Когомологии Хохшильда алгебр диэдрального типа, III: локальные алгебры в характеристике 2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

КОГОМОЛОГИИ ХОХШИЛЬДА АЛГЕБР ДИЭДРАЛЬНОГО ТИПА, III:

ЛОКАЛЬНЫЕ АЛГЕБРЫ В ХАРАКТЕРИСТИКЕ 2

А. И. Генералов

С.-Петербургский государственный университет, д-р физ.-мат. наук, профессор, general@pdmi.ras.ru

1. Формулировка основного результата

Настоящая работа является продолжением серии статей, в которых вычисляются когомологии Хохшильда для алгебр, имеющих небольшую когомологическую сложность (см. статью [1] и цитированную в ней литературу). Используя бимодульную резольвенту, найденную в [2] для одной из серий локальных алгебр диэдрального типа (из классификации К. Эрдман [3]), мы вычисляем алгебру когомологий Хохшильда для этих локальных алгебр в случае, когда основное алгебраически замкнутое поле имеет характеристику 2. Напомним, что алгебры диэдрального, полудиэдрального и кватернионного типов возникли в работах К. Эрдман при классификации групповых блоков, имеющих ручной тип представления (см. [3]). В частности, рассматриваемая серия локальных алгебр содержит групповые алгебры диэдральных 2-групп над алгебраически замкнутым полем характеристики 2. Отметим, что алгебра когомологий Хохшильда для групповой алгебры F2[D2n ] была вычислена ранее [4].

Пусть K — алгебраически замкнутое поле произвольной характеристики, R — конечномерная K-алгебра, Л = Re = R <g>K Rop — её обёртывающая алгебра, HHn(R) = Ext^(R, R) — n-я группа когомологий Хохшильда алгебры R (с коэффициентами в R-бимодуле R). Алгебра когомологий Хохшильда —это линейное пространство

HH(R) = ф„>0 ™n(«) = ®„>0 ExtS№ «),

снабжённое ^-произведением [5, §5; 6, гл. XI; 7]. Алгебра HH*(R) является градуиро-ванно коммутативной [7]; кроме того, ^-произведение на HH*(R) совпадает с произведением Йонеды на Ext-алгебре фn>0 Ext^(R, R) Л-модуля R [8, с. 120].

Для k Є N, k ^ 2, определим K-алгебру Rk = K(X, Y}/I, где I — идеал свободной алгебры K(X, Y}, порожденный элементами X2, Y2, (XY)k — (YX)k. Образы элементов X, Y относительно канонического гомоморфизма из K (X, Y} в Rk обозначаем через x и у соответственно. Алгебра Rk —симметрическая локальная алгебра, имеющая ручной тип представления [3, III. 1]; кроме того, в терминах [3, VI] алгебра Rk — это алгебра диэдрального типа. Если G — диэдральная группа порядка 2n (n ^ 3) и char K = 2, то групповая алгебра KG изоморфна алгебре Rk, где k = 2n-2.

Для описания алгебры когомологий Хохшильда HH*(Rk) мы построим вспомогательные градуированные K-алгебры. Пусть

X = |pi,p2,p2,P3, «1, «1, «2, «2, v}. (1.1)

На алгебре K [X] введем градуировку так, что

deg pi = deg p2 = deg p2 = deg рз = 0,

© А.И.Генералов, 2010

deg = deg « = deg м2 = deg « = 1, deg V = 2.

Определим градуированную К -алгебру Ак = К [Х]//к, где идеал 1к порожден следующими элементами: степени 0:

степени 1:

pk, PlP2, pip2, PlP3, p2% P2P2, P2Pз, (p2)2, р2рз, рз2;

(1.2)

Pl«1, Pl«1, P2«2, P2«2, P3«2, P3«2,

p2«2 + P3«1, P2«2 + P3«l, Pl«2 + Pl«2,

f f k — l P2«l + p2«l, P2«l + pl «2;

(1.3)

(1.4)

(1.5)

степени 2:

«2, («2)2, «i«i + kpk lv, ulu2 + kp2v, «1^2 + kp2v, «2«2 + kp3v.

(1.6)

(1.7)

Кроме того, на алгебре Ak вводится градуировка, индуцированная градуировкой K[X].

