CC BY
34
2016, Т. 158, кн. 2 С. 180-193
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ КАЗАНСКОГО УНИВЕРСИТЕТА. СЕРИЯ ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
ISSN 1815-6088 (Print) ISSN 2500-2198 (Online)
УДК 512.667+517.5
О СТРУКТУРЕ С-АЛГЕБР, ПОРОЖДЕННЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЯМИ ЭЛЕМЕНТАРНОЙ ИНВЕРСНОЙ
ПОЛУГРУППЫ
С.А. Григорян, Е.В. Липачева
Казанский государственный энергетический университет, г. Казань, 420066, Россия
Аннотация
В работе определен класс С*-алгебр, порожденных элементарной инверсной полугруппой и являющихся в некотором смысле деформацией алгебры Теплица. Изучены свойства этих С*-алгебр, описаны все их неприводимые представления и группы автоморфизмов. Доказано, что эти алгебры являются Ж-градуированными С*-алгебрами. На некотором классе алгебр из изучаемого семейства построена структура компактной квантовой полугруппы.
Ключевые слова: С * -алгебра, алгебра Теплица, неприводимое представление, инверсная полугруппа, группа автоморфизмов, компактная квантовая полугруппа
Введение
В настоящей статье исследована категория ТN~ С*-алгебр Тп, порожденных представлениями элементарной инверсной полугруппы. Каждую из этих С * -алгебр можно рассматривать как деформацию алгебры Теплица Т. Изучены свойства этих алгебр. Описаны все неприводимые представления С*-алгебр Тп. Показано, что в категории TN~ возникают объекты, на которых можно задать копро-изведения.
Задача построения копроизведения на С*-алгебре восходит к попыткам распространения теоремы двойственности Понтрягина на некоммутативный случай. Первые работы, посвященные обобщению теоремы Понтрягина, полностью не отразили основные требования к понятию двойственности. С возникновением квантовой группы В.Г. Дринфельда в начале 80-х годов XX в. теория двойственности приобретает новый смысл. С.А. Воронович предложил использовать С*-алгебраический подход к квантовым группам В.Г. Дринфельда [1, 2]. В работе [3] им было дано определение компактной квантовой группы. Поззднее А. Ван Даль, обобщив этот объект, стал изучать компактные квантовые полугруппы [4].
Нами ранее уже строились примеры компактных квантовых полугрупп. В работах [5, 6] на алгебре Теплица Т была построена структура компактной квантовой полугруппы. В работе [7] структуры компактных квантовых полугрупп были построены на полугрупповых С*-алгебрах, порожденных «деформацией» алгебр непрерывных функций на компактных абелевых группах. В настоящей работе на бесконечной совокупности объектов категории TN~ построены структуры конечномерных компактных квантовых полугрупп и структура бесконечномерной компактной квантовой полугруппы.
1. С*-алгебры Tn
Пусть N° - множество бесконечных последовательностей натуральных чисел,
не содержащих единиц, то есть inf nk > 2. Зафиксируем одну из последовательно-
k
стей n = {nk }00Li из N0 , где nk G N.
Пусть l2(N) - гильбертово пространство с ортонормированным базисом {en}00=i, где en(m) = Sn<m. Представим множество {en}00=i в виде объедине-
оо
ния счетного числа непересекающихся подмножеств: {en}00=i = U Ek так, что
k=1
card Ek = nk. Пусть Hk - конечномерные подпространства пространства l2 (N), порожденные линейными комбинациями элементов множества Ek, к = 1, 2, 3,...
о
Таким образом, l2(N) = ф Hk и dim Hk = nk, а множество Ek является базисом
k=i
в Hk. В дальнейшем будем обозначать базис Ek через {fjnk ) }П= 1.
Пусть B(l2(N)) и B(Hk) - алгебры ограниченных линейных операторов на
2о
гильбертовых пространствах l2(N) и Hk соответственно. Очевидно, ф B(Hk) -
k=i
2 2 о
подалгебра алгебры B(l2(N)). Определим отображение Ф : B(l2(N)) ^ ф B(Hk)
k=i
0 ,2(n)^
по формуле: Ф(А) = ф РкАРк, где Рк : /2(М) —> Ни — ортопроектор.
к = 1
то то
Отметим, что Ф(САВ) = СФ(А)В для любых С, В е ф В(Нк) и Ф = ^ Фк,
к=1 к=1
где Фк : В(/2(М)) — В(Нк). Таким образом, Ф является условным ожиданием
то
на ф В(Нк).
к=1
Обозначим через Т : /2(М) — /2(М) оператор правостороннего сдвига, то есть Теп = еп+1. Равномерно замкнутая подалгебра алгебры В(/2(М)), порожденная изометрическим оператором Т и его сопряженным Т*, называется алгеброй Теплица и обозначается Т.
то
Определим оператор Тп = Ф(Т) = ф РкТРк. Очевидно,
к=1
Т_гп) =/0, если 3 = пк;
±п1з = 1 Апк) ■ „
{^+1 , если з <пк.
Оператор Тп является оператором частичной изометрии.
