CC BY
42
ФИЗИКО-МАТЕМАТИЧЕСКИЕ НАУКИ
УДК 517.95
КОНТРАКЦИИ КВАНТОВЫХ СИМПЛЕКТИЧЕСКИХ ГРУПП Н.А. ГРОМОВ, В.В. КУРАТОВ
Отдел математики Коми НЦ УрО РАН, г.Сыктывкар gromov@dm.komisc.ru, kuratov@dm.komisc.ru
Изучаются контракции квантовых симплектических групп Spq (n), рассматриваемых как алгебры Хопфа некоммутативных функций над алгебрами с ниль-потентными образующими, а также контракции ассоциированных с ними квантовых симплектических пространств Spqn. Развита общая теория для произвольного n, включающая разные сочетания схемы контракций Кэли-Клейна и структуры алгебры Хопфа, которые описываются с помощью перестановок n-го порядка. Общая теория подробно иллюстрируется при n = 2.
Ключевые слова: алгебра Хопфа, квантовая симплектическая группа, контракция
N.A. GROMOV, V.V. KURATOV. CONTRACTIONS OF QUANTUM SYMP-LECTIC GROUPS
Contractions of the quantum symplectic groups Spq (n) and of the quantum symplec-tic spaces Sp^n are investigated. Contracted groups are regarded as Hopf algebras of the noncommutative functions over the algebras with nilpotent generators. The different combinations of the Cayley-Klein scheme of group contractions and the noncommutative quantum structure are studed with the help of permutations of n-th order in the framework of general theory for arbitrary n. The case of n = 2 is considered in detail.
Key words: Hopf algebra, quantum symplectic group, contraction
Введение
Теория квантования простых классических групп и алгебр Ли непрерывных серий — ортогональной, унитарной и симплектической — систематически была сформулирована в работе [1], содержащей также мотивировку и краткую историю развития связанных с теорией алгебраических конструкций. С алгебраической точки зрения квантовые группы Ли и квантовые алгебры Ли представляют собой алгебры Хопфа, а их значение, помимо всего прочего, состоит в том, что это были первые нетривиальные примеры некоммутативных и одновременно некокоммута-тивных алгебр Хопфа. С 90-х гг прошлого столетия квантовые группы и алгебры приобрели большую популярность и интенсивно исследовались как математиками, так и физиками. С ними связывались надежды о предсказании и обнаружении эффектов неком-мутативности в реальном мире, в частности, в геометрии пространства-времени [2,3].
Вместе с тем, в теоретической физике используются не только простые, но и неполупростые группы и алгебры Ли. В частности, группа инвариантности релятивистского пространства-времени специальной теории относительности есть неполупростая группа, представляющая собой полупрямое произведение абелевой подгруппы трансляций и группы Ло-
ренца. Поэтому описание некоммутативных квантовых деформаций неполупростых групп Ли и алгебр Ли представляет несомненный интерес как с точки зрения их приложений в физике, так и собственно математический, поскольку отдельная процедура квантования (деформирования) неполупростых групп Ли и алгебр Ли неизвестна. Неполупростые группы Ли можно получить из простых групп методом контракций [4], который состоит во введении в структуру группы одного или нескольких параметров таким образом, чтобы при стремлении этих параметров к нулю групповые аксиомы сохранялись, а изменялось бы лишь групповое умножение.
Альтернативный подход [5] к описанию неполупростых групп Ли заключается в рассмотрении групп над алгебрами, порождаемыми нильпотентны-ми коммутативными образующими. Элементы таких групп представляют собой квадратные матрицы, матричные элементы которых принимают значения в алгебрах с нильпотентными образующими. Этот же подход применим и в случае квантовых групп [6]-[11]. В отличие от [7,9] в настоящей работе мы рассматриваем разные объединения квантовой структуры (или структуры алгебры Хопфа) и схемы контракций Кэ-ли-Клейна в рамках одного объекта: квантовой симплектической группы или некоммутативного квантового симплектического пространства.
1. Квантовые симплектические группы и пространства
Квантовая симплектическая группа Spq(n) определяется [1] вполне аналогично квантовой ортогональной группе. Она ассоциируется с матрицей Rq вида
N
N
i=ii
i,k = 1 i=k,ki
N
N
■,,k=1
i>k
i=ii N
-X^2 qpi-pkЄiЄkeik » eiik
(1)
i,k = 1 i>k
где N = 2п,Х = д - д 1, (р\,...,р2и) = (п,п -1, . . . , 1,-1,..., -п +1, -п), £г = 1 при г = 1,... ,п и £г = -1 при г = п + 1,... N, г' = N + 1 - г. С помощью числовой матрицы Rq определяются коммутационные соотношения
RqT1T2 = T2T1Rq,
(2)
образующих
T =( tik tiki У i,k = 1,...,n (3)
\ tiik tii k' J
квантовой группы Spq(n), где T1 = T ® I, T2 = I ® T, а I — единичная 2n x 2n матрица. В алгебре Spq(n) имеют место дополнительные соотношения вида
TCTt = C, TtC-1T = C-1,
где C = Coqp, причем p = diag(pi,... , pN), (Co)ij = £iSi'j, i,j = 1,... ,N и C2 = -I.
Алгебра функций на квантовой группе Spq(n) и является алгеброй Хопфа с коумножением Д
2n
k=1
коединицей Є
и антиподом S
Є(T) = I, є(tij) = Sk
(5)
(6)
S(T)= CTtC-1, i,j = 1,...,n,
S(tik )= qi ktkiii, S(tiki )= -qi k 1tki
S(ti ik) = -qi -k+1tk ii, S(ti ik i) = qk-itki = qi -k t
ki,
обладающим свойством
S2(T) = (CCt)T (CCt)-1.
