Янгиан «Странной» супералгебры Ли q n-1 Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.667.7+512.554.32

ЯНГИАН «СТРАННОЙ» СУПЕРАЛГЕБРЫ ЛИ Q „

© 2006 г. B.A.CmyKonuH

Yangian Y(Q n— ) of queer Lie superalgebra Q n— is introduced as a quantization by V.Drinfel'd of twisted current Lie bisuperalgebra. Hopf superalgebra Y(Q n— ) is described in term of generators and defining relations. The analogue of "new" system of generators and defining relations (which was first introduced by V. Drinfel'd for Yangians of simple Lie algebras ) is received also.

1. Основным результатом данной работы является полная система определяющих соотношений янгиана п-1) «странной» супералгебры Ли типа Р п-1 [1, 2]. Вводим янгиан У(Р п-1) как специализацию (при Й = 1) квантования в смысле В.Г. Дринфельда [3] скрученной супербиалгебры Ли полиномиальных токов со значениями в базисной супералгебре Ли типа

А(п-1, п-1). «Странная» супералгебра Ли типа Рп-1 (как и вторая «странная» супералгебра Ли типа Р п-1 )

в отличие от базисных супералгебр Ли [1, 2], не имеет ненулевых инвариантных билинейных форм. В силу этого невозможно обычным образом определить структуру бисупералгебры Ли на супералгебре Ли полиномиальных токов со значениями в этой «странной» супералгебре Ли [3]. Но оказывается, что такую структуру бисупералгебры Ли можно определить на скрученной супералгебре Ли [4] полиномиальных токов со значениями в базисной супералгебре Ли. Попробуем пояснить естественность рассмотрения такой скрученной бисупералгебры Ли полиномиальных токов. Напомним, что супералгебра Ли Р п-1 определяется как множество неподвижных точек некоторого инволютивного автоморфизма а базисной супералгебры Ли типа А(п-1, п-1). Этот автоморфизм естественно продолжается до автоморфизма а токовой супералгебры Ли А(п-1, п-1)[и]. Скрученная супералгебра Ли совпадает со множеством неподвижных точек

этого автоморфизма а , т. е. с А(п-1,п-1)[и]а . Другими словами, вместо А(п-1,п-1)а [и] рассматриваем

А(п-1,п-1)[и] а . В этом случае получаются естественные (и разумные) обобщения необходимых нам конструкций. Далее рассматриваем деформацию (квантование) в смысле В.Г. Дринфельда такой бисупералгебры

Ли А(п-1, п-1)[и]а (а точнее её универсальной обёртывающей супералгебры и(А(п-1, п-1)[и]а)) в классе некоммутативных и некокоммутативных супералгебр Хопфа. Специализацию такой деформации (при Й = 1) называем янгианом У(Р п-1 ) «странной» супералгебры Ли типа Р п-1 . Отметим, что ранее в [5, 6]

был изучен объект, двойственный вводимому в данной работе янгиану в смысле В.Г.Дринфельда. Но из рассуждений, приводимых в [3], по существу следует, что эти два объекта изоморфны. Отметим, что явное

построение такого изоморфизма является нетривиальной задачей, решённой лишь для некоторых ян-гианов простых алгебр Ли [7]. C другой стороны, реализация янгиана, по В.Г. Дринфельду, помимо общности (таким образом можно определить янгиан, например для всех полупростых алгебр Ли, в то время как при двойственном подходе возможно определение только для классических полупростых алгебр Ли), является и более удобной при решении многих задач, таких например, как явная реализация квантового дубля и вычисление мультипликативной формулы универсальной R-матрицы квантового дубля [8-10]. Данная работа как раз и является предварительной частью, имеющей целью подготовить всё для решения этих задач, которым будет посвящено продолжение этой работы. Отметим, что в последнее время теория янгианов супералгебр Ли активно развивается как относительно новая часть теории квантовых алгебр [4, 5, 7-9, 11-13, 15-17].

