О представлениях янгиана супералгебры Ли Sl(1,2) Текст научной статьи по специальности «Математика»

Владикавказский математический журнал 2011, Том 13, Выпуск 3, С. 53-63

УДК 512.667.7+512.554.32

О ПРЕДСТАВЛЕНИЯХ ЯНГИАНА СУПЕРАЛГЕБРЫ ЛИ з1(1,2)1

В. А. Стукопин

Описаны конечномерные неприводимые представления янгиана супералгебры Ли я((1, 2). Сформулирован и доказан критерий конечномерности неприводимого представления.

Ключевые слова: Янгиан супералгебры Ли, неприводимое представление, многочлен Дринфель-

да, простой модуль.

Введение

Описание неприводимых представлений янгианов супералгебр Ли является важной задачей для теории точно-решаемых моделей статистической механики и квантовой теории поля. С точки зрения теории янгианов конструкция трансфер-матрицы основана на нахождении образа универсальной й-матрицы квантового дубля янгиана при действии тензорного произведения неприводимого представления и тождественного отображения. Вычисление спектра гамильтониана и корреляционных функций также может быть проведено на основе теории представлений янгианов при использовании формулы для универсальной й-матрицы. Поэтому теория представлений янгианов простых и редуктивных алгебр Ли является достаточно развитой наукой, которая начала развиваться еще до появления самого термина — янгиан. В противоположность этому теория янгианов супералгебр Ли является относительно молодой дисциплиной, первые результаты в которой были получены во второй половине 90-х гг. К настоящему времени число приложений теории янгианов супералгебр Ли значительно выросло, в частности, прояснилась связь с квантовой теорией суперструн, а также с теорией калибровочных полей Янга — Миллса, играющих важнейшую роль в современной фундаментальной физике (см. [1, 9, 18]).

В данной работе исследуются представления янгианов супералгебр Ли типа з1(1, 2) (см. [17, 19]). Основным результатом является теорема о классификации конечномерных неприводимых представлений янгиана базисной супералгебры Ли типа з1(1, 2). Классификация неприводимых представлений янгиана полной линейной алгебры д[(п, т) получена ранее в работах [22, 23]. Следует отметить, что теория представлений супералгебры Ли з1(т, п) отличается от теории представлений простой алгебры Ли з1(п) наличием наряду с так называемыми типичными представлениями еще атипичных представлений. Эта патология находит свое отражение и в теории представлений янгианов супералгебр Ли з1(т,п). В этой работе мы ограничиваемся простейшим случаем супералгебры Ли з1(1, 2) наиболее близкой по свойствам к простой алгебре Ли типа з1(2).

© 2011 Стукопин В. А.

1 Работа выполнена при финансовой поддержке Российского фонда фундаментальных исследований, проект № 09-01-00671-а, и Министерства образования и науки РФ в рамках Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг., госконтракт № П1116.

Отметим, что янгианы, наряду с квантованными универсальными обертывающими алгебрами и квантовыми эллиптическими алгебрами, являются одним из трех наиболее важных примеров квантовых алгебр. Само понятие янгиана было введено В. Г. Дрин-фельдом для случая простых алгебр Ли в середине 80-х гг. прошлого века (см. [3, 4]), хотя изоморфные янгиану алгебры использовались при исследовании точно решаемых моделей квантовой теории поля и ранее, в рамках квантового метода обратной задачи рассеяния (см. [20, 21]). В настоящее время янгианы простых и редуктивных алгебр Ли исследованы достаточно хорошо (см. монографии [6, 10]). Янгианы супералгебр Ли начали изучаться с начала 90-х гг. прошлого века (см. [11, 15]).

Важным следствием результатов данной работы, а также работ [12, 13], было бы получение классификации квантовых й-матриц (в случае янгианов простых алгебр Ли соответствующие квантовые й-матрицы описаны в [8]). Этому вопросу, а также более детальному описанию неприводимых представлений, автор надеется посвятить отдельную работу.

Несколько слов об организации данной работы. В первом параграфе мы вводим главное действующее лицо — янгиан базисной супералгебры Ли типа в[(1, 2). Мы даем его описание в терминах токовой системы образующих и соотношений, следуя работе автора [11]. В §2 мы напоминаем конструкцию базиса Пуанкаре — Биркгофа — Витта (PBW базиса) (см. [11]). В §3 мы также для удобства читателя напоминаем основные определения, относящиеся к представлениям янгианов. Здесь же мы формулируем и доказываем основной результат работы.

