Опeраторы КМС типа b(1, 1) и супералгебра Ли osp(3, 2) Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 517.986.68

ОРАТОРЫ КМС ТИПА B(1,1) И СУПЕРАЛГЕБРА ЛИ osp(3, 2)

Г. С. Мовсисян1, А. Н. Сергеев2

1 Мовсисян Геворг Суренович, аспирант кафедры геометрии, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, Россия, 410012, Саратов, Астраханская, 83, [email protected]

2Сергеев Александр Николаевич, доктор физико-математических наук, профессор кафедры геометрии, Саратовский национальный исследовательский государственный университет имени Н. Г. Чернышевского, Россия, 410012, Саратов, Астраханская, 83, [email protected]

Основной целью данной статьи является исследование связей между теорией представлений супералгебры Ли osp(3,2) и дифференциальным оператором Калоджеро - Мозера - Сазерленда (КМС) типа B( 1,1). Этот дифференциальный оператор зависит (полиномиально) от трёх параметров. Соответствующие полиномиальные собственные функции также зависят от трёх параметров, но в общем случае коэффициенты этих собственных функций имеют рациональную зависимость от параметров. Важным является вопрос о специализации собственных функций при заданных значениях параметров. Наиболее интересен случай супералгебр Ли, в котором k = p = -1. В этом случае доказывается, что характеры неприводимых конечномерных представлений супералгебр Ли osp(3,2) могут быть получены из собственных функций дифференциального оператора КМС типа B(1,1) при указанной специализации и условии того, что k,p связаны также некоторым линейным соотношением.

Ключевые слова: супералгебра, представление, характер, квантовая интегрируемая система. DOI: 10.18500/1816-9791-2017-17-1-19-30

ВВЕДЕНИЕ

Супералгебра Ли osp(3, 2) является одним из простейших примеров супералгебр, теория представлений которых не полупроста. В этом случае, как правило, задача описания неприводимых представлений в терминах более простых представлений (в частности, вычисления их характеров) является глубоко нетривиальной. В общем случае для супералгебр osp(n, 2m) эта задача была решена В. Сергановой [1]. При этом используются полиномы Каждана - Люстига специального вида, а соответствующий алгоритм дает кратности неприводимых модулей в виртуальных модулях Эйлера, характеры которых известны. В данной работе в частном случае супералгебры osp(3,2) дается другой способ вычисления характеров неприводимых представлений. А именно, используя связь между супералгебрами Ли и деформированными квантовыми интегрируемыми системами [2], вычисляются специализации собственных полиномиальных функций оператора Калоджеро - Мозера - Сазерленда (КМС) типа B(1,1). Более точно рассматриваемые собственные функции являются полиномами от двух переменных Fa(v,u) и нумеруются диаграммами Юнга Л специального вида (крюки). При этом коэффициенты этих полиномов рационально зависят от двух параметров k и p. Случай k = -1, p = —1 соответствует супералгебре Ли osp(3,2). Но этот случай является особым, в том смысле, что коэффициенты полиномов Fa(v,u) имеют полюса в этих точках. Оказывается, что предел при k ^ —1, p ^ —1 существует, если параметры p, k связаны линейным соотношением (которое зависит от

диаграммы Л), и совпадает с характером неприводимого модуля соответствующего диаграмме Л. Основной новый результат работы сформулирован в теореме 4.

Для удобства читателя результаты излагаются в виде максимально независимом от других источников, используя все возможные упрощения в случае системы корней B(1,1).