2. Пусть V=V0 © Vj - векторное суперпространство размерности (n|n) над полем C комплексных чисел, т. е. такое Z2 - градуированное векторное пространство, что dim Vo= dim V1=n. Степень элемента a eV равна i(e Z2) или p(a) = i, если a eVi. Множество линейных операторов EndV , действующих в

V , превращается в ассоциативную Z2 -градуированную алгебру (супералгебру), если Z2-градуировку ввести формулой: (EndV)k = (g e EndV : gVi с Vi+k}. Отметим, что ассоциативная супералгебра превращается в супералгебру Ли, если суперкоммутатор определить

формулой: [A, B] = AB _ (-1)p(A)p(B)BA. Выберем в

V базис (e1v..., en, e_n, e-n+1,..., e_1} так, что (e1v...,en} -базис в V0 , а (e_n,e_n+1v..,e_1} - базис в V1 . Выбор базиса в V задаёт изоморфизм супералгебры Ли EndV и супералгебры Ли gl(n, n) _ матриц размера (2n х 2n). Любую матрицу A e gl(n, n) удобно представить в блочном виде: A = (Aij),i, j e Z2, где Aij действует из Vi в Vj . Тогда определён суперслед strA матрицы A формулой strA = trAoo _ trAu. Пусть A(n _ 1,n _ 1) := sl(n,n) := (g e gl(n,n): strg = 0}- множество матриц с нулевым следом, являющееся подсу-

пералгеброй Ли супералгебры Ли gl(п, п). Супералгебра Ли А(п -1, п -1) содержит 1-мерный центр 2 . Тогда факторалгебра по этому центру А(п -1, п -1) = = А (п -1, п -1) / 2 является простой (базисной) супералгеброй Ли. Она определяется своей матрицей Картана или (что эквивалентно) своей диаграммой Дынкина [1, 2]. Напомним, что диаграмма Дынкина контраградиентной супералгебры Ли определяется аналогично диаграмме Дынкина простой алгебры Ли, но наряду с белыми корнями, соответствующими чётным образующим, содержит ещё серые и чёрные нечётные корни. Причём серые корни имеют нулевую длину, а чёрные корни - ненулевую [1]. Рассмотрим изоморфизм

а': А(п -1,п -1) ^ А(п -1,п -1), определяемый на матричных единицах Е^ формулой а(Е^) = £-г-,_j. Так как а' (2) = 2 , то а' индуцирует инволютивный автоморфизм а : А(п-1,п-1) ^ А(п-1,п-1). Пусть р1 = О[и]а,р2 = (и_1О[[и_1]])а , а билинейную инва-

Напомним, что на А(п -1, п -1) существует невырожденная суперсимметричная инвариантная билинейная форма (•,•), индуцированная суперследом

произведения матриц, причём (О0,О0) = (О1,О1) = 0,

а О0 и О1 спарены невырожденно. Используя введённые выше образующие, можно выписать систему определяющих соотношений в Qn-l.

3. Ниже будем использовать понятия бисуперал-гебры Ли и тройки Манина супералгебр Ли, естественно обобщающие понятия биалгебры Ли тройки Манина алгебр Ли [3]. Рассмотрим супералгебру Ли

лорановских токов 0((и_1))(О = А(п -1, п-1)) и продолжим автоморфизм а : О ^ О до автоморфизма а : О((и_1)) ^ О((и_1)) формулой: а(х• и]) := а(х) • (-и)], j е 2. Введём следующую тройку супералгебр Ли (р,рьр2):р = О((и_1))а,

G = A(n -1, n -1). Так как а = 1, то собственные значения а равны ±1. Пусть s = -1, j e 22 = {0,1}.

