Замкнутые сети в линейных группах Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.544.2+512.74 Вестник СПбГУ. Сер. 1. 2013. Вып. 1

ЗАМКНУТЫЕ СЕТИ В ЛИНЕЙНЫХ ГРУППАХ*

В. А. Койбаев

Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А д-р физ.-мат. наук, профессор, [email protected]

В статье дается обзор результатов автора, посвященных теории элементарных сетей (ковров).

Детально изучается цепочка

дополняемые с замкнутые (допустимые) с элементарные сети.

Построенные в работе примеры сетей и элементарных групп показывают, что все включения указанной цепочки точные (исследованием точности указанной цепочки мотивирована вся работа). Для произвольной элементарной сети а = (ац) аддитивных подгрупп ац, г Ф 3, коммутативного кольца Л о 1 определяются производная сеть ш = а1, замкнутая сеть а (замыкание сети а), сеть аЕ, ассоциированная с элементарной группой Е(а), причем (теорема 1)

1Е а С а С а С аЕ,

при этом выполняются включения а1т аЕ С а1, аЕт аЦ С а1.

В работе принят следующий стандартный набор обозначений и определений. Если А, В — подгруппы аддитивной группы кольца Л, то через АВ мы обозначаем подгруппу аддитивной группы кольца Л, порожденную всеми произведениями аЬ, а € А,Ь € В.

Пусть е — единичная матрица порядка п, ец — матрица, у которой на позиции (г,з) стоит 1, а на остальных местах нули. Если а € Л, то через Ьц(а) = е + аец обозначается элементарная трансвекция. Положим, далее,

^ (А) = {Ьц (а): а € А}.

Для элементарной сети (ковра) а через Е(а) обозначается элементарная группа:

Е(а) = {Ьп (ац ) :1 < г Ф 3 < п).

Далее, если а — сеть, то через О(а) обозначается сетевая (ковровая) группа [1, 2].

§1. Элементарная сеть (ковер). Пусть Л — произвольное коммутативное кольцо с единицей, п — натуральное число. Система

а = (ац), 1 < г,3 < п,

аддитивных подгрупп кольца Л называется сетью (ковром) [1, 2] над кольцом Л порядка п, если

агт атЦ С агЦ

при всех значениях индексов г,г,з.

*Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (грант №13-01-00469). © В. А. Койбаев, 2013

Сеть, рассматриваемая без диагонали, называется элементарной сетью (элементарный ковер) [7, 6, вопрос 15.46]. Таким образом, элементарная сеть — это набор а = (ац), 1 ^ i Ф j ^ n, аддитивных подгрупп кольца Л, для которых аггагц — ац для любой тройки попарно различных чисел i,r,j.

§2. Дополняемые сети. Элементарная сеть а = (ац), 1 ^ i Ф j ^ n, называется дополняемой, если для некоторых аддитивных подгрупп а и кольца Л таблица (с диагональю) а = (ац), 1 ^ i,j ^ n, является (полной) сетью. Другими словами, элементарная сеть а является дополняемой, если ее можно дополнить (диагональю) до (полной) сети.

Хорошо известно, что элементарная сеть а = (ац) является дополняемой тогда и только тогда, когда

ацаШац - ац (1)

для любых i Ф j. Диагональные подгруппы ац определяются формулой

ац = ^ акгагк, (2)

кфг

где суммирование берется по всем к, отличным от i.

Ясно, что элементарная сеть может быть дополнена до сети не всегда единственным способом. Однако очевидно, формула (2) (при выполнении условий (1)) позволяет дополнить элементарную сеть а наименьшей диагональю.

§ 3. Производная сеть. В этом параграфе для произвольной элементарной сети а мы вводим понятие производной сети а1 (впервые предложенное в [3]) для группы SL (Я. Н. Нужин обобщил это понятие на другие группы Шевалле [8, 9]). Отметим, что предлагаемая ниже технология позволяет вводить производные элементарной сети высших порядков. Далее [3, 4], формулируются утверждения, позволяющие выявить связь между элементарной сетью и ее производной (показывая при этом, что производная сеть а1 является дополняемой сетью, содержащейся в элементарной сети а).

