Разложение элементарной трансвекции в элементарной сетевой группе Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2019, Том 21, Выпуск 3, С. 24-30

УДК 512.5

DOI 10.23671 /VNC.2019.3.36458

РАЗЛОЖЕНИЕ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ТРАНСВЕКЦИИ В ЭЛЕМЕНТАРНОЙ СЕТЕВОЙ ГРУППЕ С. Ю. Итарова1, В. А. Койбаев12

1 Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 46 2 Южный математический институт — филиал ВНЦ РАН, РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: sitarova1991@gmail.com, koibaev-K1@yandex.ru

Аннотация. Работа связана с изучением элементарных сетей (ковров) a = (aij) и элементарных сетевых групп E(a). А именно, приводится разложение элементарной трансвекции в элементарной сетевой группе E(a). Наборы подмножеств (идеалов, аддитивных подгрупп и др.) a = {aij : 1 < i,j < n} определенного ассоциативного кольца с условиями airarj С aij, 1 < i,r,j < n, возникали при решении различных задач. Такие наборы назывались коврами или сетями, а связанные с ними кольца и группы — ковровыми, сетевыми, обобщенными конгруэнц-подгруппами и др. Назовем элементарную сеть (сеть без диагонали) a замкнутой (допустимой), если подгруппа E(a) не содержит новых элементарных трансвекций. Настоящая статья мотивирована вопросом В. М. Левчука (Коуровская тетрадь, вопрос 15.46) о том, что необходимым и достаточным условием допустимости (замкнутости) элементарной сети a является допустимость (замкнутость) всех пар (aij, aji). Другими словами, включение элементарной трансвекции tij (а) в элементарную группу E(a) эквивалентно включению tij(а) в подгруппу {tij(aij),tji(aji)} (для любых i = j). Тем самым становится актуальным разложение элементарной трансвекции tij (а) в элементарной сетевой группе E(a). Рассматривается элементарная сеть порядка n (элементарный ковер) a = (aij) аддитивных подгрупп коммутативного кольца (сеть без диагонали), связанная с a производная сеть ш = (ш-ij), сеть О = (Oij), ассоциированная с элементарной группой E(a), причем ш С a С О и сеть О является наименьшей (дополняемой) сетью, содержащей элементарную сеть a. Пусть R — произвольное коммутативное кольцо с единицей, n — натуральное число, n ^ 2. Система a = (aij), 1 < i,j < n, аддитивных подгрупп aij кольца R называется сетью (ковром) над кольцом R порядка n, если airarj С aij при всех значениях индексов i, r, j. Сеть, рассматриваемая без диагонали, называется элементарной сетью (элементарный ковер). Получено разложение элементарной трансвекции tij(а) из E(a) в произведение tij (а) = ah двух матриц a и h, где a — элемент группы {tij(aij),tji(aji)}, h — элемент сетевой

матриц а и Н, участвующих в разложении элементарной трансвекции ^(а).

Ключевые слова: сеть, ковер, элементарная сеть, сетевая группа, замкнутая сеть, производная сеть, элементарная сетевая группа, трансвекция.

Mathematical Subject Classification (2010): 20G15.

Образец цитирования: Итарова С. Ю., Койбаев В. А. Разложение элементарной трансвекции в элементарной сетевой группе // Владикавк. мат. журн.—2019.—Т. 21, вып. 3.—С. 24-30. DOI: 10.23671/VNC.2019.3.36458.

Работа связана с изучением элементарных сетей (ковров) а = (а^) и элементарных сетевых групп Е(а). Точнее, приводится разложение элементарной трансвекции в элементарной сетевой группе Е(а). Пусть а = (а^) — элементарная сеть (элементарный ковер) аддитивных подгрупп а^ кольца К порядка п [1, 2], [3, вопрос 15.46], ш = (ш^) —

группы

работе получены важные характеристики

1. Введение

© 2019 Итарова С. Ю., Койбаев В. А.

производная сеть для а, О = (Оц) — сеть, ассоциированная с элементарной сетевой группой Е(а), ш С а С О [4, 5]. Получено разложение (теорема) элементарной трансвекции (а) из Е(а) в произведение двух матриц (а) = аН, где а — элемент группы

(Ьц(ау),tji(ац)), а матрица Ь — элемент сетевой группы С(т), где т = ( Тгг ^ ) , шц С

\шзг ТjjJ

тгг С Оц. Уточняется результат [7], полученный ранее, о разложении элементарной транс-векции в элементарной сетевой группе.