Обозначим через GJ = Ker(а-SE) собственное подпространство оператора а , соответствующее собственному значению sJ . Имеет место разложение G = G0 © G1, где G0 = Ga - множество неподвижных точек автоморфизма а . Ясно, что Ga - подсупе-ралгебра Ли в G .По определению Qn-1 := Ga -«странная» супералгебра Ли. Её прообраз в A(n -1, n -1) обозначают через Qn-. Удобно иметь в виду следующие свойства супералгебры Ли Qn-1 [1, 2]. Корневая система Qn- совпадает с корневой системой sln, ненулевые корни одновременно являются и чётными и нечётными, а размерности корневых пространств равны 2. Картановская подалгебра помимо чётной части включает в себя и нечётную. Пусть п : A (n -1, n -1) ^ A (n -1, n -1) - естественная

проекция. Определим образующие X i, X i, hi, ki, i = 1,...,n -1, супералгебры Ли Qn-1 и элементы

х±,г ,~±,г, h,k, i = 1,..., n -1, порождающие G1 формулами:

h, =n((Eu - Ei+u+1) +(E-,- - E-,-1,-i-1));

h =n((EM- - e,+1,i+1) - (E-i,-i - e-,-1,-/-1)); x+i = п(Е/,/+1 + e-/,-/-1); x+'' = п(Е/,/+1 - e-/,-/-1);

X i =n(E,+j_¿ + E-,-i;); X ' =n(E,+j_¿ - E-i-l 4);

k, =n((Ei--i - Ei + J_;-1) + (E-i,i - E-i-U + 1)); k' =n((Eu-l - e,+1,-i-1) - (E-„ - E-,-1,i+1)); ~+i = n(Ei,-i-1 + e-','+1);~+'' = n(Ei,-i-1- e-',I+1); ~ ~i = п(Е,+1,-i + e-, - 1,i); ~= п(Е,+1,-i- e-, - 1,i) •

риантную форму < •,• > на р определим формулой: < /,g >:= гes(/(и),g(u))du, где (•,•)-инвариантная билинейная форма на О . Легко проверить, что р1,р2 - изотропные подсупералгебры Ли р и имеют место следующие разложения:

О[и]а = © (О0 • и 2к © О1 • и 2к+1); к=0

О((и_1))а = © (О0 • и2к © О1 • и2к+1).

ке2

Опишем структуры бисупералгебр Ли на О[и]а и О((и_1))а . Пусть {е1} базис в О0 , а {е1}, двойственный ему относительно формы < •,• > базис в О1. Пусть

'0 = X е1 ® е, /1 = х (-1)р(е)р(е) е ® е1, г = /0 + /1.

1

Определим также базис {ег- к} в р1 и двойственный

ему относительно формы < •,• > базис {ег'к} в р2 формулами:

2к 1 2к+1 1,2к е1,2к = е1 •и , е1,2к+1 = е ^ , ^ =

1 -2к-1 1,2к+1 -2к-2 , 7 = е • и , е ' = е1 • и , к е 2 +.

Вычислим канонический элемент г, определяющий кокоммутатор в р.

г =хе''к ® ег,к = х X (е1 • и"2к-1 ® ег • у2к + к ,1 ке2+ 1

+ (-1) Р(е1) Р(е') е • и - 2к-2 ® е1 • у2к+1) =

I \2k

= S ((S ^ ® ^ 1|-| +

k=0 i Vм

+ (Е (-1)

/ л2к+1 ) p(e) e 0 j )U-1[ u \ ) =

= to

- +1,

u 1(v / u) = to • u 11 • v

1-(v / u)2"11-(v / u)2 u 2-v2 u 2-v2

-1 (---+-+- lto + -2 (-i---+2 l u - v u + v I 2 l u - v u + v

t, =

= 1 Г0 + /1 + 1 ^ - /1 = 1 _ (¡а ®ак )/ 1 —---1---— — 2 -г—, е — -1.

2 и - V 2 и + V 2 ¿е22 и-ек

Пусть га(и, V):— г . Тогда формула для кокоммута-тора 8 в р принимает следующий вид: 8: а(и) а [а^) ® 1 +1 ® а(и), га(и, V)].

