Взаємозв'язок релаксаційно-деформівних, тепломасообмінних та міцнісних процесів у висушуваній деревині Текст научной статьи по специальности «Математика»

[M/]2=[Frf]2 + [Fa]2; [М/]1=[СЬ

Висновки. У повторно опромшених кристалах гранична концентрацiя центр1в забарвлення в 3^8 разiв вища, за концентрацiю центрiв забарвлення, що створюе радiацiя пiсля першого опромшення кристала.

Запропонований нами метод тдвищення рад1ацшно1 чутливостi крис-ташв MeF2-O який охоплюе таю етапи:

• низькотемпературне опромшення кристала;

• 1мпульсний прогр1в забарвленого кристала до шмнатно! температури;

• його знебарвлення за низько! температури;

• повторне опромшення зразшв ютзуючою рад1ащею за низьких температур.

Можна застосувати для цшеспрямованого регулювання рад1ацшно1

2

чутливосп кристалiв MeF2-O

Лггература

1. Чорн1й З.П. Ефект "рад1ацшно'! пам'ятГ' в кристалах SrCl2: TlCl / З.П. Чорнш, Г.О. Щур, В.М. Салапак, С.1. Качан // Вюник ДУ "Льв1вська под1техн1ка". - Сер.: Теор1я i проекту-вання напiвпровiдникових i радiоедектронних пристроив. - 1998. - № 343. - С. 195-201.

2. Чорнш З.П. 1онт ланцюги з точковими дефектами дипольного типу: повторне опро-мшювання / З.П. Чорнiй, 1.Б. Шрко, В.М. Салапак, М.В. Дячук // Науковий вюник НЛТУ Украши : зб. наук.-техн. праць. - Львiв : РВВ НЛТУ Укра!ни. - 2009. - Вип. 19.7. - С. 275-285.

3. Bollman W. Incorporation of O2- and OH- ions in CaF2 crystals / W. Bollman // Phys. Stat. Sol. (a). - 1980. - Vol. 60, № 2. - Pp. 661-667.

4. Чорнш З.П. Радiацiйна чутливють кристалiв флюорипв, легованих киснем / З.П. Чорнш, В.М. Салапак // Науковий вюник НЛТУ Украши : зб. наук.-техн. праць. - Львiв : РВВ НЛТУ Украши. - 2010. - Вип. 20.6. - С. 126-131.

Чорний З.П., Салапак В.М. Центры окраски во вторично облученных кристаллах флюоритов с примесью кислорода

В одномерной модели рассчитаны параметры радиационной чувствительности вторично облученных кристаллов флюоритов, легированных ионами кислорода. Определены граничные концентрации центров окраски в зависимости от концентрации примеси щелочного металла в кристалле флюорита.

Ключевые слова: кристаллы, центры окраски, радиация.

Chornij Z.P., Salapak V.M. The colorations centers in the second time irradiated fluoride crystals which are alloyed with oxygen

In the single-measured model the radiation sensitivity parameters are calculated in the second time irradiated fluoride crystals which are alloyed with oxygen. The maximum concentrations of the color centers were determined as a function of concentration alkaline metals impurities.

Keywords: crystals, color centers, radiation._

УДК 634.0.812 Доц. Б.П. Поберейко, канд. техн. наук -

НЛТУ Украти, м. nbsis

взасмозв'язок релаксацшно-деформшних,

тепломасообм1нних та м1цн1сних процес1в у висушуван1й деревин1

На основi закошв мехашки суцшьних середовищ та термодинамши незворот-них процеав синтезовано фiзико-математичну модель взаемозв'язку релаксацшно-деформiвних та мщшсних процеав у пгроскотчних композитних матерiалах. Виве-

денo píвняння теплoпеpенеcення для дефopмoвaнoгo мaтеpíaлy та пoбyдoвaнo теxнo-лoгíчний xprn^pm лoкaльнoï мíцнocтí■