(7)
(8)
Выбор многочлена f (t) = t - q в определении квантовых пространств
f (R)(x » x) = 0
(9)
приводит к N = 2п-мерному квантовому симплекти-ческому пространству Яр^(С), порождаемому образующими х1,...,х2и и коммутационными соотношениями
Riq (х ф х) = д(Х ф х), (10)
где Rq = PRq, Р(а ф Ь) = Ь ф а. В явном виде ХгХк = дХкХг, 1 < г < к < 2п, г = к',
1
Xii xi = xi xi
В алгебре SpN(C) выполняется равенство
+ (q2 -1)^2 qPii Pl єіі єі XiX
1=1
1 < i < i < 2n.
N
Xі"CX У ' q PkЄkXkXkі = 0,
(11)
(12)
k=1
с учетом которого последние коммутаторы в (11) можно переписать в виде
\Xi, Xii] = M^^q1 k Xk Xk, i = 1,...,n.
(13)
k=1
Квантовое симплектическое пространство Sp\n(C) вкладывается в квантовую группу Spq(n) как первый столбец матрицы образующих Xk = tk1, k = 1,... ,n. Не зависящее от выбора матрицы R действие S квантовой группы Sp„(n) на квантовом симплектическом пространстве Sp2n(C)
n
S(X) = T&>X, S(Xi) = У ' tik » Xk, i = 1, ■ ■ ■ ,n (14) k=1
(4) сохраняет билинейную форму
Х*ф Су =
и
= У] у ф ук, - хк, ф , (15)
к=1
те. т(5 ф 5)(Х1фСу) = 1 ф Х1фСу, где т : Spq(п) ф Spq(п) ^ Spq(п) есть отображение умножения.
2. Разные комбинации квантовой структуры и схемы контракций Кэли-Клейна
Теория квантовых деформаций и схема контракций Кэли-Клейна пространств зависят от выбора базиса — они обе используют в качестве исходного объекта декартовы координаты евклидова пространства. Эти декартовы координаты равноправны в том смысле, что перенумерация координат не меняет геометрические свойства пространства. Вместе с тем и квантовые деформации и контракции нарушают указанную равноправность. При деформации коммутативные декартовы координаты становятся некоммутативными, причем коммутационные соотношения между декартовыми образующими зависят от ее номера. Схема контракций Кэли-Клейна вводится независимым от квантовой деформации способом: хк ^ (1,к)хк, но она зависит от номера координаты. Две независимые структуры могут быть объединены в одном объекте — квантовой группе или
квантовом пространстве — разными способами [6]. Для этого достаточно изменить только одну из структур, скажем, квантовые деформации с помощью перестановок а £ Я(п) индексов декартовых образующих квантового пространства в уравнениях, задающих их коммутационные соотношения, а также перестановок индексов матрицы образующих квантовой группы в ЕТТ-уравнениях. Схему контракций Кэли-Клейна при этом оставляем неизменной.
В случае симплектических групп и пространств это описание выглядит следующим образом. Заменим в уравнениях (10) образующие Х1 = (х1,хп, Хп I. ,Ху ) на хг = (ха1 ,Хап ,Ха>п . . ,Ха^ ) и определим квантовое симплектическое пространство Кэ-ли-Клейна Яр1п^; а) формулами
Хак ^ (1,ак )х«к , Ха'к ^ (1,ак )ха'к , к = 1,...,п, (16)
где образующие Хак принадлежат первому сомножителю Хак £ Еп(з), а образующие Х^ £ Еп(з) — второму сомножителю в тензорном произведении Еп(з) ® Ип(з). Произведение контракционных параметров обозначим символом
тах(^г?^к)- 1
(аг,ак ) = П (ак ,ак) = 1 (17)
1 = тт(&г,ак)
Преобразование образующих следует дополнить преобразованием параметра деформации д = вг вида г = Jv, в котором минимальный множитель J находится из условия определенности всех коммутационных соотношений квантового пространства Яр1п(з; а)
Х&1 Хак = е^ухакХа1, 1 < г < к < 2п, г = к',
2eJv sinh Jv ^ j(i-k)vM \2
-ъо'л\— (1 _ )2 e (1,ak) xak x<Jk>
( ’ i) k=1
[xai ,xa' ]
i = 1,.. . ,n
(18)
и коммутационных соотношений (21) квантовой группы Яру (п; з; а). В случае тождественной перестановки а0 = (1,2,... ,п) минимальный множитель J =
(1,п)2.
Преобразование образующих квантовой сим-плектической группы найдем из условия сохранения билинейной формы пространства Яр1п(з; а)
Хг(з; а)<®С(з)у(3; а) =
п
^>2(1,ак)2 (е-1(п+1-к)Х„к ® Уа'к -
k=1
-eJ(n+1-k)vxa,k ® p„k) .
