CC BY
10
Владикавказский математический журнал 2011, Том 13, Выпуск 3, С. 36-41
УДК 519.46
ЗАМКНУТЫЕ ПАРЫ1 В. А. Койбаев
Работа посвящена изучению замкнутых пар абелевых групп (замкнутых элементарных сетей степени 2). Элементарная сеть а (сеть без диагонали) называется замкнутой, если ее элементарная группа Е(а) не содержит новых элементарных трансвекций. Установлено, что пара аддитивных подгрупп кольца многочленов от одной переменной с коэффициентами из области целостности является замкнутой.
Ключевые слова: сеть, элементарная сеть, замкнутая сеть, сетевая группа, элементарная группа, трансвекция.
1. Введение
Напомним, что элементарная сеть а (сеть без диагонали) называется замкнутой, если ее элементарная группа Е(а) не содержит новых элементарных трансвекций. Замкнутые пары мы строим из подгрупп кольца многочленов.
Пусть Й1[ж] — кольцо многочленов (от переменной х с коэффициентами из области целостности К) с нулевым свободным членом.
Основным результатом является следующая теорема.
Теорема. Пусть А, В — аддитивные подгруппы из К1 [х]. Тогда пара (А, В) является замкнутой. Другими словами, если ¿12 (в) или ¿21 (а) содержится в элементарной группе (¿21 (А), ¿12(В)), то в е В, а е А.
Мы пользуемся следующим стандартным набором определений и обозначений. Пусть Л — произвольное коммутативное кольцо с 1. Если А, В — подгруппы аддитивной группы кольца Л, то через АВ мы обозначаем подгруппу аддитивной группы кольца Л, порожденную всеми произведениями аЬ, а е А, Ь е В.
Пусть е — единичная матрица порядка п, е^ — матрица, у которой на позиции (г, ]) стоит 1, а на остальных местах нули. Если а е Л, то через (а) = е + ае^ обозначается элементарная трансвекция. Положим, далее, (А) = {¿^(а) : а е А}.
Для элементарной сети а через Е(а) обозначается элементарная группа:
Е(а) = (^ (а*,-) : 1 < г = 3 < п).
Далее, К — произвольная (коммутативная) область целостности с 1, К[х] — кольцо многочленов от переменной х с коэффициентами из К.
Для неотрицательного т через Кт[х] мы обозначаем идеал кольца К[х]:
Кт[х] = Кхт + Кхт+1 + ... На протяжении всей статьи предполагается, что п — натуральное число, п ^ 2.
© 2011 Койбаев В. А.
1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 10-01-00342.
2. Замыкание сети
Пусть Л — произвольное коммутативное кольцо с единицей, п — натуральное число. Система а = (ац), 1 ^ г,] ^ п, аддитивных подгрупп кольца Л называется сетью [1] (или ковром [2]) над кольцом Л порядка п, если аггаг^ С а ц при всех значениях индексов г, г,
Сеть, рассматриваемая без диагонали, называется элементарной сетью (элементарный ковер [3], [4, вопрос 15.46]). Таким образом, элементарная сеть — это набор а = (ац), 1 ^ г = ] ^ п, аддитивных подгрупп кольца Л, для которых аггаг^ С ац для любой тройки попарно различных чисел г, г,
Элементарная сеть а = (ац), 1 ^ г = ] ^ п, называется дополняемой, если для некоторых аддитивных подгрупп ац кольца Л таблица (с диагональю) а = (ац), 1 ^ г,] ^ п, является (полной) сетью. Другими словами, элементарная сеть а является дополняемой, если ее можно дополнить (диагональю) до (полной) сети.
Хорошо известно (см., например, [1]), что элементарная сеть а = (ац) является дополняемой тогда и только тогда, когда
(1)
для любых г = ] . Диагональные подгруппы ац определяются формулой
ай = ^ аkiаik, (2) к=г
где суммирование берется по всем к отличным от г.
Ясно, что элементарная сеть может быть дополнена до сети не всегда единственным способом. Однако, очевидно, формула (2) (при выполнении условий (1)) позволяет дополнить элементарную сеть а наименьшей диагональю. Как мы увидим ниже не всякая элементарная сеть является дополняемой.
