Элементарная сеть, ассоциированная с элементарной группой Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2016, Том 18, Выпуск 3, С. 31-34

УДК 512.5

ЭЛЕМЕНТАРНАЯ СЕТЬ, АССОЦИИРОВАННАЯ С ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ГРУППОЙ

Р. Ю. Дряева, В. А. Койбаев1

Для элементарной сети П, ассоциированной с элементарной сетевой группой Е(а) (определенной для элементарной сети а) доказывается, что она является наименьшей дополняемой элементарной сетью, содержащей элементарную сеть а. Устанавливается связь между элементарной сетью П и производной сетью ш (определенной для элементарной сети а).

Ключевые слова: ковер, элементарный ковер, сеть, элементарная сеть, элементарная группа, трансвекция.

Пусть R — произвольное коммутативное кольцо с единицей, n — натуральное число, n ^ 3. Система а = (ац), 1 ^ i,j ^ n, аддитивных подгрупп кольца R называется сетью [1] над кольцом R порядка n, если а^ац С ац при всех значениях индексов i r, j. Для сети принята также терминология «ковер» [2]. Сеть, рассматриваемая без диагонали, называется элементарной сетью (элементарный ковер [3, 4, вопрос 15.46]). Для элементарной сети в [5] введено понятие производной элементарной сети.

Пусть е — единичная матрица порядка n, ец — матрица, у которой на позиции (i, j) стоит 1, а па остальных местах нули. Если а £ R, то через tj (а) = е + аец обозначается элементарная трансвекция. Положим, далее, tj(A) = {tj(а) : а £ A}.

Для элементарной сети а через Е(а) обозначается элементарная сетевая группа:

E(а) = (tij (ац) : 1 < i = j < n).

Элементарная сеть а = (ац), 1 ^ i = j ^ n, называется дополняемой, если для некоторых аддитивных подгрупп ац кольцa R таблица (с диагональю) а = (ац), 1 ^ i,j ^ n, является (полной) сетью. Элементарная сеть а = (ац) является дополняемой (см., например, [1]) тогда и только тогда, когда ацац^ац С ац для любых i = j .

а

элементарную сеть а = (ац), индуцированную трансвекциями из элементарной группы E(а). Точнее, посмотрим, какие элементарные трансвекции появились (содержатся) в E(а). А именно, для любых i = j положим

ац = {а £ R : ti4(а) £ Е(а)}.

Очевидно, что ац — аддитивные группы и в силу известного коммутаторного соотноше-

irj

[tir (а), Ъгц (в)] = нц (ав) мы имеем (jiirагц С ац, а потому таблица а = (оц)= является элементарной сетью.

© 2016 Дряева Р. Ю., Койбаев В. А.

1 Работа выполнена в рамках государственного задания Минобрнауки России и темы НИР ЮМИ ВНЦ РАН (per. номер НИОКР 115033020013).

Определение. Элементарную сеть а мы называем замыканием сети ст. Если ст = ст, то сеть ст мы называем замкнутой (или допустимой).

Предложение 1. Всякая дополняемая элементарная сеть является замкнутой.

< Пусть ст = (ст^) — дополняемая элементарная сеть (и мы дополнили ее диагональю до (полной) сети). В этом случае в силу сетевого соотношения ст^гстп- С ст^ (выполненное для всех 1 ^ г, г, ] ^ п) множество матриц

М(ст) = {а = (а^-) : а^ £ ст^, 1 ^ г, ] ^ п}

является кольцом, следовательно, е+М(ст) — полугруппа, в частности, Е(ст) С (е+М(ст)), а потому никаких новых элементарных трансвекций в Е{а) быть не может: если а £ ст^-, т. е. ^(а) € Е(а), то ^(а) £ (е + М(ст)) => аец £ М(ст) => а £ а^ => ст = ст. >

С другой стороны в [6] приводятся примеры замкнутых сетей, которые не являются дополняемыми. Интерес к дополняемым сетям состоит в том, что по таким сетям строятся сетевые группы [1].

Пусть а, в — подгруппы аддитивной группы кольца Д. Для элементарной сети т второго порядка

а чв *

положим 7 = ^&=1(ав )к -Рассмотрим элементарную группу Е (т) = (¿21 (в), ¿12 (а))-

Можно показать, что если а £ Е(т), а = ( 1 + а11 а12 ), то ац, а22 £ 7, а12 £ а + 0:7,

а21 1 + а22

а21 £ в + вТ- Последнее замечание индуцирует следующее построение. Для любых г = ^ положим

т

= ¿^(ст]гст3 ) т=1

Для произвольных г = ^ положим = ст^ + ст^7^ -

Предложение 2 [5, предложение 5]. Таблица ^ = (^ ), 1 ^ г = ^ ^ п, является дополняемой элементарной сетью.

С другой стороны в [5] для элементарной сети определяется производная элементарная сеть. А именно, Пусть ст = (ст^) — элементарная сеть над кольцом Д порядка п. Рассмотрим набор ш = (ш^) аддитивных иодгрупп кольца Д, определенных для любых г = ] следующим образом:

стгк сткз ,

к=1

где, очевидно (так как ст — элементарная сеть), суммирование берется по всем к, отличным от г и Ясно, что С ст^-, следовательно, для любой тройки попарно различных чисел г, г, ^ мы имеем

С -

Таким образом, набор ш = (ш^) аддитивных подгрупп ш^, г = ^ кольца Д является элементарной сетью, которую мы называем производной элементарной сетью.