1. ДЕФОРМИРОВАННЫЙ ОПЕРАТОР КМС ТИПА B(1,1)

Рассмотрим дифференциальный оператор КМС с системой корней типа B(1,1), который является частным случаем общего КМС оператора типа B(m,n) [3]

L = (dx)2 + k(dy )2 - p ( — dx + ^ dy

+(k - 1)

У2 + 1 У2 - 1

dy +

'v.

y + x У - x

x-1

У -1

+

y + x

-1

(dx - kdv) - ——1 (dx + kdv)

У - x

(1)

где дх = хд, ду = уду и к, р — комплексные параметры. Введём новые переменные и = 1 (х + х-1 — 2), V = 2(у + у-1 — 2), тогда оператор (1) примет вид

L2 = (du)2 + k(dv)2 -

и + v

и - v

(du - kdv) - (1+ p)(du + dv)-

d d \ d d 4

-(1 + 2p) ( — + — + 2—du + 2k—--(du - kdv):

du dv / du dv и - v

(2)

Мы будем называть параметры к, р общими, если 1, р, к являются линейно независимыми над полем рациональных чисел.

2. АЛГЕБРЫ ДЕФОРМИРОВАННЫХ СИММЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ И СДВИНУТЫХ ДЕФОРМИРОВАННЫХ СИММЕТРИЧЕСКИХ ПОЛИНОМОВ

Естественной областью действия оператора (2) является следующая алгебра деформированных симметрических полиномов:

А1,1 = {/ е С[и, V]| (ди — кд„)/ е (и — V)}, (3)

где (и—V) — это идеал, порождённый многочленом и—V и ди = идИ, д^ = VIV • В качестве линейного базиса в А1,1 выберем суперполиномы Джека [4], которые в этом случае имеют вид

w

ц <

1

л

3

рл = vAuM -

д - kA

д + 1 - k(A - 1)

vA-1 u^+1.

где Л = (Л,д) — диаграмма Юнга-Крюк (рисунок). Обозначим через Л — 6 диаграмму (Л — 1,д), а через Диаграмма Юнга-Крюк л — г — диаграмму (Л,д — 1).

Лемма ниже является частным случаем теоремы 2 из [2].

Лемма 1. Если к не является рациональным неотрицательным числом, то многочлены корректно определены и являются базисом алгебры А1,1.

1

Доказательство. Из явной формулы для РЛ следует, что они корректно определены, если к — не является рациональным неотрицательным числом. Покажем теперь,

что РЛ линейно независимы. Предположим, что ^ СЛРЛ = 0 и не все коэффициенты

л

равны нулю. Среди таких коэффициентов выберем максимальный СЛ, относительно лексикографического порядка на парах (А,ц). Рассматривая предыдущее линейное соотношение как многочлен от -, -, мы видим, что его старший коэффициент (относительно лексикографического порядка) тоже равен СЛ. Это дает противоречие и доказывает линейную независимость.

Докажем, теперь, что многочлены РЛ образуют базис. Из условия (3) следует, что размерность однородной компоненты степени п алгебры А1)1 равна п — 1. Но ровно столько же существует многочленов РЛ степени п. Это доказывает утверждение о базисе. □

Лемма 2. Оператор (2) действует на базис Рл по следующим формулам:

^2(Рл) = а(Л, Л)Рл + а(Л — 5, Л)Рл-* + а(Л — е, Л)Рл-£, где а(Л, Л) = ц(ц + 1) + кА(А — 1) — (р + 1)(А + ц), а(Л — е, Л) = ц(2ц — 2р — 1),

а(Л — Л) = (А — 1)(2кА — 2к — 2р — 1)-Ц ~ кА Ц + 1 —/к(А — 2).

1 7 1 > + 1 — к (А — 1) ц — к(А — 1)

5 частности, оператор отображает алгебру А1,1 в себя.

Доказательство. Оператор (2) состоит из суммы двух операторов, т. е.

где

- + V

= (ди)2 + к(д„)2 — (ди — кд^) — (1 + р)(ди + ^)

"и

- — - '

д д \ д д 4

= — (1 + 2р) ( — + — + 2—ди + 2к—д^--(ди — кд„).

д- д- / д- д- - — -

Легко проверить, что многочлен Рл является собственной функцией оператора ^2+ с собственным значением а(Л, Л). Далее легко проверить, что

(Рл) = а-V-1 + е-Л-1 + 7-Л-2 -м+\

где

« = 2Ц2 — » + «, в = — «А—^ + 11 ■

< = — (7 + ^кА2 — (.+ад Цí+-íiА|;—1l + (1+адл — 4(ц — кЛ,

В то же время мы предполагаем, что

(Рл) = а(Л — 5, Л)Рл_* + а(Л — е, Л)Рл-е.