Для элементарной сети а рассмотрим элементарную сеть а = (ац), индуцированную трансвекциями из элементарной группы Е( а). А именно, для любых г = ] положим
ац = {а £ Л : ^ (а) £ Е(а)}.
В силу известного коммутаторного соотношения а = ( ац) является элементарной сетью.
Определение. Элементарную сеть а называют .замыканием сети а. Если а = а, то сеть а называют замкнутой.
Очевидно, что примерами замкнутых элементарных сетей являются дополняемые сети (для дополняемой сети а определена сетевая группа О(а)).
Замечание 1. Понятие допустимой (замкнутой) сети стало известно автору из работ В. М. Левчука (см., например, [4, вопрос 15.46]), однако, на наш взгляд (см. предложение 1), термин «замкнутая сеть» лучше отражает суть определения.
Из [6, предложения 4, 5] вытекает следующее
Предложение 1. 1) Операция замыкания обладает следующими свойствами (замыкания в топологическом пространстве):
а С а; (Т С г (Т С г; <т = <т; <т П т С <т П т.
2) Пересечение замкнутых сетей является замкнутой сетью.
3) Пусть а С т и т — замкнутая сеть. Тогда а С а С т. В частности, а — наименьшая замкнутая сеть, содержащая а.
Положим (71 Л (72 = (71 П (72, Далее, (7] V (72 = (71 У (72, ГДв 171 У 172 - СвТЬ равная пересечению всех элементарных сетей, содержащих а1 и а2.
Следствие. Множество замкнутых (допустимых) сетей является структурой (подструктурой всех элементарных сетей), содержащей структуру всех дополняемых сетей.
3. Формулы в Е2 (Л)
В этом параграфе п = 2 и мы рассматриваем формулы для матриц второго порядка из элементарной группы Е2(Л) = (¿12(Л)^21 (Л)) (все элементы i = 1, 2,... , берутся из кольца Л).
Пусть ^2^+1 = ¿21 («1)412(«2) • • • ¿21 («2^+1), = ¿21 («1 ^12^2) •••¿12(а2й). Рассмотрим для п = 2, 3:
£2 = / 1 «2 А ^з = ^ 1 + «2«з а2 \
уа1 1 + а1 «2/' уа1 + а3 + а1а2а3 1 + а2а1у/'
Мы определим рекуррентные формулы для второй строки матрицы (аналогичные формулы справедливы и для первой строки матрицы £«).
Через (, )« обозначим вторую строку матрицы 5«. Ясно, что
(, )1 = («1, 1), (, )2 = («1, 1 + «1«2), (, )з = («1 + «з + «1«2«з, 1 + «1«2).
Для натуральных т, п, т ^ п, определим функции ^^ = («1, • • •, ««) следующим образом:
^2«+1 = «1 + «з + • • • + «2п+1 (п ^ 0), = + + • • • + «2«<^2«-1 (п ^ 1),
з 22 24зз з
^2«+1 = «з ^2 + «5^4 + • • • + «2п+1 , ^2« = «4^з + «6 + • • • + «2« ^«-Ъ
<^2т++11 = «2т+1 А + «2т+з^2т+2 + • • • + «2«+1 ^, т < n, (3)
= «2т^2т-1 + «2т+2<^-1 + • • • + а2n^2m--11, т < п. (4)
Предложение 2. Справедливы следующие утверждения:
1) = «1«2 •••««;
2) — сумма произведений элементов «1, «2, • • •, , причем каждое произведение содержит т сомножителей из этих элементов;
За) если = + «2«+1 ^2«, 0 ^ к ^ п - 1, п ^ 1, то
^2«+1 = «2^+1^2«;
ЗЬ) если = ^2«-2 + a2ra^2n-l, 1 < к < п - 1, п ^ 2, то
^2« = а2«^2«-1, п ^ 1.
