Когомологии Хохшильда алгебр кватенионного типа: серия q(2b)1(k, s, a, c) над полем характеристики не 2 Текст научной статьи по специальности «Математика»

КОГОМОЛОГИИ ХОХШИЛЬДА АЛГЕБР КВАТЕРНИОННОГО ТИПА: СЕРИЯ д(2®)і(к,в,а,с) НАД ПОЛЕМ ХАРАКТЕРИСТИКИ НЕ 2

А. А. Иванов

С.-Петербургский государственный университет, ст. преподаватель, a.a.ivanov.spb@gmail.ru

1. Введение

Пусть Д — конечномерная алгебра над полем К, Л = Де = Д <8>к Д°р —её обёртывающая алгебра,

НН*(Д) = фл>0 НН"(Д) = фп)0Е*«(Д, Д)

— её алгебра когомологий Хохшильда (см. [1, §5], [2, Гл. XI], [3]). Статья является продолжением работы [4], в которой алгебра когомологий Хохшильда была вычислена для алгебр кватернионного типа серии ^(2®)і(к, в, а, с) над алгебраически замкнутым полем характеристики 2. В настоящей работе описана аддитивная структура алгебры НН*(Д) для алгебр этого семейства над всеми алгебраически замкнутыми полями характеристики не 2. В вычислении используется 4-периодическая минимальная Л-проективная резольвента модуля Д из работы [4].

Напомним, что алгебры диэдрального, полудиэдрального и кватернионного типов возникли в работах К. Эрдман при классификации групповых блоков, имеющих ручной тип представления [5].

2. Формулировка основного результата

Алгебры серии ^(2®)і (над алгебраически замкнутым полем К произвольной характеристики) описываются с помощью следующего колчана с соотношениями:

а

д(в): I о

л

Пв = ва(7ва)й-1, 7П = а7(ва7)й-1, в7 = П8-1, (21)

а2 = а7в(а7в)й-1 + с(а7в)й, ва2 = 0, а27 = 0, ( . )

где к, в Є М, в ^ 3, а, с Є К, а = 0 (композиция путей записывается справа налево). Алгебры этой серии обозначаются через ф(2В)1(к, в, а, с), а также более кратко через ф(2В)1. В настоящей работе предполагается к ^ 2.

Отметим, что в рассматриваемом случае к + в > 4 и характеристика основного поля не равна 2. В таком контексте любая алгебра серии ф(2В)1(к, в, а, с) изоморфна алгебре

© А.А.Иванов, 2010

Q(2B)i(k, s, І, 0) (см. [6], Lemma 5.Т). Таким образом, можно ограничиться рассмотрением алгебр Q(2B)i(k, s, 1,0) ив определяющих соотношениях (2.1) предполагать, что a = І, c =0.

Через ei, i = 0, І, обозначим идемпотенты алгебры R = Q(2®)i(k,s, 1,0), соответствующие вершинам колчана Q(B). Тогда Pij = Л(еі ® ej), i, j Є {0, І}, составляют полное множество представителей главных неразложимых левых Л-модулей, где Л = Re.

Умножение справа на элемент w Є Л индуцирует эндоморфизм w* левого Л-модуля Л, кроме того, если w Є (ei®ej)Л(е^<8>ei), то w* индуцирует гомоморфизм w* : Pij ^ Pki; в дальнейшем ради простоты мы будем часто гомоморфизм умножения (справа) на w Є Л также обозначать через w.

Далее предполагаем, что K — алгебраически замкнутое поле характеристики отличной от двух.

Теорема 2.1. Пусть K —алгебраически замкнутое поле характеристики 3, и пусть R = Q(2®)i(k, s, І, 0), где s ^ З и k ^ 2. Тогда для V m Є N U {0}

1) dim* HH0(R) = k + s + 2;

k + s — І, если s = 0, k = 0

k + s, если s = 0, k = 0 или s = 0, k =0

k + s + І, если s = 0, k = 0;

k + s — І, если s = 0, k = 0

k + s, если s = 0, k = 0 или s = 0, k =0

k + s + І, если s = 0, k = 0;

k + s, если s = 0, k = 0

k + s + І, если s = 0, k = 0 или s = 0, k =0

k + s + 2, если s = 0, k = 0;

k + s, если s = 0, k = 0

k + s + І, если s = 0, k = 0 или s = 0, k =0

k + s + 2, если s = 0, k = 0.

