Контракции супералгебр и неоднозначность диаграмм Дынкина Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 512.55

КОНТРАКЦИИ СУПЕРАЛГЕБР И НЕОДНОЗНАЧНОСТЬ ДИАГРАММ ДЫНКИНА

И.В. КОСТЯКОВ, В.В. КУРАТОВ

Отдел математики, Коми НЦ УрО РАН, г. Сыктывкар kostyakov@dm.komisc.ru, kuratov@dm.komisc.ru

Рассмотрены некоторые особенности флаговых контракций супералгебр Ли, заданных различными суперматричными структурами. Показано, что контракции по-разному заданных супералгебр неизоморфны. Перечислены суперпреобразования Галилея, возникающие при наделении суперпространства флаговой структурой после контракций.

Ключевые слова: супералгебры, контракции

I.V. KOSTYAKOV, V.V. KURATOV. CONTRACTION OF LIE SUPERALGE-BRAS AND AMBIGUITY OF DYNKIN DIAGRAMS

We study contractions of Lie superalgebras. Definition of flag contractions modified for work with superalgebras is proposed. We consider some features of flag contractions of Lie superalgebras, which are defined by different supermatrix structures. It is shown that these contractions are nonisomorphic. The Galilei superalgebras, arising after contractions of superalgebra of sl(2\1) are listed. The nonadditivity and noncommutativity of the law of a velocity addition is shown. It is natural to consider these superalgebras as supergeneralization of the para-Galilean algebras described in [1]. Flag contractions of supergroups are defined by exponential map of flag contractions of superalgebras. Different actions of Galilean supergroup on flag superspaces are presented.

Keywords: superalgebras, contractions

Введение

Суперсимметрия продолжает оставаться объектом интенсивного изучения в математической физике. Обобщение математических объектов на их супераналоги — суперфункции, супералгебры, суперпространства — приводит к красивым результатам и в физике, и в математике [2, 3]. Контракция [4] представляет собой математическую операцию, которая связывает неизоморфные алгебры Ли. Контракции, приводящие к супералгебрам Пуанкаре и Галилея, находят применение в теории суперструн и суперконформных теориях поля. В данной работе мы покажем необычное поведение супералгебр Ли при контракциях и опишем действие супергруппы Галилея на флаговых суперпространствах Ж2\1(]1,]2)

и Ж1|2(31,32).

1. Супералгебры Ли

Линейное пространство V называется суперпространством, если оно наделено -градуировкой, т.е. разложением V = V0 ф V1. Элементы V0 называются четными, а V1 — нечетными.

Линейные преобразования суперпространства описываются суперматрицами. Суперматричной структурой или просто суперматрицей называют матрицу с приписанной каждой строке и столбцу четностью. Обычно суперматричная структура выбирается так, чтобы четные строки и столбцы шли сначала, а

нечетные — потом. Такая структура называется стандартной. Например, первая матрица имеет стандартную структуру, вторая — нестандартную.

( ЧЧН \ ( ЧНЧ \ ЧЧН , НЧН . Н Н Ч Ч Н Ч

(1)

Оператор р определяет четность однородных элементов р(Ч) = 0, р(Н) = 1. Супералгеброй А называется суперпространство, снабженное четным гомоморфизмом или суперумножением А ® А ^ А. Супералгеброй Ли называется супералгебра д с умножением, обозначаемым [ , ] (суперкоммутатор), которое удовлетворяет условиям:

[x,y] = -(-iy(xMy)[y,x], [x, [y,z]] = [[x,y],z] + (-1)p(x)p(y) [y, [x,z]].

(2)

Далее коммутатор двух нечетных элементов будем обозначать фигурными скобками {х,у} = ху + ух. Корневые системы, матрицы Картана и классификация супералгебр Ли приведена в работах [5,6].

Пусть Л = Л0 ф Л1 — алгебра Грассма-на над полем К = Ж или С, где Л0 — ее четная часть, Л1 — нечетная. Супергруппу определяют экспоненциальным отображением супералгебры С ~ ехр(Л0А0 + Л1А1) [2,3,6]. Рассмотрим множе-

ство (т + п) х (т + п) суперматриц вида

(А в)'

м =

(3)

где А, В, С, Б — матрицы т х т, т х п, п х т и п х п соответственно. Элементами матриц А и В являются числа из Л0, элементами матриц В и С — числа из Ль Общей линейной супергруппой ОЬ(т\п; К) называется множество обратимых матриц М с обычной операцией матричного умножения.