Пусть а = (ац) — элементарная сеть над кольцом Л порядка n. Рассмотрим набор а1 = ш = (шц) аддитивных подгрупп шц кольца Л, определенных для любых i Ф j следующим образом:

n

шц = ^ агк акц, к=1

где очевидно (так как а — элементарная сеть), суммирование берется по всем к, отличным от i и j. Ясно, что шц — ац, следовательно, для любой тройки попарно различных чисел i,r,j мы имеем

Шгг Шгц — Шгц .

Таким образом, набор ша = ш = (шц) аддитивных подгрупп шц кольца Л является элементарной сетью.

n = 3 _ а1 = ш =((иц/

Если, например, n = 3, то производная сеть а1 = ш = (шц) имеет вид

f * а1заз2 а12 а2з \ а2заз1 * а21 а1з I. \Сз2С21 Сз1С12 * J

Лемма 1. Пусть а = (агц) — элементарная сеть. Для подгрупп элементарной сети имеют место следующие утверждения.

(1) Пусть г Ф з. Тогда

(агтан)(азтатц) С (агтатг) п (ацтатц) п (ацацг).

(2) Если г Ф г, то

агк акт атц С агт атц .

Если г = г,к Ф з, то

агк акт атц С агк а кц.

(3) Если к Ф з, то

(агк акг )ац С агк а кц С агц.

(4) (цикл) Имеем

агк акт атг С (агт атг) п (акт атк) п (агк акг).

(5) Пусть г Ф з. Тогда (т — натуральное)

(агк акц )(атц ацт)т С агк а кц.

Предложение 1. Элементарная сеть ш = а1 является дополняемой, то есть дополняется до (полной) сети. Другими словами, для любых г Ф з

шгцшцгшгц С шгц.

Элементарную сеть ш можно дополнить до (полной) сети стандартным способом, полагая для произвольного г, 1 ^ г ^ п,

шгг = Е шкгшгк ,

кфг

где суммирование ведется по всем к = 1,2,...,п, к Ф г. Однако мы предлагаем другой (необходимый нам для дальнейшей работы с элементарными группами) способ дополнения элементарной сети ш до полной. Для любых г Ф з положим

го

1гц = Е (азгагц)т.

т=1

Тогда диагональные элементы шгг, 1 ^ г ^ п, определим следующим образом:

шгг = Е(^гк п 7гз п ^кз), (3)

кфз

где суммирование ведется по всем 1 ^ к Ф в ^ п (ясно, что к Ф г, в Ф г).

Замечание 1. Можно показать, что последняя сумма содержит группу (см. выше)

Е ШкгШгк,

кфг

а потому представленная диагональ абелевых групп содержит диагональ, получаемую стандартным способом.

Если, например, п = 3, то

шц = ^22 = ^33 = 712 п 713 п 723-

Предложение 2. Элементарная сеть ш, дополненная диагональю формулой (3), является (полной) сетью.

Определение. Пусть а — элементарная сеть, тогда (полную) сеть а1 = ш, определенную формулой (2), мы называем производной сетью (для а).

Предложение 3. Пусть а — элементарная сеть, а1 = ш — производная сеть, г Ф ]. Тогда для любых г, г мы имеем

ШгтаГ] — шц, ацгшгг — шцг- (4)

§ 4. Сеть, ассоциированная с элементарной группой. В этом разделе мы построим сеть аЕ, связанную с элементарной группой Е(а) [3, 4]. Как мы увидим ниже, построенная сеть аЕ будет наименьшей дополняемой сетью, содержащей элементарную сеть а

Пусть а, в — подгруппы аддитивной группы кольца Л. Рассмотрим элементарную сеть ао второго порядка

* а 1

а0 = в * Положим

ГО

7 =Т,(ав)к -к=1

Предложение 4. Рассмотрим элементарную группу

Е (ао ) = {Ь21(в), «12 (а))-

Если а € Е(а0), а = |1 а11 а12 |, то 4 м \ а21 1 + а22)