то
Через Тп обозначим С*-подалгебру алгебры ф В(Н), порожденную операто-
¿=1
рами Тп и ТП*. Таким образом, каждой последовательности п из Nто ставится в соответствие С*-алгебра Тп. Это семейство С*-алгебр по своей структуре тесно связано с С*-алгебрами, рассмотренными в работах [8-10].
Теорема 1. С*-алгебра Тп является унитальной С*-алгеброй.
Доказательство. Операторы Тп и Тп* являются соответственно операторами правостороннего и левостороннего сдвигов относительно фиксированного базиса в Нк. Очевидно, операторы ТпТ* и Т*Тп являются ортопроекторами и имеют вид диагональных операторов:
rp_rp* г (
TnTnJ3
(n k)
0, если j = 1;
r(nk) _
3 \ fjnk, если 1 <j < nk;
(nk) = i fjnk), если 1 < i < nk - 1;
если j = nk .
0
Поэтому T-^Tn + TnT-* - диагональный оператор с собственными значениями 1 и 2. Следовательно, этот оператор обратим в алгебре Tn, а значит, алгебра Tn содержит единицу. Предложение доказано. □
Будем обозначать единицу алгебры Tn символом I.
Теорема 2. Пусть sup nk < ж для последовательности n = {nk}fc=i • Тогда
к
Tn - конечномерная С*-алгебра•
Доказательство. Из условия sup nk < ж следует, что среди натуральных
k
чисел n = {nkсуществует не более чем конечное число попарно различных. Выделим в последовательности n конечную подпоследовательность всевозможных попарно различных чисел {nk3 }j=i. Обозначим через Vj кратность соответствующего числа nkj, (Vj могут равняться ж). Тогда оператор Tn можно представить
m
в виде Tn = ф VjPk TPk . Очевидно, алгебра Tn изоморфна конечномерной ал-
j=i 3 3
m
гебре ф Mnk. (C), где Mnk. (C) - полная матричная алгебра размерности nk - xnk-.
j=1 33 3 3
Предложение доказано. □
Теорема 3. Пусть n - такая последовательность из Nж, что sup nk =
k
= ж • Тогда существует строго возрастающая последовательность m в Nж, для которой алгебры Tn и Tm изоморфны•
Доказательство. Из доказательства предложения 2 следует, что оператор Tn
ж
можно представить в виде Tn = ф Vj Pk TPk , где {nk }°=i - подпоследователь-
j=1 3 3 3 j
ность последовательности n, состоящая из всех попарно различных чисел, и Vj -кратности соответствующих чисел. Пусть m = {nk' }j=i - строго возрастающая последовательность, получающаяся из {nk3 }j=i перестановкой элементов в воз-
ж ж
растающем порядке. Сопоставляя оператору Tn = ф Vj Pk TPk. = ф Vj Pk ' TPk '
j=i 3 3 j=i 3 3
ж
оператор Tm = ф Pk 'TPk 3, получим изоморфизм между алгебрами Tn и Tm.
j=i 3 3
Предложение доказано. □
Замечание 1. Везде в дальнейшем, кроме параграфов 7 и 8, предполагаем,
что sup nk = ж и что n является строго возрастающей последовательностью.
k
2. Элементарная инверсная полугруппа
Пусть S - некоторая инволютивная полугруппа (*-полугруппа). Инволютив-ная полугруппа S называется инверсной полугруппой, если для любого элемента s € S существует единственный инверсный элемент s*, для которого справедливо равенство ss*s = s. Элементарной инверсной полугруппой называется инверсная полугруппа, порожденная одним элементом s и сопряженным к нему s* .
Назовем операторы Tn и Tn* в алгебре Tn элементарными мономами, а любое конечное произведение элементарных мономов в Tn назовем мономом. Понятно, что произведение двух мономов в Tn снова будет мономом. Множество всех мономов образует полугруппу относительно произведения в Tn. Обозначим через mon n полугруппу с единичным элементом I, состоящую из единицы алгебры Tn и всех мономов. Образующими этой полугруппы являются единица и элементарные мономы Tn и Tn*. Поскольку Tn является оператором частичной изометрии, справедливо следующее предложение.
Теорема 4. Полугруппа топ п является элементарной инверсной полугруппой с единицей.
Лемма 1. Существует полугрупповой гомоморфизм тё п : топ п ^ Z такой, что тёп(Тп) = 1 и тёп(ТЩ) = -1.
Доказательство. Из определения операторов Тп и ТпЩ следует, что на каждом инвариантном пространстве Нк эти операторы являются соответственно операторами правостороннего и левостороннего сдвигов:
Т_/ (пк) = Тп/1 —
ТЩ / (
(пк)
0, если ] = Пк;
если 1 < j<nk;
| 0, если j = 1;
1 1/1("1), если 1 <j < Пк.
Если в представлении монома Ш в виде произведений элементарных мономов участвуют г экземпляров оператора Тп и I экземпляров ТП и Ш/(пк) =0, то
Ш/(Пк) = /„о, где т = г - I.
Отметим, что число т не зависит от представления монома Ш в виде произведения элементарных мономов, а зависит только от их количества.