(19)
В результате получим матрицу образующих квантовой группы Яру (п; з; а) вида
Т(з; а)= 1 Тгк Тгк
( Tik Tik' \ =
V Ti'k Ti'k' )
{ (ai,ak )tvivk (ai,ak ’)taiak A
\ (ai,ak )ta'iak (ai,ak ')ta'ia'k )
где г, к = 1, . . . , п. Коммутационные соотношения образующих Т(з; а) находятся из системы уравнений (сравни (2))
ЕуТ1(з; а)Т2(з; а) = Т2(з; а)Т1(з; а)Еу, (21)
а дополнительные соотношения (4) принимают вид
Т(з; а)С(з)Тг(з; а) = С(з),
Тг(з; а)С-1 (з)Т(з; а) = С-1(з), (22)
где Еу = Ед(я ^ е/у), С(з) = С(д ^ е/у). Структу-
ра алгебры Хопфа в алгебре функций на квантовой группе Яру (п; з; а) задается соотношениями
AT(j; а) = T(j; a)®T(j; a), e(T(j)) = I,
S(T(j; a)) = C(j)Tг(3; a)C-1j).
(23)
Мы описали общую алгебраическую структуру квантовых симплектических групп Яру (п; з; а) и ассоциированных с ними квантовых симплектических пространств Яр‘2,п(з; а). Проиллюстрируем полученные соотношения при п = 2 — первом нетривиальном случае, допускающем один контракционный параметр.
3. Квантовая симплектическая группа Яру (2; з; а) и квантовое пространство Яру (з; а)
При п = 2 квантовое симплектическое пространство Яр4 порождается образующими х1,х2,х2 I,х1 I. Здесь г = 1, 2, г' = 5 - г, г' = 2', 1', где 2' = 3, 1' = 4. При переходе от Яр4 к Яр4(з; а) применяется преобразование (16), а именно: ха1 ^ (1,а1)ха1, ха2 ^
(1,а2)ха2, ха'2 ^ (1,а2)ха'2, ха[ ^ (1,а1)ха[. В результате коммутационные соотношения запишутся в виде
xa\ x&2 — qx&2 xa\ , x^i xa'
■■ gxa' xai ,
x&2 xa[ = g'xa[ x*2 , xa[ xa{ = gxa[ xa[ , 2
xai xa{ = g xa{ x«l ,
С1,al)2 (1,a2)
2
x*2 xa2 - g xa2 x°2 =
2 Xxa i x &
(24)
где g = eJv, A = g - g-1 = 2 sinh Jv, J = j2. Для краткости мы используем обозначение j вместо j1.
Образующие квантовой симплектической группы Spv (2; j; а) преобразуются по правилу (20), где i,k = 1,2. Коммутационные соотношения образующих находятся решением системы уравнений (21) и подразделяются на следующие семь типов:
1. коммутирующие [a,b] = 0,
\ta1a2 ,ta:2al ] [tal а!2 ,ta:2al ] [tai&2 >^&2&1]
[ta2ai ,taia2] [t&2a2 ,taial ] [t&2&l ,tala:2 ]
[t&2&l ,ta'ia2] [^a2al ,ta'ia2] [t&2&l ,^&1&2]
[t&2&2 ,^alai] [ta2&2 ,taial] [ta2a2 ,taial]
[ta2a!2 >tala[] [ta!2&2 ] [t&2&2 >tala[]
= [Ц&i ,taia[ ] = [ta2a2 ,taia[ ] = 0, (25.a)
2. ^-коммутирующие [а,Ь]д = 0 или аЬ = дЬа,
[* 1 1 , * 1 2 ]д = 0, [* 1 1 , * 1 2 ]д = 0,
[* 1 2 , * 1 1 ]д = 0, [* 2 2 , * 2 1 ]д = 0,
[* 1 1 , * 2 1 ]д = 0, [* 1 1 , * 2 1 ]д = 0,
[* 1 2 , * 2 2 ]д = 0, [* 1 2, * 1 1 ]д = 0,
[* 1 1 , * 2 1 ]д = 0, [* 1 1 , * 2 1 ]д = 0,
[* 2 1 , * 1 1 ]д = 0, [* 2 2 , * 1 2 ]д = 0,
[* 1 2 , * 2 2 ]д = 0, [* 2 1 , * 2 2 ]д = 0,
[* 2 1 , * 2 2 ]д = 0, [* 1 1 , * 1 2 ]д = 0,
[* 2 1 , * 1 1 ]д = 0, [* 2 2 , * 1 2 ]д = 0,
[* 1 1 , * 1 2 ]д = 0, [* 2 1 , * 2 2 ]д = 0,
[* 2 2, * 1 2 ]д = 0, [* 2 1 , * 1 1 ]д = 0,
[* 2 2, * 2 1 ]д = 0, [* 2 1 , * 2 2 ]д = 0,
[* 1 1 , * 2 1 ]д = 0, [* 1 1 , * 2 1 ]д = 0,
[* 1 2 , * 1 1 ]д = 0, [* 1 2 , * 1 1 ]д = 0,
[* 2 1 , * 1 1 ]д = 0, [* 2 1 , * 1 1 ]д = 0,
[* 1 1 , * 1 2 ]д = 0, [* 1 1 , * 1 2 ]д = 0,
[* 2 2 , * 2 1 ]д = 0, [* 2 2 , * 2 1 ]д = 0,
[* 1 2, * 1 1 ]д = 0, [* 2 2 , * 1 2 ]д = 0,
[* 2 2, * 1 2 ]д = 0, [* 2 1 , * 1 1 ]д = 0,
[**1*2 ,**1*г1] д 0, [**2*2 ,**2*1 ] д = 0, (25.Ь)
3. (^-коммутирующие [а,Ь]д2 = 0 или аЬ = д2Ьа,
\*
[*.
[*.
[**2*1 ,1*2*0 д2 =0, [*** ,*<< ] д2 =0, (25.С)
4. [а, Ь] = Хей.
