CC BY
28
УДК 530. 145: 530:12
О. В. Радченко
БРСТ-ЗАРЯД ДЛЯ СУПЕРАЛГЕБР СПЕЦИАЛЬНОГО ВИДА
В данной работе строится канонический нильпотентный БРСТ-заряд в явном виде для конкретных квадратичных нелинейных супералгебр, для которых коммутатор (в терминах суперскобок Пуассона) генераторов является квадратичным полиномом генераторов.
Ключевые слова: БРСТ-симметрия, суперсимметрия, супералгебра.
Проблема построения нильпотентного БРСТ-заряда для квадратичных нелинейных алгебр впервые изучалась в работе [1], где было показано, что для широкого класса указанных алгебр нильпотентный БРСТ-заряд может быть построен в виде полинома четвертого порядка по полям Фаддеева -Попова. Из общего класса квадратичных нелинейных алгебр те алгебры, для которых возможно явное построение нильпотентного БРСТ-заряда, выделяются определенными ограничениями на возможный вид структурных коэффициентов, определяющих структурные функции в алгебре связей. Позднее различные типы квадратично нелинейных алгебр и построение соответствующих нильпотентных БРСТ-зарядов рассматривались в работе [2]. Рассмотрение нелинейных алгебр общего вида было впервые предпринято в работе [3], где, в частности, были явно сформулированы условия на структурные коэффициенты, обеспечивающие явное построение нильпотентного БРСТ-заря-да в виде полинома второго порядка по гостовским полям. Однако все предыдущие рассмотрения нелинейных алгебр и построения нильпотентных БРСТ-зарядов ограничивались случаями, когда все связи являются бозонными (или коммутирующими). В общем случае, среди связей исходной теории могут быть также и фермионные (антикоммутирующие). Построение нильпотентного БРСТ-за-ряда для таких супералгебр приведено в работе [4]. В частности, был найден явный вид БРСТ-заряда до третьего порядка включительно в терминах го-стовских полей Фаддеева - Попова для произвольных квадратичных нелинейных супералгебр, а также найдены ограничения на структурные константы для заданной супералгебры, когда нильпотен-тный БРСТ-заряд существует в виде функции второго порядка в терминах гостовских полей Фаддеева - Попова. В данной работе приводятся конкретные примеры таких нелинейных супералгебр, для которых строится нильпотентный БРСТ-заряд в явном виде.
Будем использовать определения и обозначения, принятые в [4].
Рассмотрим фазовое пространство М с локальными координатами {(д,, р,), , = 1,2,...,и; е(д,) =
= Ф,) = £,■} и {Ta = Ta(q,p) s(Ta) = е„} - набор
независимых функций на М. Будем полагать, что Ta удовлетворяют соотношениям в терминах суперскобок Пуассона
{Ta,Tp] = TrF^+ TST/:SP , (1)
где грассмановы четности s() = sa + sfi + sy, е(Ув ) = Sa + sp + sr + ss и структурные константы FL и У в обладают свойствами
F Y - -(Л^Р F Г
1 ав V V 1 Ра-
у*--(-i)EaEpvp- (-\ys’V%. (2)
Тождества Якоби имеют вид
FLFpr(-1)SaSr + cyclic perm. (а,p,у) - 0, (3)
V; f;y+ f;v; (-iyaSv +
+F:ay;Y(-\t(Ea+Ev ))(-i )** +
+cyclic perm. (a,/3,y) = 0, (4)
+cyclic perm. (p,v,X))(-Vf°Sl + +cyclic perm. (a,P,y) = 0.