< Очевидно, что 1) вытекает из За) и ЗЬ). Далее, 2) вытекает из рекуррентного определения функции ^т. Докажем За) (аналогично доказывается ЗЬ)). По определению
(см. (З)) 2к 1 2к 2к 2к
причем 2к + 1 ^ 2т + 1, к ^ т — 1. Тогда = 1 + а2п+1¥2П. Наконец из (3) для
т = п мы имеем ^П^н = а2га+1^2П. >
Предложение 3. Формулы для второй строчки матрицы при п = 2, 3,4 выглядят следующим образом:
(, )2 = (<¥ъ1 + (, )з = (¥ + ¥>1,1 + ¥2), (, )4 = (¥>3 + ¥>3, 1 + ¥>4 + ¥4).
< Согласно формуле для имеем (, )2 = (а1, 1 + а1 а2), поэтому первая формула нашего предложения вытекает из того, что ¥'1 = а1, ¥2 = а1а2. Аналогично доказываются остальные формулы. >
Предложение 4. Имеют место формулы (п ^ 1) :
(, )2п = (¥к-1 + ¥3„-1 + ... + ¥2П-1, 1 + ¥2п + ¥4„ + ... + ¥2П), (5)
(, )2п+1 = (¥2п+1 + ¥3„+1 + ... + ¥2П+1, 1 + ¥2„ + ¥4„ + ... + ¥>гП). (6)
< Рассмотрим матрицу ¿к (к ^ 2), и покажем, что вторая строка (, )к этой матрицы удовлетворяет формулам нашего предложения. Индукция по к. База индукции следует из предложения 3. Рассмотрим индукционный переход к ^ к + 1. Рассмотрим два случая.
а) Пусть к = 2п — четно и по индукционному предположению справедлива формула (5). Имеем 5к+1 = 52га+1 = 5"2„£21 (а2га+1), а потому из (5) мы имеем
С )2п+1 = ((¥2га-1 + а2п+1) + (¥2П-1 + а2п+1 ¥2«) + ... + (^2П-1 + а2п+1¥2П-2) + а2п+1¥2П, 1 + ¥2« + ¥2п + ... + ¥2^).
Последняя строчка совпадает со строчкой формулы (6) согласно утверждению 3а) предложения 2.
б) Пусть теперь к = 2п — 1 — нечетно. Согласно индукционному предположению из (4) мы имеем
С )2п-1 = (¥2П-1 + ¥2П-1 + ... + ¥2П-1,1 + ¥2«-2 + ¥4«-2 + ... + ¥2гП-2). Далее, ^+1 = = 5^-1^2 (а2п), поэтому
(, )2п = (^к-1 + ¥2П-1 + ... + ¥^-1, 1 + (¥2П-2 + а2п¥2п-1)
+ (¥2П-2 + а2п¥2„-з) + ... + (¥2П-2 + а2п ¥>Ю + а2«¥2П-1).
Непосредственно из утверждения 3Ь) предложения 2 следует совпадение последней строчки со строчкой из (5). >
4. Доказательство теоремы
Пусть йк = ¿21(а3)£12(а2)... содержится в группе (¿21(А),£12(В)) (при этом ясно, что а2т+1 £ А, а2т £ В), причем все элементы аз,а2,...,ак — ненулевые. Покажем, что если к ^ 2, то (йк)21 = 0, (¿к)12 = 0. Не умаляя общности (рассматривая транспонирование), достаточно показать, что (йк)21 = 0.
Согласно предложению 4 (в зависимости от четности к) мы имеем
(52п)21 = ¥2П-1 + <Ик-1 + • • • + , (7)
)21 = ^2п+1 + ¥2П+1 + • • • + ^2П+1 • (8)
Элементы а» являются многочленами, причем deg(аг) ^ 1. В частности, (5^)21 — многочлен. В силу утверждения 1) предложения 2
¥2га-1 = «1«2 • • • «2га—1, ¥2га+1 = «1«2 • • • «2га+1 •
Поэтому в силу утверждения 2) предложения 2 (заметим а» = 0) из (7), (8) мы имеем
deg<—1 > deg(<A—1 + 1 + • • • + 1),
deg> + + • • • + ^По-
следовательно, (52П)21 =0, (52П+1)21 =0.
