Синтез асимптотически оптимальных по надежности неветвящихся программ в базисе {X1uX2, x1&x2, stop} Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.95

M. А. Алехина, С. М. Зиновьева

СИНТЕЗ АСИМПТОТИЧЕСКИ ОПТИМАЛЬНЫХ ПО НАДЕЖНОСТИ НЕВЕТВЯЩИХСЯ ПРОГРАММ В БАЗИСЕ [xivx2, x1&x2, x, stop}1

Аннотация. Рассматривается задача синтеза асимптотически оптимальных по надежности неветвящихся программ с условной остановкой, реализующих булевы функции, при инверсных неисправностях на выходах операторов в базисе (x1vx2, x1&x2, xi, stop}. Доказано, что в рассматриваемом базисе все булевы функции fx1, x2,..., xn) можно реализовать асимптотически оптимальными по надежности программами с условной остановкой, причем для функций xi (i е {1, 2, ..., n}) эти программы являются абсолютно надежными (не содержат операторов), а для остальных функций эти программы функционируют с ненадежностью, асимптотически равной е при е ^ 0 (е - вероятность инверсной неисправности на выходе оператора).

Ключевые слова: булевы функции, неветвящиеся программы, оператор условной остановки, синтез, надежность.

Abstract. We consider the problem of synthesis of optimal on reliability nobranching programs with conditional stop-operator at inverse faults on operator outputs in basis {x1vx2, x1&x2, X1, stop}. We proved that in this basis it’s possible to realize all Boolean functions with asymptotically optimal on reliability programs with conditional stop-operator, and for functions xt (i е {1,2,...,n}) these programs are absolutely reliable (contain no operators), and for remaining functions these programs work with unreliability asymptotically equal е at е ^ 0 (e is a probability of the inverse fault on the operator output).

Keywords: Boolean functions, nobraching programs, conditional stop-operator, synthesis, reliability.

Рассматривается реализация булевых функций неветвящимися программами с условной остановкой [1]. Предполагается, что все операторы -конъюнкторы, дизъюнкторы, инверторы и операторы условной остановки -независимо друг от друга с вероятностью е (е е (0; 1/2)) подвержены инверсным неисправностям на выходах. Эти неисправности характеризуются тем, что в исправном состоянии вычислительный оператор реализует приписанную ему булеву функцию ф, а в неисправном - функцию ф. В неисправном состоянии оператор условной остановки вместо единицы выдает нуль. Считаем, что программа Pr реализует функциюf(x1, x2, ..., xn), если она реализует ее при отсутствии неисправностей.

Ненадежностью N(Pr) программы Pr назовем максимальную вероятность ошибки на всех выходах программы Pr при всевозможных входных наборах.

Чтобы сформулировать известные результаты для схем из функциональных элементов, которые отличаются от неветвящихся программ наличием оператора условной остановки, введем необходимые определения.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке РГНФ, номера проектов 08-06-00503а, 09-06-28615а/В.

Ненадежностью N(S) схемы S из функциональных элементов, подверженных инверсным неисправностям на выходах, назовем максимальную вероятность ошибки на выходе схемы S при всевозможных входных наборах. Обозначим Nf) = inf N(S), где инфимум берется по всем схемам S из ненадежных элементов, реализующим булеву функцию f(x) (x = (xi, x2, ..., xn)). Схема A из ненадежных элементов, реализующая функцию f называется асимптотически оптимальной по надежности, если N(A) ~ NEf) при є ^ 0, т.е.

^=i'

є —— 0 N(A)

Теорема 1 [2]. При є є (0, 1/128] любую булеву функцию f (X) можно реализовать такой схемой S, что N(S) < 3є + 32є2.

Обозначим K(n) - множество булевых функций f(x1, x2, ..., xn), не представимых в виде (xf &h(X))b , где i є {1, 2, ..., n}, a, b є {0, 1}.