12

Если Г — 2 Г' j ®г" у , то пусть г — г ® 1,

]

г23 — 1 ®г, г13 —2г'у®1 ®г"у, г21 —2г"у®г'у .

j ]

Легко проверяется следующее

Предложение 1. Элемент га(и, V) обладает следующими свойствами:

21

1) а (и, V) — -гст (V, и);

2) [а12 (и, V), г^3 (и, + [гст12 (и, V), га23 (V, *)] +

+ [rCT13(u, w), rCT23(v, w)] = 0;

(1)

Напомним, что (1) называется классическим уравнением Янга-Бакстера (СУВЕ) [3]. Таким образом, р

является треугольной бисупералгеброй Ли, а р1

псевдотреугольной бисупералгеброй Ли.

4. Ниже будем использовать понятие квантования, по В.Г.Дринфельду, бисупералгебры Ли [3].

Определение 1. Квантованием бисупералгебры Ли (В, 8) называется такая супералгебра Хопфа А — Ап , что

1) Ай / Й • Ай = иВ, как супералгебры Хопфа (ПВ -универсальная обёртывающая супералгебра супералгебры Ли В );

2) А = ПВ[[Й]] изоморфны как топологические С[[Й]] -модули;

3)8(х) — Й-1 • (А(а)-А°р(а))modЙ , где а прообраз х в А , а А°р — т о А, А - коумножение в А , а т( х ® у) — (-1)р( х) р( у) у ® х - перестановка тензорных сомножителей.

Опишем квантование бисупералгебры Ли

(О[и]а,8) Наложим на квантование следующие дополнительные ограничения.

4) А - градуированная супералгебра над градуированным кольцом С[[Й]], degЙ — 1;

5) Градуировка А и градуировка О[и]а (степенями и) индуцируют одну и ту же градуировку П(О[и]а), т. е. АЙ /Й • АЙ = П(О[и]а), как градуированные супералгебры над С.

Пусть р : А а А / Й • А = ПВ - каноническая проекция. Если р(а) — х, то элемент а называется деформацией элемента х. Деформации элементов ш^ • ик,шI е (И,,к^,х±г ,х±г,1 — 1,...,п-1} будем обозна-

чать через шI г . Так как образующие ш,, ш, • и порождают супералгебру П(О[и]а), то их деформации шг,0, шгд будут порождать супералгебру Ай . Надо

описать систему определяющих соотношений между ними. Она получается как следствие условий совместности структур супералгебры и косупералгебры на Ай . Поэтому первым шагом к получению определяющих соотношений в Ай будет описание коумно-жения на образующих ш, о,ш1-1, т. е. на образующих

нулевого и первого порядков. Заметим, что из условий однородности квантования 4), 5) вытекает, что

ПО° вкладывается в Ай как подсупералгебра Хопфа.

Поэтому можно отождествить образующие ш1 о с

образующими ш, супералгебры Ли О0 — Qn-l. Таким образом, коумножение на образующих ш1 о определено. Зададим коумножение на образующих 1 порядка, используя условия 3)-5) определения квантования. Имеет место следующее

Предложение 2. Пусть а е О0, Ь е О1 . Тогда

1) [а ®1,/0] — -[1® а,/0],[а ®1,/1] — -[1 ® а,/1];

2) [Ь ® 1,/0] — -[1® Ь,/1],[Ь ® 1,/1] — -[1® Ь,/0]. Используя предложение 2, легко вычислить значение 8 на к1 • и :

8(И' • и) — [к1 ®1,/0]. (2)

Так же вычисляются значения коцикла и на остальных образующих первого порядка. Теперь мы можем определить коумножение А на образующих первого порядка. Сначала найдём А (Ид). Из пункта 3) определения квантования и (2) вытекает, что А(к'д) - А°р(Ид) — Й[к' ®1,/0]. Поэтому А(кц) — к' 1 ® 1 +1 ®к'1 + Й^, где F такая квадратичная относительно тензорного произведения функция образующих нулевого порядка, что

F - F21 = [к1 ®1, t0].