Мы будем использовать следующие стандартные обозначения. Через С будем обозначать поле комплексных чисел, МП(К) — кольцо N х Ж-матриц с элементами из кольца К; через К [и], К [[и]] —кольцо многочленов, соответственно, формальных степенных рядов, с коэффициентами из кольца К, 2+ — множество неотрицательных целых чисел.

1. Определение янгиана супералгебры Ли типа з1(1, 2)

Мы сначала напомним определение янгиана А(т,п) в частном случае т = 0, п = 1, отсылая за более подробным и общим изложением к работе [11]. Янгиан, как и другие квантовые алгебры, определяется как результат деформации в классе алгебр Хопфа универсальной обертывающей алгебры, которая в случае янгиана, является универсальной обертывающей алгебры Ли полиномиальных токов со значениями в простой алгебре Ли (супералгебре Ли). В работе [11] показано, что такое определение эквивалентно другому определению, использующему так называемую токовую систему образующих. Эта система образующих особенно удобна при рассмотрении представлений янгианов. Поэтому мы рассмотрим ее в первую очередь.

Мы также отдельно рассмотрим случай д = з1(1, 2) = А(0,1). Напомним определение супералгебры Ли в[(1, 2) = А(0,1). Это базисная супералгебра Ли, порожденная

1, Н2, х ± , Х± , — [х± деляющих соотношений, имеет следующий вид:

образующими Н1,Н2,х±,х±,х± = [х±,х±]. Матрица Картана, задающая систему опре

А = (аг,з )2,^=1 = '

Сама же система определяющих соотношений выглядит следующим образом:

[Н,Н]]=0, г = 1, 2; (1.1)

[Нг,х±] = ±агэх±, г,з = 1, 2; (1.2)

[Л ,ж±]=0, [Л,1,ж±] = ±ж±, ,ж±] = +ж±, ,ж±] = ±2ж±; (1.3)

[Лх,ж±] = +ж±, [Л2,ж±] = +3ж±; (1.4)

[ж1 , [ж1 , ж2 ]] = [ж1 , ж3 ] = [ж2 , ж3 ] = [ж1 , [ж1 , ж2 ]] = 0; (1.5)

[ж+,ж-] = ¿^, % = 1,2, [ж+,ж-] = + ^2. (1.6)

Отметим, что образующие ж^ — нечетные, а остальные образующие — четные, т. е. р(ж^) = 1, р(ж^) = р(Л1) = р(Л2) = 0, где р — функция четности (см. [17]). Пусть теперь 0 = в[(1, 2). Напомним теперь определение янгиана У(д) = У(в[(1, 2)) (см. [11]).

Определение 1.1. Пусть У(д)^ (см. [11]) супералгебра (над кольцом формальных степенных рядов С[[Н]]), порожденная образующими , ж^, % £ I = {1,2}, к £ (р(ж1к) = 1, р(ж^) = р(Л1;к) = р(Л2,к) = 0, к £ которые удовлетворяют соотношениям из определения 2 работы [11], а именно следующим соотношениям:

[Л,* Л>г]=0, (1.7)

¿V Л^+г = [ж+к,ж-г], (1.8)

[Ы>к+= [Ы>к,х±1+1] + у- ККк%% + (1-9)

[Лг,0,ж^г] = ±0^ (1.10)

[+,£+1 >= \-Хцк'Хз,1+1] + ^ХцкХз,1 + (1-И)

[ж1,*1, [ж1*2 ,ж2^]] + [ж1*2, [ж1,*1, ж2,^]] = [ж2,*1, [ж2*2, ]] + [ж2*2, [ж2,*1 ]] =0. (1.12)

Отметим, что У (д)а является также алгеброй Хопфа, в которой закон коумножения задается следующими формулами:

Д(ж) = ж <8 1 + 1 ® ж,

Д(ж+0 = ж+1 ® 1 + 1 <8> ж+1 + Н( Лг,0 <8 ж++0 - ж- <8 [ж+., ж+] 1

^ ' Т6Д+ '

Д(ж--1) = ж-1 ® 1 + 1 ® ж-1 + Н(ж-0 ® Л»,0 - ^ [ж-, ж-] ® ж+)

(ж„. ! ) = ж„;д 1 + 1 ж;д + Н^ ж;,0 Лг,0 - [жа ,ж7 ] ж+

76Д+

Д(Л;,1) = <8 1 + 1 <8 Лг,1 + Н( Л;0 <8 Л;0 - ^ (а,7)ж- ® ж+

^ 76Д+

Легко проверить, что при различных Н, не равных 0, супералгебры Хопфа У(д)а изоморфны.