Предложение 3. Для любой тройки попарно различных индексов г, г, ] справедливы включения

С— (ш, ^^¿г С— (ш, (ш¿г С— (ш^з -

шз =

Элементарная сеть, ассоциированная с элементарной группой

33

< Заметим, что второе и третье включения вытекают из первого и того, что шц С Qтj, ШгГ С Поэтому докажем первое.

Пусть %, т, ] — попарно различные натуральные числа. Заметим вначале, что

) С (гт 1 ((гт(тг) С •

Поэтому

((гт + (гт ((гт (тг) )((тj + (тj ((jт (тj ) ) — (гт ((тj &гт (тj ((jт (тj У + ( &гт ((тj )((гт (тг )к ( (Tjт (тj У + (

+ [ Ш ]+ (гт [((тг(гт ) ]

С (гт (тj С Шгj • [>

Как нетрудно видеть, элементарную сеть П — ), 1 ^ г — ] ^ п, можно дополнить до сети кольцами

Пгг — ^ ^ ^гк Пкг1

к=г

где суммирование берется по к — 1, 2, • • • ,п, к — г. Заметим, что

Пii — ^ ^ Y%k ■

к=1, k=i

Так, например, Пи — Y12 + Yi3 + ■ ■ ■ + Yin

Определение. Сеть П — (Пц) мы называем сетью, ассоциированной с элементарной группой E(a) для элементарной сети а.

Ясно, что а С П.

Теорема. Сеть П является наименьшей (дополняемой) сетью, содержащей элементарную сеть а.

< Пусть т — дополняемая сеть и а С т. Покажем, что П С т. Сначала покажем, что для i — j, Пц С T%j. Напомним, что (i — j)

Пij — a%j + a%j (aj%a%j) + a%j (aj%a%j )2 + ■ ■ ■ Имеем aij С т%ц , далее, в силу дополняемости сети т мы имеем тцTjiTj С Tij, а потому

aij (ajiaij) С т%ЦтЦ%т%Ц С т%Ц > из последнего включения мы имеем

aij (ajiaij) С т%Ц (ajiaij) С т%ЦтЦ%т%Ц С т%Ц ■

и так далее. Следовательно, для i — j мы имеем Пц С т^. Далее, в силу того, что мы стандартным образом (т. е. наименьшей диагональю, определенной через недиаго-

П

элементов сети т) дополнили элементарную сеть П диагональю, мы имеем Пц С т%%. >

Литература

1. Боревич 3. И. О подгруппах линейных групп, богатых трансвекциями // Зап. науч. семинаров ЛОМИ.—1978.—Т. 75.-С. 22-31.

2. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп.—М.: Наука, 1982.^288 с.

3. Левчук В. М. Замечание к теореме Л. Диксона // Алгебра и логика.—1983.—Т. 22, № 4.—С. 421-434.

4. Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп. Изд-е 17-е.—Новосибирск, 2010.

5. Койбаев В. А. Сети, ассоциированные с элементарными сетями // Владикавк. мат. журн.—2010.— Т. 12, вып. 4.—С. 39-43.

6. Койбаев В. А., Нужин Я. Н. Подгруппы групп Шевалле и кольцз. Ли, определяемые набором аддитивных подгрупп основного кольца // Фундамент, и прикл. матем.—2013.—Т. 18, вып. 1.— С. 75-84.

Статья поступила 21 декабря 2015 г. Дряева Роксана Юрьевна

Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова, аспирант кафедры алгебры и геометрии РОССИЯ, 362025, Россия, ул. Ватутина, 46 E-mail: dryaeva-roksanaflmail. ru

Койбаев Владимир Амурханович

Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова,

заведующий кафедрой алгебры и геометрии

РОССИЯ, 362025, Россия, ул. Ватутина, 46;

Южный математический институт — филиал ВНЦ РАН,

ведущий научный сотрудник отдела функц. анализа

РОССИЯ, 362025, Россия, ул. Маркуса, 22

E-mail: koibaev-K10yandex.ru

AN ELEMENTARY NET ASSOCIATED WITH THE ELEMENTARY GROUP

Dryaeva R. Y., Koibaev V. A.

Let R be an arbitrary commutative ring with identity, n be a positive integer, n ^ 2. The set a = (aij), 1 ^ i,j ^ n, of additive subgroups of the ring R is called a net (oi carpet) over the ring R of order n, if the inclusions airarj C aij hold for all i, r, j. The net without the diagonal, is called an elementary net. The elementary net a = (aij), 1 < i = j < n, is called complemented., if for some additive subgroups aii of the ring R the set a = (aij), 1 < i, j < n is a (full) net. The elementary net a = (aij) is complemented if and only if the inclusions aijajiaij C aij hold for any i = j. Some examples of not complemented elementary nets are well known. With every net a can be associated a group G(a) called a net group. This groups are important for the investigation of different classes of groups.

It is proved in this work that for every elementary net a there exists another elementary net fi associated with the elementary group E(a). It is also proved that an elementary net fi associated with the elementary group E(a) is the smallest elementary net that contains the elementary net a.

Key words: carpet, elementary carpet, net, elementary net, net group, elementary group, transvection.