CC BY
9
Владикавказский математический журнал 2010, Том 12, Выпуск 4, С. 39-43
УДК 519.46
СЕТИ, АССОЦИИРОВАННЫЕ С ЭЛЕМЕНТАРНЫМИ СЕТЯМИ
В. А. Койбаев
Работа посвящена изучению сетей и элементарной группы, связанной с сетью. По элементарной сети a = (aij) (т. е. сети без диагонали) аддитивных подгрупп aij, i = j, коммутативного кольца R c единицей строятся две сети: сеть , ассоциированная с а, и сеть , ассоциированная с элементарной группой E(a), причем на недиагональных позициях справедливы включения С а С .
Ключевые слова: сети, сетевые группы, элементарная группа, трансвекция.
Пусть R — произвольное коммутативное кольцо с единицей, n — натуральное число. Система
a = (aij), 1 ^ i,j ^ n,
аддитивных подгрупп кольца R называется сетью [1] над кольцом R порядка n, если
air arj С aij
при всех значениях индексов i, r, j. Сеть принято также называть ковром [2].
Сеть, рассматриваемая без диагонали, называется элементарной сетью (элементарным ковром [3, 4], вопрос 15.46). Таким образом, элементарная сеть это набор a = (aij), 1 ^ i = j ^ n, аддитивных подгрупп кольца R, для которых airarj С aj для любой тройки попарно различных чисел i, r, j. Хорошо известно, что элементарную сеть можно дополнить до (полной) сети тогда и только тогда, когда
aijajiaij С aij
для любых i = j (см., например, [1]).
Если A, B — подгруппы аддитивной группы кольца R, то через AB мы обозначаем подгруппу аддитивной группы кольца R, порожденную всеми произведениями ab, a G A, b G B.
Пусть e — единичная матрица порядка n, ej — матрица, у которой на позиции (i, j) стоит 1, а на остальных местах нули. Если a G R, то через tj (а) = e + aej обозначается элементарная трансвекция. Положим, далее,
tij(A) = {tij(a) : a G A}.
Для элементарной сети (или сети) a через E(a) обозначается элементарная группа:
E(a) = (tij (aij) : 1 ^ i = j ^ n).
Далее, если и — сеть, то через G(u) обозначается сетевая группа [1].
На протяжении всей статьи предполагается, что n — натуральное число, n ^ 3, a = (aij) — элементарная сеть над кольцом R порядка n.
© 2010 Койбаев В. А.
1. Сеть, ассоциированная с элементарной сетью
Пусть а = (ац) — элементарная сеть над кольцом К порядка п. Рассмотрим набор ша = ш = (шц) аддитивных подгрупп шц кольца К, определенных для любых г = ] следующим образом:
П
ш%3 ^ ' агк акЦ,
к=1
где, очевидно (так как а — элементарная сеть), суммирование берется по всем к, отличным от г и j. Ясно, что Шц С ац, следовательно, для любой тройки попарно различных чисел г, г, j, мы имеем
Ш%г ШгЦ С ■
Таким образом, набор ша = ш = (шц) аддитивных подгрупп Шц кольца К является элементарной сетью.
Пример. Пусть п = 3. Тогда ша = ш = (шц) имеет вид:
* а1заз2 а12а2з а2заз1 * а21а1з аз2а21 аз1а12 *
Непосредственно из сетевого условия вытекают следующие утверждения.
Лемма 1. Пусть а = (ац) — элементарная сеть. Для подгрупп элементарной сети имеют место следующие утверждения:
(1) если г = j, то (агг агг)(ацг агц ) С (агг агг) П (а цг агц ) П (ац ацг);
(2) если г = г, то агкакгаГц С аггагц; если г = г, к = j, то агкакгаГц С агкакц;
(3) если к = j, то (агкакг)ац С агкакц С ац;
(4) (цикл) имеет место включение
а гкакгагг С (аггагг) П (акгагк) П (агкакг);
(5) если г = j, то (т — натуральное) (агкакц)(агцацг)т С агкакц ■
Предложение 1. Элементарная сеть ш = ша является дополняемой, т. е. дополняется до (полной) сети. Другими словами, для любых г = j
шгц шцгшгц С шгц ■ (1)
Элементарную сеть ш можно дополнить до (полной) сети стандартным способом, полагая для произвольного г, 1 ^ г ^ п,
шгг ^ ' шкгшгк, к=г
где суммирование ведется по всем к = 1, 2,. ■ ■ ,п, к = г. Однако мы предлагаем другой (необходимый нам для дальнейшей работы с элементарными группами) способ дополнения элементарной сети ш до полной. Для любых г = j положим (прямая сумма)
ГО
Ъз = )т ■
т=1
Тогда диагональные элементы Шц, 1 ^ i ^ n, определим следующим образом:
(2)
k=s
где суммирование ведется по всем 1 ^ к = в ^ п (ясно, что к = г, в = г). Если, например, п = 3, то ш11 = ш22 = ш33 = 712 П 713 П 723.
