CC BY
36
УДК 512.667.7+512.554.32
О КЛАССИФИКАЦИИ НЕПРИВОДИМЫХ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ ЯНГИАНА СУПЕРАЛГЕБРЫ ЛИ SL (1, 2)*
В.А. СТУКОПИН
(Донской государственный технический университет)
Получена классификация неприводимых конечномерных представлений янгиана супералгебры Ли sl(1,2) -супералгебры Хопфа, имеющей многочисленные применения в современной теоретической и математической физике. Предложены возможные приложения полученного результата в математической физике. Ключевые слова: янгиан, супералгебра Ли, неприводимое представление, модуль, супералгебра Хопфа.
Введение. Описание неприводимых представлений янгианов является важной задачей для теории точно решаемых моделей статистической механики и квантовой теории поля. С точки зрения теории янгианов конструкция трансфер-матрицы основана на нахождении образа универсальной к-матрицы квантового дубля янгиана [1] при действии тензорного произведения неприводимого представления и тождественного отображения. Вычисление спектра гамильтониана и корреляционных функций также может быть проведено на основе теории представлений янгианов при использовании формулы для универсальной к-матрицы. Поэтому теория представлений янгианов простых и редуктивных алгебр Ли является хорошо изученной, которая начала развиваться еще до появления самого термина - янгиан. В противоположность этому теория янгианов супералгебр Ли является относительно молодой дисциплиной, первые результаты в которой были получены во второй половине 90-х годов. К настоящему времени число приложений теории янгианов супералгебр Ли значительно выросло, в частности, прояснилась связь с квантовой теорией суперструн и теорией калибровочных полей Янга - Миллса, играющих важнейшую роль в современной фундаментальной физике [2, 3].
В работе исследуются представления янгианов супералгебр Ли типа 51(1,2) [4], основной результат - теорема о классификации конечномерных неприводимых представлений янгиана базисной супералгебры Ли типа 51(п,т). Рассматривается простейший случай супералгебры Ли 51(1,2) наиболее близкой по свойствам к простой алгебре Ли типа 51(2), который позволяет продемонстрировать все существенные черты развиваемой теории.
Были использованы следующие стандартные обозначения: С - поле комплексных чисел, N- множество натуральных чисел, Z+ - множество неотрицательных целых чисел. Формулировка основного результата. Пусть д = 51(1,2) = Л(0,1) - базисная супералгебра Ли,
ассоциативная супералгебра над кольцом формальных степенных рядов С[[й]], порожденная образующими х^г ,^к,/,] е I = {1,2},г,к е , степени которых определяются формулами:
deg(x±2,5) = deg(h1,5) = deg(h2,5) = 0^ед(х±1,5) = 1,5 е , удовлетворяющие следующей системе определяющих соотношений [7, определение 2]:
федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» в рамках мероприятия 1.2.2 (госконтракт П1116).
определяемая следующей матрицей Картана
Янгиан У(д) = У(^(1,2)) [5, 7] -
Работа выполнена при поддержке Российского фонда фундаментальных исследований (№ 09-01-00671-а), а также
її,*,hjJ] = 0,/,І = 1,2;к є 7+;
[х+,-,к, ^ л] = 5,, Дк+1Л у є 1 = {1,2},М є 7+; х+у к] = +а-„х± у ікЛ І =1,2к є 7+;
Хк+і,Xіі,і] = [Xі,,к,Xіі,і+1] ± а^, к,Xіл},/,І = 1,2;к,І є 7+;
[Xі,,к,[Xі,,IXіу,, ]] + [Xі,,1,[х±/,кХ±і,г ]] = 0, /,І = 1,2; к, I, г є 7+.
Здесь ау - элементы матрицы Картана А = (ау )2,І=1 = ^ ^ 1 ^; [а,Ь] = аЬ - Ьа обозначает коммутатор, {а,Ь} = аЬ + ьа - антикоммутатор элементов а, Ь . Отметим,
что элементы янгиана степени 0 называются четными, а степени 1 - нечетными.
Замечание 1. Заметим, что У(д) является на самом деле супералгеброй Хопфа [7], но для формулировки основного результата структура коумножения не требуется, поэтому ее описание структуры опускается.
