

Затем схемы с инверсными неисправностями на выходах элементов исследовались в работах Р. Л. Добрушина, С. И. Ортюкова, Д. Улига [2-7] и некоторых других авторов, причем главное внимание уделялось сложности схем (задача синтеза оптимальных по надежности схем до появления работ М. А. Алехиной не ставилась). Сформулируем результаты работ названных авторов. Рассматривается реализация булевых функций схемами из ненадежных функциональных элементов в произвольном конечном полном базисе В = {^1, ^2,..., єт }, т є N [8] (множество всех функциональных элементов Е, функции которых є, принадлежат базису В, будем также называть базисом В [9]). Каждому элементу базиса Е, приписано положительное число v(Eг■) - вес данного элемента. Сложность Ь(£) схемы £ определяется как сумма весов всех входящих в нее элементов. Предполагается, что все элементы схемы независимым образом с вероятностью є переходят в неисправные состояния. Ненадежность Р(£) схемы £ определяется как максимальная вероятность ошибки на выходе схемы при всевозможных входных наборах. Надежность схемы £ равна 1 - Р(£).

Вводится функция Шеннона Lpе(п) = шахштL(S), характеризующая

Р’ f S

сложность схем, реализующих функции от п переменных в базисе B, где минимум берется по всем схемам S из ненадежных элементов, реализующим функциюАх\, X2, ..., xn) с ненадежностью Р(8) < р, а максимум - по всем булевым функциям f от п переменных.

Пусть р= шш(у(Ei )/(п(Ei) -1)), где минимум берется по всем элемен-Е,

там Е, базиса, для которых п(Е,) > 1, п(Е,) - число существенных переменных

функции е, реализуемой элементом Е,, а v(E,) - вес функционального элемента Е,, , = 1,..., т.

О. Б. Лупанов [10] показал, что для схем, реализующих булевы функции от п переменных и состоящих только из надежных элементов (т.е. при

£ = 0 и р = 0), выполняется соотношение 0 (п) ~ р- 2п / п.

С. И. Ортюков [6] для инверсных неисправностей на выходах элементов получил следующий результат: пусть 0 <£<£0 , Р > ч(е)Lg, где Lg -

минимальное число надежных элементов, необходимое для реализации функции голосования g (Х1, Х2, Х3) = Х1Х2 V Х1Х3 V Х2 Х3 в рассматриваемом ба-

2 2

зисе, д(е) - некоторая функция такая, что д(е) =£ + 3е + о(е ) при £ ^ 0. Тогда существует такая функция р(е) ^ р при £ ^ 0, что Lp £(п) р(е)27п.

Д. Улиг [7] для инверсных неисправностей на выходах элементов с вероятностью ошибки е доказал, что для любых сколь угодно малых чисел си Ь (с, Ь > 0) существует число е' (е' е (0, 1/2)) такое, что при любом £ (ее (0, е')) и любом Р , удовлетворяющем условию Р > (1 + Ь) £ Lg (точнее, Р > ^(е) Lg ),

справедливо соотношение Lp£ (п) < (1 + с)р2п /п.

Таким образом, в результатах С. И. Ортюкова и Д. Улига асимптотика функции Шеннона сохраняется с точностью до множителя, сколь угодно близкого к единице (при этом вероятность сбоя е ограничена константой), т. е. найденные ими методы синтеза позволяют строить асимптотически оптимальные по сложности схемы, функционирующие с некоторым уровнем надежности.

Из результатов Н. Пиппенджера [11] следует, что при инверсных неисправностях на выходах с вероятностью ошибки ее(0, 1/200] любую булеву функцию от п переменных в базисе {&, V, } можно реализовать такой схе-

мой 8, что Р(£) < 18е, L(S) < 170 - 2п / п .

С. В. Яблонский [12] рассматривал задачу синтеза надежных схем в базисе В = {х!&х2, х^х2, Х1 , g(Х1,Х2,Х3) }. Он предполагал, что элемент, реализующий функцию голосования g (Х1, Х2, Х3) = Х1Х2 V Х2 Х3 V Х1Х3, абсолютно надежный, а конъюнктор, дизъюнктор и инвертор - ненадежные, подвержены произвольным неисправностям, ненадежность каждого из элементов не больше е. Им доказано, что для любого р > 0 существует алгоритм, который для каждой булевой функции Ах\, х2, ..., хп) строит такую схему 8, что

Р(8) < р, L(S) < 2п-1 /п .

С. И. Аксеновым [13] получена оценка ненадежности схем в произвольном полном базисе В при инверсных неисправностях на выходах элементов. Он доказал, что в произвольном полном базисе В при ее (0; е0) любую булеву функцию можно реализовать такой схемой S, что P(S) < ke + + се2, где k (k < 5) - минимальное число надежных элементов, необходимое для реализации какой-либо из функций вида:

gl( Xi, Х2, Х3) = Xf1 Xf 2 V Xf1 Xf 3 V xf 2 X303, g 2 (Xi, X2, X3, X4) = xf 1 xf 2 V xf 3 xf 4 ,

g3(xi, X2, X3, X4) = (xf1 V xf2)(xf3 V xf4), fe{0, 1}, i = 1, 2, 3, 4.

