Циклические элементарные сети Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2017, Том 19, Выпуск 1, С. 26-29

УДК 519.46

ЦИКЛИЧЕСКИЕ ЭЛЕМЕНТАРНЫЕ СЕТИ Н. А. Джусоева, Р. Ю. Дряева

Доказано, что циклические элементарные сети нечетного порядка являются дополняемыми, т. е. их можно дополнить диагональю до (полной) сети. В частности такие сети являются замкнутыми. Показано, что для произвольного четного порядка существуют элементарные циклические сети, которые не являются дополняемыми.

Ключевые слова: промежуточная подгруппа, нерасщепимый максимальный тор, сеть, циклическая сеть, сетевая группа, элементарная сетевая группа, трансвекция.

Изучение надгрупп нерасщепимого максимального тора, связанного с радикальным расширением К = k( \fd) степени п поля к, тесно связанно с циклическими элементарными сетями порядка n, ассоциированными с промежуточными подгруппами [1]. Исследованию таких сетей посвящена данная заметка. Доказано, что циклические элементарные

n

замкнутыми.

Пусть R — произвольное коммутативное кольцо с единицей, n — натуральное число. Система a = (aij), 1 ^ i, j ^ n, аддитивных подгрупп кольца R называется сетью [2] над кольцом R порядка n, если aiirarj С a j при всех значениях индексов i, r, j. Для сети принята также терминология «ковер» [3]. Сеть, рассматриваемая без диагонали, называется элементарной сетью (элементарный ковер [4], [5, вопрос 15.46]). Таким образом, элементарная сеть — это набор a = (aij), 1 ^ i = j ^ n, аддитивных подгрупп кольца R таких, что airarj С aj для любой тройки попарно различных чисел i, r, j. Элементарная сеть a = (aij), 1 ^ i = j ^ n, называется дополняемой, если для некоторых аддитивных подгрупп aii кольца R таблица (с диагональю) a = (aij), 1 ^ i, j ^ n является (полной)

a

дополнить (диагональю) до (полной) сети.

Известно (см., например, [2]), что элементарная сеть a = (aij) является дополняемой тогда и только тогда, когда

aij ajiaij С aij

(1)

для любых i = j. Диагональные подгруппы an определяются формулой

aii = ^ akiaik, k=i

где суммирование ведется по всем k отличным от i. © 2017 Джусоева Н. А., Дряева Р. Ю.

1 Работа выполнена в рамках государственного задания Минобрнауки России и темы НИР ЮМИ ВНЦ РАН (per. номер НИОКР 115033020013).

Элементарная сеть о называется замкнутой (или допустимой [5, вопрос 15.46]), если элементарная группа

Е(о) = (а) : а £ о^-, 1 ^ г = з ^ п)

(¿¿3 (а) = е + авц, а £ К) не содержит новых элементарных трансвекций. Другими словами, замкнутость сети о означает, что элементарная сеть о = (о^-), индуцированная трансвекциями из элементарной группы Е(о)

о^- = {а £ К : ^ (а) £ Е(о)}

о

сети являются замкнутыми. С другой стороны, в [6] приводится пример замкнутой, но не дополняемой сети.

Пусть К — унитальное кольцо й £ К. Пусть, далее, А2,..., Ап — подгруппы аддитивной группы кольца К. Через о = (о^) = о(А2,..., Ап) мы обозначаем таблицу (без диагонали), определенную следующим образом:

о / ¿¡+1-3 > з<г; (2)

оз = 1 л л (2)

Если так определенная таблица является элементарной сетью, то о = (о^-) = о(А2,..., Ап) мы называем циклической элементарной сетью, ассоциированной с циклическим тором тором Т [1], или просто циклической элементарной сетью. Вопросы, связанные с сетями, в частности с циклическими сетями, рассматривались также в [7]-

[Ю].

Теорема. Для нечетного п, п ^ 3 циклическая элементарная сеть о = (о^-) = о(А.2,..., Ап) порядка п является дополняемой.

Доказательство теоремы основано на следующей лемме.

Лемма. Пусть п нечетно, п ^ 3 и о = (о^-) — циклическая элементарная сеть. Тогда о^о^ С о^1, о2^ои С о^, 2 ^ к ^ п. (3)

< а) Покажем первое включение леммы. Пусть в начале 3 ^ к ^ п — 1. Согласно (2) ои = ок+1,2 = А^. Далее, заметим, что к + 1 = п — к + 3, так как п нечетно, в частности к ф Заметим также, что п — к + 3 ^ п, так как к ^ 3. Далее, согласно (2) сг^ст^ =

А| йА

к+2- С другой стороны, СОГЛасно (2) о2,п-к+3 = йА^ оп-к+3,2 = Ап-к+2- Поэтому о21о1к = АкйАп-к+2 = ок+1,2о2,п-к+3оп-к+3,2 С ок+1,2 = ок1-

Пусть теперь к = 2 (п ^ 3). Тогда (см. (2))

о21 о12 = А2йАп = о32о21 о12 С о31о12 С о32 = о21. Наконец, пусть к = п (п ^ 3). Тогда (см. (2))

о^о1п = Ап^А2 = оп1 о12о21 С оп2о21 С оп1.

