Теорема о вложении элементарной сети Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2018, Том 20, Выпуск 2, С. 57-61

УДК 512.5

DOI 10.23671 /VNC.2018.2.14721

ТЕОРЕМА О ВЛОЖЕНИИ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ СЕТИ

Н. А. Джусоева, С. Ю. Итарова, В. А. Койбаев

Посвящается 65-летию Анатолия Георгиевича Кусраева

Аннотация. Пусть Л — произвольное коммутативное кольцо с единицей, n — натуральное число, n ^ 2. Система а = (а,), 1 ^ i,j ^ n, аддитивных подгрупп а, кольца Л называется сетью (ковром) над кольцом Л порядка n, если OirOrj С Oij при всех значениях индексов i, г, j. Сеть, рассматриваемая без диагонали, называется элементарной сетью. Элементарная сеть а = (а,), 1 < i = j < n, называется дополняемой (до полной сети), если для некоторых аддитивных подгрупп (точнее, под-колец) aii кольца Л таблица (с диагональю) а = (aij), 1 < i, j < n является (полной) сетью. Другими словами, элементарная сеть а является дополняемой, если ее можно дополнить (диагональю) до (полной) сети. Пусть а = (aij) — элементарная сеть над кольцом Л иорядкa n. Рассмотрим набор ш = (ш,) аддитивных подгрупп ш, кольца Л, определенных для любых i = j формулой ш, = Y1 П=1 aik ак,, где суммирование берется по всем k, отличшм от in j. Набор ш = (ш, ) аддитивных подгрупп шij кольца Л является элементарной сетью, которую мы называем элементарной

ш

собом, а также другим способом, который мы предлагаем в статье. Вводится также понятие сети П = (П,), которую мы называем сетью, ассоциированной с элементарной группой Е(а). Следую-

а

производную сеть ш = (ш,) и сеть П = (П,), ассоциированную с элементарной группой Е(а), причем ш С а С П. Если ш = (ш,) дополнить диагональю до полной стандартным способом, то для произвольного r и любых i = j будет шirOrj С ш, и Oirшгj С ш,. Если же ш = (ш,) дополнить диагональю до полной вторым способом, то последние включения выполняются для любых i, r, j.

Ключевые слова: сети, элементарные сети, сетевые группы, производная сеть, элементарная сетевая группа, трансвекцпя.

В работе приняты следующие стандартные обозначения. Пусть e — единичная матрица порядка n, eij — матрица, у которой на позиции (i,j) стоит 1, а на остальных местах нули; tij (a) = e + aej — элементарная трансвекция. Положим, далее,

tij(A) = {tij(a) : a G A}.

Для элементарной сети (ковра) а через E(a) обозначается элементарная сетевая группа:

E(а) = (tij (atj) : 1 < i = j < n). Далее, если а — сеть, то через G(a) обозначается сетевая (ковровая) группа flj. © 2018 Джусоева Н. А., Итарова С. Ю., Койбаев В. А.

Пусть Л — произвольное коммутативное кольцо с единицей, n — натуральное число n ^ 2. Система о = (оц), 1 ^ i, j ^ n, аддитивных подгрупп оц кольца Л называется сетью (ковром) [2, 3J над кольцом Л порядка n, если

0ir 0rj — 0ij

при всех значениях индексов i, r, j. Сеть, рассматриваемая без диагонали, называется элементарной сетью (элементарным ковром) [1, 2], [3, вопрос 15.46].

Определение 1. Элементарная сеть о = (оц), 1 ^ i = j ^ n, называется дополняемой (до полной сети), если для некоторых аддитивных подгрупп (точнее, подколец) оц кольца Л таблица (с диагональю) о = (оц), 1 ^ i, j ^ n является (полной) сетью.

о

(диагональю) до (полной) сети.

Хорошо известно, что элементарная сеть о = (оц) является дополняемой тогда и только тогда, когда (см. [1])

(1)

для любых i = j. Диагональные подгруппы оц определяются формулой

°ii = ^ оkiоik, (2)

k=i

где суммирование берется по всем k отличным от i.