Константы k, с, e0 положительны и зависят от базиса В. Таким образом, в произвольном полном базисе любую булеву функцию можно реализовать схемой, ненадежность которой асимптотически не больше 5е при е ^ 0. Вопрос о возможности снижения мультипликативной константы 5 в оценке ненадежности для произвольного базиса пока остается открытым.

Пусть Pe (f) = inf P(S), где инфимум берется по всем схемам S из не-

S

надежных элементов, реализующим функциюfx1, x2, ..., x„). Схема A из ненадежных элементов, реализующая функцию f называется асимптотически оп-

P (f)

тимальной по надежности, если P(A) ~ Pe (f) при е ^ 0, т.е. lim —е-------= 1

е^0 P(A)

(здесь P(A) - ненадежность схемы A, как и раньше P(A) = maxPfT^r(A,a),

a J ( )

где Pfrar(A,a) - вероятность ошибки на входном наборе а схемы A, реали-

J (а)

зующей функцию f максимум берется по всем входным наборам а схемы A).

Задача построения асимптотически оптимальных по надежности схем решена М. А. Алехиной [14] для однотипных константных неисправностей только на входах или только на выходах элементов и В. В. Чугуновой [15] для инверсных неисправностей на входах элементов в полных неприводимых базисах из двухвходовых элементов, в том числе и для базиса {X & у, X V у , X}.

Чтобы сформулировать полученные в [14, 15] результаты, введем необходимые определения.

Если неисправность такова, что элемент (реализующий в исправном состоянии приписанную ему булеву функцию) в неисправном состоянии, в которое переходит с вероятностью е (ее (0; 1/2)), реализует константу 0, то она называется неисправностью типа 0 на выходе элемента. Если же элемент в неисправном состоянии реализует константу 1, то такая неисправность называется неисправностью типа 1 на выходе элемента.

Если неисправность элемента такова, что поступающий на его вход нуль не искажается, а поступающая на его вход единица с вероятностью е (ее (0; 1/2)) может превратиться в нуль, то она называется неисправностью типа 0 на входе элемента. Если же неисправность элемента такова, что поступающая на его вход единица не искажается, а нуль с вероятностью е может превратиться в единицу, то она называется неисправностью типа 1 на входе элемента.

Инверсные неисправности на входах элементов характеризуются тем, что поступающее на вход элемента значение a, ає{0, 1}, с вероятностью є может превратиться в значение a .

Ненадежность P(S) схемы S, а также асимптотически оптимальная схема определяются так же, как для инверсных неисправностей на выходах элементов.

М. А. Алехиной [14] доказано, что в базисе {x & y, x v y, x} при однотипных константных неисправностях на выходах элементов почти все булевы функции можно реализовать асимптотически оптимальными по надежности схемами, функционирующими с ненадежностью, асимптотически равной є при є ^ 0. Доказано [14] также, что в базисе {x & y, x v y, x} при однотипных константных неисправностях на входах элементов почти все булевы функции можно реализовать асимптотически оптимальными по надежности схемами, функционирующими с ненадежностью, асимптотически равной є2 при є ^ 0. Сложность таких схем (здесь и далее сложность схемы - число функциональных элементов в ней) в обоих случаях по порядку равна сложности минимальных схем, построенных только из надежных элементов, причем мультипликативные константы равны 40 и 504 соответственно.

В. В. Чугуновой [15] доказано, что в базисе {x & y, x v y, x} при инверсных неисправностях на входах элементов почти все булевы функции можно реализовать асимптотически оптимальными по надежности схемами, функционирующими с ненадежностью, асимптотически равной 2є при є ^ 0. Сложность предлагаемых схем по порядку также равна сложности минимальных схем, построенных только из надежных элементов, причем мультипликативная константа равна 336.

В этой статье получен ответ на вопрос, какой максимальной надежности можно добиться при использовании ненадежных элементов, подверженных инверсным неисправностям на выходах, в базисе {x & y, x v y, x} . Доказано: почти все булевы функции можно реализовать асимптотически оптимальными по надежности схемами, функционирующими с ненадежностью, асимптотически равной 3є при є ^ 0. Асимптотически оптимальные по надежности схемы можно строить со сложностью, по порядку равной сложности минимальных схем, состоящих только из надежных элементов, причем мультипликативная константа равна 3.

1 Вспомогательные утверждения

Будем считать, что схема реализует функцию f(x1, x2, ..., xn), если при поступлении на входы схемы набора a = (a1, a2, ..., an) при отсутствии неисправностей на выходе схемы появляется значение f (a). Предполагается, что все

элементы схемы независимо друг от друга с вероятностью єє (0; 1/2) подвержены инверсным неисправностям на выходах (так же, как у Дж. фон Неймана).