(3)

Функция F может быть выбрана неоднозначно. Но разные способы её задания определяют разный выбор образующих к' 1. Можно положить, например,

F — -2[И1 ®1,/0]. Но нам удобнее будет задать эту

функцию в виде F — [И1 ® 1, /0], где

- - 1 п-1

/0 — 2х ха-х ха+ 2 2 к1 ®к'; к1 - двой-

аеА+

i=1

ственные к к1 образующие относительно формы (•,•) в О. Выполнение условия (3) легко проверяется.

Выбор такого коумножения на к 1, что

А(И1д) — И1Д ®1 +1® Ид + Й[И1 ®1, ?0] (4)

позволяет получить соотношения между к1,1 и образующими нулевого порядка в следующей простой форме [й1Д, шу,0] — Су (ш)шу,1+члены нулевых порядков. Здесь константа Су (ш) определяется из условия

1

u

[И1,mj] = Су (т)т} , которые являются определяющими соотношениями в О. Таким же способом может быть определено коумножение и на остальных образующих первого порядка, но удобнее его определить из того условия, что коумножение - гомоморфизм.

Предложение 3. Следующие соотношения согласованы с коумножением [И11, И] 0] = [Иц, И] 1] = 0.

Предложение доказывается прямой проверкой с использованием (4).

Также будем использовать обозначение

(а,а]) = }+1 }-1).

Основной в этом пункте является следующая Теорема 1. Супералгебра Хопфа Ай порождается

образующими х±1,0, ~±1,0, И10, к10, х± 1,1, ~±1,1, И11, к11, 1 е I = {1,..., п -1},

) = deg(Иi,s) = 0, аея^, ^) = аея(х ±1, 5) = 1, 5 = 0,1, 1 е I = {1,..., п -1}, которые удовлетворяют следующей системе определяющих соотношений:

[И,0, И],0] = [И-д, И ],0 ] = [Ид, И],1 ] = 0; [И1,0, к],0] = [к1,ь к],0] =0; [И10, х±],0] = ±(а, а] )х±],0, [к10, х±],0 ] = ±(а, а])~±],0 ; [И10, ~±],0] = ±(а1, а] )~±],0, [к10, ~±],0 ] = (а1, а]) ~±],0 ;

[к1,0, к],0] = 2(ф,]]+1)И1,0 + Щ,]]-1)И1"+1,0 ;

[ х+1,0, х" ],0] = ф, ]И10; [ х+1,0,~- ],0] = [~+1,0, х" ],0] = ф, ]к10;

[~+1,0,~" ],0] = (И,0 + И+1,0)(п-^);

[И10, х ± ],1] = ±(а,ау- )х ± ],1,[к10, х± ],1] = ±(а,ау-) ~ ± ],1; [И10, ~ ± ],0] = ±(а,ау- )~± ],0,[к10,х± ],1] = (а,а]) х± ],1; [Иl,o, к],1] =0;

[И1,ъ к],0] =2(ф,} }+1)к,1 +2(ф,} }-1)к1+1,1; [Ид, х ± ],0] =

± ]1 - 2 '

[И1,1,~ ± ],0] =

= +(a,aj)(x+--f(S,j+1 -S+1,J){ki+у,0» ;

= (а,aj)(~+j,i -J+ihi,0 +^+1,jhi+1,0,~+J,0});

[ki,i, x+j,0 ] =

= +(a1, a j)~+j,1, [k1,1+j,0] = +(ai, aj )x+j,1; (5)

ki,1 = ~2[hi+1,1- hi-1,1' ki,0]; [x+1,1,x"j,0] = [x+i,0,x"j,1] = Sj(hi,1 + h,02); [ ~+i,1, x- j,0] = [ x+i,0,~- j,1] = Sijki1; [x+i,1,x"j,0] = -[~+i,0,x~j,1] = Sij(ki1 + ki+11); [x+i,1,x"j,0] = -[x+i,0,x"j,1] = Sij(hi,1 + -2h,02); [x+i,1, x+j,0 ] - [x+i,0, x + j,1 ] =