‘*1*1 , ** 1*1. ]д2 = 0, [* 1 2 , * 1 2 \д2 = 0,
' *1*2,** 1*2 ]д2 = 0, [* 1 1 , * 1 1 \д2 = 0,
‘ *1*1, ** 1*/1. ]д2 = 0, [* 2 1 , * 2 1 \д2 = 0,
[**1*1 ■>**2*2] — (01,02^ Х**2*1 **1*2 , [Ь*1*1 ,**2*2] (01,02) ХЬ*2*1 **1*2,
[**1*1 ,**2*2 ] = (а1,а2) ХЬ*2*1 **1*2 ,
[£*1*2 , Ь*2 *1 ]
[**1*2, **2 *1]
[**1 *2 , **2 *1 ]
(0Х,02)2 **1*1 Ь*2*2 ’
А
т**,*' **
(а1,а2)2 *1*1 *2*2’ Х ,**. *, **
(а1,а2)2 *1*1 *2*2 [**1* 1 , £*2*2
] = (01,02)2
'Х**2*1**1*2 ,
[ ]= Х
[ь*1*2 ^*2*1] = (01,02)2 г*1*1 **2*2 , [Ь*2*2 ,**1*1 ] (01,02 ) ХЬ*1*2 Ь*2*1 , [Ь*2*2 ,Ь*1*1 ] (01,02~) ХЬ*1*2 *<
[**2*1 , Ь*1 *2]
Х
1 **/. *л **
(01,02)2 *1*1 *2*2’ Х
[**2*1 ,**1 *2 ] (01 02)2 Ь*1*1 Ь*2*2 ,
[**2*2 ,**1*1 ] (01,02) Х**1*2 Ь*2*1 ,
Х
№*2*1 ,**1 *2] (01,02)2 **1*1
[ь*2*1 ,ь*1 *2] = (0102)2 **1*1 **2*2,
]= Х
[**1*2 ,**1 *2] = (01,02)2 **1*1 **1*1,
[* , * , 1 =____________________Х
2 1 2 1
5. [а,Ь]д = Хей,
[** 1 [*■
(01,02)
2 * * 1*1 * * 1*1,
1*2,**2*2]д Х**1*1**2*1
2 1 [* * 1*2 [* *2*2 [* 2 2
[* 2 2
[* 1 2
[* 1 1
[* 1 1
[* 2 1
[* 2 2
[* 2 1
[* 1 1
[* 1 1
[* 1
* 2 2 ] д = Х* 1 1 * 1 2
* 2 2 ] д = Х* 1 1 * 2 1
* 1 2 ] д = Х* 2 1 * 1 1
* 1 2 ] д = Х* 2 1 * 1 1
* 2 1 ]д = Х* 1 2 * 1 1
* 1 1 ]д = Х* 1 1 * 1 2
* 1 2 ] д = Х* 1 2 * 1 1
* 2 1 ]д = Х* 2 1 * 1 1
* 2 2 ] д = Х* 1 1 * 1 2
* 2 1 ]д = Х* 1 2 * 1 1
* 1 1 ]д = Х* 1 1 * 2 1
* 2 1 ]д = Х* 2 1 * 1 1
* 1 2 ] д = Х* 1 2 * 1 1
* ]д = Х* 1 *
[* 1 2 , * 1 1 ]д = Х* 1 1 * 1
6. [а, Ь\д2 = Хей,
[**1* 2 , ** 1* 2 ]д2 (01 , 02)2 **1*1 ** 1*1
[ ] = х
[**2*1 ,**2*1 \д2 (01 0^)2 ** 1*1 **1*1
[**1*2 ,**1*21]д2 = (01,02)2 **1*1 **1*1 [* 2 2 , * 2 2 }д2 = (01,02)2 * 1 2*
1 2
[**2*2 ,**2*2]д2 (01,02~) Х**2*1 **2*1,
[* 2 2 , * 2 2 ]д2 = (01,02 ) * 2 1*
2 1
[**2*2 ,**2*2]д2 (01,02) Х** 1*2* * 1с
[**2*2,** 1*1] (01,02) Х * * 1*2**2*1
[**2*1,**2*1 ]д2 (01,02)2 ** 1*1 **
(25.d)
(25.е)
(251)
7. остальные
[** 1*1 ,** 1*1 ]д2 ХЯ(** 1*1 ** 1*1 1),
[** 2*2 ,**2*2] Х ^(01,02) ** 1*2 ** 1*2 +
+(я + я-1 )* 2 2* 2 2 ,
[* *2*2 ,* *2* 2 ] (01,02) Х * 1*2 * * 1*2 — * * 2*1 * *2*1') [* 2 1 , * 2 1 ] =
(01, 02)2 (я 2**1*1 ** 1*1 +
+(01,02)2(я + я 1 )**2*1 **2*1) ,
[* 1 2 , * 1 2 ] =
(0Ъ02)2 (Я 2**1*1 ** 1*1 +
+(01,02)2(я + Я-1)** 1*2** 1*2) ,
[* *2* 1 , * *2* 2 ]д Х * 1*1 * * 1* 2 + Я *2*1 * *2*2
[**2*2 ,** 1 *2]д Х (**2*2* * 1*2 + *2* 1 * * 1*1
[**2*2, **2*1]д Х (** 1 *2* * 1*1 + я*2*2**2* 1 [** 1* 2 ,**2* 2 ~\д Х (^**1*2 **2*2 + ** 1*1 **2*1 [* * 2*2 , * *2 * 1 ~\д Х (^* * 1*2 * * 1*1 + *2*2 * * 2*1^
[* *2* 2 ,* * 1 * 2 ]д Х * 2*1 * * 1*1 + *2 *2 * * 1 *2
[** 1*2,**2*2^д Х * 1*1 **2*1 + я* 1*2**2*2
[* *2* 1, * *2* 2 ]д Х * 1*1 * * 1* 2 + *2*1 * *2*2
((25-9)
Кроме того, образующие удовлетворяют дополнительным соотношениям (22) вида:
Т (о 0)0 (з)Т г(э; 0)= с О, я **1*1**1*1 + (01,02) я 1* 1 2* 1 2--(_01,02) Я** 1*2 ** 1*2 — Я ** 1*1 ** 1*1 Я , (01,02)2Я~ 2* 2 1 * 2 1 + я 1* 2 2* 2 2- я* 2 2 * 2 2 - (01 , 02 ) 2 я2 * 2 1 * -1
2 1 2 1
(01,02) Я **2*1 **2*1 + Я * *2* 2 **2*2 -Я* *2* 2 * *2*2 — (01,02)2^2* * 2*1 * *2*1 = —Я, Я ** 1*1 ** 1*1 +((01,02) Я ** 1*2 ** 1*2
— (01,02)1я** 1*2 ** 1*2 — я>2** 1*1 ** 1*1 = —<l2, я-2* 1 1* 1 1 + (01, 02)2я 1* 1 2* 1 2- (01 , 02 ) 2 я* 1 2 * 1 2 - я2 * 1 1 * 1 1 = 0,
я **1*1**2*1 + Я **1*2**2*2~
- я* 1 2 * 2 2 - я2 * 1 1 * 2 1
= 0,
Я **1*1**2*1 + Я **1*2**2*2
2 2 = 0,
-я* 1 2 * 2 2 - я2 * 1 1 * 2 1 Я **2*1 ** 1*' + Я **2*2 ** 1*2-
-я* 2 2 * 1 2 - я2 * 2 1 *
2 1
= 0,
(01,02)^Я 2 **2*1**2*1 + Я 1**2*2**2*2 —
-Я**2*2 **2*2 — (01,0‘2?Я**2*' **2*1 = 0
2 2
2 1
Я **2*1 ** 1*1 + Я **2*2 ** 1*2
1 2
= 0,
-я* 2 2 * 1 2 - я2 * 2 1 * 1 1 я **2*1 ** 1*1 + я **2*2 ** 1*2—
2 2 1 2-
- я* 2 2 * 1 2 - я * 2 1 * 1 1
= 0,
(<°1,02) я **2*1 **2*1 + я **2*2**
- я* 2 2 * 2 2 - (01 , 02 ) 2 я2 * 2 1 * 2 1 = 0,
21 я **2*1**1*1 + я **2*2**1*2 - я* 2 2 * 1 2 - я2 * 2 1 * 1 1 = 0, я **1*1**2*1 + Я **1*2**2*2—
- я* 1 2 * 2 2 - я2 * 1 1 * 2 1 = 0, я 2** 1*1 ** 1*1 +((01,02) я 1** 1*2** 1*2 - (01 , 02 ) 2 я* 1 2 * 1 2 - я2 * 1 1 * 1 1 = 0,
я **1*1 **2*1 + я **1*2 **2*2 - я* 1 2 * 2 2 - я2 * 1 1 * 2 1 = 0, а также соотношениям вида:
Тг(0; 0)С-1(0)Т(о; 0)= с-10),
— я 2** 1*1 ** 1*1 — (01,02)2 1 * * 2*1 **2*1 +
(26)
+ (<01,02) я** 2 *1 2*2* 1 + я ** 1 *1 *'
1 1 1 1
—я
— (01,02)2я 2** 1*2 ** 1* 2 — я 1 * * 2*2 **2*2 + +я* *2 * 2 ** 2*2 + (01,02 ) я ** 1*2 ** 1* 2 ——я
2 2 2 2 — (01,02)2я-2** 1*2 *.
1 2 1 2
1 2 1 2 — я **2*2 **2*2 +
+я* *2* 2 * *2*2 + (01 , 02 ) я * * 1*2 * * 1*2 я, — —я ** 1*1 ** 1*1 — ((°1,02) я **2*1 **2*1 + + (01,02) О**2*1 **2*1 + я ** 1*1 ** 1*1 я , — я 2** 1*1 ** 1*1 — (01,02)2я 1 * * 2*1 **2*1 +
+ (01,02)2я* * 2*1 2*2*1 + я 2*1*1 ** 1*1 0,
-2 -1
я **1*1Ъ*!*2 я **2*1**2*2 +
* 1 1* 1 2 +я* *2*1 * *2*2 + я*<
**2*1 **2*2 1 1 * 1 2 = 0,
-2 -1
я **1*1**1*2 я **2*1**2*2 +
+я**2*1 **2*2 + я 2<
1 1 * 1 2 = 0,
2
-2* * -1* * + я **1*2**1*1 я **2*2**2*1 +
+я**2*2 2*2*1 + я 2* 1*2 2
1 2* 1 1
= 0,
— (01,02 ^ я 2** 1* 2 2* 1*2 — я 1 2 * 2*2 2* 2*2 +
+я** 2*2 **2*2 + (01 , 02) я ** 1*2 2* 1*2 0
-2* * -1* * + я * * 1*2 ** 1*1 я * * 2*2 * * 2*1 +
+я**2*2 **2*1 + я 2* 1*2 2* 1*1 0,
_ -2* * _ -1* * + я * * 1*2 ** 1*1 я * * 2*2 2 * 2*1 +
+я * * 2*2 ** 2*1 + я ** 1*2 ** 1*1 0,
(01,02) я ** 1*2** 1*2 я **2*2**2*2 + +я** 2*2 * * 2*2 + (01,02) я ** 1*2 ** 1*2 0,
я * * 1*2 * * 1*1 я * * 2*2 * * 2*1 +
где я = , Х = я — я-1 = 2 втЬ Jv. Чтобы послед-
ний коммутатор имел смысл при 3 = 1, необходимо выбрать множитель J = 02.