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17, вып. 1 Таким образом,

а(А - Л)Рл-5 + а(А - г, Л)Рл-£ = и:-1 + ^Л-1и: + 7^Л-2.

Пользуясь явной формулой для многочленов РЛ и приравнивая коэффициенты при одинаковых мономах, в результате получим переопределённую систему на а(Л — г, Л) и а(Л — Л). Решая эту систему, получим формулы, указанные в утверждении леммы. Тот факт, что оператор (2) отображает алгебру А1,1 в себя, сразу следует из предыдущих вычислений. □

Нам также понадобится алгебра сдвинутых деформированных симметрических полиномов, которая на самом деле изоморфна алгебре интегралов задачи КМС [2]

{/ е | / обладает свойствами

1)/(V, и) многочлен от (V — 1 — 1 (р + 1)к-1 )2 и (и — |р)2

2)/(V + 1,и — 1) = /если и = ки

Для общих значений к, р определим многочлены

Ол(V, и) = (V — 1) ... (V — Л + 1)и(и — 1)... (и — Д + 1) X хк-2:(V — (р + 1)к-1)... (V + Л — 2 — (р + 1)к-1)(и + 1 — (р + 1))... (и + д — (р + 1))х

Л — к-1 д

х (V — к-1 д)^ + к-1 д — 1 — (р + 1)к-1) — -------— к-2(и — д)(и + д — р)

Л — 1 — к (д + 1)

Общий случай следующей леммы рассмотрен в работе [3, предложение 6.3].

Лемма 3. Полином дл^,и) обладает следующими свойствами:

1) ОХ^) = дл(Л,Д) = 0, если N = (Л, Д) не содержит Л и

Ол(Л) = Ол(Л) = к-2:(Л — 1)!д!(Л — (р + 1)к-1)... (2Л — 2 — (р + 1)к-1 )х х(д — р)... (2д — р — 1)(Л — к-1д)(Л + к-1 д — 1 — (р + 1)к-1);

2) длявляется полиномом от (V — 2 — 2(р + 1)к-1 )2 и (и — |р)2; дл(^ + 1,и — 1) = дл(г>,и), если и = к^.

Доказательство. 1. Рассмотрим две диаграммы Л = (Л,д) и N = (Л, Д). Видно, что если Л > Л или д > Д, то полином обращается в нуль.

2. Данное свойство легко доказать, сгруппировав элементы многочлена дл

3. Для доказательства этого свойства нужно показать, что

дл(^ + 1,и — 1)

= 1,

и=ку

дл

таким образом доказательство сводится к подсчёту левой части последнего равенства

дл (V + 1,и — 1)

Ол(^и)

(V + Л — 1 — к-1 (р +1)) — х

V — Л + 1

4=к«

х

(V + 1 — к-1 д) — л-1Л--кк--1(;:+1) (V — к-1 — дк-1)

(V — к-1д — 1 — (р + 1)к-1) — л-1Л--к-~1 (;+1) (V + дк-1 — рк-1)

Упростим числитель и знаменатель в квадратных скобках:

(- + 1 — к-1 ц) — --А ~ _11.ц-- (- — к-1 — цк-1) =

Л — 1 — к-1 (д + 1) 1 + к-1

(v — Л + 1),

Л — 1 — к-1(д + 1)

Л — к

Л — 1 — к-1 (д + 1)

(v — к-1д — 1 — (p + 1)к-1) — --Л к-1.Д-- (v + дк-1 — pk-1) =

1 + к-1 Л — 1 — к-1 (д + 1)

(v + Л — 1 — к-1 (p +1)).

□

Лемма 4. Для общих значений параметров многочлены Ол(-,-) являются базисом алгебры В1,1.