Теорема 1.1 [13]. Пусть f — произвольная булева функция, отличная от константы, S — любая схема, ее реализующая. Пусть подсхема C схемы S содержит выход схемы S и реализует булеву функцию g с ненадежностью

P(C) < 1/2. Обозначим через рц,..., р^ всевозможные различные вероятности ошибок на выходе схемы C при нулевых входных наборах b , т.е. g(b) = 0. Аналогично, пусть Р01,..., Р0т — всевозможные различные вероятности ошибок на выходе схемы C при единичных входных наборах b , т.е. g (b) = 1. Полагаем р1 = min{pn,..., р^ }, р0 = тт{роь..., Р0т }.

Вероятности ошибок на выходе схемы £ удовлетворяют неравенствам Р (£, а) > р1, если /(а) = 0; Р0 (£, а) > р0, если /(а) = 1.

Следствие 1.1 [13]. Из теоремы 1.1 следует, что Р(£) > р1,1 = 0, 1. Пусть £ - произвольная схема, реализующая булеву функцию /, отличную от константы. Пусть выходному элементу Е схемы £ приписана функция е, причем первый вход элемента Е соединен с выходом некоторой подсхемы £1, второй вход элемента Е соединен с выходом некоторой подсхемы £2, и схемы £ и £2 не имеют общих элементов. Обозначим Р^^) (£,а) -

вероятность ошибки на входном наборе а схемы £, реализующей функцию /, 1 = 1,2. Докажем леммы 1.1-1.3.

Лемма 1.1. Если элемент Е - конъюнктор, т.е. ему приписана функция е = &, тогда вероятности ошибок на выходе схемы £ (рис. 1) равны:

Р1(£,а) = £ + (1 -2е)Р1(£1,а)Р^£2,а), если набор а является нулевым для функций / и /2 , т.е. / (а) = 0, 1 = 1,2 ;

Р1 (£, а) = £ + (1 - 2£)Р1 (£1, а)(1 - Р0 (£2, а)), если набор а такой, что

/1(а) = 0, /2 (а) = 1;

Р1(£,а) = £ + (1 — 2£)(1 — р(£1,а))Р1(£2,а), если набор а такой, что

/1(а) = 1, /2 (а) = 0;

Р0(£, а) = £ + (1 — 2£)( Р0 (£1, а) + Р0 (£2, а) — Р0 (£1, а) Р0 (£2, а)), если набор а является единичным для функций /1 и /2, т.е. / (а) = 1, 1 = 1,2 . Для доказательства достаточно вычислить вероятности ошибок.

Пусть набор а является нулевым для функций /1 и/2, т.е. / (а) = 0, 1 = 1,2. По формуле полной вероятности вычислим вероятность ошибки на выходе схемы £:

Р1( £, а) = (1 — Р1( £1, а) Р1( £2, а)) + Р1( £1, а) Р1 (£2, а)(1 — £) =

= £ + (1 — 2 £) Р1( £1, а) Р1(£2, а).

Пусть входной набор а такой, что /1 (а) = 0, /2 (а) = 1. Вычислим вероятность ошибки на выходе схемы £, используя формулу полной вероятности: Р1( £, а) = Р1( £1, а) (1 — Р0( £2, а) )(1 — £) + (1 — Р1( £1, а)(1 — р,( £2, а)) )е =

= £ + (1 — 2 £) р1( £l, а) (1 — р0( £2,а)).

Е

£

Пусть входной набор а такой, что /1 (а) = 1, /2 (а) = 0 . По формуле полной вероятности вычислим вероятность ошибки на выходе схемы £:

Р1( £, а) = (1 — Р0( £1, а) )Р1( £2, а)(1 — £) + (1 — (1 — ад, а) )Р1( £2, а) ) =

= £ + (1 — 2 £) (1 — р0( ^ а) )р1( £2, а).

Пусть входной набор а является единичным для функций /1 и /2 , т.е. / (а) = 1, 1 = 1,2. По формуле полной вероятности вычислим вероятность ошибки на выходе схемы £:

Р0(£, а) = (1 — Р0(£1, а) )(1 — р^, а) ) + (1 — (1 — ((£1, а) )1 — Р0(£2, а) ))(1 — £) = = £ + (1 — 2£)( р0 (£1, а) + Р0 (£2, а) — Р0 (£1, а) р0 (£2, а)).

Лемма доказана.