(ai,aj)h + + (ai,aj)h + x+

= +—y—{^',0, ^j,0}+—Y—{^',0, ^J,0};

[X +i,1, x+j,0 ] - [x+i,0, x+j,1 ] =

(ai ,aj ) h + + (ai ,aj ) h + x +

=--y—{x~i,0, ^J,0}+—Y—{^i,0, ^J,0} ;

[x+i,1,x+j,0 ] - [x +i,0, x+j,1 ] =

(ai ,aj ) h + + (ai ,aj )h + x+

2

2

[х± 1,0,[х±1,0, х±],0]] = [~±1,0,[х±1,0,х±],0]] = = [~± 1,0,[х±1,0,х±],0]] = [х±1,0,[х±1,0,~±],0]] = 0 ; [х±1,0,~±],0] = ±1,0,х±],0];[х±1,0,х±],0] = [х±1,0,х±],0];

X[ х ± 1,а(51),[ х ± 1,а(52 )>х ± ],а(5з)]] = 0; ае^з

X[х ±1,а(51),[х ±1,а(52),х ± ],а(5з)]] = 0; (6)

ае^з

51,52,53 е {0,1};

Отметим, что формулы для коумножения имеют следующий вид: Д(а) = а ®1 +1 ® а для образующих нулевого порядка (и вообще для примитивных элементов нулевого порядка);

Д(Ид) = И,1 ® 1+1 ® И,1+й((к1,0 + к+1,0) ® ки0 -

- X (а ,а)х

-а ® ха + (а'а ) Х-а ® ~а);

аеД+

Д (х+1,1) = х+1,1 ® 1 + 1 ® х+1,1 + + Й(И10 ® х+1,0 + (к10 + к1+10) ® ~+1,1 -

- X (х-а ® [х+1, ха ] -~-а ® [х+1, ~а ])) ; аеД+

Д( х_1,1) = х_ 1,1 ®1 +1® х ~1,1 + + Й( х "1,1 ® И10 + ~ "1,1 ® (к10 + к1+10) -

- X ([х~1, х-а] ® ха - [х~1 ,Х-а] ® ~а)) ;

аеД+

Д( х +1,1) = х+1,1 ®1 +1 ® х+1,1 + + Н(И10 ® х+1,0 + (к10 + к 1+10) ® х+1,1 -

- X (х-а ® [х+1, ха ] - Х-а ® [х+1, ха])) ;

аеД+

Д(х -1,1) = X ~1,1 ® 1 +1 ® X ~1 ,1 +

+й(Х "1,1 ® и10 + х "1,1 ® (к ,0 + к+1,0) -

- X ([х-1, х-а ] ® ха - [х~1, х-а ] ® ха)) ;

аеД+

Д(к11) = к1Д ®1+1 ® к1Д + +й((к ,0 + к+1,0) ® (И ,0 + И+1,0) -

- X ((а ,а)х- а ® -ха + (а , а ) х-а ® ха )).

аеД+

Отметим, что формулы для коумножения получаются как следствие того факта, что коумножение -гомоморфизм супералгебры в её тензорный квадрат. Нетрудно заметить, что супералгебры Хопфа АЙ1 и

Ай 2 изоморфны при различных Й1Й 2 не равных 0. Положим теперь Й — 1. Специализацию А1 супералгебры Хопфа Ай при Й — 1 будем называть янгианом «странной» супералгебры Ли Qn-1 и обозначать через 7^п-1).

5. Введём так называемую токовую систему образующих и связанную с ней систему определяющих соотношений. Эта система является аналогом «новой» системы образующих и соотношений для янгиана простой алгебры Ли [18]. В квазиклассическом пределе она превращается в обычную токовую систему образующих для скрученной супералгебры Ли полиномиальных токов р1 — О[и]а . Введём токовые образующие к^,к1ш,х± ±1,ш, 1 е I — {1,2,...,п -1}, ш е 2 + следующими формулами:

х±1>+1 — ±"2[Ид, х±1,ш];

х±г,2ш+1 — 2[к+1,1,-к;-1;1,х±г,2ш ] ;

х±г,2ш+2 — --2[кг+1;1,-к;-1;1,х±г,2ш+1] ; (7)

к1,ш+1 — "2[кг +1,1,-кг-1,1, к1,ш]; к1,ш — [х+1,ш, х 1,0];

_ 1 1-1 п-1 _

к1,ш — ~п (-2 гкг+ 2 (п - г)кг,ш ), кг,ш — г—0 г—1

1 1-1 п-1

— } (-2 гкг, ш + 2 (п - г)кг).