Приведем примеры представлений суперматрицами некоторых супералгебр Ли. Специальная линейная супералгебра Ли в1(т\п) имеет суперматричную структуру

( Ао Вх \ ^ Во А1 )

(4)

где А0 и Ах — четные блоки c Тг(А0) = ТГ(А1), размерности т х т, п х п соответственно, а В0 и В1 — нечетные блоки размерности т х п, п х т соответственно. Простейшая супералгебра «1(1\1) с матрицей Картана а = 0 и диаграммой Дынкина задается следующими коммутаторами

[Н, Е] = 0, [Н, Е] = 0, {Е, Е} = Н, и представляется двумерными матрицами

(5)

Н

(; ?), е 40 0^ =(0 0)

00 10

(6)

где генератор Н — четный, а Е и Е — нечетные. Суперматричная структура и градуировка суперпро-

странства (х, в) выглядят соответственно

(Ч Ч). (Ч) •

(7)

Супералгебра «I(2\ 1) & «¿(1 \2) содержит четыре четных генератора Е+,Е-,Н,2 и четыре нечетных Е+,Е-,Е?+,Е?-. Суперматричная структура, градуировка суперпространства и коммутаторы приведены ниже

Н + 12

Е-

Е-

Е+ -Н +

Ш

(8)

[Н,Е±] = ±Е±, [Н,Е ±] = ± - Е

[Н,Е±]= ±- Е±, [2,Е±] = - -Е

[2,Н] = [2,Е±] = 0, [2, Е±] = 1 Е±,

[Е±, Е±] = [Е±, Р±] = {Е±, Е±} = {Р±Р±} = 0, {Е±, Ет} = {Р±Р= 0, {Е±, Р±} = Е±, [Е±, Ет] = -Е±, [Е±, Рт]=Р±, [Е +, Е-] = 2Н, {Е±, Рт} = 2 ^ Н. (9)

Генераторы можно реализовать трехмерными матрицами

Н

1 0 0

2 1

0 -1 00

010 Е+ = 0 0 0 000

2 =

Е- =

2 0 0 0 2 0 001

000 100 000

Е+ =

=

000

0 0 0 , Е- =

( 0 10 ) ( ( 001 ) - (

0 0 0 , Е- = 000

0 0 1

00 00 00

), ).

(10)

Матрица Картана и диаграмма Дынкина выглядят так

2 о—®.

-1 0

Данное представление соответствует стандартной суперматричной структуре. Нестандартная суперматричная структура

Н + 22 ЕР + Е+ \ ( 4 \

- 2 Е I , Н

Е- Е- -Н + 12 ) \ Ч

(11)

задает изоморфную алгебру с другой матрицей Картана и диаграммой Дынкина

-1 0) ■ ®-®. Имеется еще одна суперматричная структура

ЧНН НЧЧ НЧЧ

которая также задает изоморфную алгебру

-

Е+

Н + 2 2 Е-

Е+ 22 - Н

ш

Меняя суперпространство Ж2'1 на Ж1'2, еще три реализации алгебры «¿(1\2).

2

-

Е+

Н + 2 2 Е-

Е+ 2 2 - Н

(!)

Н + 22 ЕР + Е+ \ ( н \

- 2 Е+ | , Ч

Е- Е- 12 - Н ) \ Н

Н + 2 2 Е-

-

Е+ - Н

(4)

(12)

(13)

имеем

(14)

(15)

(16)

Коммутационные соотношения «I(1 \2) будут задаваться формулами (9), как и в случае «¿(2\1).

Супералгебры Ли, как мы видим, имеют, вообще говоря, много неэквивалентных корневых систем

и, соответственно, матриц Картана и диаграмм Дын-кина, что связано с возможностью выбора различных суперматричных структур. Далее мы увидим, что контракции снимают это вырождение.

2. Флаговые контракции

При определении супералгебр сначала вводится понятие Ъ2 -градуировки и суперматричной структуры. Затем при определении коммутаторов градуировка существенно используется. При определении алгебраических контракций похожим способом сначала вводится некоторая матричная структура и затем определяются коммутаторы [4].