Лемма 1.2. Если элемент Е - дизъюнктор, т.е. ему приписана функция е = V (дизъюнкция), тогда вероятности ошибок на выходе схемы £ (рис. 1) равны:

Р1(£, а) = £ + (1 — 2£)(Р1 (£1, а) + Р1 (£2, а) — Р1 (£1, а)Р1 (£2, а)), если набор а является нулевым для функций /1 и /2 , т.е. /■ (а) = 0, 1 = 1,2 ;

Р0(£,а) = £ + (1 — 2£)Р1 (£1,а)(1 — Р0(£2,а)), если набор а такой, что /1(а) = 0, /2(а) = 1;

Р0(£,а) = £ + (1 — 2£)(1 — Р0(£1,а))Р1(£2,а), если набор а такой, что

/1(а) = 1, /2 (а) = 0;

Р0(£,а) =£ + (1 — 2£)Р0(£1,а)Р0(£2,а), если набор а является единичным для функций /1 и /2, т.е. /■ (а) = 1, 1 = 1,2 .

Доказательство аналогично доказательству леммы 1.1.

Лемма 1.3. Если элемент Е - инвертор, то вероятности ошибок на выходе схемы £ (рис. 2) равны:

Р0 (£, а) =£ + (1 — 2£)Р1 (£1, а), если набор а является нулевым для функции / , т.е. /(а) = 0;

Р1(£, а) = £ + (1 — 2£)Р0 (£1, а), если набор а такой, что /(а) = 1.

Лемма 1.4. Если элементу Е приписана функция е = & (конъюнкция), тогда вероятности ошибок на выходе схемы £ (рис. 3) равны:

Р1(£, а) = £ + (1 — 2£)Р1 (£1, а), если набор а является нулевым для функции / , т.е. /(а) = 0;

Р0(£, а) = £ + (1 — 2£)Р0 (£1, а), если набор а такой, что /(а) = 1.

Доказательство аналогично доказательству леммы 1.1.

Лемма 1.5. Если элементу Е приписана функция е = V (дизъюнкция), тогда вероятности ошибок на выходе схемы £ (рис. 3) равны:

Р1(£, а) = £ + (1 — 2£)Р1 (£1, а), если набор а является нулевым для функции / , т.е. /(а) = 0;

Р0(£, а) =£ + (1 — 2£)Р0 (£1, а), если набор а такой, что /(а) = 1.

Доказательство аналогично доказательству леммы 1.1.

Замечание 1.1. Из лемм 1.3—1.5 следует, что вероятности ошибок схем (рис. 2, 3) вычисляются по формуле р(З,а) =е + (1 -2е)Ру(З^,а), 7,/е {0,1}.

1

0 I7

'Е

А 8

Рис. 2

/Е

4 8

Рис. 3

2 Верхние оценки ненадежности схем в базисе {х & у, х V у, х }

Для синтеза схем с интересующими нас свойствами будем использовать две операции над схемами.

Операция ф по произвольной схеме 8, реализующей булеву функцию / строит схему ф(8) следующим образом (рис. 4). Операция у по произвольной схеме 8, реализующей булеву функцию / строит схему у(8) следующим образом (рис. 5). Очевидно, в результате применения (возможно, неоднократного) операций ф или у к схеме 8, реализующей булеву функцию / получаются схемы, реализующие ту же функцию / Кроме того, применение этих операций к схемам 8 (при некоторых условиях на Р(5)) приводит к схемам, имеющим более высокую надежность, чем исходная схема 8.

Теорема 2.1. Пусть / - произвольная булева функция; 8 - схема, реализующая / с ненадежностью Р(£). Тогда схема у( 8) реализует функцию / с ненадежностью Р(у(8)) < шах{3є + 2Р2(8),е + е2 + 4еР(8) + 4Р2(8)}.

Доказательство. Применяя формулу полной вероятности, оценим вероятность ошибочного появления единицы и нуля на выходе схемы ф(8) (рис. 4).

у(8)

Пусть набор а такой, что /(а) = 0, тогда по лемме 1.1 вероятность появления 1 на выходе схемы ф(5) равна:р(ф(£),а) = £ + (1 -2е)р (5”,а). Сле-

довательно,

Р(ф(5), а) <£ + р2( 5, а). (1)

Пусть набор в такой, что / (в) = 1, тогда по лемме 1.1 вероятность появления 0 на выходе схемы ф( 5) равна: р)(ф(5), в) =£ + (1 -2е) X

х(2р)(5,в) - Р)2(5,в)). Следовательно,

Ро(ф(5), в) <£ + 2Р)(5, в). (2)

Теперь, используя (1), (2) и лемму 1.2, определим вероятности ошибок на выходе схемы у(5):

Р (у(5), а) =£ + (1 - 2£)(2Р1 (ф(5), а) - р2 (ф(5), а)) <£ + 2р (ф(5), а) <

<£ + 2(£ + Р12 (5, а)) = 3£ + 2 Р12 (5, а).

Р)(У( 5), в) = £ + (1 -2£) Ро2(ф(5), в) <£ + Ро2(ф( 5), в) <£ + (£ + 2 Р)( 5, в))2 =

= £ + £2 +4£Р)(5, в) + 4 Р)2( 5, в).