Янгианом У(д) будем называть супералгебру Хопфа У(д)1 над полем комплексных чисел С.

Введем следующие производящие функции образующих янгиана:

те те

Л,(и) = 1 + ^] Л;,* и-*-1 =^2 Л;,* и-*-1, % = 1, 2, (1.13)

*=0 *=-1

те

ж1 = Е ж;,* и-*-1, % = 1,2. (1.14)

*=0

Легко проверить, что соотношение (1.9) эквивалентно следующему соотношению для производящих функций:

ан (Нг(и)(х?С0 _ + (х±±(^) _ х±(и)) Нг(и) Ш = ^ А-£-----(1.15)

2. Корневые образующие.

Теорема Пуанкаре — Биркгофа — Витта

В этом пункте мы сформулируем теорему Пуанкаре — Биркгофа — Витта (ПБВ-тео-рему) для янгиана супералгебры Ли. Этот результат — квантовый аналог соответствующей теоремы для универсальных обертывающих алгебр (см. [2, 6]). В обоих случаях конструируется некий бесконечный линейный базис (т. е. базис в векторном пространстве).

Будем называть степенью образующих аг,к,аг,к £ {х+к

,хг к, Нг , к } их второй индекс.

Степенью монома от образующих будем называть сумму степеней сомножителей. Степенью многочлена от образующих будем называть максимальную из степеней мономов, входящих в этот полином. Обозначим пространство элементов У(д) степени не выше чем к через Ук = Ук (д). Получаем на У (д) фильтрацию

Уо С У1 С У2 С ''' С Уп С '''

Сконструируем корневые векторы для У(в[(1, 2)). Пусть а — нечетный корень и Д+ — множество положительных корней супералгебры Ли д. В случае супералгебры Ли д = в[(1, 2) множество положительных корней Д+ = {0:1,0:3 = «1 + а, а}. Определим на Д+ так называемый выпуклый порядок формулой а\ -< аз -< а:2.

Пусть (г,т) = {г1,т1,г2,т2,гз,тз) — вектор, |(г,т)| = ~ сумма компо-

нент этого вектора. Пусть У- — ассоциативная подалгебра янгиана У(в[(1, 2)), порожденная образующими

{х-к = х—(1), к, х2,1 = х-(3), I, х-з, т = х-(2), т, к,1,т £ 2+} '

Опишем упорядоченные базисы в янгиане У(в[(1, 2)), а также в У2, как в векторных пространствах, т. е. базисы Пуанкаре — Биркгофа — Витта (РВ'УУ-базисы).

Пусть к = (к\, /сз), кг ^ О, Ш = (т1,гп2,тз), тз ^ 0, т.1,т2 € 0,1; в = («1, «2), «1, «2 >0;р = (Р1,Р2), Р1,Р2 >0;г = (Г1,Г2,Г3), г» ^ 0; I = (¿ь^з), ¿з ^ 0, ¿ь£2 € 0,1, — векторы. Пусть также

х(к, Ш] з,р-, г,Т) = {х^(1)м)т1 {х+(2)м)т2 (х+{3^Г'ОЧ^Г

а(1),к^ \^а(2),к1) \^а(3),км) Х(Н2>^2 )Р2{х-(1),г^ (х-(2),г^ (х+(3),г^ '

На множестве векторов {х(к, т; в,р; г, ¿)} определим лексикографический порядок относительно аргументов.

Пусть, как и выше, а3 = а1 + а2 (а1, а2 — простые корни). Пусть х± к ,х±к2 £ У(д), к = к1 + к2. Определим корневые векторы формулами

х± = ха3, к =

х1,к1, х2,к2

Нетрудно проверить, что если (к^, к2) — другое разложение числа к, то ж^ * = [ж^*, ,ж±*,] по модулю членов меньшей степени, т. е. по модулю У*с-1.

Отметим, что по модулю членов меньшей степени (т. е. по модулю У(д) коммутационные соотношения в ф^^У(д)*/У(а)*-1 ® У(5)0 аналогичны коммутационным соотношениям универсальной обертывающей алгебры Ли токов и (д[£]).