Вступ. Одним iз ocнoвниx oб,eктiв дocлiджень теxнoлoгiï гiдpoтеpмiч-oбpoблення e пpoцеcи, якi визначають cтpyктypнo-меxaнiчнi та теxнoлo-гiчнi влacтивocтi вoлoгoгo мaтеpiaлy■ Дo ниx вiднocять пpoцеcи теплoмacoпе-pенеcення, а тагаж дефopмaтивнi та мiцнicнi пpoцеcи■ Зaкoнoмipнocтi ïx пе-pебiгy визнaчaютьcя ocoбливocтями взaeмoдiï вoлoги з мaтеpiaлoм■ У непг-pocкoпiчниx мaтеpiaлax зв,язoк цж пpoцеciв e oднocтopoннiМ■ : нaпpyженo-дефopмiвний cтaн впливae на видалення вoлoги, а вoлoгicний e незалежним вiд пoлiв нaпpyжень та дефopмaцiй■ У гiгpocкoпiчниx мaтеpiaлax цi e

взaeмoпoв,язaними та взaeмoзyмoвленими, а oтже - неpoздiльними■ Неpiвнo-мipний poзпoдiл вoлoги пpизвoдить дo виникнення пoлiв дефopмaцiй i rn^y-жень, а poзвитoк нaпpyженo-дефopмiвнoгo cтaнy - дo пpиcкopення aбo oto-вшьнення пpoцеciв видалення вoлoги■

У пеpшoмy випaдкy мiцнicть мaтеpiaлy e залежью лише вiд нaпpyже-нo-дефopмiвнoгo ета^, a y дpyгoмy - вщ взaeмoдiï вoлoгicнoгo та нaпpyже-нo-дефopмiвнoгo cтaнiв■ Тoмy пoбyдoвa теxнoлoгiчнoгo мiцнocтi

гiгpocкoпiчниx мaтеpiaлiв, зoкpемa, для деpевини зi змiнним вoлoгoвмicтoм швинна гpyнтyвaтиcя на дocлiдженняx взaeмoдiï зазначенж пpoцеciв■ На cьoгoднi цю пpoблемy виpiшенo чacткoвo■ Наведений y po6o^ [l] aнaлiз cy-чacнoгo ета^ дocлiджень мiцнocтi деpевини пoкaзaв, шр ïï вивченo здебшь-шoгo y межax cинтезy вiдoмиx pеoлoгiчниx мoделей i теopiï теплoмacoпеpе-неcення для негiгpocкoпiчниx мaтеpiaлiв, нaдiлениx влacтивocтями дифycaд-ки та зaлежнocтями ïx фiзикo-меxaнiчниx xapaктеpиcтик вiд вoлoги■ Тoмy та-кий пiдxiд дae змoгy визначити лише вплив змши фiзикo-меxaнiчниx xapa^ теpиcтик мaтеpiaлy (мoдyлiв пpyжнocтi, чacy pелaкcaцiï дефopмaцiй пoвзy-чocтi тoщo) на йoгo нaпpyженo-дефopмiвний cтaн■

У цш poбoтi зaпpoпoнoвaнo нoвий тдад дo виpiшення цieï пpoблеми, який гpyнтyeтьcя на зaкoнax меxaнiки та теpмoдинaмiки незвopoтниx пpoце-ciв та методищ пoбyдoви ентpoпiйниx кpитеpiïв мiцнocтi■ I на йoгo пiдcтaвi cинтезoвaнo фiзикo-мaтемaтичнy мoдель взaeмoзв,язкy pелaкcaцiйнo-дефop-мiвниx, теплoмacooбмiнниx та мiцнicниx пpoцеciв y виcyшyвaнiй деpевинi, cклaдoвими чacтинaми якoï e:

• cпíввíднoшення кíнемaтики cyu^BKHx cеpедoвиш [2, 3]

• фopмyлa зв'язку гycтини дефopмoвaнoгo мaтеpíaлy p з пapaметpaми дефop-мyвaння [3]

• píвняння вoлoгoпеpенеcення [3]

dU r

Рот.— = -(l + ßvUо) Jdivjвол , (3)

дт

а тагаж piвняння pyxy, piвняння теплoпеpенеcення та piвняння для визначен-ня гpaничнoгo нaпpyженoгo cтaнy, вивщ якиx виклaденo нижче.

dV (т) = J (т) dVo,

(l)

l + U

(2)