Тогда ненадежность схемы у( 5) удовлетворяет неравенству

Р (у (5)) < тах{3£ + 2Р12(5, а), £ + £2 + 4£Р0 (5, в) + 4Р02 (5, в)} <

< тах{3£ + 2Р2 (5), £ + £2 + 4£Р (5) + 4Р2 (5)}.

Теорема 2.1 доказана.

Используя результат теоремы 2.1, мы докажем следующую теорему.

Теорема 2.2. При £є (0, 1/128] в базисе {х & у, х V у, х} любую булеву функцию /(Х1,..., хп) можно реализовать схемой 5 с ненадежностью Р(5) < 4£ .

Доказательство. Доказательство проведем индукцией по п.

1. Докажем утверждение для п = 1, т.е. для всех возможных булевых функций, зависящих от одной переменной: 0, 1, х и Х. Эти функции можно реализовать схемами, изображенными на рис. 6.

Р(5) = 0

Р(5) < є

• А

Очевидно, что для п = 1 теорема верна.

2. Пусть индукционное предположение верно для функций, с числом переменных п - 1. Докажем, что оно верно для функций /(Х1,..., хп). Разложим функцию / (Х1,..., хп ) по последней переменной: / (Х1,..., Хп-1, хп) = = хп/(х1,..., хп-1,1) V хп/(х1,..., хп-1,0) и реализуем следующей схемой 52 (рис. 7), где схема 51 реализует /1 = /(х1,...,хп-1,1), а схема 50 реализует /0 = /(Ч^.^ хп-1,0).

В схеме 52 выделим подсхему А, состоящую из четырех элементов (рис. 7), выход которой является выходом схемы 5, а на входы подаются значения хп , /1 = /(Х1,..., xn-l, 1) и /0 = /(Л^..^ xn-1, 0) .

Выделенная подсхема А состоит из четырех элементов, поэтому ее ненадежность Р(А) < 4е. Функции /1 = /(хь...,хп-1,1) и /0 = /(хь...,хп-1,0), согласно индуктивному предположению, можно реализовать схемами с ненадежностью не более 4е. Если схема А исправна, то для реализации / она использует значение одной из схем, реализующих /1 и /0. Поэтому

По схеме 52 построим схему 53, реализующую ту же функцию

Рис. 7

Р(52) < Р( А) + 4е< 8е.

/ (х1,..., хп) (рис. 8).

Используя теорему 2.1, оценим ненадежность схемы 53:

Р(53) = Р(у(52)) < шах(3е + 2Р2 (5), е + е2 + 4еР(5) + 4 Р2 (5)} <

< тах{3е + 128е2, е +189е2} < 3е + 128е2.

При ее (0,1/128] верноР(53) < 4е. Теорема 2.2 доказана.

Рис. 8

Теорема 2.3. При ее (0,1/128] любую булеву функцию можно реализовать такой схемой Б, что Р(Б) < 3е + 32е .

Доказательство. По теореме 2.2 любую булеву функцию можно реализовать схемой Б с ненадежностью Р(Б) < 4е . По схеме Б построим схему у(Б) (рис. 5) и оценим ее ненадежность:

Р(у( Б)) < тах{3е + 2Р2 (Б), е + е2 + 4еР(Б) + 4Р2 (Б)} <

< тах{3е + 32е2, е + 81е2} < 3е + 32е2.

Теорема 2.3 доказана.

3 Нижние оценки ненадежности схем в базисе {х & у, х V у, х}

Обозначим К(п) - множество булевых функций / зависящих от переменных х1, х2, ..., хп , не представимых в виде 0, 1, (ха &g(х))ь (і = 1, 2, ..., п,

а, Ье {0,1}).

Теорема 3.1. Пусть ее (0,1/6], функция /(х) е К(п), и пусть Б - любая

2 3

схема, реализующая функцию / . Тогда Р(Б) > 3е- 6е + 4е .

Доказательство. Пусть булева функция ДК(п)) и Б - любая схема, реализующая эту функцию. Заметим, что схема Б содержит не менее трех элементов, причем оба входа (или один, если Е1 - инвертор) выходного элемента Еі соединены с выходами некоторых элементов Е2 и Е3 схемы Б (но не с полюсами, иначе /£ К(п)). Выделим в схеме Б подсхему А, состоящую ровно из трех элементов. Возможны следующие варианты (рис. 9-16).

На рис. 9-13 выходной элемент Е1 не является инвертором, а на рис. 14-16 элемент Е1 - инвертор. На рис. 9 и 10 элементам Е2 и Е3 может быть приписана любая из базисных функций, и если это инверсия, то считаем, что на правый вход элемента поступает фиктивная переменная. Это же соглашение принимаем, если на рис. 11-16 элемент Е4 - инвертор.