Теорема 2 [2]. Пусть є є (0, 1/6], а f(x1, x2, ..., xn) є K(n). Тогда любая схема S, реализующая f, имеет ненадежность N(S) > 3є - 6є2 + 4є3.

Из теорем 1 и 2 следует, что в базисе {x1& x2, x1V x2, x1 } для почти всех функций асимптотически оптимальные по надежности схемы функционируют с ненадежностью, асимптотически равной 3є при є ^ 0.

Для неветвящихся программ с надежным оператором условной остановки доказана теорема 3 [3].

Теорема 3 [3]. При є є (0, 1/128] любую булеву функцию можно реализовать такой программой Prf с надежным оператором условной остановки, что N(Prf) < є + 41є2 .

Докажем теорему о нижней оценке ненадежности программ с надежным оператором условной остановки.

Теорема 4. При є є (0,1/2) для любой функции f(x1, x2, ..., xn), не равной xi (i є {1, 2, ..., n}), и любой программы Prf с надежным оператором условной остановки, реализующей функцию f, справедливо неравенство N(Prf) > є.

Доказательство. Пустьf(x1, x2, ..., xn) - произвольная функция, отличная от переменных xi (i є {1, 2, ..., n}), а Prf - любая программа, ее реализующая. Отметим, что любая программа для рассматриваемой функции содержит хотя бы один функциональный оператор. Если в программе Prf вход

ни одного оператора условной остановки не соединен с выходом никакого функционального оператора (т.е. либо операторов остановки нет, либо все они соединены с полюсами), то хотя бы один из выходов программы является выходом функционального оператора. Поскольку рассматриваемая подпрограмма является схемой из функциональных элементов, для которой известно [4], что вероятность ошибки на выходе не меньше є, поэтому N(Prf) > є. Если же в программе Prf имеется хотя бы один оператор условной остановки,

вход которого соединен с выходом функционального оператора, то вероятность ошибки на выходе этого оператора остановки равна є. Поэтому ненадежность программы, которая равна максимальной вероятности ошибки на всех выходах программы Prf при всевозможных входных наборах, не меньше є.

Теорема 4 доказана.

Далее будем считать все операторы условной остановки ненадежными, подверженными инверсным неисправностям на выходе. Для неветвящихся программ с оператором условной остановки, подверженным инверсным неисправностям на выходах, справедливы лемма 1 и теорема 5.

Лемма 1. При е е (0, 1/128] программа Ргг (рис. 1) реализует функцию голосования g(x1, х2, х3) с ненадежностью М(Рг^) < 3е, а вероятности

Ро, Р/, Рд1, Р/1 появления нуля и единицы соответственно на каждом из двух выходов I и II приведены в табл. 1.

Таблица 1

Наборы Выход і Выход іі

Ро1 Р11 ріі ро Р111

(ООО) є2 є - є2 1 - 2є + 3є3 - 2є4 є - 3є3 + 2є4

(001), (О1О), (1ОО) є2 є - є2 1 - Зє + 5 є2 - 5 є3 + 2є4 2є - 5 є2 + 5є3 - 2є4

(О11) є - є2 (1 - є)2 є - 2є2 + Зє3 - 2є4 2є2 - 3є3 + 2є4

(1О1), (11О) є2 є - є2 Зє - 8є2 + 7 є3 - 2 є4 1 - 4є + 8є2 - 7є3 + 2є4

(111) є - є2 (1 - є)2 Зє2 - 5 є3 + 2є4 є - 3є2 + 5є3 - 2є4

Доказательство. Запишем функцию голосования в виде g(хІ5 Х2, Х3) = (Х2Хз V Хі)(Х2 V Х3) и представим программу (рис. 1) с оператором условной остановки функциональной схемой (рис. 2).

g(Хl, Х2, Хз):

1) 21 = Х2 & Х3

2) иїор (г1)

3) ^2 = Х2 V Хз

4) г3 = Х1 V 21

5) г4 = г2 & г3

Рис. 1

Рис. 2

Заметим, что оператор остановки срабатывает, когда на его вход поступает единица (при этом в исправном состоянии на выходе оператора тоже единица).