Доказательство. Докажем вначале, что если / е В1,1 и / = 2,к-2-2)+ члены меньшей степени, то ^ е А1,1. Действительно, разложим f (- + 1,- — 1) в ряд Тейлора f(- + 1,- — 1) = f(-,-) + Д(-,-) — Д(-,-) + ••• , так как f е В1,1, то при - = к- Д(- + 1,- — 1) = Д(-,-), тогда Д(-,-) — Д(-,-) = 0. Но так как Д = ^(-2,к-2-2)+члены меньшей степени, то отсюда следует что Д = ^ +члены меньшей степени, Д = ^И+члены меньшей степени, отсюда ^ — = 0. Для удобства введём замены х = -2, у = к-2-2, отсюда при - = к- получаем у = х. Тогда

= ^Х = Л = р/уи = 2-к-Уу и — 2-к-1 ^ = ° пРи - = к- получаем

условие — к^/ = 0, которое эквивалентно условию ди — кд„ =0 из алгебры А1,1, а

это означает, что ^ е А1,1.

Докажем теперь, что Ол(-,-) является базисом алгебры В1,1. Достаточно показать, что их старшие компоненты образуют базис А1,1. Но, как легко проверить, старшая компонента ОЛ(-,-) равна Рл(-2, к-2-2) и утверждение следует из леммы 1. □

Общий случай леммы 4 доказан в [2, предложение 3] .

Теорема 1. Справедлива формула Пиери для многочленов РЛ: РР = Р + к Ц — кА ц + 2 — к(А — 1)

РпРл = Рл+г + кц + 1 — к (А — 1) ц + 1 — кА Рл+" где Рп = - + к-.

Доказательство. Предположим, что

РпРл = аРл+£ + 6Рл+£. В то же время легко проверить, что

РпРл = -л+1 — ( . .ц — ^ -Л-м+1 — к , ц —,/(А -Л-1 -^+2.

Таким образом,

д + 1 — к(Л — 1) у д + 1 — к(Л — 1)

аРл+£ + ЬРл+* = «Г vA+V — д к (Л + 1) vA +

\ д + 1 — кЛ у

Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17, вып. 1

+6 ГvV+1--Д + 1 — кЛ , vл-1 и:+2

д + 2 — к (Л — 1)

Приравняв коэффициенты при одинаковых мономах, в результате получим переопределённую систему, из которой найдем коэффициенты а и 6:

д — кЛ д + 2 — к(Л — 1)

а = 1, 6 = к---—-—---—-.

д + 1 — к(Л — 1) д + 1 — кЛ □

Теорема 2. Для общих значений параметров справедлива следующая формула Пиери для полиномов дл^,и):

(V — Л)^ + Л — 1) — к-1 (р + 1)(и — д + V — Л) + к-1(и — д)(и + д + 1) дл^,и) =

^ / л ^ / л, Д — кЛ д + 2 — к(Л — 1)

= дл+<5 + дл+£ (^и)к-—-тут-"Т-—-тг-. (4)

д + 1 — к(Л — 1) д + 1 — кЛ

Доказательство. Пусть / — разность между левой и правой частью равенства формулы (4). Мы хотим показать, что / = 0 тождественно. В лемме 4 было доказано, что старшая компонента дл(и,и) — это Рл(V2, к-2и2). Следовательно, deg/ < 2|Л|+2, где |Л| = Л + д. Но по теореме 1 Рл удовлетворяют формуле Пиери с теми же коэффициентами, поэтому deg / < 21Л| + 1. Докажем теперь, что /^) = 0 для любого разбиения N такого, что ^| < |Л|. В самом деле, если N| < |Л| и N = Л, то по лемме 3 дл(N) = дл+£(N) = дл+^(^ =0 и, следовательно, /(^ = 0. Если N = Л, то коэффициент при дл в левой части равенства (4) равен нулю, и опять по лемме 3 дл+е(^ = дл+^(^ = 0. Следовательно, /(Л) = 0. Разложим многочлен / по базису дл

/ = ^ д^. (5)