Ясно, что шц состоит из сумм элементов вида
Ш\
t(i, k,s) — Е (OikOki)m n E(OisOsiY П E(UskVks)1.
(3)
m=i
p=i
Лемма 2. Пусть i, j, k, p, m — натуральные, причем i, j, k попарно различны. Тогда
(oijOji) (oik°ki)‘P C (oijOji) П (oikOki)^ n (okjOjk)^>
где q — min (m,p). В частности,
(OijOji)m(OikOki)p C Yij n Yik n Ykj•
Предложение 2. Элементарная сеть ш, дополненная диагональю по формуле (2), является (полной) сетью.
Определение. Пусть о — элементарная сеть, тогда (полную) сеть ша — ш, определенную формулой (2), мы называем сетью, ассоциированной с о.
Предложение 3. Пусть о — элементарная сеть, ша — ш, сеть, ассоциированная с о, r — j. Тогда для любых i, r мы имеем
В этом параграфе мы построим сеть связанную с элементарной группой. В основе построения такой сети лежит следующее утверждение.
Пусть а, в С К+ — подгруппы аддитивной группы кольца К. Рассмотрим элементарную сеть То второго порядка
(4)
2. Сеть, ассоциированная с элементарной группой
Положим
Y — J2(ai} )k ■
k=1
Предложение 4. Рассмотрим элементарную группу
Е(оо) — (t2i(ß), ti2(a)).
Если a £ Е(о0),
1 + aii ai2 a2i 1 + a22
то
0,11,0,22 € 1, 012 € а + а(121 € в + в!-
Доказательство предложения проводится простыми вычислениями.
Замечание. Символ ^£=0 обозначает прямую сумму групп, т. е. если 9 € ^£=0, то для некоторого п мы имеем 9 € ^П=о.
Пусть т = (тц ) — элементарная сеть над кольцом К порядка п, Тц € К+, г = ]. Для произвольных г = ] положим
— тц + тц ,
где
ъз = ^2(тити )т - (5)
т=1
Лемма 3. Если г = ], то шц^гз С шц.
Предложение 5. Таблица &а = & = &ц является элементарной сетью, причем дополняемой, т. е. справедливы включения
для любых г = ] .
В силу предложения 5 дополним элементарную сеть & до (полной) сети, положив
&гг = ^ ' &гк&кг,
к=г
где суммирование берется по к = 1, 2,... ,п, к = г. Нетрудно видеть, что
п
&гг 1гк -
к=1, к=г
Так, например,
&11 = 712 + 713 + -.. + 71п-Заметим, что шц С &ц для всякого г.
Так, определенную (полную) сеть & = &а мы называем сетью ассоциированной с элементарной группой Е(т) для элементарной сети т.
Ясно, что ша ^ &а и (для недиагональных позиций) ша ^ т ^ &а.
Сети &а и ша связаны следующим предложением.
Предложение 6. Для любых г, Г, ] имеем
Автор приносит искреннюю благодарность В. М. Левчуку и Я. Н. Нужину за плодотворные беседы в г. Красноярске, результатом которых явилась настоящая работа.
Литература
1. Боревич З. И. О подгруппах линейных групп, богатых трансвекциями // Зап. науч. семинаров ЛОМИ.—1978.—Т. 75.—С. 22-31.
2. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп.—М.: Наука, 1982.—288 с.
3. Левчук В. М. Замечание к теореме Л. Диксона // Алгебра и логика.—1983.—Т. 22, № 5.—С. 504-517.
4. Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп. Изд. 17-е, дополненное.—Новосибирск: ИМ СО РАН, 2010.—219 с.
Статья поступила 15 октября 2010 г.
КойБАЕв Владимир Амурханович Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова,
заведующий кафедрой алгебры и геометрии РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 46; Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, ведущий научный сотрудник лаб. теории операторов РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: [email protected]
NETS ASSOCIATED WITH THE ELEMENTARY NETS Koibaev V. A.
For an elementary net (i. e. a net without diagonal) a = (dj) of additive subgroups aj, i = j, of a commutative ring R with 1 two nets are constructed: the net o>CT associated with a and the net associated with the elementary group E(a), and (on the off-diagonal positions) we have o>CT C a C .
Key words: nets, net groups, elementary group, transvection.