l — алгебраически замкнутое поле характерис

Q(2B)i(k, s, І, 0), где s ^ З и k ^ 2. Тогда для

+ 2;

k + s — І, если 4ks — Зk — Зs = 0

k + s, если 4ks — Зk — Зs = 0;

k + s — І, если 4ks — Зk — Зs = 0

k + s, если 4ks — Зk — Зs = 0;

k + s, если s = 0, k = 0

k + s + І, если s = 0, k = 0 или s = 0, k =0

k + s + 2, если s = 0, k = 0;

k + s, если s = 0, k = 0

k + s + І, если s = 0, k = 0 или s = 0, k =0

k + s + 2, если s = 0, k = 0.

2) dimK ИИ4т+1(Д) =

3) dimK ИИ4т+2(Д) =

4) dimK ИИ4т+3(Д) =

5) dimK ИИ4т+4(Д) =

Теорема 2.2. Пусть ной от 2 и 3, и пусть Д =

1) dimK ИИ0(Д) = k +

2) dimK ИИ4т+1(Д) =

3) dimK ИИ4т+2(Д) =

4) dimK ИИ4т+3(Д) =

5) dimK ИИ4т+4(Д) =

Замечание 2.3. Ввиду [7] (РгоровШоп 4.1.1) полученные результаты могут быть применены к описанию групп когомологий Хохшильда для алгебр серии ^(2Л)к(с), возникающей также в классификации Эрдманн (см. [5]).

3. Доказательства основных теорем

Доказательства обеих теорем будут вестись параллельно.

Для начала введем некоторые обозначения. Пусть Д = д(2Б)1(к, в, 1,0), где к ^

2, в ^ 3. Введем краткие обозначения для некоторых элементов этой алгебры:

а = «7в, 6 = ва7, д = 7в«-

Стандартным базисом алгебры Д будем называть множество Б = ‘БеюиБю иБ01 иВц, где

Б00 = {а*+1, д*, 7,3а\ ад4 | 0 < г < к - 1},

Б01 = {76*, «76® | 0 ^ г ^ к — 1},

Вю = {ва®, вад* | 0 ^ г ^ к — 1},

Бц = {6® | 0 ^ г ^ к} и {п* | 1 ^ г ^ в — 1}.

Вычисление аддитивной структуры алгебры когомологий алгебры д(2Б)1(к, в, 1,0), при к ^ 2 над полем характеристики отличной от 2, сводится к вычислению когомологий некоторого комплекса, строящегося по бимодульной резольвенте алгебры. Приведем описание этой резольвенты (обоснование её точности см. в [4]). Необходимо отметить, что в описании этой резольвенты в [4] имеется опечатка (потерян знак минус у элемента (^1)43), здесь она исправлена.

Положим до := <2з := Роо © Р11, ^1 := ^2 := Роо Ф Р10 © Ро1 Ф Р11 и д„+4 :=

для п ^ 0. Рассмотрим гомоморфизмы € Иош(д*+1,д*) (г ^ 0), определяемые матрицами:

где

Оо =

а 0 ео — ео 0 а в 0 ео ео 0 7

0

0

Е ва*-1 0 дк—* *=1

—е1 0 в —7 0 е1 п 0 е1 — е1 0 п)' к

1

к-1

Е-^к—*— 1

1

к-1

* — ^2 вад*-1 0 вад

*=1

к—*—1

0

—е1 0 в

ео 0 п — Е ад* 1 0 6к *

*=1

—7 0 е1

к-1

0

—е1 0 7 в 0 е1

в —1

Е п*—10 пв—*—1 / *=1 /

(^1) 11 =а 0 ео + ео 0 а — ^ 7ваг 1 0 ^в1

*=1

,к—*—1

— 1 - ак—*

№)з1 = 53 д*—1 0 вак—*•

*

а

1

/а 0 е° — е° 0 а 0 \

—7 0 ео —еі 0 7

ео 0 в в 0 еі

У 0 п 0 еі — еі 0 п/

^3 — это 2 х 2-матрица, у которой

№)іі — ^З «® -1 0 а" - І+1 + 13 ^ -1 0 а/ - ® + ^^ 0 / - ®

®=1 ®=1 ®=1 к

+ УЗ а#®-1 0 7вак-г,

®= 1

кк

№)і2 — ва^®-1 0 7&к-г + ^3 ва®-1 0 а7&к-г,

®=1 ®=1

кк

(^3)21 — — ^3 а7^®-1 0 вак-® — ^3 ^Ь®-1 0 ва^к-г,

®=1 ®=1 к в

№Ь — — ^3 ь®-10 ьк-і+1 п® 0 пв-®;