Положим тё п Ш = т. Заметим также, что число т не зависит от выбора
/(пк), и, поскольку вир Пк = те, для любого монома Ш найдется такой базисный к
элемент /(пк) в Нк , что Ш/(пк) =0.
Покажем, что тёп(Ш1 • Ш2) = тёп Ш1 + тё п Ш2, для любых мономов Ш1 и Ш*2. Пусть тё п Ш1 = ¿1 — ¿1 и тё п = ¿2 — ¿2, где ¿1,«2 - количество операторов Тп, а ¿1,12 - количество операторов ТП в представлении мономов Ш1 и соответственно. Тогда
тё п(Ш1 • Ш2) = (¿1 + ¿2) — (¿1 + ¿2) = (¿1 — ¿1) + (¿2 — ¿2) = тё п Ш + тё п Шг. Лемма доказана. □
Число тё п Ш назовем индексом монома Ш.
Заметим, что тёп Ш = 0 тогда и только тогда, когда моном Ш есть проектор. Любые два монома индекса 0 коммутируют.
3. Представления алгебры Тп
Под представлением инверсной полугруппы Б подразумевают сохраняющий инволюцию полугрупповой гомоморфизм п : Б ^ В(НП) полугруппы Б в алгебру ограниченных линейных операторов гильбертова пространства НП. В работе [11] В. Арзуманян дал полное описание неприводимых представлений элементарной инверсной полугруппы.
В данном параграфе опишем представления алгебры Тп. Напомним, что у алгебры Теплица Т существуют одно бесконечномерное неприводимое представление и серия одномерных представлений, параметризованных окружностью Б1 .
Укажем сначала на некоторые свойства операторов ТП и Тп1. Очевидно, ТП и ТП1 - операторы правостороннего и левостороннего, соответственно, сдвигов относительно фиксированного базиса в Н на ¿ шагов. Следовательно, ТП и ТП1
равны нулю в B(Hj), если dim Hj < l, и отличны от нуля, если l < dim Hj = nj. Поэтому проектор T* T1 является диагональным относительно фиксированного базиса {f(n3 }= i в Hj при l < nj и
r*iTi_f(П3) = f f(n3)> если 1 <г < nj—1;
Ln TnJi S .
[0, если nj — l < г < nj.
Аналогичное утверждение верно и для проектора ТПТП* :
Ti t f (n3) _
TnTn Ji — 4 (n3)
1 t * i:
nTn '
0, если 1 г l;
I T*l f (n3 ) =
fin3, если l < г < nj.
Оператор Tn*lT^+T^Tn*1 является диагональным оператором с собственными значениями 0, 1 и 2. На пространствах Hj , dim Hj > 2l, этот оператор имеет собственные значения только 1 и 2, а на Hj, dim Hj < l, он равен 0. Поэтому по теореме о спектральном разложении в алгебре Tn существует проектор P такой, что
0, если dim Hj < l; [Id, если dimHj > 2l.
Положим Q = Id — P. Тогда Q - оператор конечного ранга; Q\h- = Id, если dim Hj < l, и Q\H3 = 0, если dim Hj > 2l.
Лемма 2. Пусть K - С*-алгебра компактных операторов в B(l2(N)) • Тогда Kn = Ф(К) - идеал в Tn •
j
Доказательство. Пусть Lj = ф Hi С l2(N), B(Lj) = {A € B(l2(N))\A\f. =
i=i 3 ж j
= 0}. Очевидно, что алгебра |J B(Lj) плотна в К и Ф^^-)) = ф B(Hi).
j=1 i=1 ж j
Поэтому Kn = IJ Ф(B(Lj)). Покажем, что алгебра ф B(Hi) содержится в Tn. j=1 i=1 Из свойства введенного выше проектора Q следует, что идеал Iq алгебры Tn, порожденный операторами QA и AQ, A € Tn, конечномерен и Iq\h€ = B(Hi),
m
если dim Hi < l. Следовательно, по лемме Шура Iq = ф B(Hi) для некоторого
i=1
j
m, и Iq содержит алгебру ф B(Hi), если dim Hj < l. Устремляя l ^ ж, получим
i=1
Kn = Ф(К). Лемма доказана. □
Следствие. Для любого m € Z+ существует проектор Qm в Tn такой, что
m
Qm ■ Tn = ф B(Hi) •
i=1
Пусть Ii и I2 - два идеала в Tn, порожденные проекторами Pi = I — Tn*Tn и P2 = I — TnTn* соответственно. Легко проверить, что сужения этих проекторов на пространства Hj являются проекторами ранга 1 и Pif^3) = fri^3), P2f(n3) = f(n3).
Лемма 3. Справедливо равенство Ii ■ I2 = Kn•
Доказательство. Операторы Pi и P2 являются проекторами на пространства, порожденные базисными векторами {^3 ^^ i и {f(n3i соответственно. Покажем, что для любого монома W оператор PiWP2 есть оператор конечного
ранга, равный нулю на пространствах Hj, если Hj > шё п Ш + 1. Действительно, пусть Ш/^1 ) = 0. Тогда Ш/("3 ) = , где т = шё п Ш. Поэтому Р1ШР2/{"1) = Р/т++1 = 0, если п^ > т + 1 .В случае, если Ш = Тт и п^ =
= т +1, имеем Р1ШР2/1("1) = /(п/).