Пусть каждый элемент матрицы домножен на некоторую комбинацию произведений параметров ■ ■ ■, ]п. Будем называть это . —структурой. Далее везде = 0,1.

Флаговой . -структурой вектора назовем структуру вида (х1, .1х2, .Шг^зУ'. Набор таких векторов составляет флаговое пространство М3.,). Будем называть . -структуру стандартной, если все элементы однородны и рост числа сомножителей параметров происходит сверху вниз. Флаговой . -структурой матрицы назовем такое расположение параметров . , которое сохраняет флаговую . -структуру вектора

ац .а12

.10-21 а22 .1.2 аз1 .2 азг

.1.2а13 .2023

азз

(17)

Для однородных элементов вектора и матрицы введем оператор .1, определяющий . -структуру данного элемента. Например:

1 СШаХз) = .1.2, 1 (ла^) = .1.

(18)

Флагово контрактированной алгеброй Ли назовем алгебру Ли с введенной в реализующие ее матрицы флаговой .-структурой и новым ее коммутатором, определяемым формулами

А,в]пот = .АВ) ААы, (19) 1 ([А,В]з)

генераторы, домноженные на

где Аз, ВJ

.1.2 ■■■.и.

3. Контракции классических алгебр sl(2), б1(3)

Алгебра в1(2) с матрицей Картана а = 2 и диаграммой Дынкина О задается коммутаторами

[Н, Е] = 2Е, [Н, Е] = —2Е, [Е, Е] = Н.

(20)

Контракция получается умножением корневого вектора на . При этом правая часть последнего коммутатора домножается на .2. Будем обозначать такую алгебру диаграммой Дынкина с меткой .1

.1

О .

Более содержателен пример алгебры в1(3)

д

Н1 Е1 Ез

Н2 — Н1 Е2 . (21)

з 2 — Н2 )

[Н1, Щ] = Щз Щ, [Нг, ^] = —аз ^,

[Е,Е,]= Ьз Н, г. =1, 2,

(22)

-'ч^-'-з

2 —1 12

(Ю

Структура ее флаговых контракций получается домножением корневых векторов Е1 и Е2 на параметры и .2 соответственно. В матричной реализации это выглядит как (17). При этом правые части некоторых коммутаторов домножаются на квадраты параметров.

[Ез,Ез]= 32322Hз,

[Ег,Ег]= .¡Щ,

Е,Ез] = ^Ез-и [Ег, Ег] = г. = 1, 2.

(23)

Коммутаторы (22), содержащие элементы матрицы Картана агз, не меняются. Обозначим такую алгебру диаграммой Дынкина с приписанными метками

.1 и .2

.1 .2 о—О.

Таким образом, флаговые контракции описывают класс неполупростых алгебр с прежними матрицами Картана, но с помеченными диаграммами Дын-кина.

Рассмотрим нестандартную флаговую . -структуру вектора (х1, j1j2x2, .1х3)г. Соответствующая .-структура матрицы имеет вид

а11 .1.2а21 Лаз1

.1.2а12 а22 .2аз2

.1а13 .2023

азз

(24)

Можно рассматривать контракции, индуцированные такими . -структурами, однако легко видеть, что при этом получаются алгебры, изоморфные выше описанным. На языке диаграмм Дынкина этот факт выглядит следующим образом:

.1 .2 .2 .1 (Ю = (Ю

а1 а2 —а2 а1 + а2 и соответствует группе автоморфизмов диаграммы и равноправию корней ±а1, ±а2, ±а1 ± а2.

4. Флаговые контракции супералгебр

Рассмотрим супералгебру «¿(211) в стандартной суперматричной реализации. Введем стандартную флаговую . -структуру (17). Часть коммутаторов (9) сохранится, а часть изменится. Изменившиеся коммутационные соотношения контрактирован-ных супералгебр имеют вид:

[Е+,Е-] = —.1Е+, {Е-,Ё+} = 312322(Z + Н), [Е-, Е+]= .Е-, [Е+,Е-] = 2.2Н,

{Е±,Р±} = .22Е ±, {Е + , Р-} = — Н).

(25)

Диаграмму Дынкина для (25) будем обозначать

. 1 .2 о—®.