(5)
Главным объектом в обобщенном каноническом формализме [5-10] для динамических систем с первым классом ограничений Та = Та(д,р), е(Та) = еа выполняется свойство {Та, Тр} ~ 0, где ~ означает эквивалентность на Та (д,р) = 0, это БРСТ-заряд Q. Нелинейные супералгебры (1) принадлежат к этому классу. БРСТ-заряд требует введения для каждого Та антикоммутирующего госта са и антикоммутирующего момента Ра, обладающих следующими грассмановыми четностями е(са) = е(Ра) = = еа + 1 и гостовскими числами gh(cа) = ^к^Р^ = 1. Они удовлетворяют соотношениям
(с“,Рр] = 5;, (са,св} = 0, {Ра,Рр] = 0,
{са, Тр} = 0,{Ра, Тр} = 0. . (6)
БРСТ-заряд Q определяется как решение уравнения
{Q,Q} = 0, (7) и, как следствие,
которое является нечетной функцией переменных Q3 = 0. (14)
(р,д,сР), имеет гостовское число gh(Q) = 0 и удовлетворяет начальному условию
Учитывая это, мы ограничиваем себя случаем супералгебр, для которых имеются ограничения (13). В этом случае тождество Якоби (4) удовлетворяется.
Теперь проанализируем ограничения, обобщенные для условия нильпотентности в четвертом по-Решение задачи м°жет быть получено в терми" рядке по гостовским полям са. Они будут иметь вид
= Та. (8)
нах ряда расширений по гостовским переменным
Q = т са + У Рв —Р. Рв и)вів2-в саы ■■■са2сщ
^ а ¿ш^ вк в А аІ а2— ак+1
'2 ^“І —
к ,І + V Угв (_ \)Єг (Ч+еа2 +ев')+еа1+еаз+ев.(ещ+еа2'>ев +
=а+у а^ (9) +24^“!5 к4 с“5 с“2с“‘ = о. (15)
где свойства симметрии № по нижним индексам Для вклада четвертого порядка в БРСТ-заряд
совпадают с симметрийными свойствами мономов
Са+1 сак - --с“1 , а по верхним индексам они определя- п — — р р р РА V в V гРз х
“ П П П 0/1 вз в2 в аа «3“4
ются симметрией Рр РРк1 — Рд. 24 12 3 4
-П Х( 1 )£“1 +е“3 +ев2 +(£“1 +е“2 '>евз +еГ (е«1 +еа +ев2 ) са4 са3 са2 са1 (16)
В частности, х(-1) с с с с . (16)
цЮМ2-Рк = (-1)(£“1 +1)(£“2 +1)ц(к')Р1Р2 ■■■Рк = Этот результат может быть рассмотрен как су-
0)02 ■ ■ -®к+1 ®2®1 — -®к+1
= (,Л(гЛ +1)^ +1)и(к)в2в1-вк персимметричное обобщение БРСТ-заряда в чет-
=( и щаг-аы- вертом порядке для квадратичных нелинейных ал-
Применим БРСТ-конструкцию к нелинейным гебр Ли [1]. г _ /1ч т-> Если мы дополнительно потребуем выполнение
супеалгебрам (1). В нижнем порядке нильпотен-
ограничений на структурные константы супералге-тность Q означает, что -г J г J г
бры (1)
((-1) 1 (аа2 + Тв2 Уща ]-2ищО>в')С 2 С 1 = 0 угРз (_1)£«1+£«з+£й +£й(£«1+£«2)+£г(£«1+£«2 +8^) +
ут аа2 ^ ^
Вклад Q2 второго порядка по гостам с- в Q име- +в V402 Vвз х
ут С^з «1«4
ет вид
+£а2 +£в2 +£Рз (£аз +£а2 )+£у (£аз +£а2 +£вз )+(£а +1)(£а2 +^а3 ) _|_
Используя тождества Якоби (3)-(4), условие х(_1)(‘“4 +‘“2 )‘йп‘»1+1)(‘“2 +‘ч)+(‘«4 +1)(‘ч+‘»з +>*
нильпотентности для Q в третьем порядке может быть переписано как
(„4 +£„2 )ер3 +(£Ч +1)(£„2 +е„3 )+0О4 +1)(£Ч +е„3 )+ег (‘а2 +‘а4 +‘в2 ) +