Теорема 1.1. Пусть char K = 2, и пусть R = Rk, k £ N \ {1}. Тогда алгебра когомологий Хохшильда HH*(R) как градуированная K-алгебра изоморфна алгебре Ak.

Из этого описания алгебры когомологий Хохшильда немедленно вытекает следующее утверждение.

Следствие 1.2. Пусть G — диэдральная группа порядка 2n (n ^ 3), K — алгебраически замкнутое поле характеристики 2. Тогда (при k = 2n-2) HH*(K[G]) ^ Ak.

В процессе доказательства теоремы 1.1 мы вычисляем также размерности групп HHm(Rk). Соответствующие результаты представляют самостоятельный интерес, и мы их объединим в следующем утверждении.

Предложение 1.3. Пусть R = Rk. Тогда

dimK HHm(R)

Гк + 3 + 8 [f] k + 7 + 8[f]

если m четно, если m нечётно.

2. Группы когомологий

Пусть R = Rk — К -алгебра, определенная в разделе 1, при этом мы пока не накладываем на характеристику поля К никаких ограничений. Алгебра R допускает в качестве К -базиса множество

Бд = {(жу)® | 0 ^ і ^ к} и {(уж)® | 1 ^ і ^ к — 1}и

и {ж(уж)® | 0 ^ і ^ к — 1}и {у(жу)® | 0 ^ і ^ к — 1},

состоящее из всех ненулевых путей колчана алгебры R (он состоит из одной вершины и двух петель ж и у). В свою очередь обёртывающая алгебра Л алгебры R допускает К-базис, состоящий из элементов вида

и ® V, где и, V Є Бд. (2.1)

Этот базис алгебры Л обозначим через Бл и назовем стандартным. Введем на Л следующую градуировку: для элемента вида (2.1) его степень —это сумма длин путей и и V, и тогда Л = ^ и>0 Лп, где Лп — К -подпространство, порожденное элементами вида (2.1) степени п. Умножение справа на элемент Л Є Л индуцирует эндоморфизм Л* левого Л-модуля Л; в дальнейшем ради простоты мы часто будем обозначать этот эндоморфизм также через Л.

Рассмотрим следующие элементы алгебры Л = Rе:

X = ж ® 1 — 1 ® ж, X + = ж ® 1 + 1 <8> ж, У = у ® 1 — 1 ® у, У + = у ® 1 + 1 <8> у,

(2.2)

к—1

к—1

Л к— 1—і

к —1

¿=0 к —1

Л к— 1—і

і=0

к-1

к-1

\к — 1—і

®=0 к 1

і=0 к 1

\к — 1 — і

= 53 ж(уж)® ® (жу)к 1 ® + 5^(уж)® <8> ж(уж) і=0 і=0

р— = у(жу)к—1 ® 1 — 1 ® у(жу)к—1, р+ = у(жу)к—1 ® 1 + 1 <8> у(жу)к—1, ^ — = ж(уж)к—1 ® 1 — 1 ® ж(уж)к—1, = ж(уж)к—1 ® 1 + 1 <8> ж(уж)к—1

(2.3)

(2.4)

(2.5)

(2.6)

(2.7)

(2.8)

В категории (левых) Л-модулей построим следующий бикомплекс Б.., расположенный в первой четверти плоскости (ненулевые строки и столбцы занумерованы числами 0,1, 2,...):

Б..

Л2

Л2

Л2

Л2

Л2

Л2

Л2

в-

в-

Л2

Л2

в+

Л2

(X- Г-)

Л

(Х + Г +)

Л

(X- г-)

Л,

(Х+ Г +)

Л

(2.9)

о

о

+

+

о

о

+

где

D — = ^0 Y0—)' D+ = (T A) t — = (—СП— )' T+ = (—, Р.К!)

p 0 \ + = Л>+ 0

0 — U I , ° I 0 —U +

(2.11)

Следующее утверждение доказано в [2].

Предложение 2.1. Пусть R = Rk. Тотализация Q. = Tot(B..) бикомплекса (2.9) вместе с пополняющим отображением ц: Qo = Л u R, индуцированным умножением в R (т. е. ^(r <g) s) = rs), представляет собой минимальную проективную резольвенту Л-модуля R.