х1 х2

Рис. 9

Рис. 10

Рис. 11 Рис. 12

х1 х2

х1 х2

в4

Е4

Е2(Ез)

х1 х2

в4

Е4

ЕЕ)

х1 х2

Рис. 13

Рис. 14

Рис. 15

1 Пусть элементу Е1 приписана функция &.

1.1 Пусть элементы Е2 и Е3 различны.

1.1.1 Пусть выход элемента Е2 (Е3) не соединен со входом элемента Е3 (Е2) (рис. 9). Тогда независимо от приписанных этим элементам функций для подсхемы, состоящей из элементов Е1, Е2 и Е3, по лемме 1.1 имеем

0 2 3

р = 3е- 5е + 2е . И по следствию 1.1 получаем

Р(5) > 3е- 5е2 + 2е3 .

1.1.2 Пусть выход одного из элементов (например, для определенности выход Е2) соединен со входом другого элемента (Ез) (рис. 10).

1.1.2.1 Если элементу Е3 приписана функция & или V , тогда независимо от приписанной элементу Е2

функции е2 вероятность ошибки Р0 = р0 = (1 — е) X х(2е(1 - е)) + е(1 -е) = 3е- 5е2 + 2е3 . По следствию

1.1 получаем Р(5) > 3е - 5е2 + 2е3 .

1.1.2.2 Если элементу Е3 приписана инверсия, то схема 5 реализует функцию 0 й К(п).

1.2 Пусть элементы Е2 и Е3 совпадают, и элементу Е2 приписана функция &. Поскольку /(х) е К(п), входы элемента Е2 соединены не с полюсами, а с выходами некоторых элементов Е4 и Е5.

1.2.1 Пусть элементы Е4 и Е5 различны. Включим в схему А любой из элементов Е4 и Е5 (например, для определенности элемент Е4, рис. 11), тогда независимо от приписанных им функций для схемы, состоящей из элементов Е2,

0 2

Е4, имеем р = 2е- 2е . Тогда, используя лемму 1.4, для

схемы, состоящей из элементов Е1, Е2 и Е4, имеем

0 2 3

р = 3е - 6е + 4е . И по следствию 1. 1 получаем

Р(5) > 3е - 6е2 + 4е3 .

1.2.2 Пусть элементы Е4 и Е5 совпадают (рис. 12). Тогда, учи-

2 3

тывая замечание 1.1, получаем Р(5) > 3е - 6е + 4е .

1.3 Пусть элементы Е2 и Е3 совпадают, и элементу Е2 приписана инверсия (рис. 13). Тогда, учитывая замечание 1.1, получаем

Р(5) > 3е- 6е2 + 4е3.

1.4 Пусть элементы Е2 и Е3 совпадают, и элементу Е2 приписана функция V . Поскольку /(х) е К(п), входы элемента Е2 соединены не с полюсами, а с выходами некоторых элементов Е4 и Е5.

1.4.1 Пусть элементы Е4 и Е5 различны. Включим в схему А любой из элементов Е4 и Е5 (например, для определенности элемент Е4, рис. 11). Тогда независимо от приписанных им функций для схемы, состоящей из элементов

Е2, Е4, имеем р1 = 2е - 2е2 . Тогда, используя лемму 1.4,

для схемы, состоящей из элементов Е1, Е2 и Е4, имеем

1 2 3

р = 3е- 6е + 4е . И по следствию 1.1 получаем

Р(5) > 3е- 6е2 + 4е3.

1.4.2 Пусть элементы Е4 и Е5 совпадают (рис. 12). Тогда, учи-

2 3

тывая замечание 1.1, получаем Р(5) > 3е- 6е + 4е .

2 Пусть элементу Е1 приписана функция V .

2.1 Пусть элементы Е2 и Е3 различны.

2.1.1 Пусть выход элемента Е2 (Е3) не соединен со входом элемента Е3 (Е2) (рис. 9). Тогда независимо от приписанных этим элементам функций для схемы, состоящей из эле-

1 2 3

ментов Е1, Е2 и Е3, по лемме 1.2 имеем р = 3е- 5е + 2е .

2 3

И по следствию 1.1 получаем Р(5) > 3е - 5е + 2е .

2.1.2 Пусть выход одного из элементов (например, для определенности Е2, рис. 10) соединен со входом другого элемента (Ез).

2.1.2.1 Пусть элементу Е3 приписана функция & или V . Тогда независимо от элемента Е2 вероятности ошибок

р1 = р1 = (1 - е)(2е(1 - е)) + е(1 - е) = 3е - 5е2 + 2е3.

2 3

По следствию 1.1 получаем Р(5) > 3е - 5е + 2е .

2.1.2.2 Пусть элементу Е3 приписана инверсия. Тогда схема реализует функцию 1й К(п).