N

Сравнивая степени левой и правой частей равенства, мы видим, что N| < |Л|. Предположим, что не все коэффициенты в этом разложении равны нулю. Пусть наименьшая (относительно включения) диаграмма такая, что см = 0. Если N с М, N = М, то ^ = 0 согласно нашему выбору М. Если N не содержится в М, то по лемме 3 QN(М) = 0. Поэтому, подставляя в обе части равенства (5) N = М, получим /(^ = смдм. По предыдущему /(^ = 0, а по лемме 3 дм(М) = 0. Следовательно, см = 0. Полученное противоречие доказывает теорему. □

3. СОБСТВЕННЫЕ ФУНКЦИИ

В этом параграфе мы предполагаем, что параметры р, к — общие. Определим для каждой диаграммы Л многочлен Рл по следующей формуле:

Рл с(М, Л)РМ, (6)

м сл

где [3]

с(М, Л) = А, (7)

1 ' ; дм(М)/м'

к + 1 2р +1 л- 2р +1 — 2кг Л 2^ — 2р — 1

/ =__к + 1__2р + 1_тт 2р + 1 — 2кг тт

/л = Д + 1 — к(Л — 1) к (Л — 1) + Д — р — 1 И р +1 — к(Л + г — 1)11

д + 1 — к(Л — 1) к (Л — 1) + д — р — 1 р +1 — к(Л + г — 1) ^ + д — р — 1

Появление множителя 21л1 объясняется тем, что мы хотим, чтобы старший коэффициент многочлена РЛ(у,ж) был равен единице.

Теорема 3. Многочлен (6) является собственной функцией оператора (2).

Доказательство. Докажем, что условие того, что многочлен (6) является собственной функцией равносильно рекуррентной формуле (8) на коэффициенты (7)

а(Л, Л) - а(М, М)1 с(М, Л) = ^ а(М, N)с(М, Л) =

М с^ сЛ

= а(М, М + г)с(М + г, Л) + а(М, М + 6)с(М + 6, Л). (8)

По лемме 2 ^Рм = Е а№ М)Р^. Поэтому

N сМ

^2РЛ = ^ с(М, ЛИ ^ а(^М)РИ = ^ ^ с(М, Л)а(^ М)Р^ =

М сЛ сМ / М сЛ N сМ

= Х XI а(^М )с(М, Л)PN = XI а№М )с(М, Л)) PN.

N сЛ N сМ сЛ N сЛ сМ сЛ )

В то же время если РЛ собственная функция, то = кЛРЛ = кЛ Е C(N, Л)Р^.

N сЛ

Таким образом, условие быть собственной функцией равносильно системе уравнений

X «(N5 М)с(М,Л) = кл c(N,Л). (9)

а

N сМ сЛ

Пусть N = Л, тогда с(Л,Л)кЛ = а(Л,Л)с(Л,Л), поэтому кЛ = а(Л, Л) и систему (9) можно переписать в следующем виде:

X «(N5 М)с(М, Л) = а(Л, Л)c(N, Л). (10)

N сМ сЛ

Из системы (10) по индукции легко вывести следующие формулы для коэффициентов:

а(Л - 6, Л) а(Л - г, Л) с(Л - 6, Л) = у— 7 -—, с(Л - г, Л) = у 7

а(Л, Л) - а(Л - Л - 6 )' У ' 7 а(Л, Л) - а(Л - г, Л - г)' Из леммы 2 следует, что а(^ М) = 0, если М = N, М = N + г, М = N + 6, тогда

Л)а(Л, Л) = а(^ N)с№ Л) + а(N, N + г)c(N + г, Л) + а(^ N + 6)с^ + 6, Л), (Л, Л) - а(^ N)1 c(N, Л) = X а№ М)c(N, Л) =

N сМ сЛ

= a(N, N + г)с^ + г, Л) + а№ N + 6)c(N + 6, Л). (11)

Таким образом, равносильность доказана. Поэтому для того чтобы доказать, что (6) является собственной функцией, достаточно проверить, что коэффициенты (7) удовлетворяют равенству (11). Для этого понадобится следующая вспомогательная лемма.