Мы предполагаем, что введен определенный выше отображением а линейный порядок на множестве корней Д и обозначим через П множество упорядоченных мономов от жа, а £ Д, % £ I. Мы используем обозначение жа = ж+, ж-а = ж-, а £ Д+.

Теорема. (П, -<) — базис Пуанкаре — Биркгофа — Витта в янгиане У(д).

< Доказательство теоремы см. [11]. >

3. Представления янгиана супералгебры Ли типа в[(1, 2)

Определение. Пусть V — модуль над янгианом У(д) супералгебры Ли д = в[(1,2), с? = }, % £ I, г £ — набор комплексных чисел. Будем обозначать через ^ и называть весовым подпространством модуля V, подпространство

^ = {V £ V : V = V}. (3.1)

При этом с? = } мы будем называть весом янгианного модуля.

Мы хотим описать структуру конечномерных модулей над янгианом У(в[(1, 2)), а также сформулировать необходимые и достаточные условия того, что неприводимый модуль является конечномерным.

Будем называть вектор V £ V примитивным, если V £ и ж^Т V = 0 для всех % £ I,

г £

Будем также называть модуль V модулем со старшим весом, если он порождается примитивным вектором, т. е. V = У(в[(1, 2)^ для некоторого примитивного вектора V £ V*.

Покажем сначала, что каждое конечномерное представление янгиана супералгебры Ли типа У(в[(1, 2)) обладает старшим вектором.

Отметим, что каждый модуль со старшим весом может быть построен как фактор модуля Верма. Модуль же Верма М(с?) может быть сконструирован обычным образом как фактор-модуль янгиана У(в[(1, 2)) по идеалу, порожденному векторами ж +г и векторами Л;,* — С;,* ■ 1. Роль старшего вектора играет единица янгиана 1. Ввиду вложения и(в[(1, 2)) С У(в[(1, 2)), каждый У(в[(1, 2))-модуль можно рассматривать как У(в[(1, 2))-модуль. Рассмотрим вес ^2=1 А^Л^, где А;, % = 1,2, — фундаментальные веса супералгебры Ли 5[(1,2). Тогда весовое подпространство янгианного модуля Верма с таким весом одномерно. Можно показать, что отсюда вытекает, что модуль Верма имеет единственный неприводимый фактор-модуль, обозначаемый обычно V(с?) = М(с?)/Ж(с?), где N (с?) — максимальный подмодуль модуля М (с?).

Предложение 1. Каждое конечномерное неприводимое представление янгиана У(в[(1, 2)) (неприводимый У (в[(1, 2))-модуль) V содержит единственный (с точностью до скалярного множителя) старший вектор V.

Доказательство этого предложения основано на следующей лемме. Пусть

V, = {V£ V : ж+*V = 0, к £ 2+}.

Лемма 1. 1) С V); 2) V) = 0.

< Пусть V е У0. Тогда ж= +кь - [Ы^+их^^ь + ^¿х^ + х+^к^у. Переставляя образующие ж^ и при помощи коммутационных соотношений (определяющих соотношений янгиана), получим, что ж^*= 0. Другими словами, £ для V £ и п. 1) леммы доказан.

2) Пусть V7 £ Начинаем действовать на вектор V7 элементами РВ'^базиса.

Рассмотрим сначала случай т = п = 1, т. е. случай У(в[(1,1)), а после общий случай. В случае У(в[(1,1)) обязательно найдется такое т £ {0,1}, что (ж+)т+ = 0, (ж+ )т+1 V7 = 0. Пусть v2 = (ж+)т+. Начинаем действовать элементами PBW базиса в соответствии с выбранным порядком на этом базисе. Ясно, что найдется такое г, что

V.

Т — (ж+)Рг ... (ж+)Р0V = 0 (р £ {0,1}), но ж+vr = 0 для любых £ £ Ясно, что vr £ V}. Поэтому V} = {0}. >

Рассмотрим теперь случай У(в[(1, 2)). Рассмотрим линейный порядок на векторах PBW базиса, лежащих в У+. Обозначим векторы этого базиса через {ж+(^)}°=0, причем ж+(?) Ч ж+(1) при ] < 1. Найдется такое натуральное число т £ что ж+(т^7 = 0, но ж+(т + 1)v/ = 0 для V7 £

Лемма 2. V} — одномерное подпространство (т. е. любые два вектора из V] пропорциональны) .