В соответствии с (20) часть образующих квантовой симплектической группы умножается на параметр о
*12 ^ 0*12, *21 ^ 0*21, *12' ^ 0*12', *2'1 ^ 3*2'1,
*21' ^ 3*21', *1 '2 ^ 3*1'2 , *2'1' ^ 3*2'1', *1 '2' ^ 3*1 '2',
(29)
а остальные не изменяются. Чтобы избежать повторения громоздких формул, для квантовой группы Яру(2;3) мы выпишем только те коммутаторы, полученные из (25), которые в явном виде содержат кон-тракционный параметр
[*11,*22 ] = 32Х*21*12, [*11,*33] = 32Х*31*13,
2Х
[*11,*32]= 3 Х*31*12 , [*12, *24] = ~2 *14*22,
32
+я * * 2*2 **2*1 + я ** 1*2 ** 1*1
= 0,
Х
Х
— -2* * _ -1* * +
я * * 1*1 ** 1*2 я * * 2*1 * * 2*2 +
+я **'* '** 2*2 +я **'* '**
= 0,
я ** 1*1 ** 1*1 (01,02) я **2*1 **2*1 +
+ (01 , 02) я**2*1 **2*1 +я **'1*1 ** 1*1 0,
_ -2* * _ -1* * +
я * * 1*1 ** 1*2 я * * 2*1 * * 2*2 +
+я ** 2*1 **2*2 +я ** 1*1 ** 1*2
0.
(27)
Не все эти дополнительные соотношения независимы. Часть из них сводится к коммутационным соотношениям для образующих, а остальные позволяют выделить независимые образующие квантовой симплектической группы Яру (2; 3; 0).
При п = 2 группа перестановок Я(2) содержит два элемента: тождественную перестановку 00 = (1,2) и перестановку 0 = (2,1). Разным перестановкам отвечают разные комбинации квантовой деформации и единственной контракции по параметру 3. Рассмотрим обе возможности отдельно.
3.1. Квантовая симплектическая группа Яру (2; 3) и квантовое симплектическое пространство Яр4 (3)
В случае тождественной перестановки будем обозначать квантовое пространство символом ЯрУ (3) и квантовую группу символом Яру(2;3), опуская 00 в обозначениях. Формулы, описывающие эти объекты, получаются из формул предыдущего раздела, если положить в последних 0к = к, к = 1,2. При переходе от Яр4 к ЯрУ (3) образующие х1,х1' не меняются, а остальные умножаются на 3: х2 ^ 3х2, х2 ^ 3х2'. В результате коммутационные соотношения (24) запишутся в виде
х1х2 = ях2 х1, хх' = ях2' х1, х2х1' = яху х2,
2
х2 х1 = х1 х2 , х1 х1 = х1 х1 ,
2 Х
х2х2' — я х2'х2 = ~2х1х1
2 2 32 1
[*13, *34] = ~2*14*33, [*13, *24] = -2*14*23
[*11,*23]= 3 Х*21*13, [*12,*34] = -2 *14*32,
32
[*23, *44] = 32Х*43*24, [*32, *44] = 32Х*42*34,
2Х
[*33,*44]= 3 Х*43*34, [*31,*42] = ~2 *41*32,
32
[*21,*42] = ~2 *41*22, [*22, *44]= 3 Х*42*24,
32
Х
Х
[*31,*43] = ~2 *41*33, [*21,*43] = ~2 *41*23
Х
Х
[*42,*13] = ~2 *14*41, [*24,*31] = ~2 *14*41
Х
Х
[*12,*13]д2 = ~2 *11*14, [*21,*31]д2 = ~2 *11*41,
Х2 [*42,*43]д2 = ~2*41*44, [*22,*32]д2 = 3 Х*12*42,
[*32,*33]д2 = 32Х*31*34, [*22,*23]д2 = 32Х*21*24,
2Х
[*23,*33]д2 = 3 Х*13*43, [*24,*34]д2 = -р *14*44,
*11*44 — ^ *44 *11 = Хя (*14*41 — 1),
[*22,*33] = Х (к32*12*43 + (я + я 1 )*32*23) ,
[*23, *32] = 32Х (*13*42 —*31*24) ,
[*21,*34] = ~2 (я 2*14*41 + 32(я + я 1)*24*31) ,
[*12,*43] = ~2 Iя 2*14*41 + 32 (я + я 1)*42*13) - (30)
Дополнительные соотношения, которые находятся из (26),(27), мы выписывать не будем.
3.2. Квантовая симплектическая группа Яру (2; 1) и квантовое симплектическое пространство ЯрУ (1)
Контрактированное квантовое симплектическое пространство Яр4(1) и квантовая симплектическая группа Яру (2; 1) получаются, если в формулах предыдущего раздела выбрать нильпотентное значение параметра 3 = 1. При этом параметр деформации я = е°2у \з=и = 1, а ^ = -2 втЬ32у\^=1, = 2у. Поскольку при контракции большинство коммутаторов обращается в нуль, мы будем выписывать только отличные от нуля.