Ь) Покажем теперь второе включение леммы. Имеем (см. (1))

ок1 = Ак; о1к = йАп-к+2; оп+2-к,1 = Ап+2-к>

28

Джусоева Н. А., Дряева Р. Ю.

при этом отметим, что к = п — к + 2 (так как п нечетно). Поэтому

= Ак^АП+2—к = ёАкСти+2—к,1Ст1к С ёАк&и+2—к,к = (1^и+2-к,к^к1 С к,1 = ёАи+2—к = ^1к- >

< Доказательство теоремы. Для доказательства теоремы согласно (1) нам нужно показать включения

О"2// ^ , С / (4)

Не умаляя общности предположим, что г > Согласно (2)

= СТ г—/+1,1 = Аг-/+1, / = 1,г-/+1 = ёАи+1+/—г.

Положим к = г — ] + 1. Тогда Стг/ = Сткъ / = а1к. Заметим при этом, что 2 ^ к ^ п.

Следовательно, для доказательства включений (4) достаточно применить лемму, т. е. включения (3). >

п

пример элементарной циклической сети четного порядка, которая не дополняема.

Пусть Р - произвольное поле, ^(ж) — поле рациональных функций /,д £ ^[ж], в котором мы рассматриваем две подгруппы

А= {-е Г(х) : йеёд-йеё/ ^Л, В = — + А. 15 J ж

Пусть п = 2т — четно (ш ^ 1), ё = 1. Положим Аг = А, 2 ^ г ^ п г = ш + 1 Ат+1 = В и рассмотрим таблицу ст = ст(А2,..., Аи). В силу очевидных включений А2 С В, АВ С А система ст = ст(А2,..., Аи) является сетью. Заметим, что СТ1,т+1 = стто+1д = В, но В3 не содержится в В, поэтому ст1,т+1 стто+1)1ст1;ТО+1 те содержится в а1;ТО+1, следовательно (см. (1)), представленная сеть ст не является дополняемой.

Следствие. Циклическая элементарная сеть нечетного порядка является замкнутой.

Литература

1. Койбаев В. А., Шилов А. В. О подгруппах полной линейной группы, содержащих нерасщепимый максимальный тор // Зап. науч. семинаров ПОМИ.—2010.—Т. 375.—С. 130-139.

2. Боревич 3. И. О подгруппах линейных групп, богатых трансввкциями jj Зй i i . ну у ч. свминяров ЛОМИ—1978 —Т. 75.—С. 22-31.

3. Каргаполов М. И., Мерзляков К). И. Основы теории групп.—М.: Наука, 1982.—288 с.

4. Левчук В. М. Замечание к теореме Л. Диксона // Алгебра и логика.—1983.—Т. 22, № 5.—С. 504-517.

5. Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп. Изд-е 17-е.—Новосибирск, 2010.

6. Койбаев В. А. Элементарные сети в линейных группах // Труды Института математики и механики УрО РАН.—2011.—Т. 17, № 4.-С. 134-141.

7. Койбаев В. А. Трансвекции в подгруппах полной линейной группы, содержащих нерасщепимый тор // Алгебра и анализ.—2009.—Т. 21, № 5.—С. 70-86.

8. Койбаев В. А. Сети, ассоциированные с элементарными сетями // Владикавк. мат. журн.—2010.— Т. 12, вып. 4.-С. 39-43.

9. Койбаев В. А., Нужин Я. Н. Подгруппы групп Шевалле и кольцз. Ли, определяемые набором аддитивных подгрупп основного кольца // Фундамент, и прикл. матем.—2013.—Т. 18, вып. 1.— С. 75-84.

10. Дряева Р. Ю., Койбаев В. А. Разложение элементарной трансвекции в элементарной группе // Зап. науч. семинаров ПОМИ.—2015.—Т. 435.—С. 33-40.

Статья поступила 14 марта 2016 г. Джусоева Нонна Анатольевна

Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, доцент кафедры алгебры и геометрии РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 46 E-mail: [email protected]

Дряева Роксана Юрьевна

Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, аспирант кафедры алгебры и геометрии РОССИЯ, 362025, Россия, ул. Ватутина, 46 E-mail: [email protected]

CYCLICAL ELEMENTARY NETS Dzhusoeva N. A., Dryaeva R. Y.

Let with the unit and n £ N. A set a = (aij), 1 < i, j < n, of additive subgroups

of the ring R is a net over R of order n, if airarj C aij for all 1 < i,r,j < n. A net which doesn't contain the diagonal is called an elementary net. An elementary net a = (aij), 1 < i = j < n, is complemented, if for some additive subgroups a,i of R the set a = (aij), 1 < i, j < n is a full net. An elementary net a is called closed, if the elementary group E(a) = {tij (a) : a £ aij, 1 < i = j < n) doesn't contain elementary transvections. It is proved that the cyclic elementary odd-order nets are complemented. In particular, all such nets are closed. It is also shown that for every odd n £ N there exists an elementary cyclic net which is not complemented.

Key words: intermediate subgroup, non-split maximal torus, net, cyclic net, net group, elementary group, transvection.