< Пусть V7, V77 £ V}, V7 = V77. Тогда, действуя на каждый из них янгианом У(в[(1, 2)), получаем два подмодуля У(в[(1, 2)^7 и У(в[(1, 2))v// модуля V. Последнее противоречит неприводимости модуля V в случае, когда векторы V7, V77 — непропорциональны. >

Легко видеть, что предложение 1 вытекает из лемм 1, 2.

Введем теперь класс модулей со старшим весом — аналоги модулей Верма. Пусть V) = — одномерное векторное пространство, У0+ — подсупералгебра янгиана

У(в[(1, 2)), порожденная образующими ж+*, % £ {1, 2}, к £ У00 = : % £ I, к £ 2+) — линейная оболочка образующих {Л^ : % £ I = {1,2}, к £ 2+}; У + = У0+У°. Пусть также = ^^vл, У0+v+ = 0. Наряду с обозначением с? мы будем также

использовать обозначение Л = с?, чтобы подчеркнуть аналогию со старшими весами модулей супералгебр Ли, кроме того, для краткости будем использовать для старшего вектора обозначение v+ = v+. Заметим, что ^ является одномерным У(в[(1, 2))-модулем. Определим теперь свободный модуль Мл со старшим весом Л формулой

Мл = У(д) 0У+ v+. (3.2)

Очевидно, что как векторное пространство Мл изоморфно У0- 0 v+ : Мл = У0- 0 vЛ. Мы будем для краткости писать ж-"*vЛ вместо ж-"* 0 vл. Ясно, что модуль Мл бесконечномерен. Стандартные рассуждения показывают, что модуль Мл содержит максимальный подмодуль N.. Тогда модуль ^л = Мл/^. — неприводимый модуль со старшим весом Л. Используя стандартные методы теории представлений, можно показать, что любые два модуля с одинаковым старшим весом изоморфны (сравним, например, с [2]).

Итак, нами доказана следующая

Теорема. Для любого старшего веса Л = {А;}те=0 существует единственный неприводимый У (в[(1, 2))-модуль V(Л) со старшим весом Л.

Зададим на модуле М(с?) следующие две фильтрации. Так как модуль М(с?) как векторное пространство естественно изоморфен (У (в[(1, 2)- )*, зададим сначала эти фильтрации на (У(в[(1, 2)-)*, а потом, используя этот естественный изоморфизм, перенесем их на М(с?). Эти фильтрации определяются заданием степеней, являющихся сужением степеней с1, с2 соответственно. Пусть (У(в[(1, 2)-)*, соответственно, (У(в[(1, 2))-)*,

линейная оболочка мономов степени не выше к. Степень монома будем считать равной сумме степеней образующих, произведением которых он является. Степень же образующей в первом случае положим равной значению ее второго индекса, а во втором случае — на единицу больше значения ее второго индекса. Пусть У(в[(1, 2))к = {ж £ У(в[(1, 2)) : (ж) ^ к}, а У(в[(1, 2))к = {ж £ У(в[(1, 2)) : С2(ж) ^ к}. Будем рассматривать сужения этих фильтраций на У(в[(1, 2))-. Таким образом, получаем две фильтрации на У(й)- = У(5[(1, 2)-:

С С (У(й)-)о С (У(й)-)1 С ... С (У(й)-)к С ..., (3.3)

{0} С С С (У(й)-)0 С (У(й)-)1 С ... С (У(й)-)к С ... (3.4)

Пусть М(С)к = (У(й)-)к1^, соответственно, М(С)к = (У(й)-)кТак как неприводимый модуль V(С) является фактор-модулем модуля Верма М(С)к, то определенные выше фильтрации задают фильтрации и на неприводимом модуле V(С). Следует отметить, что эти фильтрации различны по своим свойствам. Правда, фильтрующее пространство первой фильтрации с индексом к содержит все фильтрующие пространства второй фильтрации с индексами, по меньшей мере, до порядка к + 1 включительно.

Опишем теперь условия конечномерности неприводимого модуля со старшим весом.

Обозначим через В^, В2,п линейные оболочки следующих векторов:

В1,п := ((ж-к1 )* ■ ... ■ ж-кг 1+ : (к1 + 1) + ... + (кг + 1) < п) ,

В2,п :^(ж-к1 )'1 ■ ... ■ (ж-кг )Уг 1+ : ¿1 (к1 + 1) + ... (кг + 1) < п) .