P = (l + ßVUо)J Рcm■,

Тут U, U0, рот, ßv - в^шв^^, пoтoчний вoлoгoвмicт, пoчaткoвий вo-лoгoвмicт, yмoвнa гycтинa, кoефiцieнт ycaдки; Vo та V(t) - oб,eм недефopмo-вaнoгo та дефopмoвaнoгo мaтеpiaлy; jem - гycтинa пoтoкy вoлoги; J - якoбiaн гpaдieнтiв pyxy тoчoк cyцiльнoгo cеpедoвишa■

Bивiд р1вмяммя руху. В yмoвax гiдpoтеpмiчнoгo oбpoблення дефop-мaтивнicть деpевини визначають piзними за фiзичнoю пpиpoдoю cилaми де-фopмyвaння■ Резyльтyючa циx cил F, зпдш з дpyгим загашм Ньютoнa, ^я-мo пpoпopцiйнa швидкocтi дефopмyвaння мaтеpiaлy:

F = J Р<иdV(т), (4)

V (т) ^

З iншoгo бoкy, cилa F дopiвнюe aлгебpaïчнiй cyмi oб,eмниx Fv, пoвеp-xневиx Fs та pеaктивниx Fm одл:

F = Fv+Fs +Fm . (5)

Склaдoвi Fv та Fs визначають за фopмyлaми [4] :

Fv = J fvpdV(т), (б)

V (т)

Fs = ф a„ds(т), (V)

s (т)

де fv - питома oб,eмнa cилa; àn - нaпpyження, якi дiють на елемент пoвеpxнi dS з oдиничним вектopoм нopмaлi n .

Реактивш cили Fm зyмoвленi мacooбмiнними пpoцеcaми■ Для ïx виз-начення та oбгpyнтyвaння пpичин виникнення poзглянемo виcyшyвaнy деpе-вину y виглядi cyкyпнocтi мaтеpiaльниx тoчoк з неcкiнченнo магою мacoю pAV. Тoдi, ocкiльки y цьoмy випaдкy мaca деpевини з чашм зменшyeтьcя, тo дoцiльнo пpипycтити, шo кoжнa чacтинкa за oдиницю чacy видiляe вoлoгy мacoю

Ашвол = qAV, (S)

де q(т)= lim dPAV. (9)

' Av^o aV dт

Внacлiдoк, зпдш з зaкoнoм збеpеження кiлькocтi pyxy, iмпyльc мате-piaльнoï тoчки cy^^^ro cеpедoвишa деpевини за oдиницю чacy змiнитьcя на величинy:

m = q(peon -u)AV, (lo)

де ивол - швидкicть pyxy вoлoги■ Дiйcнo, неxaй идв та и - швидюеть pyxy чacтинки дo та пюля видiлення вoлoги■ Тoдi, за за^шм збеpеження iмпyль-cy, iмпyльc чacтинки pAVude дo видiлення вoлoги дopiвнюe cyмi iмпyльciв чacтинки (pAV - qAV)u та вoлoги queojlAV пicля ïx poздiлення, тобто

qUвoлAV + (paV - qAV)u = pAVude. (ll)

Звiдcи pAVude-pAVu = q (ивол-u)AV . (l2)

Пpaвa чacтинa piвноcтi (11) e piзницeю 1мпульЫв мaтepiaльноï чacтин-ки до тa пicля видiлeння вологи. Oтжe, зaмiнивши ïï нa P^V, отpимaeмо формулу (1G), що i нeобxiдно було довecти.

Taким чином, фоpмyлa для визнaчeння cклaдовоï швидкоет! зм1ни кiлькоcтi pyxy для т1л з1 зм1нною мacою, зyмовлeноï пpоцecaми мacопepeнe-ceння, мae вигляд

Pm = J q(ивол -и)dV(т)dV. (13)

V (т)

Ane, зa другим зaконом Hьютонa Fm = Pm, тому

Fm = J q(ивол -и)dV(т). (14)

V Т)

Oтжe, з вpaxyвaнням формул (5-7) тa (14), зaкон Hьютонa (4) зaпишe-мо у вигляд1

J р^Т dV (Т= J q (ивол -v)dV (т) + J pfdV (т) + [j GndS (т). (15)

V(T dT V (т) V(t) S (т)

Подaмо його у локaльнiй форм1 зaпиcy, зaпиcaвши оcтaннiй додaнок у пpaвiй чacтинi (15) у вигляд1 iнтeгpaлa зa об'емом. Для цього розглятемо eлe-мeнтapний тeтpaeдp (риа 1), довжини peбep якого дор1внюють axl, ax2 тa ax3.