(

)

Поменяем теперь расстановку параметров 3ь3'2. Нестандартная 3 -структура плюс стандартная суперматричная структура дают (11)

Н + 2 2 3132 Е- 3132Е+ -Н + 22 31 32 еР-

31 - 32Е+ 2

( -1 ^

(26)

Замена 2 о 3 столбцов и строк приводит к обычной расстановке 3 со второй матрицей Картана

Н + 22 31Р+ 3132Е+ \ ( х1 \

31 - 32Е+ I, 31в

3132 Е 32 еР - 22 - Н ) \ 3132х2 )

Таким образом, нестандартная 3 -структура плюс стандартная суперматричная структура есть стандартная 3-структура плюс нестандартная суперматричная структура. Опять приведем только изменившиеся коммутационные соотношения:

[Е+, е-] = -з2е+, [е-,Р+} = ¿Кг + н), [Е-, Р+] = 32Р-, [Е+, Е-] = 2;2&н, [Е+, Р-] = &22Р+, [Е-, Е+] = -э2Е-,

[Е +, Р-} = &22 (2 - н). (28)

Диаграмма Дынкина в этом случае принимает вид: 31 32 <8>—

Еще одна возможность задается матрицами (12 ) и (17). После циклической перестановки строк и столбцов имеем

Н + 22 32Е+ 31 -Р+ \ 31х1

32Е- -Н + 22 3132 еР- I 4 3132х2

31 - 3132Е+ 2 V в

(29)

[Е-, Е+] = -&22Е[Е+,Е-] = 2322Н,

[Е+, Р-] = 32Р+, [ЕР +} = 32(2 + Н),

[Е±, Р±} = 32Е

[Е +, Р-} = 3232(2 - Н).

(30)

Если в (30) сделать замены Е± — Ет, ^± ■Рт, Е± — Ет, 31 о 32, Н — -Н, то (30) и (25) совпадут, т.е. они изоморфны, но действия их супергрупп на соответствующих суперпространствах разные. Так как представления супералгеб (112) (14),(15),(16) в точности соответствуют (13),(11),(8), то и их контракции дают точно такие же результаты. Отличие будет только в действии на соответствующее суперпространство.

В отличие от несуперсимметричного случая в1(3), когда разные 3-структуры приводили к изоморфным контракциям, здесь мы имеем неизоморфные контракции или на диаграммном языке:

31 32 32 31

Он8) = ^чЭ.

5. Преобразования Галилея в

"" /1,3*2) и К11 (31,

суперпространствах К2'1 (3^,32) и К1'2(3^,32)

Обычно группы Галилея и их действие получают процедурой контракции [4]. Мы, однако, воспользуемся тем, что в (9) уже есть три подалгебры Галилея, действие которых можно получить просто вводя на суперпространствах флаговую структуру

Рассмотрим подалгебру (25), натянутую на генераторы [Е-,Е-,Е+}, соответствующую нижнетреугольной части матрицы (8)

[ЕЕ+] = -Е-[Е-, Е+} = 0,

[Е-, Е-] = 0, [Е±, Е±} = 0. (31)

(27) Введем флаговую структуру (17) (х1,31х2,3132в)1. Тогда преобразование координат флагового пространства К2!1(3'1,32) под действием соответствующей подгруппы С = ехр^Е- + а1 Е- + а2Е+) с четным параметром V и нечетными а1, а2

X1 — X1 ,

х'2 = х2 + vx1, в' = в + ах1 + Ьх2.

(32)

Далее выделим подалгебру в (28), соответствующую нестандартной суперматричной структуре (11), натянутую на генераторы [Е-,Е-,^-}.

[Е-, Е-] = 0, [Е-, Р-] =0,

[Е-, Р-} = Е-, [Р-, Р-} = [Е-, Е-} = 0.

(33)

После введения флаговой структуры данная подгруппа С = ехр^Е- + а1 Е- + а2^-) дает преобразования

х1 = х1 ,

в' = в + ах1,

х2 = х2 + vx1 + Ьв.

(34)

Вариант [Е ,.Р+,^ } супералгебры Галилея соответствует второй стандартной структуре (12):

[Е-, ^+] = ^-[Р- } = 0,

[Е-, ^-] = 0, [Р±, Р±} = 0.

(35)

Как супералгебра Ли этот вариант изоморфен первому, но действие подгруппы С = ехр^Е- + а1 ^ + + а2Р-) на флаговом суперпространстве другое

в' = в,

х[ = х1 + ав,

х2 = х2 + vx1 + Ьв.