+Fв V°в2 VУРг (_ 1 )(‘о1 +‘а3 )ев3 +(£«3 +1)(‘о2 +‘«1 )+‘г +‘«3 +‘в2 ) ) х
угу аза ^2«4 V ' '
(-1)^2 Ррг тРі(тРі у!^у^(-\Га +ыев + х(-1)‘а2+‘аз+‘й + ^*3^2х
+ 4и(2)в2в1а (-1)£в2)с“3 с“2 с“1 = 0. (11) х(-1)<
Мы имеем два решения уравнения нильпотентности в третьем порядке по гостовским перемен-
+F вУ а<32 у гРз х
уу а* 4 *2*3
х( 1)‘*1 +‘*2 +‘в2 +‘в3 (‘*3 +‘*1 )+(‘*4 +1)(‘*2 +‘*3 )+£г (‘*1 +‘*4 +‘в ) _ 0 (17)
ным с“ В одном случае нет ограничений на струк" то можно утверждать, что существует нильпотен-
турные константы Уг/ квадратичной нелинейной тный БРСТ-заряд в каноническом квадратичном
алгебры и виде
Й =-6Ррв^с"с". (|2) д=V + 2р(Рв + 1X1 Ус"(-1)‘а (18)
Второй случай приводит к ограничению на для любых супералгебр (1), удовлетворяющих до-
структурные константы нелинейных супералгебр полнительным ограничениям (13), (17) на струк-VРзР2у(-1)£«1(£«з +£в1> + турные константы и V'в .
ща ага Рассмотрим супералгебры, содержащие ферми-
+сУсНс регш. (а1,а2,аз) = 0 (13) онные функции, а именно супералгебры с тремя
генераторами ТАА, где Т - бозон (е(Т) = 0) и 0Ъ02 - фермионы (є(0^ = є(02) = 1), т. е. G12 = = 0. Более общие соотношения для супер-
скобок Пуассона генераторов, сохраняющих грас-смановы четности имеют вид
(31)
{T,Gi} = ai(T)Gi + a2(T)G2, [T,G2] = bi(T)Gi + b2(T)G2, {Gi,G2} = ai(T) + a2(T)GiG2, {G2,G2} = Pi(T) + ¿(TGA,
{Gi,G2} = Yi(T) + J2(T)GiG2.
(19)
(20) (21) (22) (23)
Здесь а,, Ь , а,, Д, у, , = 1,2 полиномные функции от Т. Учитывая (19)—(23) и тождества Якоби для такой алгебры, имеем девять дифференциальных уравнений первого порядка с десятью неизвестными а, Ь, а,, в,, у, , = 1,2. Рассмотрим некоторые специальные случаи:
1) ад} = о, {ТА} = о, {ад} = а(Т),
{ад} = в(Т), {ад} = у(Т); (24)
2) {ТА} = a(T)Gl, {ТА} = a(T)G2,
АА} = о, {ад} = в(T)GlG2,
{Gl,G2} = у^А; (25)
3) {T,Gl} = a(T)G2, {T,G2} = b(T)Gl,
{Gl,Gl} = «ДОА, {G2,G2} = 0,
{ад} = у^А; (26)
4) {ТА} = a(T)Gl, {T,G2} = 0,
{Gl,Gl} = «ДОА, {G2,G2} = вДОА,
{Gl,G2} = у^А; (27)
5) {T,Gl} = 0, {ТА} = bl(T)Gl + b2(T)G2,
{Gl,Gl} = 0, {G2,G2} = в^А,
{Gl,G2} = у^А. (28)
Если мы ограничимся рассмотрением случаев квадратичных нелинейных супералгебр (24)-(28) супералгебры (1), придем к
1) а(Т) = Л1Т + А2Т 2, в(Т) = 51Т + В2Т 2, у(Т) = ДТ + Д2Т 2,
^22 = 4 , ^3 = В1, ^23 = А,
VI = А1, Уз1 = В2, VI = В2, (29) =
2) a(T) = А0 + А1Т, в(Т) = В0, у(Т) = Д, г2 = л г3 = А V12 = — А
1 12 ^0’ 13 М2 2
V— = — а—, Vз2з3 = 2Яо, V23 = 2Do; (30)
3) a(T) = А0 + А1Т, Ь(Т) = В0 + В1Т, а(Т) = С0 у(Т) = Д,
^ = д,, ^3 = в0, V23 =14,
V32 = 2V23 = 2со, V33 = 2А;
4) a(T) = Л + AT a(T) = Со, Д7) = B>, y(T) = D>,
^22 = A,, v22 = 14, v22 = 2c0>
V23 = 25o, V33 = 2A,;
5) bi(T) = B> + BiT, b2(T) = B2 + B3T, Д7) = B,
y(T) = D>,
f2 = B0, F—f = B2, Vff =—B4,
(32)
V12 = — B V13 = — B V23 = — D
м3 2 з 2 з 2
(33)