Вычислим и оценим вероятности Рд, РІ, Р01, Р^ программы Рг8 на всех входных наборах а .

Набор а = (ООО):

?1 . пі

- вероятность Рі : Рі (Рг^g, а) = є(1 - є) = є - є < є;

- вероятность р/1 : Р^Р^, а) = (1 - е)[(1 - е)е + е((1 - е)е + е(1 - е))] =

= е - 3е3 + 2е4 < е;

II 2

- вероятность Ро : Ро (Рт^, а) = е • е = е ;

- вероятность РоП : PоII (Pтg, а) = 1 - е + е2 - е + 3е3 - 2е4 - е2.

Наборы а = (оо 1), (оЮ):

II 2

- вероятность Р1 : Р1 (Pтg, а) = е(1 - е) = е - е < е;

- вероятность Р1П : рП (Pтg, а) = (1 - е)[(1 - е)е + е(е2 + (1 - е)2)] = 2е -

- 3е2 + 5е3 - 2е4 < 2е;

II 2

- вероятность Ро : Ро (Pтg, а) = е^е = е ;

- вероятность РоП: PоII (PTg, а) = 1 - е + е2 - 2е + 3е2 - 5е3 + 2е4 - е2 = 1 -

- 3е + 5е2 - 5е3 + 2е4.

Набор а = (1оо):

II 2

- вероятность Р1 : Р1 (Pтg, а) = е(1 - е) = е - е < е;

- вероятность Р1П : рП (Pтg, а) = (1 - е)[(1 - е)е + е(е2 + (1 - е)2)] = 2е -

- 3е2 + 5е3 - 2е4 < 2е;

II 2

- вероятность Ро : Ро (Pтg, а) = е • е = е ;

- вероятность РоП : PоII (PTg, а) = 1 - е + е2 - 2е + 3е2 - 5е3 + 2е4 - е2 = 1 -

- 3е + 5е2 - 5е3 + 2е4.

Заметим, что на рассмотренных наборах (ооо), (оо1), (оЮ), (1оо) ошибкой будет появление 1, и вероятность ошибки на выходе программы Pтg будет

равна шах^/, Р^}, который не превосходит 2е.

Набор а = (о 11):

II 2

- вероятность Ро : Ро (Pтg, а) = е(1 - е) = е - е < е;

- вероятность РоП: РоП (Pтg, а) = е[(1 - е)2 + е(е(1 - е) + (1 - е)е)] = е -

- 2е2 + 3е3 - 2е4 < е;

II 2

- вероятность р : р (Pтg, а) = (1 - е) ;

- вероятность PlII: Р^ (Рт^, а) = 1 - е + е2 - е + 2е2 - 3е3 + 2е4 - 1 + 2е -

- е2 = 2е2 - 3е3 + 2е4.

Наборы а = (1 о 1), (11 о):

II 2

- вероятность Ро : Ро (Pтg, а) = е ;

- вероятность РоП: PоII(PTg, а) = (1 - е)[е(1 - е) + (1 - е)(е(1 - е) + (1 -

- е)е)] = 3е - 8е2 + 7е3 - 2е4 < 3е;

- вероятность Р-1: Р/( Pтg, а) = е(1 - е);

- вероятность Р^: Р^ (PTg, а) = 1 - е2 - 3е + 8е2 - 7е3 + 2е4 - е + е2 = 1 -

- 4е + 8е2 - 7е3 + 2е4.

Набор а = (111) :

II 2

- вероятность Pq : Pq (Prg, а) = (1 - s)s = s - s < s;

- вероятность Pq11 : PqII( Prg, а) = s[s(1 - s) + (1 - s)(s(1 - s) + (1 - s)s)] =

= 3s2 - 5s3 + 2s4 < 3s2;

I I 2

- вероятность P1 : P1 (Prg, а) = (1 - s) ;

- вероятностьPn : P^(Prg, а) = 1 - s + s2 - 3s2 + 5s3 - 2s4 - 1 + 2s - s2 =

= s - 3s2 + 5s3 - 2s4.