Пусть V - модуль над янгианом У(д) супералгебры Ли д = sl(1,2), С = {С, г};, є I,г є 7+ -набор комплексных чисел. Будем обозначать через Vd и называть весовым подпространством модуля V подпространство Vс = {V є V : h/ rv = сі, у}, при этом С = {С,г} - вес янгианного модуля. Необходимо описать структуру конечномерных модулей над янгианом У(д), а также сформулировать необходимые и достаточные условия того, что неприводимый модуль является конечномерным.
Вектор V є V называется примитивным, если V єVС и xfгv = 0 для всех , є I,г є 7+, а модуль V модулем со старшим весом, если он порождается примитивным вектором, т. е. V =У(дУ для некоторого примитивного вектора V єVс(С). Модуль V со старшим весом С будем также обозначать через V = V(С).
Главный результат работы - теорема о классификации неприводимых конечномерных ян-гианных модулей.
Теорема. 1) Каждый неприводимый конечномерный У(А(0,1)) -модуль V является модулем со старшим весом С, т. е. V ^(С).
2) Модуль V(С) конечномерен тогда и только тогда, когда существуют многочлен Р2С, а также многочлены Р1с, Q1‘с, удовлетворяющие следующим условиям: все многочлены со старшими коэффициентами, равны 1;
Рр (и +1) = 1+ Ё с2кик-1, (1)
р2 (и) к=й 2,к ' ^
^ = 1+ Ё С1кик-1. (2)
Qdс (и) 1к
Доказательство основного результата. Приведем схему доказательства теоремы 1, дающей классификацию неприводимых конечномерных представлений янгиана У^1(1,2)). Обозначим через В1п, В2п линейные оболочки следующих векторов:
в1,п = X-к ...^-кЛ 1 к1 +1 +... + кг +1 < п), (3)
&2,п = <(x1-,k1У1 Кк2 У2. ..^к Уг У+1 ^1 (к1 +1) +... + і г (кг +1) < п). (4)
Лемма 1. Если В1п = В1 п+1, то В1п = В1 п+к для произвольного натурального числа к е N .
Доказательство. Пусть а е В1п. Покажем сначала, что любой вектор из В1 п+к можно представить как образ В1п при действии картановской подалгебры Н = {Л1к ,Л2к | к е Z+}, именно В1 п+к с НВ1 п+к. При к = 1 этот факт вытекает из условия леммы. Пусть теперь к = 2. Потребуется следующее соотношение:
^,1Х],пУ+ = Х]Л,1У+ + [h/,1, Х],пК = Х-^/,1¥+ + [hífi, Х-,п+1]У+ +
+(а-/ ЗД,0Х;:,п + Х;:,п^',0)^+ = ¿,,1Х;,п^+ + а ¡]Х] ,п+\^+ + (ац12)(^/,0Х-,п + Х;Т,п^-,0)^+ =
= а/]Х- ,п+)У+ + (4,1 + а/ 2)(2^,0 + а] )Х;,п^+ .
Используя это соотношение, докажем лемму.
_ г
Пусть а е В1п+2, тогда а = ^ х,-,к^5к+ . Представим элемент а в виде
5=1
а = ]Са^-1,/5[К 1,^ х- ,к. 1]^+. (5)
5=1
Используя несколько раз приведенные выше два коммутационных соотношения, можно представить элемент а в виде суммы элементов из В1 п1 и произведения х- 1 и элемента из
В1 п1. Так как каждый элемент из В1 п1 содержится в В1п, то последовательно получаем, что
а е В1 п1 и, следовательно, в силу условия леммы а е В1 п. Лемма доказана.
Пусть теперь х (п) = х1Л ...х1к ,к1 + к2 +... + кг = п,кг < кг_1 <... < к1.
Лемма 2. Если вектор х (п +1) е В1п, то и вектор х (п + к +1) е В1п для произвольного числа
к е Z+ .
Следует отметить, что леммы 1 и 2 эквивалентны. Формулировка второй леммы бывает иногда удобнее для применения.
Докажем теперь теорему. П.1 теоремы доказывается относительно стандартными для теории представлений рассуждениями. Поэтому несколько подробнее остановимся на схеме доказательства п.2, которое в большей степени использует особенности структуры янгиана. Покажем, достаточно схематично, как утверждение теоремы выводится из сформулированных выше лемм. Введем производящую функцию образующих:
да
х/ =Е х/^и51,/ = !,2.