®=1 ®=1

наконец, для п Є N и {0}

^п+4 — ^п •

Пусть

д. —^ д (3.1)

— минимальная Л-проективная резольвента, приведенная выше. Пусть ННп(Д) — Ех^(Д, Д) — Нп(Ношл(д., Д)), где Ношл(д., Д) — это комплекс

(Ношл(дп,Д), ^п — НошлК,Д)1 . (3.2)

V / п^0

Пусть Zп(Д) (соответственно, Вп(Д)) обозначает пространство п-коциклов (соответственно, пространство п-кограниц), т.е. Zn(Д) — Кег£п, Вп(Д) — 1ш£п-1.

Поскольку — Л • (е® 0 е^-), всякий Л-гомоморфизм /: дп ^ Д определяется набором своих значений на соответствующих образующих е® 0е^-, при этом / (е® 0е^-) Є е®Де^-.

В дальнейшем мы отождествляем / с этим набором значений; кроме того, указанные наборы значений заключаем в квадратные скобки и часто будем писать / — [/(е® 0 е^ )]®^.

3.1. Вычисление НН0(Д). После отождествления с набором значений на образующих дифференциал

: Ношл(д0, Д) ^ Ношл(д1, Д)

описывается так: для r® £ е®Де® (i = 0,1)

£0(r0, ri) = (ar0 — гоа, вго — пв, го7 — 7Г1, nri — rin). (3-3)

Предложение 3.1.1. dimK ИИ0(Д) = k + s + 2, dimK Im£0 = dimВ1(Д) = 4k — 2. Доказательство. См. в [4]. □

Из предложения 3-1-1 следуют утверждения 1 обеих теорем.

Замечание 3.1.2. Если в (3.3) в качестве Г0 и ri брать подходящие элементы стандартного базиса алгебры Д (принадлежащие е0Де0 и eiRei соответственно), то непосредственно проверяется, что В1(Д) допускает в качестве базиса множество следующих элементов:

[а® — g®, 0,0, 0], [ад®,ва®, 0, 0], [ад®, 0,76®, 0], где 1 ^ i ^ k — 1; (3.4)

[0, в«д\ «76®, 0], где 0 ^ i ^ k — 1; [0, в, 7,0]. (3.5)

3.2. Вычисление ИИ4т+1(Д). Дифференциал

J1: Иomл(Q1, Д) ^ Иomл(Q2, Д)

после указанных выше отождествлений может быть описан следующим образом: для rj £ е®Де^ (i,j £ {0,1}) имеем

^1(г00, Г10, Г01, rii) = (^00, ti0, t0i, tii),

где

k —1 k

\ Л ж, Q— 1 ^ ж,/3„к — 1 — i \ Л ^,Li — 1 ^ „k —i

t00 = a • r00 + r00 • a — ^3 7ва® 1 • r00 • 7вак 1 ® — 53 y6® 1 • ri0 • а

k

+ УЗ gi—1 • r0i • ва1

i= 1 i= 1

k

i— 1 ^ /о^_,к—i

®=1

ti0 = 53 eai—1 • r00 • gk—i + 53 6i—1 • ri0 • agk—i — i= 1 i= 1

k —1

— n • r 10 — ^e«gi—1 • r0i • e«gk—1—i — rii • в,

=i

k k — 1

t0i = ^2t a 1 • r00 • Ybk i + ^2 1 • r 10 • «Y&k 1 i+

i= 1 i= 1

k

-1 ^ ok—i

+ r0i • n — 53 agi 1 • r0i • вk i — Y • rii,

i=1

s — 1

tii = — ri0 • Y + в • r0i + 53П® 1 • rii • ns 1 i-

Предположим, что д = (гоо, гїо, гої, гц) Є Z 1(Д). Представим компоненты этого 1-коцикла в виде