Заметим, что на рассмотренных наборах (000), (001), (010), (100) ошибкой будет появление 0, и вероятность ошибки на выходе программы Prg будет

равна max{PQI, PqII| , который не превосходит 3s.

Лемма 1 доказана.

Теорема 5. При s е (0, 1/128] любую булеву функцию можно реализовать такой программой Prf, что N(Prf ) < s + 41s2.

Доказательство. Пусть f(x\, x2, ..., xn) - произвольная булева функция. По теореме 1 ее можно реализовать неветвящейся программой (схемой) S с ненадежностью N(S) < 3 s + 32s2 .

Используя эту схему S, построим для f неветвящуюся программу с оператором условной остановки Prf (рис. 3) и представим ее схемой (рис. 4). Вычислим и оценим вероятности ошибки для каждого из двух выходов I и II программы Prf (рис. 4).

Prf:

1) ti = f(Xi, Х2, ..., Х„) (S)

2) t2 = fXl, X2, ..., Xn) (S)

3) t3 = flxj, X2, ..., X„) (S)

4) Z\ = t2 & t3

5) stop (zi)

6) Z2 = t2 V t3

7) Z3 = t1 v Z1

8) Z4 = Z2 & Z3

Рис. 3

Пусть набор а такой, что /(а) = 0 . Оценим вероятность ошибки на выходе I программы:

Р\(Рг/, а) = (1 - ^)3-(е - е2) + 3-(1 - Р!)2р1-(£ - е2) + (1 - р0р12-(1 - е)2 +

+ 2-(1 - а)-А2-(є - е2) + Pi3'(1 - е)2 < е + 3ер! + рД где pi < 3е + 32е2. Тогда Pi(Prf, а) < е + 21е2.

Оценим вероятность ошибки на выходе II программы:

P1(Prf, а) = (1 - pi)3-(s - 3 s3 + 2s4) + 3-(1 - pi)2-pi-(2e - 5s2 + 5s3 - 2s4) +

+ (1 -P1) -p12-( 2s2 - 3s3 + 2s4) + 2-(1 -p1)-p12-(1 - 4s + 8s2 - 7s3 + 2s4) +

+p13-( s - 3s2 + 5s3 - 2s4) < е + 6ep1 + 2p12, тогда P1(Prf, а) < е + 41е2.

Пусть набор а такой, что f (а) = 1. Оценим вероятность ошибки на выходе I программы:

P0( Prf, а) = (1 - ро)3-(е - е2) + 2-(1 - ро)2-ро-е2 + (1 - ро)2-ро'(е - е2) +

+ 3-(1 - ро)-ро2-е2 + Ро3-е2 < е + еро, где ро < 3е + 32е2. Тогда Pо(Prf, а) < е + 4е2.

Оценим вероятность ошибки на выходе II программы:

Po ( Prf, а) = (1 - ро)3'^2 - 5s3 + 2s4) + 2-(1 - pо)2•pо•(3s - 8s2 + 7s3 - 2s4) +

+ (1 - ро)2-ро-^ - 2s2 + 3s3 - 2s4) + 3-(1 - ро)-ро2-(1 - 3s + 5s2 - 5s3 + 2s4) +

+ро3-(1 - 2s + 3s3 - 2s4) < 3е2 + 7еро + 3ро2, тогда Po(Prf,а) < 53е2.

Выбирая из полученных для вероятности ошибок значений максимальное, видим, что ненадежность программы N(Prf) удовлетворяет неравенству N(Prf ) < s + 41s2.

Теорема 5 доказана.

Заметим, что функции хі (і є {1, 2, ..., n}) можно реализовать абсолютно надежно без использования каких-либо операторов. Докажем утверждение о нижней оценке ненадежности программ для других, отличных от хі (і є {1, 2, ..., n}), функций.