Замечание 2.2. Пусть Q. —U R — минимальная Л-проективная (=Л-свободная) резольвента алгебры R из предложения 2.1. В дальнейшем мы всегда будем использовать упорядочение прямых слагаемых в разложении m-го члена этой резольвенты Qm = 0i+; = -m Bij по возрастанию второго индекса j. Соответствующее разложение модуля Qm будем называть стандартным.

Далее всюду предполагаем, что char K = 2. Мы упростим обозначения из (2.2)— (2.8), (2.10), (2.11), а именно, обозначим X±, Y±, Z±, П±, Р±, w±, D±, а±, т± через X, Y, р, w, D, а и т соответственно.

Рассмотрим комплекс L., совпадающий с первым ненулевым столбцом в бикомплексе B.. (а именно, имеющий номер 0).

Предложение 2.3. Имеет место короткая точная последовательность комплексов

0 u L. -U Q. -U Q.[-2] и 0, (2.12)

расщепляющаяся в каждой степени.

Доказательство. Пусть in: Ln u Qn —вложение в качестве прямого слагаемого, а nn: Qn u Qn _2 —проекция на соответствующее прямое слагаемое (n ^ 2). Тогда утверждение предложения вытекает непосредственно из строения бикомплекса B...

Для вычисления когомологий HHn(R) алгебры R = Rk мы используем комплекс

(HomA(Qn,R), ¿n = HomA(dQ,R^ . (2.13)

n>0

Так как для любого п ^ 0 модуль — свободный Л-модуль ранга п +1, любой элемент

/ из Ношл(^п^) отождествляется с набором его значений / (е(і)) Є R на элементах канонического базиса модуля (т. е. і-я координата в е(і) равна 1 <8> 1, а остальные равны нулю).

Отметим, что если / = г* : Л ^ Л — гомоморфизм умножения справа на г Є Л, то в соответствии с указанным выше отождествлением индуцированный гомоморфизм абелевых групп

ги: Ношл(/, R): Нот(Л, R) — R ^ Нот(Л, R) — R

действует следующим образом: г Є R отображается в г * г (где * соответствует Л-модульной структуре на R).

Поэтому дифференциал

: Ношл(^0, R) — R ^ Ношл(^1, R) — R2

=

может быть описан следующим образом: для г € Д

£°(г) = (У * г, X * г) = (уг + гу, жг + гж).

Предложение 2.4. (1) Пространство ИИ°(Д) = ^ (Д) допускает в качестве К -базиса следующее множество:

{(жу)® + (уж)® | 1 < г < к - 1} и {1, ж(уж)й -1, у(жу)й -1, (жу)й}. (2.14)

(2) Пространство 1т£° допускает в качестве К-базиса множество, состоящее из следующих элементов:

((жу)® + (уж)®, 0) для 1 ^ г ^ к — 1, (2.15)

(0, (жу)® + (уж)®) для 1 ^ г ^ к — 1, (2.16)

(ж(уж)®,у(жу)®) для 1 ^ г ^ к — 1. (2.17)

Доказательство. Первое утверждение следует из [3, 111.14]. Для доказательства второго утверждения достаточно вычислить ¿°(г) для г, пробегающего последовательно все элементы стандартного базиса алгебры Д, а затем выделить базис в полученном множестве значений дифференциала ¿°.

Следствие 2.5. ИИ°(Д) = к + 3, 1т£°(Д) = 3к — 3.

Замечание 2.6. В дальнейшем для некоторых элементов из (2.14) будем использовать следующие сокращённые обозначения:

Р1 := жу + уж, р2 := ж(уж)й -1, р2 := у(жу)й -1, Рз := (жу)й. (2.18)

Отметим, что Р1® = (жу)® + (уж)® (1 ^ г ^ к — 1), р* =0.

Прежде чем продолжить вычисление групп когомологий, отметим следующие два предложения.

Предложение 2.7. Для элемента ф € Л рассмотрим отображение

ф: Д ^ Д, Ф(г) = ф * г.

Если ф € {£, п, Р, <^}, то ф — нулевое отображение.

Доказательство. Для ф € {р, ^} утверждение следует из того, что

у(жу)й-1, ж(уж)й-1 € Z(Д). Далее, пусть ф = £, и пусть

г =53 Ашад, (2.19)

где Аш € К. Тогда

С * г = £ • г + г • £ =

й-1 й-1

= 53у(жу)® • г • (уж)й-®-1 + 53(жу)® • г • у(жу)й-®-1 =

®=° ®=°

= 2А1у(жу)й-1 + 2А*(жу)й =0.