Пусть о = (оц) — элементарная сеть над кольцом Л порядкa n. Рассмотрим набор о1 = ш = (шц) аддитивных подгрупп шц кольца Л, определенных для любых i = j следующим образом:

n

шц = ^ о^к окц 1 к=1

где, очевидно (так как о — элементарная сеть), суммирование берется по всем k, отличным от i и j. Ясно, что шц — оц, следовательно, для любой тройки попарно различных чисел i, r, j, мы имеем — шц. Таким образом, набор ш = (шц) аддитивных под-

групп шц кольц а Л является элементарной сетью, которую мы называем элементарной производной сетью.

Если, например, n = 3, то элементарная производная сеть о1 = ш = (шц) имеет вид

*

о23 о31 о32о21

Элементарная сеть ш = о1 является дополняемой [4, предложение 1], т. е. для нее справедлива формула (1), а потому она дополняется до (полной) сети. Элементарную ш

лой (2). Однако, мы предлагаем еще один (необходимый нам для дальнейшей работы)

ш

шИ = ^ огк'^ks'^si1 (3)

k=s

где суммирование ведется по всем 1 ^ k = s ^ n (ясно, что k = i, s = i).

°13 о32 о12 о23 \

* о21 о13 I .

о31о12 *

Определение 2. Элементарная производная сеть ш, дополненная диагональю либо стандартным способом (формула (2)), либо формулой (3), является сетью, которая называется производной сетью (для а).

Пусть а — (aij) — элементарная сеть над кольцом Л порядка п. Для произвольных i — j положим

Qij — aij + aij Hj'

где Yij — (ajiaij)m. Таблица Q — (Qj) является элементарной сетью, причем допол-

няемой, т. е. справедливы включения QjQjiQj С Qj для любых i — j [4, предложение 5J. Пользуясь формулой (2), дополним элементарную сеть Q до (полной) сети стандартным способом, положив Qü — ^^k=i QifcQfci, где суммирование берется по k, k — i. Нетрудно видеть, что

n

Qii — ^ ^ Y%k. k=1,k=i

Так, например, Q11 — y12 + 713 + • • • + Yin. Заметим, что ш%% С Qii для всякого i. Сеть Q

а

ложение 6J.

Q

пой E(a).

Теорема. Элементарная сеть a индуцирует элементарную производную сеть ш — (ш^) и сеть Q — (Qij), ассоциированную с элементарной группой E(а), причем

ш С а С Q.

Если ш — (ш-ij) дополнить диагональю до полной стандартным способом (формула (2)), то для произвольного г и любых i — j

(Шir QQrj С— ^Üij , QQir ^Ürj С— ш^ . (4)

Если же ш — (ш-ij) дополнить диагональю до полной вторым способом (формула (3)), то включения (4) выполняются для любых i, г, j. Для сетей ш и Q рассмотрим матричные кольца

M(ш) — {a — (aij) : aij £ ш^} С M(Q) — {b — (bj) : bj £ Qj}.

Следствие. В случае дополнения элементарной сети ш формулой (3) матричное кольцо M(ш) является двусторонним идеалом матричного кольца M(Q).

Литература

1. Воревич 3. И. О подгруппах линейных групп, богатых трансвекцпямн // Зап. науч. семинаров ЛОМИ.—1978.—Т. 75.^С. 22-31.

2. Левчук В. М. Замечание к теореме Л. Диксона // Алгебра и логика.^1983.^Т. 22, № 5.—С. 504-517.

3. Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп. Изд-е 17-е.^Новосибирск, 2010.

4. Койбаев В. А. Замкнутые сети в линейных группах // Вестн. СПбГУ. Сер. 1.—2013.—№ 1.—С. 2533.

Статья поступила 24 января 2018 г.