Рис. 1. Дoвiльнo opieнmoванuй елемент пoвеpхнiу Mamepirni

Чepeз aS1 = ax2ax3, aS2 = axlax3, aS3 = axlax2 познaчимо площ1 гpaнeй тeтpaeдpa, як1 e пepпeндикyляpними до бaзиcниx вeктоpiв пpоcтоpовоï ^CTe-

aS

n - вeктоp площ! чeтвep-

ми коордишт дeфоpмовaного тiлa, a чepeз aS =

toi' гpaнi ABC. Oкpiм цього, пpипycтимо, що вeктоp n оpieнтовaно нa зовн1, тaк що м1ж aS тa ASk icнye зв'язок

aS

n = ASi + AS2i2 + AS3i3.

(1б)

Тод1 р1вняння pyxy цeнтpa мac видiлeного тeтpaeдpa мacою Am тa об'емом AV зaпишeтьcя у вигляд1

ат = ] Ат + апА^п + а-1А^1 + <т-2М-2 + о-3М-3, (17)

<т

де: ис - швидкiсть руху центра мас тетраедра; а-к = -ак - напруження на площадщ з нормаллю (чк). Однак, АSk = щАЗ, а Ат = рАУ, де пк - проекцiя

вектора П на к-ту координатну вiсь. Звщси, пiдставивши аSk та Ат у (17) одержимо

р—--р]

<т

АУ =

ап пак а^. (18)

к=1 )

Роздiливши отриманий результат на аS та здшснивши граничний пе-рехiд (спрямувавши аУ до нуля), встановлюемо

3

ап = £ па . (19)

к=1

Звiдси, на основi теореми Гауса-Остроградського

$ о^ = окп^ =£ 0 =11 ^Г^У . (20)

^ S к=1 к=1 S к=1У дхк

Таким чином, з врахуванням (20), рiвняння (15) можна подати у виг-

лядi

\ р<ГdУ(т) = { д(иол-и)<У(т) + \ ррЗУ(т)+I\Оу, (21)

У(т <т У(т у(т к=1У дхк

або у локальнш формi запису

р<г=д (о -и)+рр+Е а • (22)

<т к=1 ^

Аналiз отриманого рiвняння руху свiдчить, що у випадку двокомпо-нентних суцшьних середовищ особливостi 1х деформативностi е залежними вiд рiзницi швидкостей руху речовини сухого матерiалу и та вологи ивол. Чим бшьшим е абсолютне значення рiзницi цих швидкостей, тим бшьше цi особливост себе виявляють. Виявлена закономiрнiсть е очевидною. Вона обгрунтовуеться вiдомою залежшстю густини потоку вологи вiд вщносно! швидкостi 11 перемiщення [4]

]вол = рвол (иол - и) . (23)

Дiйсно, iз (23) витжае, що чим бiльшим е абсолютне значення рiзницi ивол - и, тим бiльшим е значення густини потоку вологи. Але, з огляду на рiв-няння нерозривност [3]

+ р<\уи = -<1у]вол, (24)

<т

зростання абсолютних значень величини ]вол е одшею з основних причин прискорення масообмшних процешв мiж матерiалом i навколишнiм середо-вищем, що i необхiдно було показати. Окрiм цього зазначимо, що величина

ивол -и визначае не лише iнтенсивнiсть, але i напрям перебiгу цих процеЫв. Для ивол -и> 0 масообмш вiдбуватиметься у напрямi Mматерiал - навколишне середовище", а у випадку виконання умови ивол -и< 0 - у напрямi "навколишне середовище - висушуваний матерiал"• Якщо ивол -и = 0, то масообмш мiж матерiалом i навколишнiм середовищем взагалi е вiдсутнiм, а рiвняння руху (22) у цьому частковому випадку зведеться до вщомого рiвняння руху для матерiалiв стало! маси

= + (25)

От к=1 дхк

Для подальших перетворень (22) iз (23) знайдемо вiдносну швидюсть руху зв'язно! вологи ивол -и та пiдставимо отриманий результат у (22). Тодi матимемо