гоо

УЗ AwW, Г10 = 53

MwW Г01

wG®o

wGBi

E

w£®oi

VwW, Гц

E ■

wGBii

(3.6)

(Лш, € К). Тогда условие £ю = 0 равносильно системе следующих уравнений

для координат разложений из (3.6) (для удобства читателя мы указываем в скобках, при каких элементах стандартного базиса Д сравниваются соответствующие скаляры):

аЬі = 0 для 0 ^ i ^ k — 2 ); (3.7)

Ae0 + Ofek-l = 0 (**-1); (3.8)

kAa + (k — І) Me — (k — !)v^ — = 0 ^а7&к - ^. (3.9)

Аналогично, условие ^ц = 0 равносильно следующим соотношениям (вновь мы указываем соответствующие базисные элементы алгебры Д):

— Me + v7 + (s — І)<^п = 0 И; (3.10)

— vaYbi = 0 для 0 ^ i ^ k — 2 (b'+1); (3.11)

— Meagk-1 + Va7bfc-1 + (s — І)стп2 = 0 (b‘); (3.12)

(s — І)СТЄ1 = 0 (,- - 0- (3.13)

Далее, условие too = 0 равносильно соотношениям

О o <0 A (2а); (3.14)

(k — 3)Aa + kMe — kv^ — 0 (7^-1); (3.15)

2AY,Safc-1 — МЄ« + V«Y = 0 И; (3.16)

Agi + Aai = 0 для І ^ i ^ k — І (а£г); (3.17)

A-y^ai = 0 для 0 ^ i ^ k — 2 ("•+■)■ (3.18)

Наконец, условие іої = 0 равносильно соотношениям (3.7)-(3.9). Анализ вышеприведённых соотношений для координат разложений из зывает, что следующие коцепи являются базисными элементами ядра ^1 в (3.6) пока-любой ха-

рактеристике основного поля, не равной 2:

[ак, 0,0, 0], [а4 + д\ 0,0, 0], [ад4,0, 0,0], где 1 < i < к — 1 (*0о = 0), (3.19)

[0, в, 7, 0], [0,вадк - 1,«7бк -1, 0], [0,0, 0, п*] где 3 ^ i ^ в (£01 = 0), (3.20)

[0, вад4, «7&\ 0], где 0 ^ i ^ к — 2 (£ц = 0), (3.21)

[0,ва4, 0, 0], [0, 0,7д\ 0], где 1 < i < к — 1 (£п = 0), (3.22)

w

[0, ввадк 1,а7&к 1,П2]- (3.23)

Прямые вычисления показывают, что следующие коцепи попадают в базис образа ^1 в произвольной характеристике, отличной от 2:

[2а, 0, 0, 0], [2ак, 0, 0, 0], [а4 + д\ 0, 0, 0], [ад4, 0, 0, 0], где 1 < i < к — 1, (3.24)

[0, ва\ 7&\ 0], где 1 ^ i ^ к — 1, (3.25)

[0, 0,0,6к], [0,0, 0,Ь4], где 1 < i < к — 1, (3.26)

[0, —в, —7, (в — 1)п2]. (3.27)

Теперь заметим, что коциклы получаемые из соотношений (3.9), (3.10), (3.15) могут оказаться линейно зависимыми. Составим линейную систему из этих соотношений; её определитель равен —4кв + 3к + 3в.

Докажем часть 2 теоремы 1.2. Пусть —4кв+3к+3в = 0. Тогда у системы (3.9), (3.10), (3.15) есть только тривиальное решение, соответствующее коциклу [0, в, 7,0] из (3.20). Заметим, что ё1шк ^1 = 9к + в. В списке (3.19)-(3.23) содержится 5к + в — 3 линейно независимых элемента из Кег^1. Рассмотрим элементы базиса ^1, чьи коэффициенты разложения входят в систему (3.9), (3.10), (3.15):

[а, 0, 0,0], [0, 0,7,0], [0, 0,0,п]. (3.28)

Они линейно независимы и не выражаются линейно через коцепи набора (3.19)—(3.23). Их образы