Наборы подмножеств (идеалов, аддитивных подгрупп и др.) а = (а^) ассоциативного кольца с условиями аггаrj С а^, 1 ^ г, т,] ^ п, возникали при решении различных задач. Такие наборы назывались сетями или коврами, а связанные с ними кольца и группы сетевыми или ковровыми, обобщенными конгруэнц-подгруппами и др. Назовем элементарную сеть а замкнутой (допустимой), если подгруппа Е(а) не содержит новых элементарных трансвекций. Настоящая статья мотивирована вопросом В. М. Левчука (Коуровская тетрадь, вопрос 15.46) о том, что необходимым и достаточным условием допустимости (замкнутости) элементарной сети а является допустимость (замкнутость) всех пар (а^,аji). Другими словами, включение элементарной трансвекции (а) в элементарную группу Е(а) эквивалентно включению (а) в подгруппу (Ь^(а^),tji(аji)) (для любых г = ]). Тем самым становится актуальным представление элементарной трансвекции (а) в элементарной сетевой группе Е(а). В силу сформулированного результата одна из матриц разложения (а) = аН берется из группы (Ь^(а^),tji(аji)). Поэтому для исследования указанного вопроса В. М. Левчука необходимо получить исчерпывающие данные о второй матрице, которая согласно нашей теореме содержится в сетевой группе С(т). В работе (теорема) получены важные характеристики матриц а и Н, участвующих в разложении.

Существенную роль в работе сыграло определение производной сети, а именно, циклический способ дополнения диагонали элементарной производной сети до полной сети, представленный в [6]. Отметим, что настоящая работа продолжает и уточняет исследования, начатые в [7].

В работе приняты следующие стандартные обозначения: Я — произвольное коммутативное кольцо с единицей, п — натуральное число, п ^ 3, а = (а^) — элементарная сеть над кольцом Я порядка п. Пусть е — единичная матрица порядка п, е^ — матрица, у которой на позиции (г,]) стоит 1, а на остальных местах нули; (а) = е + ае^ — элементарная трансвекция. Положим, далее, (А) = {Ь^(а) : а € А}.

Для элементарной сети (ковра) а мы рассматриваем элементарную сетевую группу Е(а) и ее подгруппу Е^(а), г = ]:

Е(а) = (аV) : 1 < г = 3 < п), (а) = (аV),tji(аji)).

Далее, если а — (полная) сеть, то через С (а) обозначается сетевая группа [1].

2. Производная сеть

Основным содержанием раздела является изложение теоремы вложений, полученной в [6]. Система а = (а^), 1 ^ г,] ^ п, аддитивных подгрупп кольца Я называется сетью (ковром) [1, 2] над кольцом Я порядка п, если а^аrj С а^ при всех значениях индексов г, т, Сеть, рассматриваемая без диагонали, называется элементарной сетью (элементарный ковер) [1, 2], [3, вопрос 15.46]. Таким образом, элементарная сеть — это набор а = (а^), 1 ^ г = ] ^ п, аддитивных подгрупп кольца Я, для которых а^аrj С а^ для любой тройки попарно различных чисел г, т,

Элементарная сеть а = (аг]), 1 ^ г = ] ^ п, называется дополняемой, если для некоторых аддитивных подгрупп (точнее, подколец) ац кольца К таблица (с диагональю) а = (аг]), 1 ^ ^ п, является (полной) сетью. Другими словами, элементарная сеть а является дополняемой, если ее можно дополнить (диагональю) до (полной) сети. Хорошо известно (см., например, [1]), что элементарная сеть а = (а]) является дополняемой тогда и только тогда, когда аг]а]гаг] С аг] для любых г = ]. Диагональные подгруппы ац определяются формулой

агг = ^ акгагк, (1)

к=г

где суммирование берется по всем к, отличным от г.