аи а г т^3 ддк

]вол +р/ + Е — • (26)

ат рвол к=1 дхк

Невiдому величину q визначимо iз (9). Для цього перетворимо праву частину цього сшввщношення, скориставшись формулою (1). Внаслщок одержимо

Иш -1.р = ар + р . (27)

ау^о ау ат ат ау^о /ау(т0) ат

Оскшьки початковий об'ем матерiалу не залежить вiд часу деформу-вання (АУ(т0)=еопв1;), то, внiсши 1/(АУ(х0) пiд знак похщно! iз (23), отримаемо

а = Ор + ра/ . (28)

ат / От

Або, з врахуванням формули (24):

а = + рсЦуи = -Шу]вол. (29)

ат

Отже, рiвняння руху для пгроскошчних матерiалiв змшно! маси та об'ему у векторнiй формi запису мае вигляд

а и а1у]вол г , г дак

р— =--]вол +р/ +Х — . (30)

От рвол к=1 ОХк

Закон збереження енергп. Перший закон термодинамжи. Згiдно з першим законом термодинамжи [5], швидкiсть змiни густини повно! енерги Еповн матерiалу дорiвнюе сумi потужностей зовнiшнiх сил N i кiлькостi тепла Q, отримано! тiлом за одиницю часу:

аЕповн = N + Q. (31)

От

Повна енергiя е адитивною функцiею стану матерiалу• К значення до-рiвнюе алгебрашнш сумi значень кшетично! та внутршньо! енергш.

Кiнетична енергiя К матерiальноl точки е прямо пропорцшною квадрату швидкост И руху:

K = 0,5 | рог<У (т) (32)

у (т)

Внутршня енергiя Е е функщею стану матерiалу• У бшьшосл випад-кiв вона е адитивною величиною, тому можна припустити, що

Е = | ре<У(т), (33)

у (т)

де е - питома внутршня енерпя.

Кiлькiсть теплоти Q, яку отримуе (вiддае) деревина в умовах пдро-термiчного оброблення визначають кондуктивною Q1 (теплопровiднiсть) та конвективною Q2 складовими перенесення тепла, а також складовою Q3, зу-мовленою фазовими перетвореннями вологи з рщкого у газоподiбний стан. Складова Q1 описуеться законом теплопровщност Фур'е

Ql = 0 ЛgradTdS (т), (34)

S (т)

де X - коефщент теплопровiдностi деревини.

Конвективна складова Q2, зумовлена процесами вологоперенесення. 11' визначають за формулою

Q2 =- 0 Щ вол<^ (т) , (35)

S (т)

де: И - питома ентальшя волого'' деревини. Знак " - " у (35) вказуе на те, що в умовах гiдротермiчного оброблення перенесення тепла у виглядi вологи здшснюеться в напрямi матерiал - навколишне середовище. Складову Qз визначають за формулою

дТТ

Qз = | друТУ(т), (36)

У(т) дт

де: 5 - коефiцiент фазового переходу для волого'' деревини; у - питома теплота випаровування.

Потужшсть N дорiвнюе сумi робiт, виконаних за одиницю часу повер-хневими, об'емними та реактивними силами:

Es = \l\anddS (т), (37)

S (т)

Еу = | р]и<У (т), (38)

у (т)

Ет = \ {д(йвои)-0,5(ии)}<У(т). (39)

у (т)

Формулу (39) встановлено на основi рiвняння динамши матерiальноl точки з масою рДУ

рту = раУ<и, (40)

де символом позначено реактивну складову сил деформування матерь алу. Для обгрунтування цього твердження знайдемо елементарну роботу 5А,

виконану силою Р^ . Для цього вектор Р£У скалярно помножимо на вщпо-вiдне елементарне перемiщення Ог . Внаслiдок отримаемо

ЗА = Р^Ог =рАУ—ОГ. (41)

От

Перетворимо це рiвняння, скориставшись очевидними тотожностями та визначеннями:

• Значения скалярного добуток Ог тотожно дор1внюе значенню скалярного

От

аг

добутку векторних величин — 1 Ои, тобто

От

^От = ^ай. (42)

От От

• Похвдна От/сОт е визначенням миттево! швидкост руху матерiальиоi точки

— = и. (43)