Лемма 5. Справедливы следующие соотношения:

/л+6 (Л) а(Л + 5, Л)

/л дл(Л + 5) [а(Л + Л + 5) - а(Л, Л)]' ( )

/л+£ = дл (Л)__а(Л + £, Л) ( )

/л дл (Л + £) [а(Л + Л + £) - а(Л, Л)]'

Доказательство. Так как эти формулы однозначно определяют /л через /^, где N С Л, то достаточно проверить, что /л удовлетворяет соотношениям (12). Следовательно, лемма сводится к прямым вычислениям, которые нетрудно проделать. □ Для завершения доказательства теоремы 3 подставим коэффициенты (7) в рекуррентную формулу (11) и воспользуемся соотношениями (12). В результате получим следующий аналог формулы (4):

а(Л, Л) - a(N, N)1 Qn(Л) = Qn+£(Л)Q(N + £\ [a(N + е, N + г) - a(N, N)' ■J Qn+£ (N + е) L

(Л) (N ++ ^ [a(N + N + 5) - a(N, N)'

+

Qn+ (N + 5)

которая уже доказана. Это завершает доказательство теоремы 3. □

4. СПЕЦИАЛИЗАЦИЯ СОБСТВЕННЫХ ФУНКЦИЙ

Пусть ±е, ±5 являются ненулевыми весами тождественного представления супералгебры osp(3,2). Тогда соответствие

Л = (Л, д) —> Л5 + де

задает биекцию между диаграммами крюками Л и старшими весами неприводимых конечномерных модулей над супералгеброй Ли osp(3,2). Если V — конечномерный модуль, на котором подалгебра Картана действует диагонально, то его суперхарактер определятся по формуле Sch(V) = XX—1)р(м)ем, где сумма берется по всем весам

модуля V с учетом их четности. Если ввести переменные x = e£, y = eJ, то суперхарактер будет полиномом от переменных x, x-1, y, y-1. Например, суперхарактер тождественного представления равен y + y-1 — x — x-1 — 1. Для каждой диаграммы крюка Л мы будем обозначать через VA неприводимый конечномерный модуль со старшим весом Л5 + де.

Основным результатом этого параграфа и всей работы является следующая теорема.

Теорема 4. 1) если Л = (Л, Л — 1), то существует lim Fv = Sch(VA);

p—>-1 k—-1

2) если Л = (Л, Л — 1), то при условии p +1 = Л(к + 1) существует

lim Fa = Sch (VЛ);

k—-1

3) если Л = (1,0), то при условии p+1 = 2(k+1) существует ^lii- РЛ = Sch (VD).

Доказательство. Суперхарактер можно разложить по базису из суперполиномов Шура

Sch (VA) = X x(N, A)(vTu" - vT-1 ),

N сЛ

где x(N, Л) — некоторые коэффициенты. Далее, мы знаем, что

Fv(v, u)

N сЛ

Поэтому для доказательства теоремы достаточно показать, что

lim Pn(v,u) = (vT- vT-1uCT+1) p—1 k—-1

и предел коэффициентов c(N, Л) при выполнении условий теоремы равен x(N, Л). Первое равенство очевидно. Для вычисления предела коэффициентов разберем отдельно три случая.

1. Если Л = (Л, Л — 1), то суперхарактер совпадает с суперхарактером Эйлера, для которого есть явная формула (см. [1]), которая в этом случае имеет вид

Sch (VЛ) = 2(v — uVa-1 (v)^(u), (13)

где ^а (v) = yA — yA-1 + • • • — y1-A + y-A, (u) = xM + xM-1 + • • • + x1-M + x-M, u = 2(x + x-1 — 2), v = 2(y + y-1 — 2).

Вычислим коэффициенты x(N, Л) для формулы (13), для этого разложим многочлены (v), ^(u) по базисам vт, соответственно

а

^A(v) = Y1 ¿(т,Л)

т=0

где d(r, Л) = 2т(А-т^1)v(A+T), Л > т > 0 и ¿(Л, Л) = 2а;

(2т)!