г—0 г—г

Основной в этом пункте является теорема, дающая удобное описание 7 -1).

Теорема 2. Янгиан 7 ©п-1) изоморфен супералгебре над С, порождённой образующими

,к1ш, х±/,ш ,х±г,m, 1 е I — {1,2,...,п -1},ш е 2 +,

изоморфизм задаётся формулами (7), которые удовлетворяют следующей системе определяющих соотношений:

+ (-8i, j+1 - ^+1, j ){ki m, ~- j,r } .

(15)

[ki,m > jn] = 0;

ki,m+n = 8ij[x i,m,x i,n];

(8) (9)

[~+i,m, X j,2k ] = [X+i,2kj,m ] = 2k ; (10) [~+i,m, X- j,2k+1] = [X+i,2k+1,~- j,m ] =

= 8ij (ki,m+2k+1 + ki+1,m+2k+1)(П^)k ; (11) [kг,0, x- jl] =

= -(ai,aj)x-j,i,[ki0,~-j,i] = ±(аг-,aj)~-j,i; (12) [ki,0'x - j,l] =

= -(аг-,aj)~-j,i,[ki0,~-j,i] = -(ai,aj )x-j,i; (13)

1 ~ 1 2 ki,m+1 = ~2[ki+1,1'-ki-1,b ki,m]; hi,1 = hi,1 + 2 ki ,0

~-i,2m+1 = -2[ki+1,1,-ki-1;1,x-i,2m ];~-i,2m+2 =

= "2 [ki+1,1,--ki-1,1, ~-i,2m+1]; (14)

[~,m+1> x- j,r] - [~,m, x- j,r+1] = - ^^{ki,m, x± j,r } +

Здесь перед 8 знак «+» берётся в случае ш + г е 22+

а знак «-» - для ш + г е 22+ +1; [ ± ± ] [ ± ± ] — ± а,ау) { ± ± } +

[х г,m+1, х у,г] - [х l',m, х у,г+1] — ±-2-{х ¡,m, х у,г} +

+ (-8i, j+1 - 8i+1, j ){~ i,m, ~ j,r } ;

(16)

здесь знаки перед 8 определяются так же; как и в предыдущей формуле;

[х±г,m+1, х±у,г ] - [х±1^, х±у,г+1] —

_ ± (аг,ау) {-± ± (а,ау У { ± х± _ ±-2-{х г,m, х у,г } т 2-{х ¡,m, х у,г };

[х±1^+1,х±у,г ] - [х,х±у,г+1] —

= -

(ai,aj) г - (ai,aj) , - - п-л -2-{x i,m, x j,r } m 2-{x i,m, x j,r }; (1')

[ki,m+1, x- j,r] - [ki, m, x- j,r+1] = - {ki,m, x- j,r } + + (-8i, j+1 -8i+1, j ){(ki,m + ki+1,m ),~- j,r };

[k

k j,r] =

= 2((8i, j -8i, j+1)ki,2m+r+1 + (8i, j -8i, j-1)ki+1,2m+r+1)

[к

] = 0;

(18)

i,2m, kj,2r+1 [ki,2k, kj,2i] = = 2(8i, j -8i, j+1)ki,2(k+i) + 2(8i, j -8i, j-1)ki +1,2(k+i);

[ki,2m+1, kj,2r] = 0 ;

j,

2 [ x ]] = 0;

2 [ x3

]] = 0;

cteS3

(19)

(20)

51, ^2 ,е 2 + •

Отметим, что доказательство этой теоремы весьма громоздко и в основном носит технический характер. Поэтому опишем только схему доказательства. Вывод формул, связанных с чётными образующими, повторяет аналогичные доказательства для янгианов простых алгебр Ли [19] и базисных супералгебр Ли [20]. Отметим, что по существу новыми являются лишь моменты доказательств, относящиеся к соотношениям, связывающим нечётные образующие и чётные с нечётными образующими.