Теорема 6. При s є (о, 1/2) для любой булевой функции f(x1, х2, ..., хп), не равной хі (і є {1, 2, ..., n}), и любой программы Prf с ненадежным оператором условной остановки, реализующей функцию f, справедливо неравенство N(Prf) > s(1 - s).

Доказательство. Пусть f(x1, х2, ..., xn) - произвольная функция, отличная от переменных хі (і є {1, 2, ..., n}), а Prf - любая программа, ее реализующая.

Для каждого из тех операторов программы, выход которых является выходом программы, верно одно из утверждений: он является функциональным оператором либо оператором остановки, на вход которого подается переменная хі (і є {1, 2, ..., n}), либо оператором остановки, вход которого соединен с выходом некоторого функционального оператора.

В первом случае рассматриваемая подпрограмма является схемой из функциональных элементов, для которой известно [4], что вероятность ошибки на выходе не меньше s, поэтому N(Prf) > s.

Во втором случае вероятность ошибки на выходе также не меньше s, поэтому N(Prf) > s.

В третьем случае вероятность ошибки на выходе функционального оператора равна р, где p > s [4]. Тогда на выходе оператора остановки вероятность ошибки равна max{p(1 - s), s(1 - p)} > s(1 - s), поэтому N(Prf) > s(1 - s).

Таким образом, ненадежность любой программы не меньше s(1 - s).

Теорема 6 доказана.

Из теорем 5 и 6 следует, что в базисе {xj&x2, xjvx2, xj } для всех функций

fix\, x2, ..., xn), исключая функции xi (і є {1, 2, ..., n}), асимптотически оптимальные по надежности программы с ненадежным оператором условной остановки функционируют с ненадежностью, асимптотически равной s при s^ü.

Проведенные исследования показывают, что при s є (ü, 1/128] все булевы функции в базисе {xi&x2, xivx2, X1 } можно реализовать программами с ненадежным оператором условной остановки, которые функционируют с ненадежностью не больше s + 41s2, в то время как ненадежность асимптотически оптимальных схем не превосходит (3s + 32s2), т.е. приблизительно в три раза хуже.

Список литературы

1. Чашкин, А. В. О среднем времени вычисления значений булевых функций / А. В. Чашкин // Дискретный анализ и исследование операций. - 1997. - Январь-март. - Том 4. - № 1. - С. 60-78.

2. Васин, А. В. Об асимптотически оптимальных схемах в базисе {x1&x2, x1ïx2, X1 } при инверсных неисправностях на выходах элементов / А. В. Васин // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2008. - № 4. - С. 3-17.

3. Зиновьева, С. М. Синтез надежных неветвящихся программ с условной остановкой / С. М. Зиновьева // Материалы Седьмой молодежной научной школы по дискретной математике и ее приложениям (г. Москва, 18-23 мая 2009 г.). - В печати.

4. Neuman, Von J. Probabilistic logics and the synthesis of reliable organisms from unreliable components / J. Von Neuman // Automata studies / edited by C. Shannon, Mc. Carthy J. - Princeton University Press, 1956. - (Русский перевод: Автоматы. -М. : ИЛ, 1956. - С. 68-139).

Алехина Марина Анатольевна

доктор физико-математических наук, профессор, заведующая кафедрой дискретной математики, Пензенский государственный университет

E-mail: alehina@pnzgu.ru

Зиновьева Светлана Михайловна

ассистент, кафедра дискретной математики, Пензенский государственный университет

Alekhina Marina Anatolyevna Doctor of physico-mathematical sciences, professor, head of sub-department of discrete mathematics,

Penza State University

Zinovyeva Svetlana Mikhaylovna Assistant, sub-department of discrete mathematics, Penza State University

E-mail: dm@pnzgu.ru 66

УДК 514.126 Алехина, М. А.

Синтез асимптотически оптимальных по надежности неветвящихся программ в базисе (x1vx2, х1&х2, х1, stop} / M. А. Алехина, С. М. Зиновьева // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. Физико-математические науки. - 2009. - № 2 (10). - С. 60-67.