(и) = X ,

где = 2" (2д + 1) , > 0 и с(д, д) = 2м.

Отсюда коэффициенты х№ Л) для формулы (13) примут вид

Л)=2<т - 1, Л - 1)с(а,д). (14)

Таким образом, остаётся проверить равенство

X(N, Л) = 21ЛI lim

k—-1 Qn (N )/n'

где N = (т, а). Левая часть известна, посчитаем правую

Qn(Л) = (Л — т + 1)... (Л + т — 2)(д — а + 1)... (д + а)(Л + д)(Л — д — 1)

p——m1 Qn (N) = (2т — 2)!(2а )!(а + т )(т — а — 1)

k—-1

Шт А = 2Т"А+ ')(' - " - 1) (2т + 1)(2д + 1).

Р--1 (А + д)(Л - д - 1)

Отсюда

21Л1 lim Q"<Л))/л =2Т(Л - Т +/)-.-(Л + Т - 2) (Д ~ а + 1) ^ (Д + а) (2д + 1) p—-1 qn(N)/w (2t - 2)! (2a + 1)! У ^ '

k—-1

и первое утверждение теоремы доказано.

2. Если Л = (Л, Л — 1), то известно [5, пример после теоремы 4], что суперхарактер неприводимого представления супералгебры osp(3,2) имеет вид

Sch (VЛ) = ^Wa-1(u) - рл-1 (v)^A(u). (15)

Следовательно, коэффициенты формулы (15) примут вид

X(N, Л) = ¿(Л,т)с(Л - 1, а) - ¿(Л - 1,т)с(Л,а). (16)

Таким образом, остаётся проверить равенство

x(N, Л) = lim [C(N, Л) - C(N, Л + 5 - г)] , (17)

k—-1 p+1=A(k+1)

где C(N, Л) — C(N, Л + 5 — е) — старший коэффициент при vAuM, N = (т, а). Имеем

Ш qn(N)/n = -(k + 1) (2a2+i) i2^, k—m /Л = —22-2A, lim qn (Л) =(k + 1)(Л - T + 1).(Л + T - 1)(Л - а) .-(Л + а)

k—-1

p+1=A(k+1) t + а

C(N, Л) = 2

а+т (Л - t + 1)... (Л + t - 1)(Л - а)... (Л + а)

(2а + 1)!(т + а)(2т - 2)!

(Л -

C(N, Л + е - 5) =2

а+т (Л - т)... (Л + т )(Л - а + 1)... (Л + а - 1)

(2а - 1)!(т + а)(2т)!

Тогда равенство (17) сводится к проверке равенства (18), которое легко проверить.

(т + а)[(Л + т)(Л - а)(2Л - 1) - (Л - т)(Л + а)(2Л + 1)] = = (Л - а)(Л + а)(2т - 1)2т - (Л - т)(Л + т)(2а + 1)2а. (18)

3. Если Л = (1,0) то

lim Fb

k—-1

= 2 lim (РЬ + /□)

p+1=2(k+1) k—-1

p+1=2(k+1)

k—-1 V (p + 1)

4 p+1=2(k+1)

-1 -1 □

^ i. , , (k + 1)(2p +1)

= 2 lim v + ku + v n F J

= 2^ - 2и - 1 = у + у"1 - х - ж"1 - 1 = ЯеИ (Vи). □

Благодарности. Работа А. Н. Сергеева выполнена при финансовой поддержке Министерства образования и науки РФ (проект № 1.492.2016/ФПМ).

Библиографический список

1. Serganova V. Characters of irreducible representations of simple Lie superalgebras // Proc. Intern. Congress of Math. Berlin, 1998. Doc. Math. Extra. Vol. II. P. 583-593.

2. Sergeev A. N., Veselov A. P. Deformed quantum Calogero - Moser systems and Lie super-algeras // Commun. Math. Phys. 2004. Vol. 245, № 2. P. 249-248. DOI: 10.1007/s00220-003-1012-4.