От

Тодi (40) перепишемо у виглядi

Р^От = рАУиОи . (44)

Величина рАУи характеризуе iмпульс матерiальноi точки. Згiдно з (12), вона е залежною вщ рiзницi швидкостей и i ивол, а и значення тотожньо дорiвнюе значенню виразу а(ивол -и)АУ, тому

Ртуаг = а (иол - и) аи. (45)

Скалярний добуток (ивол -и)Ои дорiвнюе нескiнченно малiй змш рiз-ницi скалярних добуткiв (йволи) та (ии)/2, тобто

(ивол -и)Ои = а{(йволо)-0,5(ии)}. (46)

Звщси, пiдставивши (46) у (45), отримаемо

ЗА = Р туОг = О (а (дволй) - (0,5а (ии))). (47)

Анашз одержаноi формули свщчить, що елементарна робота, яку ви-конують реактивш сили над матерiальною точкою змшно! маси, не залежить вiд форми траекторп и руху. Вона визначаеться скалярними добутками (иволи) i (ой)/2 до та пiсля видшення (поглинання) вологи матерiальною точкою. Тому, враховуючи, що до видшення вологи значення величин ивол та и дорiвнюють нулевi, робота Р,<у<г , виконана за одиницю часу реактивними силами Р,<у, дорiвнюе значенню виразу а(оволи)-(0,5а(ии)). Таким чином,

потужнiсть реактивних сил визначають за формулою (39), що i необхiдно бу-ло довести.

Пщставимо (32)-(39) у (31), тодi закон збереження енерги (31) для де-формованоi деревини зi змшним вологовмiстом запишемо у виглядi

< | (0,5ри2 + ре)(т)= \ {р]о + д(ии)-0,5(би) +5рудТ\<У(т) +

<тУ(т) У(т дт)

+ [р (Опи)dS(т)+ 0 Лга<Т-Ивол)ds(т). (48)

S(т) s(т)

Подамо отримане рiвняння у локальнiй формi запису. Для цього перетворимо його обидвi частини. У правш частит штеграли за поверхнею за-мшимо на iнтеграли за об'емом:

(ЛgradT + к}вол) dS (т) = | (ЛgradT - к}вол) <У; (49)

S (т)

У

3 3 3 д о и

0 опш(т) = 02аип^(т)=02акшк =\Т-Оги<у.

Sk=1 Sk=1 Ук=1 дхк

(50)

S (т)

Для перетворення лiвоl частини рiвняння (48) перетворимо Сшввщно-шенням:

^Г\р(хкт)У = | <^^ <У + | р(хк,т)Шуй<У. (51)

<т У У(т) <т У(т)

А саме, замшимо у ньому скалярну величину р(хк, т) на шдштеграль-ний вираз 0,5ри2 + ре. Тодi, матимемо

íu2 V-!- л ^

<У(т) = \

< г

> р

ит У(т)

/ 2 л

и

— + е 2

/

У (т)

° — + р<\уд + р— + ри — \ <У(т). (52)

• + е

дт

дт

дт

Пiдставимо (50-51) у (48), тод^ врахувавши формулу (29), одержимо

де г/г г ч гди Д гдак Д, ] ди

р— + де + ди(и-иол) + ри— = р]о + 2и——+ 2ак~ +

дт дт к=1 дхк к=1 дхк

(^га<Т - к}вол) + 5ру

ди

дт

(53)

Перенесемо два перших доданки прав о1' частини рiвняння (53) у лiву частину та згрупуемо доданки з множником и. Внаслiдок отримаемо

де г

р--+ де + и

дт

ди ,

р1Г+д{

и-и

\ ] ^ дОк

к=1 дхк

■2 а к д— + (ЛgradT - к] вол) + р-Г

к=1 дхк дт

(54)

За другим законом динамiки руху суцшьного середовища (22) третiй доданок лiвоl частини отримано'' рiвностi дорiвнюе нулевi• Отже, закон збе-реження енерги (31) для деформованих матерiалiв зi змiнним вологовмiстом у диференщальнш формi запису мае вигляд

рр^ + де ="2 ак + (ЛgradT - к] вол) + р^

дт к=1 дхк 4 7 дт

Або, оскшьки за визначенням

(55)