ац,а22 € ч, а12 € а + а7, а21 € в + в1-

Предложение 4 естественным образом индуцирует следующее построение. Пусть а = (ац) —элементарная сеть над кольцом Л порядка п. Для произвольных г Ф ] положим

Е

ац = ац + ац Из,

где Из =Е™=1 (аЦгаЦ )т-

Предложение 5. Таблица аЕ = (аЦ) является элементарной сетью, причем дополняемой, то есть справедливы включения аЦаЕаЦ — аЦ для любых г Ф ]-

В силу предложения 5 дополним элементарную сеть аЕ до (полной) сети стандартным способом, положив аЕ = аЦ а кг, где суммирование берется по к, к Ф г. Нетрудно видеть, что

п

Е V1

агг = Ь Ък -

к=1,кфг

Так, например,

а 11 = 712 + 713 + -- - + 71п-Заметим, что а^1 — аЕ для всякого г.

Предложение 6. Сеть аЕ является наименьшей (дополняемой) сетью, содержащей элементарную сеть а.

Далее, (аЕ)(1) = а(1).

Так определенную (полную) сеть аЕ мы называем сетью, ассоциированной с элементарной группой Е(а).

Ясно, что

а1 < а < аЕ.

Сети аЕ и а1 связаны следующим предложением.

Предложение 7. Для любых г,г,3 имеем

а1 аЕ С а1 аЕ а1 С а1

сгтс тц сгц , с гтстц с сгц '

§ 5. Замкнутые (допустимые) сети. В этом параграфе для элементарной сети а мы вводим понятие замыкания а [4]. Как оказалось, элементарная сеть а является замкнутой, причем наименьшей замкнутой, содержащей сеть а.

Для элементарной сети а рассмотрим элементарную сеть а = (агц), индуцированную трансвекциями из элементарной группы Е(а). А именно, для любых г Ф 3 положим

агц = {а е Л : ^(а) еЕ(а)}.

Очевидно, что в силу известного коммутаторного соотношения а = (ац) является элементарной сетью.

Определение. Элементарную сеть а мы называем замыканием сети а. Если а = а, то сеть а мы называем замкнутой (или допустимой).

Очевидно, что примером замкнутой сети являются дополняемые сети.

Замечание 2. Понятие допустимой сети стало известно автору из работ В.М.Левчука, однако в силу следующих предложений мы используем термин «замкнутая сеть», что на наш взгляд лучше отражает суть определения.

Предложение 8. Операция замыкания обладает следующими свойствами (замыкания в топологическом пространстве):

а С а; а С т ^ а С т; а = а; а п т С а п т.

Предложение 9. 1) Пересечение замкнутых элементарных сетей является замкнутой элементарной сетью.

2) Пусть а С т и т — замкнутая сеть. Тогда а С а С т. В частности, а — наименьшая замкнутая сеть, содержащая а.

3) Для сети аЕ мы имеем а С а С аЕ.

Положим <71 л <Т2 = о-! п сг2, далее, о\ V о2 = о\ и <Т2, где о\ и о2 —сеть, равная пересечению всех элементарных сетей, содержащих а1 и а^.

Следствие. Множество замкнутых (допустимых) сетей является структурой (подструктурой) всех элементарных сетей, содержащей структуру всех дополняемых сетей.

Теорема 1. Элементарная сеть а индуцирует производную сеть а(1), замкнутую сеть а и сеть аЕ, ассоциированную с элементарной группой Е(а), при этом выполняются включения

а(1) С а С а С аЕ,

(1) Е ^ (1) Е (1) ^ (1) причем а1' аЕ С а У', аЕт ат/ С ац .

§ 6. Факторизация элементарной группы. В этом разделе для элементарной сети а приводится (теорема 2) факторизация элементарной группы Е(а). Позже Я. Н. Нужин [8] перенес такое разложение на другие группы Шевалле.

Пусть а = (ац) —элементарная сеть над кольцом К порядка п. Соотношения, представленные в следующей лемме, хорошо известны. Лемма 2. Пусть а е ац, в е аГ8, г Ф з, г Ф в.