2.2 Пусть элементы Е2 и Е3 совпадают, и элементу Е2 приписана функция &. Поскольку /(х) е К(п), входы элемента Е2 соединены не с полюсами, а с выходами некоторых элементов Е4 и Е5.

2.2.1 Если элементы Е4 и Е5 различны, включим в схему А любой из элементов Е4 и Е5 (например, для определенности элемент Е4, рис. 11). Независимо от приписанных им функций для схемы, состоящей из элементов Е2 и Е4, име-

0 2

ем р = 2е- 2е . Тогда, используя лемму 1.4, для схемы,

состоящей из элементов Е1, Е2 и Е4, имеем

0 2 3

р = 3е - 6е + 4е . И по следствию 1. 1 получаем

Р(5) > 3е - 6е2 + 4е3 .

2.2.2 Пусть элементы Е4 и Е5 совпадают (рис. 12). Тогда, учи-

2 3

тывая замечание 1.1, получаем Р(5) > 3е - 6е + 4е .

2.3 Пусть элементы Е2 и Е3 совпадают, и элементу Е2 приписана инверсия (рис. 13). Тогда, учитывая замечание 1.1, получаем

Р(5) > 3е- 6е2 + 4е3.

2.4 Пусть элементы Е2 и Е3 совпадают, и элементу Е2 приписана функция V . Поскольку /(х) е К(п), входы элемента Е2 соединены не с полюсами, а с выходами некоторых элементов Е4 и Е5.

2.4.1 Пусть элементы Е4 и Е5 различны. Включим в схему А любой из элементов Е4 и Е5 (например, для определенности элемент Е4, рис. 11). Тогда независимо от приписанных им функций для схемы, состоящей из элементов Е2 и Е4, имеем

1 2

р = 2е- 2е . Тогда, используя лемму 1.5, для схемы, состоящей из элементов Е1, Е2 и Е4, имеем р1 = 3е - 6е2 + 4е3 .

2 3

И по следствию 1.1 получаем Р(5) > 3е - 6е + 4е .

2.4.2 Пусть элементы Е4 и Е5 равны (рис. 12). Тогда, учитывая

2 3

замечание 1.1, получаем Р(5) > 3е - 6е + 4е .

3 Пусть элементу Е1 приписана инверсия (рис. 14-16). Поскольку /(х) е К(п), вход элемента Е1 соединен не с полюсом, а с выходом некоторого элемента Е2.

Для схем на рис. 14, 15 вычислим вероятности ошибок, используя замечание 1.1, и получим р0 = р1 = е + (1 - 2е)(е + (1 - 2е)е) = 3е - 6е2 + 4е3 . По

2 3

следствию 1.1 верно Р(5) > 3е - 6е + 4е .

Для схемы на рис. 16 вычислим вероятности ошибок. Если е2 = &, то

вероятность ошибки для подсхемы из двух элементов Е2 и Е4 равна

0 2

р = 2е - 2е (см. лемму 1.1). Тогда вероятность ошибки на выходе подсхемы

2 2 3 1

из трех элементов равна Р1 =е + (1 -2е)(2е-2е ) = 3е-6е +4е = р . По

2 3

следствию 1.1 верно Р(5) > 3е - 6е + 4е .

Если е2 = V , то вероятность ошибки для подсхемы из двух элементов Е2 и Е4 равна р1 = 2е-2е2 (см. лемму 1.2). Тогда вероятность ошибки на

2

выходе подсхемы из трех элементов равна Р0 =е + (1 -2е)(2е-2е ) =

= 3е - 6е2 + 4е3 = р0. По следствию 1.1 верно Р(5) > 3е - 6е2 + 4е3.

Теорема 3.1 доказана.

Из теоремы 3.1 следует, что при ее (0, 1/128] любая схема, удовлетворяющая условиям теоремы 2.1 и реализующая булеву функцию /(х) е К(п), является асимптотически оптимальной по надежности и функционирует с ненадежностью, асимптотически равной 3е при е^-0.

4 Сложность асимптотически оптимальных схем в базисе {х & у, х V у , х}

Будем считать, что веса всех базисных элементов равны 1, тогда сложность схемы - число элементов в ней.

Из результатов М. А. Алехиной и С. И. Аксенова [16] следует теорема. Теорема 4.1. Для любого Ь>0 существуют константы е1 е (0, 1/2) и ё такие, что при любых ее (0,е1) любую булеву функцию /(х1,...,хп) можно

реализовать схемой 5, для которой Р(5) < 3е + ёе2 , Ь(5>) < 3(1+Ь)2п /п .

Для сравнения этого результата с результатами С. И. Ортюкова и Д. Улига нужно знать величину Ьг - минимальное число надежных элементов, необходимое для реализации функции голосования g (х1, х2, хз) = хх V Х1Х3 V х2 хз в базисе {х & у, х V у , х}. Известно, что g(Хl, х2, хз) = х1(х2 V хз) V х2 хз, т.е.