Пусть а = (аг]) — элементарная сеть над кольцом К порядка п ^ 3. Рассмотрим набор ш = (шг]) аддитивных подгрупп шг] кольца К, определенных для любых г = ] следующим образом:

ш

г]

агк ак],

к=1

где суммирование берется по всем к, отличным от г и Ясно, что Ш] С аг], следовательно, для любой тройки попарно различных чисел г, г, ], мы имеем шггшг] С Ш]. Таким образом, набор ш = (шг]) аддитивных подгрупп шг] кольца К является элементарной сетью. Элементарная сеть ш является дополняемой [6, предложение 1]. Дополним элементарную сеть ш до (полной) сети циклическим способом, предложенным в [6], полагая

шгг = агкаква вг, к=в

где суммирование ведется по всем 1 ^ к = в ^ п. Построенную сеть мы называем производной сетью (для элементарной сети а).

Пусть а = (аг]) — элементарная сеть над кольцом К порядка п. Для произвольных г = ] положим

Ог] — аг] + аг] ^¡г] 1

где

Тг] — Ог]О]г — ^ ^ (а]гаг]) 1 г =

]г т=1

Таблица О = (О]) является элементарной сетью, причем дополняемой, т. е. справедливы включения Ог]С для любых г = ] [4, предложение 5]. В силу формулы (1) дополним элементарную сеть О до (полной) сети стандартным способом, положив Огг = ^к=г ОгкОкг, где суммирование берется по к, к = г. Нетрудно видеть, что

п

Огг ^ ОгкОкг ^ ' Тгк■

к=г к=1,к=г

Сеть О называется сетью, ассоциированной с элементарной группой Е(а).

Предложение 1 [6, теорема 1]. Элементарная сеть а индуцирует производную сеть ш и сеть О, ассоциированную с элементарной группой Е(а), при этом выполняются включения ш С а С О, причем

шгг ^Ог] С— шг], ^Оггшг] С— шг]

для любых г, г, ]. Далее, для любых попарно различных г, г, ] мы имеют место включения: Огг Ог] С шг] ■

Предложение 2 [7, предложение 2]. Пусть а — элементарная сеть порядка п над Я, О — сеть, асссоциированная элементарной группой Е(а). Если а = (5^ + а^) € Е(а), то а^ € О^.

3. Теорема о разложении

На протяжении всего дальнейшего изложения мы предполагаем, что п — натуральное и п ^ 3. Основным результатом раздела является разложение элементарной трансвекции (а) € Е(а) в элементарной сетевой группе Е(а). Для простоты, не умаляя общности, мы предполагаем, что г = 2, ] = 1.

По данным сетям ш = (ш^) и О = (О^), определенным для элементарной сети а, мы построим новую сеть т следующим образом. В элементарной сети О на позицию (1, 2) вместо О12 поставим Ш12, а на позицию (2, 1) вместо О21 поставим ш>21. Согласно предложению 1 таблица, полученная таким образом, будет элементарной сетью, причем она является дополняемой элементарной сетью. Дополним ее до (полной) сети следующим образом. А именно, положим тгг = Огг, г = 3,... ,п,

Т11 = Ш11 + О13О31 + ... + ОЫОП1, Т22 = Ш22 + О23О32 + ... + О2пОП2■ Построенная сеть имеет вид

( Т11 Ш12 О13 . . Оы\

Ш21 Т22 О23 . . О2п

т = О31 О32 О33 . . О3п

\Оп1 Оп2 О п3 . . О пп

В силу предложения 1 построенная таблица О = (О^) является (полной) сетью. Лемма 1. Имеют место включения

Т11О12 С Ш12, О12Т22 С Ш12, Т22О21 С Ш21, О21Т11 с Ш21, (2)

712Т11 с Ш11 П Ш22, 712Т22 С Ш11 П Ш22. (3)

< Доказательства формул (2) повторяют друг друга, поэтому мы воспроизводим одно из них. Докажем, например, включение Т22О21 С ш>21. Для доказательства последнего включения достаточно показать, что (ш22)О21 С Ш21 и при г ^ 3 имеет место включение О21Ог2О21 С Ш21. Оба этих включения вытекают непосредственно из предложения 1.