Поскольку в ^ плотны конечные линейные комбинации вида ^ PjШк,
к
2 = 1, 2, где Ук ,Шк € шоп п, в произведении /1 • /2 плотны конечные линейные комбинации операторов конечного ранга. Поэтому /1 • /2 С Кп. Обратное включение следует из следствия 3. Лемма доказана. □
Пусть 70 - равномерно замкнутая подалгебра в прямой сумме алгебр Теплица Т фТ, порожденная элементами Т ф Т * , Т * ф Т и единицей / ф /.
Лемма 4. Существуют короткие точные последовательности:
1) 0 — / — Тп — Т — 0, г = 1, 2;
2) 0 — Кп — /2 — К — 0, 0 — Кп — /1 — К — 0;
3) 0 — /1 + /2 — Тп — С (Б1) — 0;
4) 0 — Кп — ТпП— Т0 — 0;
где г! - вложение, п, п^ - фактор-отображения.
Доказательство. 1) Класс смежности [Тп] = Тп + /1 является изометрией, порождающей фактор-алгебру Тп//1. Согласно лемме 3 проектор Р2 = / — ТпТ* не принадлежит идеалу /1, поэтому [Тп] - неунитарная изометрия. По теореме Ко-бурна [12] С*-алгебра, порожденная неунитарной изометрией, изоморфна алгебре
Теплица. Следовательно, короткая последовательность 0 — /1 — Тп — Т — 0 точна. Аналогично, точна и последовательность 0 — /2 ^ Тп Т — 0. Отметим, что П1(Тп)= Т, а П2 (Тп) = Т* .
2) Образ П1 (/2) идеала /2 в короткой точной последовательности 0 — /1 ^ Тп -1 Т — 0 порождается минимальным проектором П1Р2). Поэтому п^/2) совпадает с К - идеалом компактных операторов в Т. Очевидно, кег П1 = /1 р| /2 ,
следовательно, последовательность 0 — /1 р| /2 ^ /2 -1 К — 0 точна. Осталось заметить, что /1 р| /2 = /1 • /2 = Кп. Вторая последовательность в утверждении 2) доказывается аналогично.
3) Справедливость утверждения вытекает из 1), 2) и того, что Т /К = С (Б1).
4) Определим гомоморфизм П1 ф П2 : Тп — Т ф Т, полагая (п1 ф П2)(А) = = П1(А) ф П2(А), где (п1 ф П2)(Тп) = Т ф Т* . Ядро этого гомоморфизма совпадает
с /1 р| /2 = Кп. Поэтому последовательность 0 — Кп ^ Тп То — 0 точна. Лемма доказана. □
Следующая теорема, которая является следствием леммы 4, описывает все неприводимые представления алгебры Тп.
Теорема 5. Алгебра Тп имеет следующее неприводимые представления:
1) конечномерные представления размерностей щ х щ, где щ € п;
2) одно с точностью до унитарной эквивалентности неприводимое бесконечномерное представление;
3) серия одномерных представлений, параметризованных группой Б1.
4. Z-градуировка С*-алгебры
Пусть М.\ - множество всех конечных линейный комбинаций мономов инт
декса I. Оператор А из М.1 представляется в виде А = ^ а Ш, тё = I,
и Л/(пк) = \ где комплексное число а может, в частности, принять значение
т
а = 2 а •
1=1
Очевидно, Мг • Мк С М+к и Мо - коммутативная инволютивная алгебра. Поэтому Мп = Ф Ми - ^-градуированная алгебра, порожденная конечными
к=-ж
суммами, всюду плотная в С*-алгебре Тп •
Обозначим через Аг замыкание Мг в Тп• Из свойств пространства Мг следует, что для любого Л из Аг справедливо равенство = \
Лемма 5. Справедливы следующее утверждения:
1) Ао ^ коммутативная С*-алгебра;
2) АьАк С А+к;
3) Ак П Аг = {0}, если к = I;
4) Ak = AoTn для к > 0;
5) У Ay = sup WA&^W для A €Ai •
1<3<пк
keN
Доказательство. Утверждения 1), 2) и 3) непосредственно следуют из рассуждений, приведенных перед леммой.
Докажем утверждение 4). Каждый элемент A из Ak аппроксимируется линейными комбинациями мономов индекса к. Поэтому оператор AT* аппроксимируется операторами индекса 0 и принадлежит алгебре Ao. Покажем, что A =
= (AT*)Tk.
Пусть Af(ni) = 0. Тогда (T*kT-k)f(n) равен либо нулю, либо fjni). В обоих случаях
(AT* Tk j = 0.
Пусть Af(ni) = 0, то есть Afjni) = afj+k, a = 0. Тогда Tnfjni) = fj+k, а значит
(ATnkTk j = Afjni) = afj+i).