Для ф = п требуемое утверждение получается по симметрии.

Предложение 2.8. Для отображения X: Д ^ Д, г ^ X * г, пространство КегХ допускает в качестве К-базиса множество

(жу)® + (уж)® для 1 ^ г ^ к — 1, (2.20)

ж(уж)® для 0 ^ г ^ к — 1, 1,у(жу)й-1, (жу)й, (2.21)

а пространство 1тХ допускает в качестве К-базиса множество, состоящее из элементов (2.20), а также из элементов

ж(уж)® для 1 ^ г ^ к — 1.

Доказательство. Подставляя в X(r) = xr+rx соотношение (2.19), легко получаем требуемые утверждения.

Дифференциал i1: Иошл(^і, R) ^ Иошл(^2, R) описывается следующим образом: для гі, Г2 Є R имеем

¿1(r1,r2) = (0, X * r1,Y * r2).

Предположим, что (Г1,Г2) Є Ker^1, т. е.

xr 1 + Г1Х = 0 и yr2 + Г2У = 0. (2.22)

Представим компоненты этого 1-коцикла в виде

r1 = A“W, r2 = W (Aw,Mw Є K). (2.23)

wEBr wEBr

Подстановка соотношений (2.23) в (2.22) приводит к следующим уравнениям для координат разложений из (2.23):

A(xy)i + A(yx)i = 0 для 1 ^ ^ k — 1

Ay(xy)i = 0 для 0 ^ ^ k — 2,

М(жу)г + М(уж)г 0 для 1 ^ ^ k !,

Мж(уж)і = 0 для 0 < * < k — 2.

Теперь с использованием предложения 2.4 легко приходим к следующему утверждению.

Предложение 2.9. А. Пространство Ker^1 допускает в качестве K-базиса множество, состоящее из следующих элементов:

^(xy)® + (yx)®, 0^ и ^0, (xy)® + (yx)®j для 1 ^ ^ k — 1, (2.24)

x(yx)®, 0^ для 0 ^ ^ k — 1, (2.25)

0, y(xy)®^ для 0 ^ ^ k — 1, (2.26)

(1, 0), (y(xy)fc-1, 0), ((xy)fc , 0), (0, 1), (0,x(yx)fc-1), (0, (xy)fc) . (2.27)

Б. Пространство ИИ1 (R) имеет в качестве K-базиса набор когомологических классов элементов из (2.25), (2.27), а также элемента (0, y).

Следствие 2.10. ётк ИИ1(Д) = к + 7.

Предложение 2.11. Для п ^ 2 имеем

ё1тК ИИП(Д) = ё1тК ИИП-2(Д) + 8.

Доказательство. Из предложения 2.7 и строения бикомплекса (2.9) следует, что дифференциал (”: Д”+1 ^ Д”+2 описывается матрицей вида

(п = diag (V-2, X, .

Следовательно, в обозначениях из (2.12) получаем

Иотл(^., Д) — Иотл(^.[—2], Д) © £*,

где £* := Иотл(Ь», Д). Тогда

ИИП(Д) — ИИП-2(Д) © Кег^/1т^ © Кегу/1тУ.

Из предложения 2.8 следует, что Кег^Т/Тт^Т имеет в качестве базиса множество, состоящее из когомологических классов элементов 1, ж, у(жу)й-1, (жу)й. Таким образом, dimKerX/¡т^Т = 4, а по симметрии dimKerУ/1ту = 4.

Доказательство предложения 1.3. Утверждение вытекает из следствий 2.5 и 2.10. Следствие 2.12. Пространство ИИ2(Д) имеет в качестве К-базиса набор когомологических классов элементов

^(жу)® + (уж)®, 0, 0^ для 1 ^ г ^ к — 1,

^1, 0, 0^, ^ж(уж)й-1, 0, 0^ , ^у(жу)й-1, 0, 0^, ^(жу)й, 0, 0^,

^0, 1, 0^, ^0, ж, 0^ , ^0, у(жу)й-1, 0^, ^0, (жу)й, 0^,

^0, 0,1^, ^0, 0, у^, ^0, 0, ж(уж)й-1^ , ^0, 0, (жу)^ .

Доказательство. Утверждение следствия вытекает из предложения 2.4, (1) и доказательства предложения 2.11.