< 4 . С другой стороны, gе К(п), а при доказательстве теоремы 3.1 всевозможные схемы из трех элементов рассмотрены, и ни одна из них не реализует функцию g. Значит, = 4.

Таким образом, схемы из результатов С. И. Ортюкова и Д. Улига имеют асимптотически оптимальную сложность, но функционируют с ненадежностью не больше р, где р > sLg = 4е. Нет оснований считать эти схемы асимптотически оптимальными по надежности.

Вывод: при инверсных неисправностях на выходах элементов в базисе {х & у, Х V у, х} для почти всех булевых функций можно строить асимптотически оптимальные по надежности схемы, сложность которых превышает сложность минимальных схем, построенных только из надежных элементов, не более чем в 3 раза.

Список литературы

1. Neuman von J. Probabilistic logics and the synthesis of reliable organisms from unreliable components / J. von Neuman // Automata studies / edited by C. Shannon, Mc. J. Carthy. - Princeton : Princeton University Press, 1956. - (Русский перевод: Автоматы. - М. : ИЛ, 1956. - С. 68-139).

2. Добрушин, Р. Л. О нижней оценке для избыточности самокорректирующихся схем из ненадежных функциональных элементов / Р. Л. Добрушин, С. И. Ортюков // Проблемы передачи информации. - 1977. - Т. 13. - № 1. - С. 82-89.

3. Добрушин, Р. Л. Верхняя оценка для избыточности самокорректирующихся схем из ненадежных функциональных элементов / Р. Л. Добрушин, С. И. Ортюков // Проблемы передачи информации. - 1977. - Т. 13. - № 3. - С. 56-76.

4. Ор тюков, С. И. К вопросу о синтезе асимптотически безызбыточных самокорректирующихся схем из ненадежных функциональных элементов / С. И. Ор-тюков // Проблемы передачи информации. - 1977. - Т. 13. - № 4. - С. 3-8.

5. Ор тюков, С. И. Метод синтеза асимптотически оптимальных самокорректирующихся схем, исправляющих близкую к линейной долю ошибок / С. И. Ортю-ков // Проблемы передачи информации. - 1981. - Т. 17. - Вып. 4. - С. 84-97.

6. Ор тюков, С. И. Об избыточности реализации булевых функций схемами из ненадежных элементов / С. И. Ортюков // Труды семинара по дискретной математике и ее приложениям (Москва, 27-29 января 1987 г.). - М. : Изд-во Моск. ун-та, 1989. - С. 166-168.

7. Uhlig, D. Reliable networks from unreliable gates with almost minimal comlexity /

D. Uhlig // Fundamentals of Computation Theory : Intern. œnf. FCT'87 (Kazan, June 1987). - Berlin : Springer-Verl., 1987. - P. 462-469. - (Lecture Notes in Comput. Sci.; V. 278). - (Русский перевод: Автоматы. - М. : ИЛ, 1956. - С. 68-139).

8. Редькин, Н. П. Надежность и диагностика схем / Н. П. Редькин. - М. : Изд-во МГУ, 1992.

9. Лупанов, О. Б. Асимптотические оценки сложности управляющих систем / О. Б. Лупанов. - М. : Изд-во МГУ, 1984.

10. Лупанов, О. Б. Об одном методе синтеза схем / О. Б. Лупанов // Известия вузов. Радиофизика. - 1958. - Т. 1. - № 1. - С. 120-140.

11. Pippenger, N. On networks of Noisy Gates / N. Pippenger // 26 Symposium on Foundation on Computer science (Portland, 21-23.10.1985). - Portland, 1985. - Р. 30-38.

12. Яблонский, С. В. Асимптотически наилучший метод синтеза надежных схем из ненадежных элементов / С. В. Яблонский // Banach Center. - 1982. - № 7. -P. 11-19.

13. Аксенов, С. И. О надежности схем над произвольной полной системой функций при инверсных неисправностях на выходах элементов / С. И. Аксенов // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. - 2005. - № 6 (21). -

С. 42-55. - (Естественные науки).

14. Алехина, М. А. Синтез асимптотически оптимальных по надежности схем из ненадежных элементов : монография / М. А. Алехина. - Пенза : Информационно -издательский центр ПензГУ, 2006.

15. Чугунова, В. В. Синтез асимптотически оптимальных по надежности схем при инверсных неисправностях на входах элементов : дис. ... канд. физикоматематических наук / В. В. Чугунова. - Пенза, 2007.

16. Алехина, М. А. О сложности надежных схем при инверсных неисправностях на выходах элементов / М. А. Алехина, С. И. Аксенов // Дискретная математика и ее приложения : материалы IX Международного семинара, посвященного 75-летию со дня рождения академика О. Б. Лупанова (Москва, 18-23 июня 2007 г.). - М. : Изд-во мех.-мат. фак-та МГУ, 2007. - C. 56-59.