Докажем утверждение 5). Имеем, что Ao есть С*-алгебра диагональных операторов относительно базиса {fjnk)}n= i, к € N. Поэтому для любого A € A0 выполняется равенство
WAW = sup WAfjnk)W.
1<3<nk
keN
Отсюда для A € Ai справедливо соотношение
||A||2 = sup (Ah, Ah) = sup (A*Ah, h) = sup \\Af(nk)\\.
||h|| = i l|h|| = i i<3<nk
keN
Лемма доказана. □
Теорема 6. С *-алгебра Tn есть Z-градуированный Ao -бимодуль• Каждый элемент A из Tn однозначно представляется в виде формального ряда
A - £ Ak
к =—с
где Ak G *4k, к G Z •
Доказательство. Каждый элемент А € Мп однозначно представляется в виде
А = Е
где Аг € Ак€ и кг = к1 при 1 < г = I < т. Так как Аг/1пк) = а/1г+к1}[, где а € С, то
справедливы равенства
Следовательно,
(Аг/1Пк),А1/(Пк)) = 0, г = I.
||А||2 > вир (А/(Пк), А/(Пк)) > 8пр(Аг/]Пк),Аг/]Пк)) = ||АгН-кеы кеы
Поэтому отображение
Фк* : Мп — Ак1, Фк* (А) = Аг
является сжимающим.
Из плотности Мп в Тп следует, что это отображение можно расширить до сжимающего отображения фк : Тп — Ак. Поэтому каждый оператор А из Тп
<х>
можно однозначно представить в виде формального ряда А — Ак, где Ак =
= фк (А). Теорема доказана. □
Заметим, что каждое отображение фк : Тп — Ак, к € ^, является Ао-билинейным.
Следствие. Линейное отображение фо : Тп — Ао есть условное ожидание.
5. Автоморфизмы алгебры Тп
В данном параграфе исследуются две основные группы автоморфизмов алгебры Тп.
Ковариантной системой называется тройка (О, А, а), состоящая из С*-ал-гебры А, локально компактной группы О и гомоморфизма а из О в АИ А, который непрерывен в поточечной топологии [13].
Пусть С (Б1, Тп) - С *-алгебра всех непрерывных отображений из единичной окружности Б1 в С*-алгебру Тп, наделенная равномерной нормой. Операторы сдвига аТ, 0 < т < 2п, (ат/)(егв) = /(ег(т+в)) порождают вложение а : Б1 — АИ С (Б1, Тп) группы Б1 в группу автоморфизмов алгебры С (Б1, Тп), то есть (Б 1,С(Б1, Тп),а) - ковариантная система.
Каждая функция / из С (Б1, Тп) разлагается в формальный ряд Фурье:
/ — £ ап
вгпв
п=
с коэффициентами Фурье
2п
1 ' ""гв )"-гпв Св.
лп = Ц/(<-)«
о
Пусть Тп - замкнутая подалгебра алгебры С(Б1, Тп) порожденная Тп и Тп
где Тп(егпв) = егвТп и (егпв) = е-гвТп.
Теорема 7. Справедливы следующие утверждения 1) Сужение ковариант-ной системы (Si,C(S1 , Tn),a) на алгебру Tn порождает ковариантную систему
(S1, %,a) _
2) С *-алгебры Tn и Tn - ^-изоморфны•
Доказательство. 1) Поскольку
к Tn)(eine) = eiT Tn (eine),
то С*-алгебра Tn инвариантна относительно сдвигов элементарной группы S1 . Следовательно, (S1, T-n,a) - ковариантная система.
2) Отображение f ^ f (1) есть инволютивный гомоморфизм из С*-алгебры (С(S1, Tn) на алгебру Tn. Покажем, что этот гомоморфизм есть *-изоморфизм. Пусть f из Tn раскладывается в формальный ряд
ж
f (eie) - £ Aneine.
п= — оо
Тогда формальный ряд f (1) в градуированной алгебре Tn имеет вид
ж
f (1) - £ An.
n= -ж
и согласно теореме 6
WAnW<Wf (1)W.
Следовательно, если f (1) = 0, то Tn-значная функция f равна 0. Теорема доказана. □
Пусть Z2 - группа целых чисел по модулю 2.
Теорема 8. Существует нетривиальная ковариантная система (Z2, Tn,T) •
Доказательство. Возрастающая последовательность n = {nj}|=i из Nж разбивает пространство l2(N) в прямую сумму
о °°
l2(N)= ф Hk, k=i
где dimHk = nk с базисом {fjnk')}'n=:1 в Hk (см.§1.)
На каждом Hk определим унитарный оператор Uk : Hk ^ Hk такой, что
Ukfjnk) = fnHk}i, 1 < г < nk. Унитарный оператор U = ф Uk на l2(N) удовлет-k k=i воряет условиям
U2 = I, UTnU = T*.
Так как алгебра Tn порождается операторами Tn и Т**, этот унитарный оператор порождает автоморфизм t : Tn ^ Tn, A ^ UnAUni, удовлетворяющий равенству т2 = I. Поэтому тройка (Z2, Tn,т) образует ковариантную систему. Теорема доказана.