Лемма 3. Если В1,п = В1,п+1, то и В1,п = В1 п+к для произвольного натурального к £ N.

< Пусть а £ В1,п. Покажем сначала, что любой вектор из В1,п+к можно представить как образ В1>п при действии картановской подалгебры () = (Л1;к, Л2,к : к £ 2+), именно В1,п+к С ^В1,п. При к = 1 этот факт вытекает из условия леммы.

Пусть теперь к = 2. Нам потребуется следующее соотношение:

Л'гДЖ"^ = ж"пл^1г>+ + [Л,г)ЬЖ-п] 1+ = ж-пЛ,гд1+ + [Лг,о,Ж-п+^ 1+

+ ^ {Чо х~п + х~пЫго)у+ = йгЛх~пУ+ + а^х~п+1У+ + ^ {Ы,ох~п + ж-„/^о)г>+

а' ■

= Чзх1п+\У+ + (^д + +

Используя это соотношение, докажем лемму. Пусть а £ В1,п+2. Тогда а = ж- 61

5—1 ¿о.ко 5

£5—1 ж- к 651+. Представим элемент а в виде

а = ^2 а--1,»я [^-1,ъж-,ка-1] М+. (3.5)

5 — 1

Используя несколько раз приведенные выше два коммутационных соотношения, можно представить элемент а в виде суммы элементов из В1,п+1 и произведения ж1-,1 и элемента из В1,п+1. Так как каждый элемент из В1,п+1 содержится в В1,п последовательно получаем, что а £ В1,п+1 и, следовательно, в силу условия леммы, а £ В1>п. >

Пусть теперь ж- (п) = ж-к1... ж-кг, к1 + ... + кг = п, кг < ... < к1.

Лемма 4. 1) Если вектор ж- (п + 1)1+ £ В1>п, то и вектор ж- (п + к + 1)1+ £ В1>п для произвольного к £

2) Если В1>п = В1;п+Ь то и В1>п = В1п+к для произвольного натурального числа к.

< Отметим, что пп. 1) и 2) эквивалентны. Докажем п. 1). Доказательство проведем по индукции. В доказательстве мы будем использовать картановские образующие Лг,ъ Л;;2, % £ {1, 2}. Индукцию проведем по к. При к = 1 утверждение является следствием условия. Предположим, что утверждение справедливо при к = т, докажем его справедливость при к = т + 1. Идея доказательства основана на том, что мы покажем, что: а) картановские образующие переводят векторное пространство В31)П+т в себя; Ь) каждый моном PBW базиса, указанного в формулировке вида, лежащий в В1)„+т+1, может быть получен в виде линейной комбинации образов мономов PBW базиса, указанного в формулировке теоремы вида, при действии картановских образующих Л;д, Л;;2, % £ {1, 2}, а также элементов PBW базиса, уже лежащих в В?1)П+т. Отметим, что из пп. 1), 2) легко вытекает доказываемое утверждение. Действительно, так как каждый моном из В>1;п+т+1, указанного вида, может быть получен действием картановских образующих Л^д, на мономы из Вп+т, указанного вида, и комбинацией мономов из Вп+т, то, следовательно, лежит в В?1,п+т. Но по индукционному предположению мономы из В?1,п+т могут быть представлены в виде линейных комбинаций мономов из В?1,п. Поэтому для доказательства леммы достаточно доказать пп. а), Ь), которые проверяются по индукции с использованием коммутационных соотношений в янгиане.

Пусть сначала п = 1. Тогда получаем, что ж-(1) £ В1;1. Следовательно, ж-(1) = ЕГ=0 а0,*ж-(?). Прокоммутируем левую и правую части с элементом Л2д. При этом степени мономов увеличатся на 1, а число этих мономов также, вообще говоря, увеличится. Сумма этих мономов является линейной комбинацией мономов меньших степеней (степени п + к), каждый из которых по индукционному предположению также является линейной комбинацией мономов степени п. >

Лемма 5. 1) Имеют место строгие вложения В^ С В^,^! для любых к < п;, к ^ 0, % = 1,2;

2) Bг,ra¿ — Bг,ra¿+1 — ...

< Случай % = 2 вытекает из результатов, относящихся к представлениям янгиана У(в[(2)) [4, 20], п. 1 следует по существу из определений, п. 2) вытекает из предыдущей леммы в случае % = 1. >

Главный результат работы — следующая теорема.