Докажем формулы (3). Докажем, например, включение 712т22 С ш11 П ш22. Согласно предложению 1 (712 = О12О21) мы имеем О21О12ш22 С О21ш12 С ш11 П ш22, далее,

О21О 12О2гО^2 С О21Ш>1гОг2 С О21Ш12 С Шц П Ш22, г ^ 3. О

Рассмотрим подгруппу

Н = {из(аг]) : 1 < г = ; < п; {г, Л = {1, 2}>,

порожденную подгруппами tгj (ац) на всех позициях, за исключением позиций (1,2) и (2,1). Очевидно, что Н С Е(т) С С(т).

Следующее предложение доказывается простым «вытаскиванием» элементарных трансвекций ^(0, С € а12, Ь21((), С € а21.

Предложение 3. Справедливо равенство Е(а) = Е12(а)Н, где Н С Е(т) С С(т).

Предложение 4. Пусть ^(а) € Е(а). Тогда ¿^(а) = аН, а € Е\2(а), Н € С(т),

а = Ч (1 Г 1 +0 • Ч, Н = Ч I1 ¿'Г 1 X) ■ -'),

(1 0\ = /1 + ап ау \ /1 + Ни Ну \ ^

V« V V а'1 1 + а'')\ Н'1 1 + Н'') 1 ()

ац = Н'', аау € шц П ш'', апа € ш'1, а - а'1 € ш'1, (5)

агг,Нгг € тц П т" П ^1', шц П ш'', г] = 1,2. (6)

< Согласно предложению 3 нам нужно доказать включения (5) и (6). Заметим в начале, что из Н,Н~1 € С(т) следует, что Нц,Н" € тц П Т". Из включения а € Еу(а) мы имеем ац,а" € а'1 € О'1. Далее, согласно предложению 2 мы имеем а € О'\.

Согласно предложению 3 имеем включение Е(а) С Еу(а)С(т). Следовательно,

а) = аН, а € Е1'(а), Н € С(т).

Докажем включения (5). Из (4) следует равенство

/1 + а" -ау \ /1 0\ = /1 + Нц Ну \ (7)

V -а'1 1 + аи) у а 1) V Н'1 1 + Н'') '

Отсюда, в частности, а11 = Н", ау = -Ну. Далее, имеем [2, лемма 1] т''О'1 С ш'1, откуда Н22О21 С ш21, а потому (а11 = Н22) а11О21 С ш21, следовательно, (а € О21) а11а € ш'1. В силу (7) мы имеем -а'1 + а + аа11 = Н'1 € ш'1, но согласно доказанному а11а € ш'1, следовательно, а - а'1 € ш'1. Отметим, наконец, что включение аа1' € ш11 П ш22 вытекает из предложения 1.

Докажем включения (6). Согласно замечанию, сделанному в начале доказательства теоремы, мы имеем включение а11 = Н" € т11 П т" П 71'. Далее, из (7) а'' — аа1' = Н11, но согласно доказанному аа12 € ш11 П ш22 С т11 П т22. Согласно замечанию, сделанному в начале доказательства теоремы, Н11 € т11 П т", поэтому а'' € т11 П т", но а'' € 71', откуда а'' € тц П т" П 71'. С другой стороны, аау € О'1шу С О'1О1' С 71', поэтому Н11 € т11 П т'' П 71'. Таким образом, мы показали, что агг, Нгг € т11 П т" П 71', г = 1, 2. Но теперь из последнего включения и (3) вытекает справедливость включений (щац, ацНц, НцНц € шц П ш", г] = 1,2. >

Теорема. Пусть п ^ 3, ¿'1(а) € Е(а). Тогда ¿'1(а) = аН, а € Е1'(а), Н € С(т). Если

а = Ч С Г ! +'0 ■ -') ■ Н = Ч (' ¡Л" : X) • -') ■

и выполнено (4), то агг, Нгг € т11 П т" П 71', г = 1, 2,

а, а'1 € О'1, а - а'1 € ш'1, ау,Ну € шу, Н'1 € ш'1, (8)

а'' + ап, а'' - Нц, а'' + Н", Нц + Н", Нц + ац € шц П ш", (9)

< Представление Ь'1(а) = аН, а € Е1'(а), Н € С(т) вытекает из предложения 4. Включения агг, Нгг € т11 П т'' П 71', г = 1, 2, и включения (8) следуют также из предложения 4.