Джусоева Нонна Анатольевна Северо-Осетинский гос. ун-т им. К. Л. Хетагурова РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 46 доцент кафедры алгебры н геометрии E-mail: [email protected]

Итарова Светлана Юрьевна Северо-Осетинский гос. ун-т им. К. Л. Хетагурова РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 46 аспирант кафедры алгебры и геометрии E-mail: sitaroval991iagmail.com

Койваев Владимир Амурханович

Южный математический институт — филиал ВИЦ РАН РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 ведущий научный сотрудник отдела функц. анализа; Северо-Осетинский гос. ун-т им. К. Л. Хетагурова РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 46 заведующий кафедрой алгебры и геометрии E-mail: [email protected] http://orcid.Org//0000-0002-5142-2612

Vladikavkaz Mathematical Journal 2018, Volume 20, Issue 2, P. 57-61

AN EMBEDDING THEOREM FOR AN ELEMENTARY NET Dzhusoeva N. A.1, Itapova S. Y.1, Koibaev V. A.1'2

1 North-Ossetian State University; 2 Southern Mathematical Institute — the Affiliate of VSC RAS

Abstract. Let A be a commutative unital ring and n £ N n ^ 2. A set a = (aij), 1 < i,j < n, of additive subgroups aij of A is said to be a net or a carpet of order n over the ring A if air arj C a j for all i, r, j. A net without diagonal is called an elementary net. An elementary net a = (aij), 1 < i = j < n, is said to

aii A

diagonal) a = (aij), 1 < i,j < n is a full net. Assume that a = (aij) is an elementary net over the ring A of the order n. Consider a set u = (uij) of additive subgroups uij of the ring A, where i = j defined by the rule Uj = n=1 aikakj, k = i; k = j. The set u = (uj) of elementary subgroups Uj of the ring A is an elementary net called an elementary derived net. An elementary net u can be completed to a full net by the standard way. In this article we propose a second way to complete an elementary net to a full net. The notion of a net fi = (Qij) associated with an elementary group E(a) is also introduced. The

a

net u = (uij) and a net fi = (fij) associated with the elementary group E(a) such that u C a C fi. If u = (uij) is completed with a diagonal to the full net in the standard way, then for all r and i = j

uir

firj C uij and fiirurj C uij. If u = (uij) ic completed with a diagonal to the full net in the

irj

Key words: nets, elementary nets, net groups, derivative nets, elementary net groups, transvections.

References

1. Borevich Z. I. Subgroups of Linear Groups Rich in Transvections, Journal of Soviet Mathematics, 1987, vol. 37, no. 2, pp. 928-934. DOI: 10.1007/BF01089083.

2. Levchuk V. M. A Note to L. Dickson's Theorem, Algebra i logika [Algebra and Logic], 1983, vol. 22, no. 4, pp. 421-434 (in Russian).

3. The Kourovka Notebook: Unsolved Problems in Group Theory, issue 17, Novosibirsk, Russ. Acad, of Sciences, Siberian Div., Inst, of Mathematics, 2010 (in Russian). DOI: 10.3103/sl063454113010056.

4. Koibaev V. A. Closed Nets in Linear Groups, Vestnik St. Petersburg University. Mathematics, 2013, vol. 46, no. 1, pp. 14-21. DOI: 10.3103/S1063454113010056.

Received January 24, 2018

Nonna A. Dzhusoeva North-Ossetian State University, 46 Vatutin Street, Vladikavkaz 362025, Russia E-mail: [email protected]

svetlana Y.itarova North-Ossetian State University, 46 Vatutin Street, Vladikavkaz 362025, Russia E-mail: sitaroval991@gmail. com

Vladimir A. Koibaev

Southern Mathematical Institute — the Affiliate of VSC RAS,

22 Markus Street, Vladikavkaz 362027, Russia;

North-Ossetian State University,

46 Vatutin Street, Vladikavkaz 362025, Russia

E-mail: koibaev-K10yandex.ru

https://orcid.org/0000-0002-5142-2612