где мы ввели замечания: Т = Т1, G1 = Т2, G2 = Т3, е1 = 0, е2 = е3 = 1. Примеры (24), (29) содержат супералгебру для динамичных систем с гамильтонианом Н = Т, который инвариантен по БРСТ Q = G1 и анти-БРСТ Q = G2 симметрии (метод канонического квантования базируется на этой суперсимметрии [10]), если мы отождествим А1 = 1
, А = В1 = В2 = Д = G2 = 0: {Q,Q} = 0, {Q,Q} = 0,
{Я,Q} = 0, {Я,Q} = 0, {д,Q} = Н. В примерах (25), (30) существуют так называемые самовоспро-изводимые супералгебры [2]. Действительно, в (25) достаточно выбрать a(T) = А0Т, в(Т) = 0, у(Т) = = Д, чтобы получить самовоспроизводимую супералгебру.
Применим конструкцию нильпотентного БРСТ-заряда в виде
1
2 = Taca + -Py (FY + TSV% Уеа (-1)
(34)
для простых примеров, описанных выше, где са и Ра - антикоммутирующие госты и моменты соответственно. Здесь мы используем следующие замечания для гостовских переменных: (с\с2,с3) =
= (с,ПьПг), (Pi,Р2,Р3) - (Р,Р,Р2).
1. Явный вид структурных констант (29) подразумевает, что индексы вь в2, в3, ° нетривиальных выражений в ограничениях (13) должны иметь следующие значения: в1 = в2 = в3 = а = 1. Таким образом, единственное условие, которое должно быть подтверждено, - это исчезновение (-1)£“‘£“3 +
+ cyclic perm. (а1,а2,а3) = 0. И это соотношение удовлетворяется, потому что V11 - 0. Чтобы доказать выполнение дополнительных ограничений (17) на структурные константы супералгебры (1),
нетривиальные соотношения должны выполняться при у = а = 1, и все элементы в этих соотношениях содержат фактор = 0, который их зануляет. Таким образом, нильпотентный БРСТ-заряд для этого примера должен иметь вид
Q = тс + 0^ + - 2 А рп2 - 2 В1 рп2-
-ДРпп - 2 АРТп1 - 2В2РТП - 2D1РТЦП (35)
Здесь отсутствуют ограничения на параметры (АьВьД,А2,В2,Д), которые в конечном счете определяют супералгебры (29).
2. Анализ соотношений (13) требует следующих ограничений на структурные константы супералгебры (30):
^22 = у£ = у2 = 0, (А1 = Д = 0). (36)
Так как У^, = 0 и = 0 для всех а,р,у, соотношения (17) выполняются. Нильпотентный БРСТ-заряд в этом случае запишется как
<2 = Тс + (Эп + <Э2ц2 + А0 (Рп + Ргщ)с -
-1 Bo(PG -PG2W2
(37)
нейных супералгебр
д = Тс + Цп + G2n2 + Д Р2П1 с + В0 Рп с. (39)
4. Как и в предыдущем случае, анализируя выражения (13), накладываем строгие ограничения на супералгебру (32):
У/22 = У23 = У3233 = У2233 = 0 (А1 = В0 = О, = Д0 = 0),(40)
которые также приводят к линейной супералгебре. Нильпотентный БРСТ-заряд должен иметь вид
д = Тс + Цп + G2n2 + ДГм с. (41)
5. Анализируя (13), накладываем следующие ограничения на структурные константы супералгебры (33):
у/33 = У2233 = У3233 = 0 (В3 = Д0 = В4 = 0). (42)
Так как У^ = 0 для всех а,в,у и ^3 ф 0, Б133 ф 0,
то соотношения (17) выполняются. Нильпотентный БРСТ-заряд может быть записан в виде
Q — Tc + Gin + G2^2 +
+(B0 P + B2 P2 + 2 Bi(PGi + PT ))n c.