1) Если з Ф г,г Ф в, то Ьц(а)и8(в) = гге(в)гц(а).

2) Если з = г, г Ф в (ав е а(1)), то Ьц(а)гца(в)=гца(в)г1ц(а)ие(ав).

3) Если з Ф г, г = в (ав е а^), то Ьц(а)г^(в) = (а)ггц (-ав). Пусть г Ф з. Положим

Гij = ((ц (аг3 ), ^ог(аог)).

Теорема 2. Пусть п ^ 3. Имеет место равенство

Е(а) = \ П Гij | Е(а^),

причем сомножители Гц в произведении можно брать в любом порядке.

§7. Примеры сетей. В этом параграфе (см. [4]) мы доказываем точность цепочки структур

дополняемые с замкнутые (допустимые) с элементарные сети, о которой говорилось в начале статьи.

Пусть Е — произвольное поле. Рассмотрим поле Л = Е(х) рациональных функций -, /,д € с коэффициентами из Введем в рассмотрение кольцо

'I

■ 9

и подгруппы

К = € : deg/ - ^ 4|,

Е Е Е

А = — + Е + К, А\ = — + Е + К, В=- + К.

Через (К) обозначим сеть, все элементы которой совпадают с К; пусть, далее, Е((К)) = Е(К).

Пример незамкнутой (не допустимой) сети. Пусть Е — произвольное поле. Определим элементарную сеть р = (рц) п-го порядка в Л следующим образом: Р12 = А, Р21 = А\ и рц = К для всех остальных г Ф з:

р=

Из КА с К, КА1 с К, К2 с К с А, К2 с А1 следует, что р — элементарная сеть. Далее, € АА\А1 следовательно, АА\А $ А, а потому элементарная сеть р не является дополняемой.

1 * А К. . К\

А1 * К. .К

^ К К К. . *)

Сеть р не является замкнутой (допустимой). Дествительно, положим Ь = ¿12(^21(1)^12(-1)- Тогда Ь-1г12(^)Ъ = г21(-1), поэтому ^ е (р)2Ь но ^ не содержится в группе Л\ = Р21. Поэтому р Ф О, то есть сеть р не является замкнутой.

Пример замкнутой (допустимой), но не дополняемой сети. Пусть Г = Г 2 —произвольное поле из двух элементов, Л = Г2(ж).

Определим элементарную сеть а = (аг]) п-го порядка в поле Л следующим образом: а 12 = С21 = В и а= К для всех остальных г Ф

I* В К •• • К\

В* К •• •К

кК К К •• • *)

Из КВ с К, К2 с К с В следует, что а — элементарная сеть.

Предложение 11. Элементарная сеть а = (а) является замкнутой (допустимой) и не является дополняемой.

§ 8. Вопрос В. М. Левчука. Вопрос В. М. Левчука (Коуровская тетрадь, вопрос 15.46, 2002 год) в ЙХ-варианте выглядит следующим образом:

верно ли, что для допустимости ковра а = (а) необходима и достаточна допустимость любого подковра (а,ац), 1 ^ г < ] ^ п?

Этот вопрос естественным образом согласуется с утверждением (см. § 2) о том, что необходимым и достаточным условием дополняемости элементарной сети (ковра) а = (аг] ) является дополняемость любой подсети (подковра) (а,а]г), 1 ^ г < ] ^ п.

Основой положительного решения вопроса В. М. Левчука (или построения соответствующего контрпримера), на наш взгляд, являются следующий параграф.

§ 9. Разложение трансвекции в элементарной группе. Мы представляем [5] разложение трансвекции в элементарной группе Е(а) для случая п = 3 и для наглядности (дабы не загружать читателя громоздкими формулировками) рассматриваем позицию (1, 2). Итак, рассматривается элементарная сеть а порядка 3:

I * а12 С1З\

а21 * а23 I • \аз1 аз2 * )

В §3 для элементарной сети а мы определили производную сеть а1 = ш = (шг]), которая имеет вид

I шц а1заз2 С12С2З\ а1заз2 Ш22 а21 а1з I,

^Оз2С21 Оз1С12 шзз )

ш = (ш] ) =

где

Ш11 = Ш22 = шзз = 712 п 71з П 72з

Ъ] = Е (азга])т•

т=1

Для элементарной группы Е(а) степени 3 справедлива (см. § 6) факторизация

Е(а)= Г12Г1з Г2зЕ (ш), (1)

а=

и

где

Гij = ((ц (ац ) ^tji(аji)).