3. Образующие и соотношения

Сейчас мы кратко опишем интерпретацию произведения Йонеды в алгебре ИИ*(Д) = ф _° ЕхС(Д,Д), использованную в [1]. Пусть р^ Д — минимальная Л-проективная резольвента, описанная в разделе 2. Пусть

Иотл(д„ Д) = (Нотл(д„, Д),(”)

— комплекс из (3.2). Тогда для коциклов / € Кег(” и д € Кег(* имеем с1 д • с1 / = с1 (р,Т°(д)Т*(/)), где Т®(Л.) обозначает г-ю трансляцию коцикла Л-. В дальнейшем мы будем описывать трансляции Т®(Л.) (г ^ 0) с помощью матриц, соответствующих стандартным разложениям модулей ^® (см. замечание 2.2).

Рассмотрим следующие однородные элементы в ИИ*(Д), где Д = Дк: степени 0 : рх, р2, р2, Рз из (2.18);

степени 1 : М1 := (1,0), м1 := (0,1), М2 := (х, 0), м2 := (0, у);

степени 2 : V := (1, 0,0).

Предложение 3.1. Для элементов множества

У = {Р1,Р2,Р2,Р3,М1,М 1,М2,и2, V} (3.1)

в алгебре ИИ*(Д) выполняются следующие соотношения:

Рк = Р1Р2 = Р1Р2 = Р1Рз = 0, 1 Р22 = Р2Р2 = Р2Рз = (р2)2 = р2рз = рз2 = 0; / (3.2)

Р1М1 = ^1«! = Р2М2 = р2М = РзМ = РзМ = 0, (3.3)

р2м = Р3«1, Р2«2 = Р3«1, ,Р1«2 = Р1«2, (3.4)

Р2«1 = р2м1 = рк-1М2; (3.5)

1- к1 0, 2 2 22 3 (3.6)

и 1 м2 = kp2v, м 1 М2 = kp2V, М2«2 = kpзv. (3.7)

Доказательство. Соотношения (3.2)-(3.5) проверяются непосредственно. Для доказательства остальных соотношений необходимо вычислить трансляции подходящих порядков для элементов из У, имеющих положительную степень.

Из предложения 2.3 непосредственно вытекает следующее утверждение.

Лемма 3.2. Для любого г ^ 0 проекция на прямое слагаемое п®+2 : Ф®+2 = Ф ¿¿+2 ^ является г-й трансляцией Т®(«) коцикла V.

Необходимые трансляции остальных элементов из У представлены в следующей лемме.

Лемма 3.3. В качестве трансляций элементов м1,м1,м2,м2 можно взять гомоморфизмы, определяемые следующими матрицами:

(к-2 \

£ у(ху)® 0 у(ху)к-2-® 1 0 10

* 0 0,

где

(ТХ(М1))21 = 53(ух)г 0 (ух)к-1-® + 53(ху)г 0 (ху)к-1-г + 53(ух)" 0 (ху)

к-1 к-1 к-2

к-1-® ^ ^„Лк-1-г , ^ /„.ллк-1-®.

1

* 0 0

Т°(м;)=(о,1 0 Л, Т1(м1)= (к-2 чк-2-® п 1 ^1 ,

V У I 2^ х(ух)г 0 х(ух)к 2 г 0 1 0 1 /

и=°

где

к-1 к-1 к-2

(Т1(м1))11 = ]Т(ху)® 0 (ху)к-1-® + ^(ух)® 0 (ух)к-1-® + ^>у)® 0 (ух)к-1-®;

¿=° ®=° ®=1

Т°(м2) = (ж 0 1, 0 Т1(и2)

/ й-1 к-1

£ гу(жу) 0 (уж)к-1- + £ *(жу)г 0 у(жу)к-1-¿=1 ¿=1

к-1 к-1

£ *(уж)г 0 ж(уж)к-1- + £ (г + 1)ж(уж^ 0 (жу)к-1-

\г=1 ¿=0

ж 0 1 0

00

Т°(и2) = (0,у 0 ^,

Т1(и2) =

/к-1 к-1 \

^ (г + 1)у(жу) 0 (уж)к-1- + X! г(жу) 0 у(жу)к-1- 0 0

¿=0 ¿=1

к-1 к-1

£ г(уж) 0 ж(уж)к-1- +£ гж(уж) 0 (жу)к-1- 0 у 0 1

\ ¿=1 ¿=1

/

Доказательство леммы состоит в прямой проверке соотношений р,Т°(6) = 6, ¿¿-^¿(6) = T¿-1(6)d¿+l (г > 0) для 6 £ {«1, «1, «2, и2}.