Докажем включения (9). Из (7) мы имеем а'' - ауа = Н11, откуда а'' - Н11 = а1'а € ш11 П ш" (см. предложение 4, формулу (5)). Далее, из (6) следует, что а11а" € ш11 П ш'', а из предложения 1 (так как а'1 € О'1, ау € ш1') следует включение а'1а1' € ш11 П ш''. Но так как ёе1(а) = 1, то а'' + а11 € ш11 П ш>". Далее, а11 = Н", поэтому а'' + Н'' € ш11 П ш''. Аналогично, из того, что ёе1(Н) = 1 и того, что НцН" € ш11 П ш>" следует включение Н11 + Н" € ш11 П ш>". Наконец, из равенства а11 = Н" мы имеем Н11 + ац € шц П ш''. >

Литература

1. Боревич З. И. О подгруппах линейных групп, богатых трансвекциями // Зап. науч. семинаров ЛОМИ.—1978.—Т. 75.-С. 22-31.

2. Левчук В. М. Замечание к теореме Л. Диксона // Алгебра и логика.—1983.—Т. 22, № 5.—С. 504-517.

3. Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп. Изд-е 17-е.—Новосибирск, 2010.

4. Койбаев В. А. Замкнутые сети в линейных группах // Вестн. СПбГУ. Сер. 1.—2013.—№ 1.— С. 25-33.

5. Койбаева В. А., Нужин Я. Н. Подгруппы групп Шевалле и кольца Ли, определяемые набором аддитивных подгрупп основного кольца // Фундамент. и прикл. матем.—2013.—Т. 18, № 1.—С. 75-84.

6. Джусоева Н. А., Итарова С. Ю., Койбаев В. А. О вложении элементарной сети в промежуток сетей // Алгебра, теория чисел и дискретная геометрия: современные проблемы, приложения и проблемы истории: Материалы XVI Междунар. конф., посвящ. 80-летию со дня рождения проф. Мишеля Деза (Тула, 13-18 мая 2019 г.).—2019.—С. 73-74.

7. ДряеваР. Ю., Койбаев В. А. Разложение элементарной трансвекции в элементарной группе // Вопросы теории представлений алгебр и групп. 28, Зап. научн. сем. ПОМИ.—2015.—Т. 435.—С. 33-41.

Статья поступила 26 марта 2019 г. Итарова Светлана Юрьевна

Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, аспирант кафедры алгебры и геометрии РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 46 E-mail: sitarova1991@gmail.com

Койбаев Владимир Амурханович Южный математический институт — филиал ВНЦ РАН ведущий научный сотрудник отдела функц. анализа РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22;

Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова,

заведующий кафедрой алгебры и геометрии

РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 46

E-mail: koibaev-K1@yandex.ru

http://orcid.Org//0000-0002-5142-2612

Vladikavkaz Mathematical Journal 2019, Volume 21, Issue 3, P. 24-30

DECOMPOSITION OF ELEMENTARY TRANSVECTION IN ELEMENTARY NET GROUP

Itarova, S. Y.1 and Koibaev, V. A.1,2

1 North-Ossetian State University, 46 Vatutin St., Vladikavkaz 362025, Russia;

2 Southern Mathematical Institute VSC RAS, 22 Marcus St., Vladikavkaz 362027, Russia E-mail: sitarova1991@gmail.com, koibaev-K1@yandex.ru

Abstract. The paper deals with the study of elementary nets (carpets) a = (aij) and elementary net groups E(a). Namely, decomposition of an elementary transvection in elementary net group E(a) is given. The colections of subsets (ideals, additive subgroups and etc.) a = {aij : 1 < i, j < n} of an associative ring with the conditions airarj C aij, 1 < i,r,j < n, arose in a different situations. Such collections are called carpets or nets and a rings, while the associated groups are called carpet (net, congruence, etc.) subgroups. An elementary net (a net without diagonal) a is closed (admissible) if the subgroup E(a) does not contain new elementary transvections. The study was motivated by the question of V. M. Levchuk (The Kourovka notebook, question 15.46) whether or not a necessary and sufficient condition for the admissibility (closure)