5 =1
N
Из доказанных лемм вытекает, что х/(и)к+ = ^р'т(и)у/т , где векторы {к/т} образуют
т=0
базис в В/ п,/ = 1,2. Фактически может быть получен явный вид для функций р^(и). Будем использовать рт(и) вместо р» . Здесь следует отметить, что вид р^ (и), по существу, известен,
как и все результаты, относящиеся к четным образующим. Они вытекают из описания неприводимых представлений янгиана алгебры Ли 5/(2). Поэтому остановимся только на доказательстве
результатов, относящихся к нечетной части янгиана У(5/(1,2)). Потребуется часть определяющих
соотношений в янгиане в специальной форме:
[Л (и),Х ^)] = ^(и)(хГ(0 ~ Х-(и)) + (ХГ(П - Х- (и)Ши) (6)
2,1 и -1 '
[^2 (и), Х-(О] = 0. (7)
Пусть v1k = x1kv+, тогда соотношение имеет вид
N
x(u) = £ßz (u)vi,/.
(8)
/=0
Отметим, что
k=0 k=0 k=N+1
k=0
k=N+1
k=0
k=0 /=0
Обозначим pk(u) = Xфku ' 1, и пусть cpk(u) = u k 1 + pk(u), следовательно
/=0
(9)
N
Ф0+1 _ pNp0 = d1,n+k+1_ Spjd1,j.
(10)
Доказываются соотношения (9), (10) по индукции, на основе системы определяющих соотношений в янгиане и соотношений (6) - (8). Подробные доказательства этих соотношений громоздки, они опускаются. Из полученных соотношений при помощи несложных преобразований и получаются доказываемые соотношения (2). Теорема доказана.
Замечание 2. Многочлены, участвующие в формулировке теоремы, можно рассматривать как аналоги старших весов представления супералгебры Ли. Таким образом, теорема является аналогом для янгианов результата, полученного В. Г. Кацем [8], дающего классификацию неприводимых представлений базисной супералгебры Ли в терминах старших весов. При этом степень многочлена является аналогом целочисленности веса. В нашем случае нечетному корню соответствует пара многочленов, что согласуется с результатом В. Г. Каца, что вес, соответствующий нечетному корню, не обязан быть целочисленным [8].
Замечание 3. В работах [5], [6] получены мультипликативные формулы для универсальных R-матриц янгиана и его квантового дубля в случае супералгебры Ли типа sl(m,n). Комбинируя этот результат с результатом теоремы, можно получить явные формулы для квантовых R-матриц и L операторов в анзаце Бете, что весьма важно для исследования струнных теорий в рамках AdS гипотезы [2]. Изложению этих результатов будет посвящена отдельная работа.
Выводы. Получена классификация неприводимых представлений янгиана супералгебры Ли sl(1,2). Этот результат, по существу, является простейшим в ряду классификационных теорем, описывающих простые модули над янгианами базисных супералгебр Ли. Обобщения результата, потребуют значительно больших технических усилий и должны опираться на пока еще не доказанную общую теорему Пуанкаре - Биркгофа - Витта для янгианов базисных супералгебр Ли. Значение этого результата заключается в том, что в случае когда диаграмма Дынкина базисной супералгебры Ли содержит «серые» корни, на него можно будет опираться при доказательстве теоремы о классификации неприводимых представлений.
Библиографический список
1. Drinfeld V. Quantum groups / V. Drinfeld // Proc. Int. Cong. Math. - V. 1. - Berkley, 1988.
- P. 789-820.
2. Dolan L. Yangian Symmetry in D = 4 Superconformal Yang-Mills theory / L. Dolan, Ch. Nappi, E. Witten // arXiv: hep-th/0401243, 2004.
3. Spill F. On Drinfeld's second realization of the AdS/CFT su(2, 2) Yangian / F. Spill, A. Torrielli // arXiv: hep-th/0803.3194, 2008.
4. Frappat L. Dictionary on Lie Superalgebras / L. Frappat, P. Sorba. - London: Academic Press,
2000.
5. Стукопин В.А. О дубле янгиана супералгебры Ли типа A (m, n) / В.А. Стукопин // Функ-цион. анализ и его приложение. - 2006. - Т. 40. - № 2. - C. 81-84.