[—(к — 3)7вак -1, ква/ -1, ка76к -1,0], (3.29)

[к7вак -1, —(к — 1)вадк -1, —(к — 1)а7&к -1, в7], (3.30)

[0, —пв, —7П, (в — 1)п"-1] (3.31)

образуют вместе с (3.24)-(3.27) линейно независимый набор над полем любой характеристики, не равной 2 или 3. В списке (3.24)-(3.27) содержится 4к линейно независимых элементов из Тш^1. Кроме того, ё1шК Кег^1 + Тш^1 = ё1шк ^1. Таким

образом, в качестве базиса Кег^1 можно выбрать (3.19)-(3.23), а в качестве базиса Тш^1 можно взять (3.24)-(3.27) и (3.29)-(3.31). Теперь, с учетом предложения 3.1.1 и 4-периодичности резольвенты (3.1) имеем:

ИИ4к+1(Д) = ИИ1(Д) = ё1шк Кег^1 — Тш£0 = к + в — 1.

Пусть теперь —4кв + 3к + 3в = 0. Тогда легко найти нетривиальное решение системы (3.9), (3.10), (3.15):

[ва, 6(в — 1)в, 3(в — 1)7, 3п]. (3.32)

Коцикл (3.32) и элементы набора (3.19)-(3.23) составляют базис ядра Кег^1. Образы элементов [а, 0, 0,0], [0, 0,7,0]: (3.29), (3.30) вместе с (3.24)-(3.27) образуют базис Тш^1. И снова легко видеть, что

ИИ4к+1(Д) = Кег^1 — ё1шк Тш£0 = к + в.

Итак, часть 2 теоремы 1.2. доказана. Часть 2 теоремы 1.1 доказывается аналогично.

Из доказательства вытекают два следствия.

Предложение 3.2.1. В контексте теоремы 1.1

{4k + 3, если k = 0, s = 0

4k + 2, если k = 0, s = 0 либо k = 0, s = 0

4k +1, если k = 0, s = 0.

Предложение 3.2.2. В контексте теоремы 1.2

i f4k + 3, если 4ks — 3k — 3s = 0

dim K Imd = <

I 4k + 2, если 4ks — 3k — 3s = 0.

3.3. Вычисление ИИ4т+2(Д). Исследуем дифференциал : Иотл(^2,Д) ^ Иотл(^з, R). Ввиду сделанных выше соглашений £2 описывается формулой: для rj e е*Де^ (i, j e {0,1})

^2(roo,rio,roi,rii) = (too,tu),

где

too = aroo — rooa — 7Ho + roi^, (3.33)

tii = —rioY + eroi + nrii — riin. (3.34)

Предложение 3.3.1. А. Пространство Z2(Д) допускает в качестве K-базиса множество, состоящее из следующих элементов:

[0, 7^*, 0], где 0 ^ i ^ k — 1; (3.35)

[7^а\ в«д®, «76®, 0], где 0 ^ i ^ k — 2; (3.36)

[7вак -1,0, 0,0]; (3.37)

[eo, 0,0, 0], [ak, 0, 0,0]; (3.38)

[0, e«gfc-:i, a76fc-:i,0]; (3.39)

[g* + a®, 0, 0, 0], [0, 0, 0,6*], где 1 < i < k — 1; (3.40)

[0, 0,0, n®], где 0 ^ i ^ s; (3.41)

[ag®, 0, 0, 0], где 0 ^ i ^ k — 1. (3.42)

Б. Пространство В3(Д) допускает в качестве К-базиса множество, состоящее из следующих элементов:

[а4 — д4, 0], [ад4, 0], [7ва\ 0], где 1 ^ i ^ к — 1; (3.43)

[д\64], где 1 < i < к; (3.44)

[7в,в7]. (3.45)

Доказательство. Предположим, что q = (roo, rio, roi, rii) e Z2(Д). Компоненты этого 2-коцикла представим в виде (3.6). Тогда соотношение too = 0 (где too из (3.33))

равносильно следующей системе уравнений относительно коэффициентов Лш, Мш, ^ш € К этих разложений:

— Ла* + Лд = 0 для 1 ^ ^ к — 1; (3.46)

Л7ваг Мвадг 0

Л7ваг + ^а7Ьг 0 I гл^-,^7 г»

для 0 ^ ^ к — 2; (3.47)

Мвад^ 0

^а^Ьг 0

— Мвад&-1 + ^а7ЬЬ-1 = 0- (3.48)

Второе соотношение = 0 (для из (3.34)) равносильно такой системе уравнений:

— Мв + ^7 =0,

— Мв^д^ + = 0 для 0 ^ ^ к — 1.