Для доказательства теоремы достаточно доказать, что соотношения (8)-(20) вытекают из (5), (6) и наоборот, (5), (6) вытекают из (8)-(20). Последнее, впрочем, почти очевидно. Итак, достаточно показать, что (8)-(20) вытекают из (5), (6). Вначале проверяем (8)-(20) при малых значениях второго индекса (меньших либо равных 2), подготовив таким образом базу индукции, после чего последовательно по индукции доказываем эти соотношения. Схема доказательства следующая. Несложно проверяются соотношения (9), (11). Не очень сложно, по индукции, доказываются и (13), (14). Доказательство для (8), (11), (15), в которые входят образующие к1 к , использует

некоторые соотношения, записанные в производящих токах образующих и связывающих производящую

функцию образующих h,k и её логарифм [9, 20]). На

основе этих соотношений и (13), (14) доказываются по индукции (1б), (17), затем - (S), (19). Соотношения (2o) выводятся независимо из (б).

Отметим также, что (8)-(20) могут быть переписаны в производящих функциях токовых образующих. Такая форма удобна тем, что оказывается верной и для производящих функций квантового дубля ян-гиана, которому будет посвящено продолжение данной статьи.

Литература

1. Frappat L., Sorba P. Dictionary of Lie Superalgebras. hep.-th./9607161.

2. Kac V. // Comm. Math. Phys. 1977. Vol. 53. P. З1-б4.

3. Дринфельд В.Г. // Записки науч. сем. ЛОМИ. Л., 198б. Т. 155. С. 18-49.

4. Кац В.Г. Бесконечномерные алгебры Ли. М., 1993.

5. NazarovM. // Comm. Math. Phys. 1999. Vol. 208. P. 195223.

6. Nazarov V. // Lett. Math. Phys. 1991. Vol. 21. P. 123-131.

7. Crampe N. Hopf structure of the Yangian Y(sln ) in the Drinfel'd realization/ math. QA/0304254.

Донской государственный технический университет

8. Стукопин В.А. // Фундаментальная и прикладная математика. 2005. Т. 11. № 2. С. 185-208.

9. Stukopin V. Quantum Double of Yangian of Lie superalgebra A(m,n) and computation of Universal R-matrix / math. QA/0504302.

10. Khoroshkin S.M., Tolstoy V. N. // Lett. Math. Phys. 1996. Vol. 36. P. 373-402.

11. Chari V., Pressley A. A guide to quantum groups. Cambridge, 1995.

12. Molev A. Yangians and their applications/ math. QA/0211288.

13. Stukopin V. // Asymptotic Combinatorics with Applications to Math. Phys. 2002. P. 255-265.

14. Stukopin V. // Proceed. of Institute of Math. of NAS of Ukraine. 2004. Vol. 50. Part 3. P. 1196-1201.

15. ZhangR.B. // J.Math. Phys. 1995. Vol. 36. P. 3854-3865.

16. ZhangR.B. // Lett. Math. Phys. 1996. Vol. 37. P. 419-434.

17. Zhang Y.-Z. // Phys Lett. A. 1997. Vol. 234. P. 20-26.

18. Дринфельд В.Г. // ДАН СССР. 1988. Т. 36. № 2. С. 212216.

19. Levendorskii S. // J. Geom. Phys. 1993. Vol. 12. P. 1-11.

20. Стукопин В.А. // Интегродиф. операторы и их прил.: Межвуз. сб. науч. тр. ДГТУ. Ростов н/Д, 2000. Вып. 5. С. 111-120.

9 сентября 2005 г.