Теперь доказательство предложения 3.1 завершается с помощью прямых вычислений с матрицами, приведенными в лемме 3.3, и это предоставляется проделать читателю.

Предложение 3.4. Множество У, указанное в (3.1), порождает ИИ*(Д) как К-алгебру.

Доказательство. Пусть Н — К-подалгебра в ИИ*(Д), порожденная множеством

У1 и {1} (здесь 1 —единица алгебры ИИ*(Д)). Ввиду замечания 2.6 имеем ИИ°(Д) С Н. То, что ИИ1(Д) С Н, вытекает из предложения 2.9, Б и соотношений

ж(уж^, 0) = р1«2 для 0 ^ г ^ к — 1,

(у(жу)й 1, 0^ = р2«1, ((жу)й , 0^ = рз«1,

0,ж(уж)й-1) = Р2«1, (о, (жу)к

:Р3«1-

То, что ИИ2(Д) С Н, вытекает из следствия 2.12 и соотношений

(жу^ + (yж)¿, 0, ^ = р!« для 1 ^ г ^ к — 1, ж(уж)к-1,0, 0^ = р2«, ^у(жу)к-1, 0, 0^ = р2«, ^(жу)к, 0, 0

0, 1, 0^ = м2, ^0, ж, 0^ = М1М2 + (к — 1)р2«,

0, у(жу)к-1, 0^ = р2м1, (0, (жу)к, 0^ = рз«12,

0, 0,1^ = (м1)2, (0,0, у^ = мЩ + (к — 1)р2«,

0, 0, ж(уж)к-1^ = Р2(«1)2, ^0,0, (жу)^ = рз(м1)2;

:Рз«,

(некоторые из них выводятся с помощью леммы 3.3).

Далее нам понадобится следующее вспомогательное утверждение.

Лемма 3.5. Положим и := и\ + и[ £ НН1(1?). Тогда для г ^ 2 трансляции Тг(и) можно выбрать так, что их матрицы имеют следующий блочный вид:

Т(5) = (*

где д2 —матрица тождественного отображения модуля Л2.

Доказательство. С использованием леммы 3.3 доказательство проводится индукцией по г.

Продолжим доказательство предложения 3.4. Индукцией по п мы докажем, что ИИ”(Д) С Н. Предположим, что п ^ 3, и пусть дан п-коцикл

/ = (/ ' , //7) : Ф” = ^”-2 ф ¿п ^ Д, (3.8)

где / / £ Иошл(^п-2, Д), / " £ £” = Иошл(Ьп, Д); отметим, что / " £ Кег£”•.

А. Предположим дополнительно, что в (3.8) / // = 0. Так как / / £ Кег^”-2, ввиду леммы 3.2 / = / /ОП” = / /оТ”-2(«). Следовательно, в ИИ*(Д) выполняется соотношение / = / /«, и остается применить индукционное предположение к / /.

Б. В общем случае рассмотрим д := (Оп-2,///) £ Кег^”-1. Из леммы 3.5 следует, что д о Т"_1(г() = . Тогда /1 :=/ — <?«= , 02^, и остаётся применить к /1

часть А доказательства, а к д — индукционное предположение.

Пусть А = А1 = К [Х]//^ —градуированная К -алгебра, определенная в разделе 1, где X из (1.1), а /1 —соответствующий идеал соотношений (см. (1.2)—(1.7)). (Ненулевые) образы мономов из К [X] относительно канонического эпиморфизма К [X] ^ А также будем называть мономами. Из предложений 3.1 и 3.4 следует, что существует сюръективный гомоморфизм градуированных К -алгебр ¡р: А ^ ИИ*(Д), переводящий образующие из множества X в соответствующие образующие из У (см. (3.1)). Пусть А = фт>° Ат — прямое разложение алгебры А на однородные прямые слагаемые. Теперь теорема 1.1 вытекает из следующего утверждения.

Предложение 3.6. Для любого т ^ 0 имеем Ат = ИИт(Д).