of the elementary net a is the admissibility (closure) of all pairs (aij,aji). In other words, the inclusion of an elementary transvection tij (a) in the elementary group E(a) is equivalent to the inclusion of tij (a) in the subgroup (tij(aij),tji(aji)} (for any i = j). Thus, the decomposition of elementary transvection tij(a) in the elementary net group E(a) becomes relevant. We consider an elementary net a = (aij) (elementary carpet) of the additive subgroups of a commutative ring of order n, a derived net u = (uij) depending on the net a, the net Q = (Qij) associated with the elementary group E(a), where u C a C Q and the net Q is the least (complemented) net among all the nets which contain the elementary net a. Let R be a commutative unital ring and n £ N, n ^ 2. A set a = (aij), 1 < i, j < n, of additive subgroups aij of the ring R is said to be a net or a carpet over the ring R of order n if airarj C aij for all i, r, j. A net without diagonal is said to be elementary net or elementary carpet. We prove that every elementary transvection tij (a) £ E(a) can be decomposed tij (a) = ah into a product of two matrices a and h, where a is a member of the group

(tij(aij),tji(aji)}, h is a member of the net group G(t), where t = ( Tii Uij ), uii C Tii C Qii. Important

\uji Tjj J

characteristics of matrices a and h involved in the decomposition of elementary transvection tij (a) were also obtained in the paper.

Key words: nets, carpets, elementary net, net group, closed net, derivative net, elementary net group, transvections.

Mathematical Subject Classification (2010): 20G15.

For citation: Itapova, S. Y., Koibaev, V. A. Decomposition of Elementary Transvection in Elementary Net Group, Vladikavkaz Math. J., 2019, vol. 21, no. 3, pp. 24-30 (in Russian). DOI: 10.23671/VNC.2019.3. 36458.

References

1. Borevich, Z. I. Subgroups of Linear Groups Rich in Transvections, Journal of Soviet Mathematics, 1987, vol. 37, no. 2, pp. 928-934. DOI: 10.1007/BF01089083.

2. Levchuk, V. M. A Note to L. Dickson's Theorem, Algebra i logika [Algebra and Logic], 1983, vol. 22, no. 4, pp. 421-434 (in Russian).

3. The Kourovka Notebook: Unsolved Problems in Group Theory, issue 17, Novosibirsk, Russ. Acad. of Sciences, Siberian Div., Inst. of Mathematics, 2010 (in Russian). DOI: 10.3103/s1063454113010056.

4. Koibaev, V. A. Closed Nets in Linear Groups, Vestnik St. Petersburg University. Mathematics, 2013, vol. 46, no. 1, pp. 14-21. DOI: 10.3103/S1063454113010056.

5. Koibaev, V. A. and Nuzhin, Y. N. Subgroups of the Chevalley Groups and Lie Rings Definable by a Collection of Additive Subgroups of the Initial Ring, Journal of Mathematical Sciences, 2014, vol. 201, no. 4, pp. 458-464. DOI: 10.1007/s10958-014-2006-9.

6. Dzhusoeva, N. A., Itarova, S. Y. and Koibaev, V. A. On the Embedding an Elementary Net Into a Gap of Nets, XVI International Conference «Algebra, Number Theory and Discrete Geometry: Modern Problems, Applications and Problems of History» dedicated to the 80th anniversary of the birth of Prof. Michel Desa (May 13-18, 2019, Tula), 2019, pp. 73-74. (in Russian).

7. Dryaeva, R. Y. and Koibaev, V. A. Decomposition of Elementary Transvection in Elementary Group, Journal of Mathematical Sciences, 2016, vol. 219, no. 4, pp. 513-518. DOI: 10.1007/s10958-016-3123-4.

Received 26 March, 2019

svetlana y.itarova

North-Ossetian State University,

46 Vatutin St., Vladikavkaz 362025, Russia,

Graduate Student

E-mail: sitarova1991@gmail.com

Vladimir a. Koibaev

Southern Mathematical Institute VSC RAS,

22 Markus St., Vladikavkaz 362027, Russia,

Leading Researcher;

North-Ossetian State University,

46 Vatutin St., Vladikavkaz 362025, Russia,

Professor, Head of Department

E-mail: koibaev-K1@yandex.ru

https://orcid.org/0000-0002-5142-2612