Следствие. С*-алгебра Tn есть супералгебра•
Доказательство. Пусть To,n = {A € Tn : UAU = A} и T1,n = {A € Tn : UAU = —A}. Для B €Tn операторы (B + UBU)/2 и (B — UBU)/2 принадлежат алгебре Ton и пространству Tin соответственно. Поэтому Tn = Ton фТ^ и Ton ■ Tin = Tin. Следствие доказано. □
6. Категория Т^~
Определим категорию ТN~ , объектами которой являются С*-алгебры Тп, п € Nто, а морфизмами - сохраняющие единицу * -гомоморфизмы соответствующих С*-алгебр. В данном параграфе найдем условие существования морфизма из Тп в Тш.
Обозначим через Ьош(ТП; Тш) множество всех сохраняющих единицу ^гомоморфизмов из С*-алгебры Тп в С*-алгебру Тш.
Лемма 6. Для того чтобы Иош(ТП; Тш) было не пусто, необходимо, чтобы каждое тг € т представлялось в виде конечной линейной комбинации некоторых
то
элементов из п над Z+, то есть тг € Ф , пк € п.
к=1
Доказательство. Пусть ф : Тп — Тш - сохраняющий единицу ^гомоморфизм. Пусть пг : Тш — В(Нг) = Мш. (С) - проекция на тг-ю координату. Тогда пго ф : Тп — Мш (С) будет * -гомоморфизмом, сохраняющим единицу, из Тп в Мш (С). Поэтому Мш (С) = Мп1 (С) Ф ... Ф Мп>к (С), где п1 + • • • + п'к = тг и сужение пг о ф на каждую полную матричную алгебру Мп>. (С) есть неприводимое представление алгебры Тп. Согласно теореме 5 п'^ € п для всех 1 < ] < к. Лемма доказана. □
Замечание 2. Условие, сформулированное в лемме 6, не является достаточным. Например, для п = {2, 2, 2,...} и т = {2,4, 6, 8,...} необходимое условие леммы 6 выполняется, но Иош(7П; Тш) = 0
Лемма 7. Для того чтобы Иош(7П; Тш) = 0 было не пусто, достаточно, чтобы каждое тг € т входило также в п.
Доказательство. Из предложения 3 следует, что существует строго возрастающая последовательность т' € Nто такая, что Тш > = Тш. Поскольку т' С п, то т' = {пк. }то=1,пкъ € п. Зададим * -гомоморфизм ф : Тп — Тш > так, что бы
то
ф = Ф п^, где п^ : Тп — МПк. (С) - проекция на пк. -ю координату. Лемма дотаяв г
зана. □
Следствие. Пусть N = N \ {1} - последовательность из Nто . В категории TN~ алгебра TN является универсальным отталкивающим объектом, то есть Иош(^; Тш) = 0 для любой последовательности т € Nто .
7. Компактные квантовые полугруппы
Пусть A - С*-алгебра, Д : A — A ®min A - *-гомоморфизм. Этот гомоморфизм называется копроизведением на A, если выполняется равенство
(id ® Д)Д = (Д ® ы)Д.
Пара (A, Д) называется компактной квантовой полугруппой. Если A - унитальная C*-алгебра с единицей I, то отображения Д; : A — — A <g>min A, Д;(А) = A < I, и Дг : A — A «Wn A, Дг (A) = I < A, являются ко-произведениями на A. Эти копроизведения называются тривиальными. Одна из задач теории компактных квантовых полугрупп состоит в отыскании нетривиальных копроизведений на данной C*-алгебре. В данном параграфе строятся примеры конечномерных С*-алгебр и пример бесконечномерной С*-алгебры, на которых можно задать нетривиальные копроизведения.
Пусть n - последовательность натуральных чисел такая, что sup ni = n, и
i
любое натуральное число к, 2 < к < n, содержится в n. Тогда согласно предложе-
n
нию 2 алгебра Tn конечномерна и изоморфна алгебре An = ф Mk (C). Эту алгебру
k=2
можно рассматривать, как алгебру операторов конечномерного гильбертова про-
п г (k)i
странства H = ф Hk, dim Hk = к, с ортонормированным базисом {fi |1 < i < к,
k=2
2 < к < n}, где каждое семейство {fесть базис в Hk, 2 < к < n. Оператор
n
Tn при изоморфизме Tn с An перейдет в оператор Tn = ф PkTPk и полугруппа
k=2
Monn перейдет в полугруппу S, порожденную операторами Tn и ТП.
Лемма 8. * -гомоморфизм Д : S ^ S & S, .заданный равенством Д(W) = = W & W, W € S, расширяется до вложения А : An ^ An & An.
Доказательство. Разобьем ортонормированный базис {f(k & j|1 < i < к,
1 < j < l, 2 < к,1 < n} пространства H & H на классы эквивалентности fikk) &fj1 ~
~ f(c) & f(d), если (W& W)(f(k) & f(l)) = f(c) & f,(d) для некоторого монома W € S. Отметим, что оператор Tn&Tn действует на элементах базиса следующим образом:
пЛ пЛ [0, если i = к или j = l;
(Tn & Tn)(f(k) ® ff)^ f (k, f (0 .. . l
[fi+1 & fj+1, если i <к и j < l.