Л г до XX до-Ёск -— = ЁЁск- -дг-

к=1 дхк к=1 -=1 дхк

то

де

3 3

до,

Р— + 4е = ЁЁск- д

дт к=1 -=1 дхк

+

(ЛgradT - к-вол) + 5ру

ди

дт

(56)

(57)

Вивщ р1вняння теплоперенесення для деформованоТ деревини. В

умовах конвективного вологовидалення змiна тиску агента сушшня е не значною [6]. Цей процес можна вважати iзобарним. Змшу термодинамiчного стану висушуваного матерiалу у цьому випадку визначають так званою фун-кцiею стану - ентальшею. Тому для виведення рiвняння теплоперенесення доцiльно питому внутрiшню енергда е у законi збереження енергй (57) вира-зити через питому ентальпiю к. Для цього у (57) замшимо тензор напружень с- на суму [7]

Гк- = ( + Гд-,

(58)

де ( i сд - пружна та дисипативна складовi напружень ск- вiдповiдно. То-дi, оскiльки за даними робгг [8]

то р

де__1 ^ ^ спр деу

удт р-=1,=1 - дт у

де-к дт \

_до}_ 1

дхк

до

- , дик

3 3

v де

дхк дх

(59)

- у

де ди

+ Яе = ЁЁ С ~дТ~ + div - к]вол) + 8ру— • (60)

I=1 -=1

дт

дт

Але другий множник першого доданка у лiвiй частинi одержаного рiв-няння е визначенням швидкост змiни питомо! ентальпи

к = е -ЁЁ Ё (Ч/р, (61)

I=1 -=1

тому з врахуванням зазначеного

дк , зз (Ре-Р~ + Як + ЯЁЁ —-

дт I=1 -=1 Р

Ё Ё се+

I=1 -=1

у , div (ЛgradT) - div (к]вол) + 5ру ^^. (62) дт 4 ' дт

Для подальшого спрощення цього рiвняння використаемо рiвнiсть

divкjвол = -к + (-вол gradк), (63)

яка е результатом постановки спiввiдношення (29) у тотожшсть

divкjвол = кdivjвол + (-вол gradк). (64)

Тод^ з огляду на формули (63) та (28), рiвняння (62) перепишемо у

виглядi

дк 1

дт р

др + р д/ дт / дт

3 3

3 3

деи

Ё Ё (е- =ЁЁс1^г!- + Я» (шЯТ)

> =1 - =1

I=1 -=1

дт

-(jволgradк) + 5ру

ди

дт

(65)

Значення другого доданка у лiвiй частит (62) дорiвнюе нулю. Дшсно, оскiльки, зпдно з формулою (2), густина деформованого матерiалу е оберне-но пропорцшна якобiану градiентiв руху з коефщентом пропорцiйностi, значення якого дорiвнюе густинi рнт матерiалу у недеформованому стат (/=1), тобто

Р = Рнт.1 / , (66)

то

Р

др р д3

+ —

\дт / дту

= 0

Отже,

У

Рv

др р д3

дт

+ --

3 3

3 дт у I=1 j=1

Ч ЬЧ

0.

(67)

(68)

що i необхiдно було показати.

Таким чином, математична модель закону збереження енерги (57) для висушуваних в умовах сталого тиску в'язкопружних матерiалiв мае вигляд

дк

3 3

дт

Т,

дц дт

ди

■ + (gradT) - ((вол gradк) + . (69)

i=1,=1 дт

Отриману модель покладемо в основу виведення рiвняння теплопере-несення. Для його одержання виразимо величину к через термодинамiчну температуру Т. Для цього скористаемося результатами дослщжень [6], де встановлено, що у випадку iзобарних процеЫв вщношення приросту питомо! ентальпи Дк до приросту температури у граничному випадку (ДТ^-0) е ста-лою величиною. Це вiдношення е визначенням питомо! теплоемностi матерь алу за сталого тиску

дк

дТ

= Ср,

У р=еош1

де СР - питома теплоемтсть матерiалу за сталого тиску. Тому, оскшьки

дк дт

дк дТ дТ дт дк

(70)

(71)

gradк = — gradT, дТ

(72)