Теорема. 1) Каждый неприводимый конечномерный У(А(0; 1))-модуль V является модулем со старшим весом (1: V = V (!).

2) Модуль V(Л) конечномерен тогда и только тогда, когда существуют многочлены Р^, а также многочлены РQf, удовлетворяющие следующим условиям:

a) все эти многочлены со старшими коэффициентами, равными 1;

b)

Р|(и + 1) "

Р|(и)

1 + Е и-*-1, (3.6)

*=0

Р"(и) + „и-"-1. (3.7)

Qí (и)

*=0

< Пункт 1) теоремы уже доказан. Докажем п. 2) теоремы используя доказанные выше леммы.

Пусть, как и выше, ж-(и) = ^£=0 ж-*и-*-1, % = 1, 2. Из доказанных выше лемм вытекает, что ж"(и>+ = т=0 вт(и^то, где Кт} образуют базис в В^, % = 1, 2. Ниже мы получим явный вид для вт(и). Для краткости мы будем писать вт(и) вместо в^(и).

Здесь следует отметить, что вид вт(и), равно как и все другие результаты, относящиеся к четным корневым образующим, хорошо известны, они вытекают из результатов, относящихся к описанию неприводимых представлений янгиана алгебры Ли в[(2), полученных впервые в [20] (см. также [4, 5, 7, 21]). Поэтому мы подробно остановимся на доказательстве соотношения (3.7), относящегося к нечетной части янгиана У(в[(1, 2)). Нам потребуются соотношения (1.15) в следующем частном случае:

(Л.2(п)( ж-(4) - ж-(и)) + (ж-(4) - ж-(и)) ^2 (и)) [к2 (и), ЖГ (*)] = А--, (3.8)

[Л1 (и), ж- (¿)]=0. (3.9)

Пусть 11,к = ж-к 1+. Тогда, в силу леммы 4, имеет место следующее представление:

N

^ =

Ж- (u)v+ = ^ вг(u)vi,¿. (3.10)

г=0

Отметим, что

те N те

Е_ —к—1 — —к—i , — —к—i xi,feu v+ = 2_> xi,ku v+ + xi,ku v+ k=0 k=0 k=N+1

N N те

= £ Ж—к u—k—1 v+ + £ u—N—11 £ <4 u—i—1 vi,k. k=0 k=0 i=0

Обозначим

те

—k—i

<k = £ u г i, <k(u) = u k i + <k(u). i=0

Тогда имеют место следующие соотношения:

<k+i - <к—i - = 0, k ^ 0, (3.11)

N

<0+i - < = di,n+k+i - £ di,j. (3.12)

^—о

Докажем эти соотношения. Введем следующие обозначения:

^(и) = ^ и-к-1, (3.13)

к—о

й(и) = 1 + и^ ^(и). (3.14)

Тогда соотношения (3.11), (3.12) можно переписать следующим образом в терминах производящих функций:

и^г(и) — ^(и) = ^(и) к ^ 0, (3.15)

N

>0

u<0(u) - <N(u)<0 = uNdi (u) - ^ (u)di(u)uj+i. (3.16)

j=0

Пусть

в;(и) = и"Ж(и), % = 1, 2, . . . , N. Тогда нетрудно показать, что для некоторых матриц

А*(и) = (А*.)Й=1(и) £ Мм(С[[и-1 ]]), к = 1,2,

имеет место равенство

Л* (u)ж-(í)v+ = А/ (и)в/ (фм. (3.17)

К;

Рассматривая совместно соотношения (3.17) и (3.8-3.9), получаем соотношения

^ А2,. (и) в/ (фм = ж-(£)с?2 (и) v+

(3.18)

(/^Ы^ (¿) - ж1 (и)) + (ж1 (¿) - х1 (и))Н2(и)) + (^t)

Al,j (и)в (i)vM = (u). (3.19)

Эти соотношения можно переписать как линейные рекуррентные соотношения, зависящие от набора произвольных констант. Полученные из них соотношения после несложных преобразований и дают соотношение (3.7). >

Литература

1. Arutyunov G., Frolov S. Foundations of the AdS6 x S5 superstring: I // J. Phys. A 42: 254003 Math. Theor.—2009.—arXiv: hep-th/0901.4937.