3. Sergeev A. NVeselov A. P. ВСЖ Calogero - Moser operator and super Jacobi polynomials // Advances in Mathematics. 2009. Vol. 222, iss. 5. P. 1687-1726. DOI: 10.1016/j.aim.2009.06.014.

4. Sergeev A. N., Veselov A. P. Generalised discriminant, deformed quantum Calogero -Moser - Sutherland problem and super-Jack polynomials // Advances in Math. 2005. Vol. 192, iss. 2. P. 341-375. DOI: 10.1016/j.aim.2004.04.009.

5. Gruson C., Serganova V. Cohomology of generalized supergrassmanians and character formulae for basic classical Lie superalgebras // Proc. London Math. Soc. 2010. Vol. 101, № 3. P. 852-892.

Образец для цитирования:

Мовсисян Г. С., Сергеев А. Н. Операторы КМС типа B(1,1) и супералгебра Ли osp(3, 2) // Изв. Сарат. ун-та. Нов. сер. Сер. Математика. Механика. Информатика. 2017. Т. 17, вып. 1. С. 19-30. DOI: 10.18500/1816-9791-2017-17-1-19-30.

CMS Operators Type B(1,1) and Lie Superalgebra osp(3,2) G. S. Movsisyan1, A. N. Sergeev2

1 Gevorg S. Movsisyan, Saratov State University, 83, Astrakhanskaya str., 410012, Saratov, Russia, [email protected],

2Alexander N. Sergeev, Saratov State University, 83, Astrakhanskaya str., 410012, Saratov, Russia, [email protected]

The main purpose of this article is to study the realation between the representations theory of Lie superalgebras osp(3,2) and the Calogero - Moser - Sutherland (CMS) B(1,1) type differential operator. The differential operator depends polynomially on three parameters. The corresponding polynomial eigenfunc-tions also depend on three parameters; but in the general case, the coefficients of these eigenfunctions have a rational dependence on the parameters. The issue of specialization of eigenfunctions with given parameter values is an important and interesting question, especially in case of Lie superalgebras for which k = p = -1. In this case, we prove that the character of irreducible finite-dimensional representations of Lie superalgebras osp(3,2) can be obtained from the eigenfunctions of the CMS B(1,1) type differential operator in case of the specializations mentioned above, considering that k,p are also connected by some linear ratio.

Key words: superalgebra, representations, character, quantum integrable system.

Acknowledgements: This work by A. N. Sergeev was supported by the Ministry of Education and Science of the Russian Federation (project no. 1.492.2016/FPM).

References

1. Serganova V. Characters of irreducible representations of simple Lie superalgebras. Proc. Intern. Congress of Math., Berlin, 1998, Doc. Math. Extra, vol. II, pp. 583-593.

2. Sergeev A. N., Veselov A. P. Deformed quantum Calogero - Moser systems and Lie super-algeras. Commun. Math. Phys, 2004, vol. 245. no. 2, pp. 249-248. DOI: 10.1007/s00220-003-1012-4.

3. Sergeev A. N., Veselov A. P. БСЖ Calogero - Moser operator and super Jacobi polynomials. Advances in Mathematics, 2009, vol. 222, iss. 5, pp. 1687-1726. DOI: 10.1016/j.aim. 2009.06.014.

4. Sergeev A. N., Veselov A. P. Generalised discriminant, deformed quantum Calogero -Moser - Sutherland problem and super-Jack polynomials. Advances in Math., 2005, vol. 192, iss. 2, pp. 341-375. DOI: 10.1016/j.aim.2004.04.009.

5. Gruson C., Serganova V. Cohomology of generalized supergrassmanians and character formulae for basic classical Lie superalgebras. Proc. London Math. Soc., 2010, vol. 101, no. 3, pp. 852-892.

Cite this article as:

Movsisyan G. S., Sergeev A. N. CMS Operators Type B( 1,1) and Lie Superalgebra osp(3, 2). Izv. Saratov Univ. (N.S.), Ser. Math. Mech. Inform., 2017, vol. 17, iss. 1, pp. 19-30 (in Russian). DOI: 10.18500/1816-9791-2017-17-1-19-30.