Через О(ш) обозначается сетевая группа, определенная для сети ш. Теорема 3. Пусть г12(а) е Е(а). Тогда

¿12(а) = аН,

где а е Г12, Н е Г13Г23Е(ш), причем Н = Ьсд, где Ь е Г13 п О(ш), с е Г23 п О(ш), д е Е(ш), и для матрицы

(1 + ац а12 0\ а = а21 1 + а22 0 I

\ 0 0 1)

мы имеем ац, а22 е шц, а21 е Ш21, а - а12 е Ш12.

Следствие. Если а — элементарная сеть порядка 3 и пара (а12, а21) дополняется до (полной) сети, то из того, что ¿12 (а) е Е(а) следует, что а е а 12.

Пример. Рассмотрим поле к = рациональных функций /,д е с

коэффициентами из поля Е, еИагЕ Ф 2. Пусть V — показатель нормирования,

Кт =

'Г

-9>

Мы рассматриваем подкольцо К, следующего вида: (т ^ 0)

{— бф) :г/( —

[х/ х/ )

а также подгруппу В поля к следующего вида:

Е

В = — + Д4.

х

Пара (В,В) является допустимой для любого поля Е. Пусть ([в,г] = вЬв-1г-1) а = [г21(1/х)г12(1/х)г21(-1/х),г12(-1/х)].

Тогда

1 - Л + Л- 4-4 + 4 — 1 + -—- + —

X7 X4 X6 X8

Таким образом, если рассматривать элементарную сеть

(* В

а= В *

К2

*)

которая очевидно (1/х3 е В3 \ В), является не дополняемой, и ей соответствующую производную сеть

(К4 К4 К3

а1 = ш = К4 К4 К3

\К3 К3 К4

то мы можем утверждать, что пара (В, В) не является ш-допустимой. 32

Рассмотрим матрицу Н 1 = ¿12(-2/жз)а:

1,1 2 -2 1,2 2

-1 _ I 1 + ^10 г[.7

У 1 + — 16" т 3

/¿-1 ж ж10 ж5 а^7 а^9 ^

ж7

Тогда очевидно (так как пара (В, В) —допустима), матрица Н не содержится в группе

Г12.

Для построения контрпримера (то есть не допустимости элементарной сети а) нужно доказать включение Н е Е(а), или Н е Г1зГ2зЕ(ш).

Литература

1. Боревич З. И. О подгруппах линейных групп, богатых трансвекциями // Зап. науч. семин. ЛОМИ. Т. 75. 1978. С. 22-31.

2. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп. М.: Наука, 1982. 288 с.

3. Койбаев В. А. Сети, ассоциированные с элементарными сетями // Владикавказский мат. ж. Т. 12. 2010. Вып. 4. С. 39-43.

4. Койбаев В. А. Элементарные сети в линейных группах // Труды ИММ УрО РАН. Т. 17. 2011. №4. С. 134-141.

5. Койбаев В. А. Разложение трансвекции в элементарной группе // Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ. Т. 5. 2012. Вып. 3. С. 388-392.

6. Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп: 17-е изд. Новосибирск, 2010.

7. Левчук В. М. Замечание к теореме Л.Диксона / / Алгебра и логика. Т. 22. 1983. №5. С. 504517.

8. Нужин Я. Н. Факторизация ковровых подгрупп групп Шевалле над коммутативными кольцами // Журн. СФУ. Сер. Матем. и физ. Т.4. 2011. Вып.4. С. 527-535.

9. Нужин Я. Н. Кольца Ли, определяемые системой корней и набором аддитивных подгрупп основного кольца // Труды ИММ УрО РАН. Т. 18. 2012. №3. С. 195-200.

Статья поступила в редакцию 20 сентября 2012 г.