На каждом классе эквивалентности оператор Tn & Tn является оператором сдвига, причем среди классов эквивалентности найдутся классы любой мощности от 1 до n. Например, одномерным классом является класс {f(k) & f(l)}, двумерным -класс {f(k) & f(l\,f2k) & f ()}, и т.д., n-мерным - класс {f(n) & f(n)l1 < i < n}.
n
Поэтому пространство H & H можно представить в виде H & H = ф mkHгде
k=1
mk - кратность пространства H◦ и dim H◦ = к. Оператор Tn & Tn при этом
n
будет иметь представление Tn & Tn = ф mkP^TP◦. Следовательно, C*-алгебра,
k=2
порожденная операторами Tn & Tn и Tn & Tn , изоморфна алгебре An б и поэтому гомоморфизм Д : S ^ S & S, заданный равенством Д(W) = W & W, W € S, можно расширить до вложения А : An ^ An & An. Лемма доказана. □
Теорема 9. Пусть n - последовательность натуральных чисел такая, что
sup щ = n, и любое натуральное число к, 2 < к < n, содержится в n. Тогда
i
(Tn, А) - компактная квантовая полугруппа.
Доказательство. В лемме 8 было показано, что отображение А : An ^ ^ An & An является *-гомоморфизмом. Для доказательства того, что отображение А является копроизведением, достаточно установить равенство (Id & А.)А = = (А & Id)A. Очевидно, это равенство выполняется на полугруппе S, а так как C*-алгебра An состоит из конечных линейных комбинаций элементов из S, это равенство выполняется для всех элементов из An. Для завершения доказательства теоремы осталось заметить, что Tn = An . Теорема доказана. □
Замечание 3. Компактная квантовая полугруппа (Тп, А) не является ком— п
пактной квантовой группой, поскольку А (I) есть проектор из Н ® Н на ф тк .
к=2
При этом А (I) является единицей в образе А (Тп)
Проводя аналогичные рассуждения, как при доказательстве леммы 8, можно показать, что на универсальной отталкивающей бесконечномерной С*-алгебре ТN, N = N \ {1}, также можно задать структуру компактной квантовой полугруппы.
Теорема 10. Существует *-гомоморфизм Д : Tn — Tn®Tn такой, что пара
(Tn, Д) является компактной квантовой полугруппой.
Доказательство аналогично доказательству теоремы 9.
Литература
1. Woronowicz S.L. Twisted SU(2) group. An example of non-commutative differential calculus // Publ. RIMS. - 1987. - V. 23, No 1. - P. 117-181. - doi: 10.2977/prims/ 1195176848.
2. Woronowicz S.L. Compact matrix pseudogroups // Commun. Math. Phys. - 1987. -V. 111, No 4. - P. 613-665. - doi: 10.1007/BF01219077.
3. Woronowicz S.L. Compact quantum groups // Symmetries quantiques - North-Holland, Amsterdam, 1998. - P. 845-884.
4. Maes A., Van Daele A. Notes on compact quantum groups // Nieuw Arch. Wisk. - 1998. -V. 4, No 16. - P. 73-112.
5. Аухадиев М.А., Григорян С.А., Липачева Е.В. Компактная квантовая полугруппа, порожденная изометрией // Изв. вузов. Матем. - 2011. - № 10. - P. 89-93.
6. Aukhadiev M.A., Grigoryan S.A., Lipacheva E.V. Infinite-dimensional compact quantum semigroup // Lobachevskii J. Math. - 2011. - V. 32, No 4. - P. 304-316. - doi: 10.1134/S199508021104007X.
7. Аухадиев М.А., Григорян С.А., Липачева Е.В. Операторный подход к квантованию полугрупп // Матем. сб. - 2014. - Т. 205, № 3. - P. 15-40. - doi: 10.4213/sm8199.
8. Aukhadiev M.A., Tepoyan V.H. Isometric representations of totally ordered semigroups // Lobachevskii J. Math. - 2012. - V. 33, No 3. - P. 239-243. - doi: 10.1134/S1995080212030031.
9. Grigoryan S.A., Tepoyan V.H. On isometric representations of the perforated semigroup // Lobachevskii J. Math. - 2013. - V. 34, No 1. - P. 85-88. - doi: 10.1134/S1995080213010046.
10. Tepoyan V.H. On Isometric representations of the semigroup Z+\{1} // J. Contemp. Math. Anal. - 2013. - V. 48, No 2. - P. 51-57. - doi: 10.3103/S1068362313020040.
11. Arzumanyan V.A. Irreducible realizations of isometric // Differential Equations and Functional Analysis (in Memory of Prof. R. Alexandrian). - Yerevan: Yerevan State Univ., 1993. - P. 227-231.
12. Coburn L.A. The C* -algebra generated by an isometry // Bull. Am. Math. Soc. - 1967. -V. 73. - P. 722-726.
13. Blackadar B. Operator Algebras. Theory of C* -Algebras and von Neumann Algebras. -Berlin; Heidelberg: Springer-Verlag, 2006. - 548 p.