(36)

Проводя аналогичные действия в случае «1(112), будем иметь следующие три варианта действия на флаговом суперпространстве К1'2(31,32)

х' = х, в1 = в1 + ах, в2 = в2 + vв1 + Ьх,

х' = х + ав1, в1 = в1, в2 = в2 + vв1 + Ьх,

(37)

(38)

x' = x + ав 1 + Ьв2, в2' = ©2 + vQi.

e'l = в 1,

(39)

Два расширенных трансляциями времени и пространства варианта супералгебр Галилея, один из которых совпадает с (31), описаны в работе [7]. Упоминание о супералгебре Галилея (33) с действиями (34) и (38) и антикоммутатором, равным генератору буста, в литературе нам неизвестно. Выяснение ее физического содержания было бы интересным, поскольку обычно антикоммутатор суперпреобразований равен трансляциям. В качестве иллюстрации необычных свойств этих супералгебр приведем закон сложения скоростей для преобразований (34) для бозонных координат

V 12 = V 1 + У2 + Ь 10,2, У2 1 = V 1 + V2 + Ь201,

который неаддитивен и некоммутативен.

Приложение

Для удобства, формулы (9),(25),(28) собраны в таблицу

(40)

(9) (25) (28)

[H,E±] ±E ± ±E ± ±E ±

[H, F±] ± 2 F ± ± 2 F ± ± 2 F ±

[H, F±] ± 2 F ± ± 2 F ± ± 2 F ±

[Z, F±] -1F ± -1F ± -2 F ±

[Z, F±] 1F ± 2 F 1 F ± 2 F IF ± 2 F

E+,E- 2H 2j2H 2j2j2H

E +,F - -F+ -j 2F+ -j 2F+

E -,F+ -F - -F - -j2F -

E +,F - F+ F+

E -,F+ F - j2F - j 2 F -

{F ±,F ±} E - jE E-

{F +,F-} Z - H j2(Z - H ) jf(Z - H)

{F -,F +} Z + H j 2j2(Z + h ) j 2(z + H)

Таблица 1: Коммутационные соотношения (9),(25),(28)

Литература

Bacry H., Levy-Leblond J.-M. Possible kinematics// Journal of Mathematical Physics, 1968. Vol.9. No. 10. Pp.1605-1614.

Березин Ф.А. Введение в суперанализ. М.: МЦН-МО, 2013. 432с.

Семинар по суперсимметриям. Т. 1. Алгебра и анализ. Основные факты. М.: МЦНМО, 2011. 414 с.

Громов Н.А. Контракции классических и квантовых групп. М.: ФИЗМАТЛИТ, 2012. 320 с. Kac V.G. Lie Superalgebras // Advances in mathematics., 1997. Vol.26. Pp.8-96. Frappat L., Sciarrino A., Sorba P. Dictionary on Lie Algebras and Superalgebras. Academic Press, 2000. 410p. ArXiv:hep-th/9607161. Hussin V., Negro J. and del Olmo M.A. Kinematical superalgebras // Journal of Physics A: Mathematical and General, 1999. Vol.32. No. 27. Pp.5097-5121.

References

Bacry H., Levy-Leblond J.-M. Possible kinematics// J. of Mathematical Physics, 1968. Vol.9. No. 10. Pp.1605-1614.

Berezin F.A. Vvedeniye v superanaliz [Introduction to superanalysis]. M.: MCNMO, 2013. 432 p. Seminar po supersimmetriyam [Workshop on super-symmetry]. Vol.1. Algebra i analiz. Osnovnye fakty [Algebra and analysis. Basic facts]. Moscow, MCNMO, 2011. 414 p.

Gromov N.A. Kontrakcii klassicheskih i kvan-tovyh grupp [Contraction of classical and quantum groups]. Moscow, FIZMATLIT, 2012. 320 p. Kac V.G. Lie Superalgebras // Advances in mathematics., 1997. Vol.26. Pp.8-96. Frappat L., Sciarrino A., Sorba P. Dictionary on Lie Algebras and Superalgebras. Academic Press, 2000. 410p. ArXiv:hep-th/9607161. Hussin V., Negro J. and del Olmo M.A. Kinematical superalgebras // J. of Physics A: Mathematical and General, 1999. Vol.32. No. 27. Pp.5097-5121.

Статья поступила в редакцию 21.06.2016.