Доказательство. Мы рассмотрим подробно только случай нечетного к; для чётного к соответствующие рассуждения лишь несколько упрощаются. На кольце многочленов К [X] введем лексикографический порядок такой, что

м2 > «2 > «1 > «1 > « > £ > р2 > Р2 > Рз > Р1.

Назовем редукцией монома / из А процесс замены некоторых подмономов в / на другие элементы из А по следующим правилам (а ^ 6 означает замену каждого вхождения монома а на элемент 6):

Р1-1«2 ^ р2«1 ^ Р2«1, Р1«2 ^ Р1«2,

р2«2 ^ Р3«1, Р2«2 ^ Р3«1,

«1^1 ^ Р1-1«, «2^2 ^ Рз«,

«1^2 ^ Р2«, «1^2 ^ р2«.

Любую замену из приведенного выше списка назовем элементарным шагом редукции. Так как после каждого элементарного шага редукции ненулевой моном переходит в строго меньший относительно лексикографического порядка, мы за конечное число шагов получаем мономы, к которым уже нельзя применить никакой элементарный

шаг редукции. Говорим, что представление элемента а £ А в виде линейной комбинации мономов имеет нормальную форму, если ни к одному из этих мономов нельзя применить редукцию. Поскольку эти элементарные шаги соответствуют некоторым соотношениям, выполняющимся в алгебре А (см. (1.2)—(1.7)), любой элемент а £ А допускает хотя бы одно представление в нормальной форме.

Пусть д = ё1шк А®. Через д® обозначим число мономов из А®, представленных в нормальной форме; ясно, что д® ^ д®. Поскольку имеется эпиморфизм А® ^ ИИ®(Д), д ^ ё1шк ИИ®(Д). Наконец, удаётся доказать, что

д® =ё1шк ИИ®(Д). (3.9)

Действительно, перебирая различные возможности вхождения элементов множества X в запись монома, представленного в нормальной форме (ср. [1, доказательство предложения 4.9]), получаем, что все (ненулевые) мономы, имеющие нормальную форму, содержатся в следующем списке: мономы степени 2п —

и2«)2(”-')-1^, и^”-'0-1^, Ю2^-^', (и,1)2(”-')^Р2,

(м/1)2(”-j)«'рз, и1(” ')«', и1(” ')«'р2, и^” ')«'рз (0 ^ ^ п — 1);

«”р1 (0 ^ г ^ к — 1); «”р2, «”р2, «”рз;

мономы степени 2п +1 —

ЦК)2^-'^', и2и2(” , К)2^-'^1«', К)2^-'^1«'Р2,

(«1 )2(”-')+1«'Рз, и1(п-')+1^, м1(п-')+1«'р2, м2(”-')+1«'Рз (0 < ^ < п);

И2«”р1 (1 ^ г ^ к — 2); И1«”р2.

Таким образом, получаем равенство (3.9), что завершает доказательство предложения 3.6.

Литература

1. Генералов А. И. Когомологии Хохшильда алгебр полудиэдрального типа, I. Групповые алгебры полудиэдральных групп // Алгебра и анализ. 2009. Т. 21. Вып. 2. С. 1-51.

2. Генералов А. И. Когомологии Хохшильда алгебр диэдрального типа, II. Локальные алгебры // Зап. науч. семин. ПОМИ (в печати).

3. Erdmann K. Blocks of tame representation type and related algebras // Lecture Notes in Math. 1990. Vol. 1428. Berlin; Heidelberg.

4. Siegel S. F., Witherspoon S. J. The Hochschild cohomology ring of a group algebra // Proc. London Math. Soc. 1999. Vol. 79. P. 131-157.

5. Eilenberg S., MacLane S. Cohomology theory in abstract groups, I // Ann. Math. 1947. Vol. 48. P. 51-78.

6. Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. М., 1960.

7. Gerstenhaber M. The cohomology structure of an associative ring // Ann. Math. 1963. Vol. 78. P. 267-288.

8. Gerstenhaber M., Schack S. D. Algebraic cohomology and deformation theory // Deformation theory of algebras and structures and applications / Eds. M. Hazewinkel, M. Gerstenhaber. 1988. (NATO ASI Ser., Ser. C: Math. and Phys. Sci.) Vol. 247. P. 11-264. Kluwer Acad. Publ.

Статья поступила в редакцию 10 октября 2009 г.