Поступила в редакцию 11.01.16
Григорян Сурен Аршакович, доктор физико-математических наук, профессор, заведующий кафедрой высшей математики
Казанский государственный энергетический университет
ул. Красносельская, д. 51, г. Казань, 420066, Россия E-mail: gsuren@inbox.ru
Липачева Екатерина Владимировна, кандидат физико-математических наук, доцент кафедры высшей математики
Казанский государственный энергетический университет
ул. Красносельская, д. 51, г. Казань, 420066, Россия E-mail: elipacheva@gmail.com
ISSN 1815-6088 (Print) ISSN 2500-2198 (Online) UCHENYE ZAPISKI KAZANSKOGO UNIVERSITETA. SERIYA FIZIKO-MATEMATICHESKIE NAUKI (Proceedings of Kazan University. Physics and Mathematics Series)
2016, vol. 158, no. 2, pp. 180-193
On the Structure of C*-Algebras Generated by Representations of the Elementary Inverse Semigroup
S.A. Grigoryan *, E.V. Lipacheva **
Kazan State Power Engineering University, Kazan, 420066 Russia E-mail: *gsuren@inbox.ru, **elipacheva@gmail.com
Received January 11, 2016 Abstract
The class of C*-algebras generated by the elementary inverse semigroup and being deformations of the Toeplitz algebra has been introduced and studied. The properties of these algebras have been investigated. All their irreducible representations and automorphism groups have been described. These algebras have been proved to be Z -graded C*-algebras. For a certain class of algebras in the family under consideration the compact quantum semigroup structure has been constructed.
Keywords: C*-algebra, Toeplitz algebra, irreducible representation, inverse semigroup, automorphism group, compact quantum semigroup
References
1. Woronowicz S.L. Twisted SU(2) group. An example of non-commutative differential calculus. Publ. RIMS., 1987, vol. 23, no. 1, pp. 117-181. doi: 10.2977/prims/ 1195176848.
2. Woronowicz S.L. Compact matrix pseudogroups. Commun. Math. Phys., 1987, vol. 111, no. 4, pp. 613-665. doi: 10.1007/BF01219077.
3. Woronowicz S.L. Compact quantum groups. Symmetries Qantiques. North-Holland, Amsterdam, 1998, pp. 845-884.
4. Maes A., Van Daele A. Notes on compact quantum groups. Nieuw Arch. Wisk., 1998, vol. 4, no. 16, pp. 73-112.
5. Aukhadiev M.A., Grigoryan S.A., Lipacheva E.V. A compact quantum semigroup generated by an isometry. Russ. Math. (Iz. VUZ), 2011, vol. 55, no. 10, pp. 78-81.
6. Aukhadiev M.A., Grigoryan S.A., Lipacheva E.V. Infinite-dimensional compact quantum semigroup. Lobachevskii J. Math., 2011, vol. 32, no. 4, pp. 304-316. doi: 10.1134/S199508021104007X.
7. Aukhadiev M.A., Grigoryan S.A., Lipacheva E.V. Operator approach to quantization of semigroups. Sb.: Math., 2014, vol. 205, no. 3, pp. 319-342. doi: 10.4213/sm8199.
8. Aukhadiev M.A., Tepoyan V.H. Isometric representations of totally ordered semigroups. Lobachevskii J. Math., 2012, vol. 33, no. 3, pp. 239-243. doi: 10.1134/S1995080212030031.
9. Grigoryan S.A., Tepoyan V.H. On isometric representations of the perforated semigroup. Lobachevskii J. Math., 2013, vol. 34, no. 1, pp. 85-88. doi: 10.1134/S1995080213010046.
10. Tepoyan V.H. On isometric representations of the semigroup Z+\{1} . J. Contemp. Math. Anal., 2013, vol. 48, no. 2, pp. 51-57. doi: 10.3103/S1068362313020040.
11. Arzumanyan V.A. Irreducible realizations of isometric. Differential Equations and Functional Analysis (in Memory of Prof. R. Alexandrian). Yerevan, Yerevan State Univ., 1993. pp. 227231.
12. Coburn L.A. The C* -algebra generated by an isometry. Bull. Am. Math. Soc., 1967, vol. 73, pp. 722-726.
13. Blackadar B. Operator Algebras. Theory of C* -Algebras and von Neumann Algebras. Berlin, Heidelberg, Springer-Verlag, 2006. 548 p.
/ Для цитирования: Григорян С.А., Липачева Е.В. О структуре С*-алгебр, порож-( денных представлениями элементарной инверсной полугруппы // Учен. зап. Казан. \ ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. - 2016. - Т. 158, кн. 2. - С. 180-193.
For citation: Grigoryan S.A., Lipacheva E.V. On the structure of C*-algebras generated / by representations of the elementary inverse semigroup. Uchenye Zapiski Kazanskogo \ Universiteta. Seriya Fiziko-Matematicheskie Nauki, 2016, vol. 158, no. 2, pp. 180-193.
(In Russian)