Контрактированное квантовое симплектиче-ское пространство характеризуется только одним ненулевым коммутатором
Яр4 (1) = {[х2 ,х2'] = 2ух1ху } .
(31)
Оно представляет собой некоммутативный аналог расслоенного симплектического пространства с коммутативной базой {х1,х1'} и некоммутативным слоем {х2 , х2' }.
Квантовая симплектическая группа Яру(2; 1) имеет следующие ненулевые коммутационные соотношения образующих
[*12,*21' ] = 2у*ц' *22, [*12', *2'1' ] = 2у*ц' *2'2',
[*12', *21'] = 2у*11'*22', [*12,22'1'] = 2у*11'*2'2 ,
[*2'1,21'2] = 2у*1'1*2'2 , [*2'1,21'2'] = 2у*1'1*2'2' ,
[*21,*1'2] = 2у*1 '1*22 , [*21', *2'1] = 2у*ц'2ц,
[*1'2,212'] = 2у*11'*1'1, [*21,21'2'] = 2у*1'1*22' ,
[*12, *13] = 2у*11*11' , [*21,*2'1] = 2у*11*1'1,
[*1'2,21'2'] = 2у*1'1*1'1', [*21', *2' 1'] = 2у*11' *1'1',
[*21, *2'1' ]=2у*11' *1'1, [*12,*1'2' ] = 2у*11' *1'1. (32)
Кроме того, образующие удовлетворяют дополнительным соотношениям
*11*1 1 *11 *1 1 = 1, *22*2 2 *22 *2 2 = 1,
*11*21' + *12 *22' — *12' *22 — *11' *21 = 0,
*11 *2 1 + *12 *2 2 *12 *2 2 *11 *2 1 = 0,
*21*1 '1' + *22*1'2' — *22' *1 '2 — *21' *1'1 = 0,
*2'1*1'1' + *2 '2*1'2' — *2 '2' *1'2 — *2'1' *1 '1 = 0,
— *11*1'2 — *21*2'2 + *2 '1*22 + *1 '1*12 = 0,
— *11*1 '2' — *21*2'2' + *2 '1*22' + *1'1*12' = 0,
— *12*1 '1' — *22*2'1' + *2 '2*21' + *1'2*11' = 0,
— *12' *1'1' — *22' *2'1' + *2'2' *21' + *1'2' *11' = ^ (33)
с помощью которых количество независимых образующих уменьшается до десяти.
3.3. Квантовая симплектическая группа Яру (2; 3; 0) и квантовое пространство Яр4 (3; 0)
Здесь мы рассмотрим квантовое пространство и квантовую группу отвечающие перестановке 0 = (2,1). Для этого в формулах раздела 3 положим 01 = 2,02 = 1. Квантовое симплектическое пространство Яр4 (3; 0) получим из формул (24). Оно порождается образующими с коммутационными соотношениями
[х2,х{]д = 0, [х2,ху ]д =0, [х1,х2' ]д = 0,
[ху ,х2' ]д = 0, [х2,х2']д2 = 0, я = ещ)(32у),
[х1 ,х1']д2 = 32Хх2х2', Х = 2в1пЬ32у. (34)
Из условия определенности коммутационных соотношений для образующих квантовой симплектиче-ской группы (см. ниже (35)) получаем, что J = 32. Интересно отметить, что параметр деформации преобразуется так же, как и в случае тождественной перестановки. К сожалению, мы не можем утверждать, что подобное имеет место при произвольном п.
Чтобы избежать повторения громоздких формул, мы выпишем только те коммутаторы квантовой симплектической группы Яру (2; 3; 0), которые содержат контракционный параметр в явном виде
[*22, *11] = 32Х*12*21, [*22, *1 '1'] = 32Х*1'2*21',
2Х
[*22,*1'1]= 3 Х*1'2*21, [*21,*12'] = ~2*22'*11,
32
[*21', *1 '2'] = ~2*22'*1'1', [*21', *12'] = ~2*22' *11',
2Х
[*22,211' ]= 3 Х*12*21', [*21,21'2' ] = ~2 *22' *1'1,
32
[*11', *2'2'] = 3<2 Х*2'1'*12', [*1'1,22'2'] = 32 Х*2'1*1'2',
2Х
[*1'1', *2'2']= 3 Х*2' 1'*1'2', [*1'2,22'1] = ~2*2'2*1'1,
32
Х2
[*12,22'1] = ~2 *2'2*11, [*11, *2 '2' ]= 3 Х*2'1 *12',
32
[*1'2,22'1'] = ~2 *2 '2*1' 1', [*12,22'1'] = ~2 *2'2* 11',
[*2'1,221'] = ~2 *22' *2 ^, [*12' ,*1'2] = ~2 *22' *2'2,
32 32
[*21,*21' ] д2 = ~2 *22*22', [*12,*1'2]д2 = ~2 *22*2'2,
Х2
[*2'1,22'1']д2 = ~2*2'2*2'2', [*11,21 '1]д2 = 3 Х*21*2'1,
[*1 '1,21'1' ]д2 = 32 Х*1' 2*1'2' , [*11,211'] д2 = 3<2 Х*12*12',
2Х
[*11' ,21 '1' ]д2 = 3 Х*21' *2 '1', [*12' ,21 '2' ]д2 = ~2 *22' *2'2',
[*11,21'1'] = Х (°2*21*2'1' + (я + я 1)21'1*11') ,
[*21,22'1' ] = ~2 (я 2 *22' *2'2 + Я2 (я + я 1)22'1*21') ,
[*12,21'2' } = ~2 (я 2 *22' *2'2 + Я2 (я + я 1)212' *1'2) , [211', *1 '1] = 32х (*21'*2'1 — *1'2*12') - (35)
Кроме того, образующие удовлетворяют дополнительным соотношениям (26),(27), часть из которых сводится к коммутационным соотношениям для образующих, а остальные позволяют выделить независимые образующие квантовой симплектиче-ской группы Яру (2; 3; 0).