5. Элементарные сети
В этом параграфе, пользуясь проделанной работой, мы строим различные примеры элементарных сетей. Отметим, что эти примеры во многом мотивированы вопросами поставленными перед автором В. М. Левчуком и Я. Н. Нужиным, за что автор приносит им благодарность.
Положим (К = К — поле из двух элементов)
А = Кж + К + К4[ж], А1 = Кж2 + К + К4 [ж], В = Кж + К4 [ж],
где через К4[ж] мы обозначаем идеал кольца К[ж], состоящий из всех многочленов: К4[ж] = Кж4 + Кж5 + • • • •
Пример незамкнутой (не допустимой) сети [6]. Определим элементарную сеть Р = (Ру) п-го порядка в Л следующим образом: р12 = А, р21 = А1 и ру = Я2[ж] для всех остальных I =
/ * А К2 [ж] • • К2[ж]\
А1 * К2 [ж] • • К2 [ж]
р = Я2[ж] Я2[ж] * • • Я2[ж]
\К2[ж] К2 [ж] Я2[ж] • • • *
Имеем ж3 £ АА1 А, следовательно, АА1А ^ А, а потому (см. § 1) элементарная сеть р не является дополняемой.
Сеть р не является замкнутой (допустимой). Положим Ь = ¿12(ж)^21 (1)^12(—1). Тогда Ь—1^12(ж)6 = ¿21(-ж), поэтому ж £ (р)21, но ж не содержится в группе А1 = р21. Поэтому р = р, т. е. сеть р не является замкнутой.
Пример замкнутой (допустимой), но не дополняемой сети. Определим элементарную сеть а = (ау) п-го порядка в поле Л следующим образом: а12 = а21 = В и ау = К4[ж] для всех остальных I =
* В К4 [ж] • • К4[ж]\
В * К4 [ж] • • К4 [ж]
а = К [ж] К4 [ж] * • • К4 [ж]
\*4 [ж] К4 [ж] К4 [ж] • • * )
а — элементарная сеть, которая является замкнутой, но не дополняемой [6].
Литература
1. Боревич З. И. О подгруппах линейных групп, богатых трансвекциями // Зап. науч. семинаров ЛОМИ.—1978.—Т. 75.—С. 22-31.
2. Каргаполов М. И., Мерзляков Ю. И. Основы теории групп.—М.: Наука, 1982.—288 с.
3. Левчук В. М. Замечание к теореме Л. Диксона // Алгебра и логика.—1983.—Т. 22, № 5.—С. 504-517.
4. Коуровская тетрадь. Нерешенные вопросы теории групп. Изд. 17-е, дополненное.—Новосибирск: ИМ СО РАН, 2010.—219 с.
5. Койбаев В. А. Сети, ассоциированные с элементарными сетями // Владикавк. мат. журн.—2010.— Т. 12, вып. 4.—С. 39-43.
6. Койбаев В. А. Элементарные сети в линейных группах // Тр. ин-та математики и механики УрО РАН.—2011.—Т. 17, № 4.—(в печати).
Статья поступила 14 августа 2011 г.
Койбаев Владимир Амурханович Северо-Осетинский государственный университет им. К. Л. Хетагурова,
заведующий кафедрой алгебры и геометрии РОССИЯ, 362025, Владикавказ, ул. Ватутина, 46; Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, ведущий научный сотрудник лаб. теории операторов РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 E-mail: [email protected]
CLOSED PAIRS Koibaev V. A.
This is a study of closed pairs of abelian groups (closed elementary nets of degree 2). If the elementary group E(a) does not contain new elementary transvections, then an elementary net a (the net without the diagonal) is called closed. Closed pairs we construct from the subgroup of a polynomial ring. Let Ri [x] — the ring of polynomials (of variable x with coefficients in a domain R) with zero constant term. We prove the following result.
Theorem. Let A, B — additive subgroups of R1 [x]. Then the pair (A,B) is closed. In other words, if t12 (ft) or t21 (a) is contained in subgroup (t21 (A),t12 (B)), then ft g B, a g A.
Key words: net, elementary net, closed net, net groups, elementary group, transvection.