Отсюда легко получаем, что множество элементов из (3.35)-(3.42) составляет базис

22(Д) = Кег^2. В частности, ёшк 22(Д) = 5к + в + 2, ё1шК В3(Д) = 4к — 2.

Непосредственно проверяется, что элементы из (3.43)-(3.45) порождают В3(Д), а поскольку их число равно ё1шк В3(Д), то они образуют базис этого пространства. □ Следствие 3.3.2. 22(Д) = 5к + в + 2, ё1шК В3(Д) = 4к — 2.

Теперь части 3 теорем 1.1 и 1.2 прямо следуют из предложений 3.2.1 и 3.2.2 и следствия 3.3.2.

3-4- Вычисление ИИ4т+3(Д) и ИИ4т+4(Д). Поскольку резольвента (3.1) 4-пе-риодична, нам осталось изучить дифференциал

53: Иошл(^3, Д) ^ Иошл(^4, Д).

Аналогично предыдущему он может быть описан следующим образом: для г4 € е4Де4 (* = 0,1)

^3(го,гх) = (/о,/1), (3.49)

где

к к к

/о = Е а'-1 • го • ак-'+1 + Е 7ва'-1 • го • а/-4 + ^(/ • го • /-Ч 1

+ ад4 1 • го • 4 — афг 1 • Г1 • вак 4 — 7&4 1 • Г1 • вадк 4

1

к к к /1 = £ в«£4 -1 • го • 7&" - ‘ + Е ва4 -1 • го • а7&" - ‘ — Е Ь-1 • п • - 4+1

4=1 4=1 4=1

—

4=1

Далее, пусть q = (ro, ri) G Z3(R), где

ro =53 Aww, ri = ^3 ^ww,

we®oo w£®ii

(Aw, G K) (ср. (3.6)). Легко видеть, что условия fo = 0 и fi =0 равносильны системе

уравнений

J 2kAeo kMei 0

|^2kAeo — (k + s)^e1 = 0

Отсюда очевидно, что при k = 0, s = 0 образы [eo, 0], [0, ei] образуют базис B4 и dimK Z3 = 5k + s — 2. При k = 0, s = 0 образ [0, e1] образует базис B4 и dimK Z3 = 5k + s — 1. При k = 0, s = 0 образ [e0, 2e1] образует базис B4 и dimK Z3 = 5k + s — 1. И, наконец, при k = 0, s = 0 B4 = 0 и dimK Z3 = 5k + s.

С учетом следствия 3.3.2 и предложения 3.1.1 пункты 4 и 5 теорем 1.1 и 1.2 немедленно следуют.

Литература

1. Eilenberg S., MacLane S. Cohomology theory in abstract groups, I // Ann. Math. Vol. 48. 1947. P. 51-78.

2. Картан А., Эйленберг С. Гомологическая алгебра. М., 1960.

3. Gerstenhaber M. The cohomology structure of an associative ring // Ann. Math. Vol. 78. 1963. P. 267-288.

4. Генералов А. И., Иванов А. А., Иванов С. О. Когомологии Хохшильда алгебр кватерни-онного типа, II. Серия Q(2B)i в характеристике 2 // Зап. науч. семин. ПОМИ. Т. 349. 2007. C. 53-134.

5. Erdmann K. Blocks of tame representation type and related algebras // Lecture Notes in Math. Vol. 1428. Berlin; Heidelberg, 1990.

6. Erdmann K., Skowronski A. The stable Calabi—Yau dimension of tame symmetric algebras // J. Math. Soc. Japan. Vol. 58. 2006. N1. P. 97-128.

7. Holm Th. Derived equivalent tame blocks // J. Algebra. Vol. 194. 1997. P. 178-200.

Статья поступила в редакцию 10 октября 2009 г.