3.4. Квантовая симплектическая группа Яру (2; 1; 0) и квантовое пространство Яр4 (1; 0)
При контракции 3 = 1 получаем я = 1, Х = 2у и, как это следует из (34), пространство Яру (1; 0) становится коммутативным. Вместе с тем квантовая группа Яру (2; 1; 0) имеет ненулевые коммутационные соотношения образующих:
[*21,*12' ] = 2у*22' *11, [*21' ,*1'2' ] = 2у*22' *1'1',
[*21', *12'] = 2у*22'*11', [*21,21'2'] = 2у*22'*1'1,
[*1'2,*2'1] = 2у*2'2 *1'1, [*12,*2'1] = 2у*2'2*11,
[*1'2,22'1'] = 2у*2'2*1'1' , [*12,22'1'] = 2у*2'2*11' ,
[*2'1,221'] = 2у*22' *2'2 , [*12' ,21'2] = 2у*22 ' *2 ^
[*21, *21']д2 = 2у*22*22', [*12,*1'2]д2 = 2у*22*2'2,
[*2'1, *2' 1' ]д2 = 2у*2 ' 2*2'2', [*12' ,21'2' ]д2 = 2у*22' *2'2',
[*12, *1'2'] = 2у*22'*2'2 , [*21, *2'1'] = 2у*22' *2'2 - (36)
Кроме того, образующие удовлетворяют дополнительным соотношениям вида:
*11*21' — *21*11' + *12*22' — *12' *22 = 0,
*21*1'1' — *21' *1 '1 + *22*1'2' — *22' *1 '2 = 0,
*11*2 1 *11 *2 1 + *12*2 2 *12 *2 2 = 0,
*2 1*1 1 *1 1*2 1 + *2 2*1 2 *2 2 *1 2 = 0,
*11*1 '2 — *12*1 '1 + *21*2'2 — *22*2'1 = 0,
*12*1'1' — *11' *1 '2 + *22*2'1' — *21' *2 '2 = 0,
*11*1'2' — *12' *1 '1 + *21*2'2' — *22' *2 '1 = ^
*12' *1 '1' — *11' *1 '2' + *22' *2'1' — *21' *2 '2' = ^
*22*2 '2' —*22' *2 '2 = 1, *11*1 '1' — я* 11' *1 '1 = 1- (37)
Данный пример показывет, что контрактиро-ванная квантовая симплектическая группа с некоммутативными образующими может действовать на коммутативном симплектическом пространстве, в отличие от раздела 3.2, где контрактированное сим-плектическое пространство порождалось некоммутативными образующими.
Литература
1. Решетихин Н.Ю., Тахтаджян Л.А., Фаддеев Л.Д. Квантование групп Ли и алгебр Ли // Алгебра и анализ, 1989. Т.1. Вып.1. С.178-206.
2. Gromov NA, Kuratov V.V. Possible quantum kinematics // J. Math. Phys., 2006. Vol. 47. № 1. P.013502-1-9.
3. Gromov NA. Possible quantum kinematics. II. Non-minimal case // J. Math. Phys., 2010. Vol. 51. № 8. P.083515-1-12; arXiv:1001.3978.
4. Inonu E., Wigner E.P. On the contraction of groups and their representations // Proc. Nat. Acad. Sci. USA, 1953. Vol.39. P.510-524.
5. Громов НА. Контракции и аналитические продолжения классических групп. Единый подход. Сыктывкар: Коми НЦ УрО АН СССР, 1990. 220 с.
6. Gromov NA. Contraction of algebraical structures and different couplings of Cayley-Klein and Hopf structures // Turkish J. Phys., 1997. Vol.3. P.377-383; q-alg/9602003.
7. Gromov NA., Kostyakov I.V., Kuratov V.V. The quantum symplectic Cayley-Klein groups // Int. J. Mod. Phys. A, 1997. Vol. 12. № 1. P.177-182; q-alg/9610010.
8. Gromov NA., Kostyakov I.V., Kuratov V.V. Quantum orthogonal Cayley-Klein groups in Cartesian basis // Int. J. Mod. Phys. A, 1997. Vol. 12. № 1. P.33-41; q-alg/9610011.
9. Громов НА, Костяков И.В., Куратов В.В. Квантовые симплектические группы Кэли-Клейна Fun(Spq(n; j)) // Алгебра, дифференциальные уравнения и теория вероятностей. Сыктывкар, 1997. С.30-43. (Труды Коми НЦ УрО РАН, № 151).
10. Громов НА, Куратов В.В. Квантовые группы Кэли-Клейна SOv (N; j; а) в ортогональном базисе // Алгебра, геометрия и дифференциальные уравнения. Сыктывкар, 2003. C.4-31. (Труды Коми НЦ УрО РАН, № 174).
11. Gromov NA, Kuratov V.V. All possible Cayley-Klein contractions of quantum orthogonal groups // Ядерная физика, 2005. Т.68. № 10. C.1752-1762; Phys. At. Nucl., 2005. Vol. 68. № 10. P.1689-1699.
Статья поступила в редакцию 22.03.2011.