2. Диксмье Ж. Универсальные обертывающие алгебры.—М.: Наука, 1978.

3. Drinfeld V. Quantum groups // Proc. Int. Cong. Math.—1988.—Vol. 1.—P. 789-820.

4. Дринфельд В. Г. Алгебры Хопфа и квантовое уравнение Янга — Бакстера // Докл. АН СССР.— 1985.—Т. 283, № 5.—С. 1060-1064.

5. Дринфельд В. Г. Новая реализация янгианов и квантовых аффинных алгебр // Докл. АН СССР.— 1988.—Т. 36.—С. 212-216.

6. Chari V., Pressley A. A guide to quantum groups.—Cambridge: Camb. Univ. Press, 1995.—651 c.

7. Chari V., Pressley A. Yangians and Д-matrices // L'Enseignment Math.—1990.—Vol. 36.—P. 267-302.

8. Chari V., Pressley A. Fundamental representations of Yangians and singularities of R-matrices // J. Reine Angew. Math.—1991.—Vol. 417.—P. 87-128.

9. Dolan L., Nappi Ch., Witten E. Yangian Symmetry in D = 4 Superconformal Yang — Mills theory.— 2004.—arXiv: hep-th/0401243.

10. Molev A. Yangians and their applications.—arXiv: math. QA/0211288.

11. Стукопин В. А. О янгианах супералгебр Ли типа A(m,n) // Функциональный анализ и его приложения.—1994.—Т. 28, № 3.—C. 217-219.

12. С тукопин В. А. О дубле янгиана супералгебры Ли типа A(m, n) // Функциональный анализ и его приложения.—2006.—Т. 40, № 2.—С. 81-84.

13. С тукопин В. А. Квантовый дубль янгиана супералгебры Ли типа A(m, n) и вычисление универсальной Д-матрицы // Фундаментальная и прикладная математика.—2005.—Т. 11, № 2.—С. 185208.

14. Stukopin V. A. Representations theory and Doubles of Yangians of classical Lie superalgebras // Asymptotic Combinatorics with Appic. to Math. Phys.—2002.—P. 255-265.

15. Nazarov M. Quantum Berezinian and the classical Capelly identity // Math. Phys.—1991.—Vol. 21.— P. 123-131.

16. Nazarov M., Tarasov V. On irreducibility of tensor products of Yangian modules // Internat. Math. Research Notices.—1998.—P. 125-150.

17. Kac V. A sketch of Lie superalgebra theory // Commun. Math. Phys.—1977.—Vol. 53.—P. 31-64.

18. Spill F., Torrielli A. On Drinfeld's second realization of the AdS/CFT su(2|2) Yangian.—2008.—arXiv: hep-th/0803.3194.

19. Frappat L., Sorba P. Dictionary on Lie superalgebras.—London: Academic Press, 2000.

20. Тарасов В. О. О строении квантовых L операторов для Д-матрицы XXZ модели // Теоретическая и мат. физика.—1984.—Т. 61, № 2.—С. 163-173.

21. Тарасов В. О. Неприводимые матрицы монодромии для для Д-матрицы XXZ модели и решеточные квантовые локальные гамильтонианы // Теоретическая и мат. физика.—1985.—Т. 63, № 2.— С. 175-196.

22. Zhang R. B. Representations of super Yangian // J. Math. Phys.—1995.—Vol. 36.—P. 3854-3865.

23. Zhang R. B. The g((M, N) super Yangian and its finite-dimensional representations // Lett. Math. Phys.—1996.—Vol. 37.—P. 419-434.

Статья поступила 29 июля 2010 г.

Стукопин Владимир Алексеевич Южный математический институт ВНЦ РАН и РСО-А, ведущий научный сотрудник лаб. вещественного анализа РОССИЯ, 362027, Владикавказ, ул. Маркуса, 22 Донской государственный технический университет, доцент кафедры прикладной математики РОССИЯ, 344000, Ростов-на-Дону, пл. Гагарина, 1 E-mail: [email protected]

ON REPRESENTATIONS OF YANGIAN OF LIE SUPERALGEBRA sl(1,2)

Stukopin V. A.

The finite-dimensional irreducible representations of Yangian of Lie Superalgebra s((1, 2). The necessary and sufficiently conditions of irreducibility of finite-dimensional representations are formulated and proved.

Key words: Yangian of Lie Superalgebra, irreducible representations, Drinfeld polynomial, simple module.