(43)
3. Анализируя соотношения (13), получим следующие ограничения для супералгебры (31):
у/32 = У/23 = У2223 = У2233 = 0 (А1 = В1 = С0 = Д = 0), (38)
которые приводят к линейной супералгебре с обычным нильпотентным БРСТ-зарядом для ли-
Таким образом, мы построили квадратичные нелинейные супералгебры с одним бозонным и двумя фермионными генераторами и потребовали всех ограничений на структурные константы [4] для того, чтобы явно построить БРСТ-заряд в канонической форме, который является квадратичным по гостовским полям Фаддеева - Попова.
Список литературы
1. Schoutens K . et al . Quantum BRST charge for quadratic nonlinear Lie algebras // Communic . in Mathem . Phys . 1989 . № 124 . P. 87-101.
2 . Henneaux М ., Dresse A. BRST structure of polynomial Poisson algebras // J . of Mathem . Phys . 1994. № 35 . P. 1334-1342 .
3 . Buchbinder I . L . , Lavrov P. M . Classical BRST charge for nonlinear algebras // J . of Mathem . Phys . 2007 . № 48 . P. 082306-21.
4 . Asorey M ., Lavrov P. M . , Radchenko O . V. , Sugamoto A . BRST structure of nonlinear superalgebras // Internat . J . of Modern Phys . A. 2009 . № 27 .
P. 5033-5050 .
5 . Batalin I .A. , Vilkovisky G .A . Gauge algebra and quantization // Phys . Lett . B . 1981. № 102 . P. 27-45.
6 . Batalin I .A. , Vilkovisky G .A . Quantization of gauge theories with linearly dependent generators // Phys . Rev. D . 1983. № 28 . P. 2567-2582 .
7 . Fradkin E . S . , Vilkovisky G .A. Quantization of relativistic systems with constraints // Phys . Lett. B . 1975. № 55 . P. 224-239 .
8 . Batalin I .A ., Vilkovisky G .A . Relativistic S-matrix of dynamical systems with boson and fermion constraints // Phys . Lett. B . 1977 . № 69 . P. 309-
327
9 . Азоркина О . Д . Классические и квантовые аспекты общей модели кирального-антикирального суперполей на суперпространстве //
Вестн . Томского гос. пед . ун-та . 2006 . Вып . 6 . C . 38-42 .
10 . Batalin I . A. et al . Extended BRST quantization of gauge theories in the generalized canonical formalism // J . of Mathem . Phys. 1990 . № 6 .
C . 1487-1501.
Радченко О. В., кандидат физико-математических наук, доцент кафедры.
Томский государственный педагогический университет.
Ул. Киевская, 60, г. Томск, Томская область, Россия, 634061.
E-mail: [email protected]
Материал поступил в редакцию 24.05.2010.
O. V Radchenko
brst-charge for specific superalgebras
In this paper we construct the explicit form of the nilpotent BRST-charge for specific quadratic nonlinear superalgebras where a commutator (in terms of Poisson superbrackets) of the generators is a quadratic polynomial of the generators.
Key words: BRST-symmetry, supersymmetry, superalgebras.
Tomsk State Pedagogical University.
Ul. Kiyevskaya, 60, Tomsk, Tomsk region, Russia, 634061.
E-mail: [email protected]