6. Стукопин В.А. Квантовый дубль янгиана супералгебры Ли типа A (m, n) и вычисление универсальной R-матрицы / В.А. Стукопин // Фундамент. и прикладная математика. - 2005. - Т. 11. - № 2. - C. 185-208.
7. Стукопин В.А. О янгианах супералгебр Ли типа A (m, n) / В.А. Стукопин // Функцион. анализ и его приложение. - 1994. - Т. 28. - № 3. - С. 85-88.
8. Kac V. A Sketch of Lie Superalgebra Theory / V. Kac // Commun. Math. Phys. - 1977. - 53.
- P. 31-64.
9. Тарасов В.О. О строении квантовых L операторов для R-матрицы XXZ модели / В.О. Тарасов // Теорет. и мат. физика. - 1984. - Т. 61. - № 2. - С. 163-173.
10. Тарасов В.О. Неприводимые матрицы монодромии для R-матрицы XXZ модели и решеточные квантовые локальные гамильтонианы / В.О. Тарасов // Теорет. и мат. физика. - 1985. - Т.
63. - № 2. - С. 175-196.
11. Zhang R.B. Representations of super Yangian / R.B. Zhang // J. Math. Phys. - 1995. - V. 36.
- P. 3854-3865.
Материал поступил в редакцию 16.06.11.
References
1. Drinfeld V. Quantum groups / V. Drinfeld // Proc. Int. Cong. Math. - V. 1. - Berkley, 1988.
- P. 789-820.
2. Dolan L. Yangian Symmetry in D = 4 Superconformal Yang-Mills theory / L. Dolan, Ch. Nappi, E. Witten // arXiv: hep-th/0401243, 2004.
3. Spill F. On Drinfeld's second realization of the AdS/CFT su(2, 2) Yangian / F. Spill, A. Torrielli // arXiv: hep-th/0803.3194, 2008.
4. Frappat L. Dictionary on Lie Superalgebras / L. Frappat, P. Sorba. - London: Academic Press,
2000.
5. Stukopin V.A. O duble yangiana superalgebry' Li tipa A (m, n) / V.A. Stukopin // Funkcion. analiz i ego prilozhenie. - 2006. - T. 40. - # 2. - C. 81-84. - In Russian.
6. Stukopin V.A. Kvantovy'j dubl' yangiana superalgebry' Li tipa A (m, n) i vy'chislenie univer-
sal'noj R-matricy' / V.A. Stukopin // Fundament. i prikladnaya matematika. - 2005. - T. 11. -
# 2. - C. 185-208. - In Russian.
7. Stukopin V.A. O yangianax superalgebr Li tipa A (m, n) / V.A. Stukopin // Funkcion. analiz i ego prilozhenie. - 1994. - T. 28. - # 3. - S. 85-88. - In Russian.
8. Kac V. A Sketch of Lie Superalgebra Theory / V. Kac // Commun. Math. Phys. - 1977. - 53.
- P. 31-64.
9. Tarasov V.O. O stroenii kvantovy'x L operatorov dlya R-matricy' XXZ modeli / V.O. Tarasov // Teoret. i mat. fizika. - 1984. - T. 61. - # 2. - S. 163-173. - In Russian.
10. Tarasov V.O. Neprivodimy'e matricy' monodromii dlya R-matricy' XXZ modeli i reshyotoch-
ny'e kvantovy'e lokal'ny'e gamil'toniany' / V.O. Tarasov // Teoret. i mat. fizika. -
1985. - T. 63. - # 2. - S. 175-196. - In Russian.
11. Zhang R.B. Representations of super Yangian / R.B. Zhang // J. Math. Phys. - 1995. - V. 36.
- P. 3854-3865.
ON CLASSIFICATION OF YANGIAN IRREDUCIBLE REPRESENTATIONS OF LIE SUPERALGEBRA SL (1,2)
V.A. STUKOPIN
(Don State Technical University)
The classification of Yangian irreducible Unite-dimensional representations of Lie superalgebra sl(1,2) - Hopf superalgebra is obtained. The classification is of great use in modern theoretical and mathematical physics. Some feasible applications of this result in mathematical physics are offered.
Keywords: Yangian, Lie superalgebra, irreducible representation, module, Hopf superalgebra.