то на пiдставi зазначених формул (70-72) рiвняння (69) запишемо у виглядi

рСр

дТ дт

£ ( +

> =1 ,=1

дт

div (ЛgradT) - СР (jволgradT) + 5ру

ди

дт

(73)

Помножимо це рiвняння на якобiан / Внаслщок, з огляду на формулу (66), одержимо математичну модель для визначення процеЫв перенесення тепла у деформованих в'язкопружних матерiалах

дТ до

РнтСр — = — +3

дт

3 3

д£г,

i=1 ,=1

дт

ди

div jЛgradT)- СР jjволgradT)ёру- . (74)

дт

У випадку деревини, висушувано! конвективним способом, не вс чин-ники, як визначають закономiрностi перебiгу процесiв перенесення тепла е

1

значущими, зокрема, не значним е вплив складово! СР (]волgradT). Для бшь-

шостi порщ деревини абсолютнi значення ще! складово! у будь-який момент часу вологовидалення е меншими за всi iншi складовi на порядок. У цьому випадку щею складовою можна знехтувати.

Отже, рiвняння теплоперенесення для деревини, висушувано! конвек-тивним способом, мае вигляд

дт

3 3

де,

РншСр — « ^ Е + -1 div (ЛgradT) + дру

дт

, =1■ =1

дт

ди

дт

(75)

Виведення р1вняння балансу ентропи та побудова критерiю мщ-ностi. У процесi гiдротермiчного оброблення маса та об'ем гiгроскопiчних матерiалiв е змiнними величинами. Густина внутршньо! енерги Е таких тiл е залежною вiд !х густини р, полiв деформацiй — та густини ентропи Б, тобто

Е = Е(Б,р,е£. (76)

Повний диференцiал функци Е(Б,р,£у) визначають виразом

/апЛ 3 3 С ^ \ /^Л

dE

дЕ

кдБ ;Еу,р ,=1■=1

де, за даними дослщжень:

dS + ЕЕ

дЕ

к дБ у

дЕ кд— J б,р

дЕ

d£ij +

дЕ крБе

d р,

т.

= апР

(77)

(78)

Тому, з урахуванням зазначених сшввщношень, формулу (77) запише-мо у виглядi

3 3

dE = TdS + +^ р, (79)

,=1 ]=1

де (дЕ/др)Б — - хiмiчний потенцiал (у цьому випадку масовий).

Виразимо величини Е та Б через !х питомi значення е=Е/р та ¿*=Б/р вщ-повiдно. Для цього подшимо (79) на р

dE dS пр, d р

р р р,=1 ■=1 р Виразимо ёЕ/р, ёБ/р та dsij■/p через диференцiали d(E/p), d(S/p) та d (е/р):

d

Е

рdE - Edр dE Е dр dE dр

d

\р;

р

р р р

р

р

рdS - Sdр = dS Б dр = dS dр ; - — — £ _

\р; d

/ л —

кр;

р р р р р р _ рdеij - е^р = dеij е■ dр

р

р р р

Шдставимо (81)-(83) у (80)

de + = Tds +

3 3

р

(е-Л 3 3 апРе . dр

р ,=1 ■=1

кр/ ,=1 ■

=1 ■=1 р р

d р р

(80)

(81) (82)

(83)

(84)

Перенесемо другий доданок лiвоl частини piB^HM (84) у праву час-тину та згрупуемо у правш частинi одержаного рiвняння доданки з множни-ками dp/p, тодi матимемо

У X С Л

d р

de = Tds + 22°?d

3 3 (Р\

tu

vP;

i=1 j=1

+

3 3 onPF..

- e + Ts

J + 22

i=1 j=1 P

р

(85)

Величина dp/p характеризуе вщносну змiну маси матерiалу. Дiйсно, оскшьки, згiдно з формулою (9),

q (T)dr= lim , (86)

v ' avav

то р ^dz. (87)

P P

1з отримано! рiвностi випливае, що вiдносна змiна маси матерiалу dp/p е залежною вiд часу. З огляду на (85), залежшсть питомо! внутршньо! енерги висушувано! деревини вщ часу сушiння т е явною. Але, за ще! умови, не ви-конуеться принцип локально! рiвноваги: будь-який термодинамiчний потен-щал явно не залежить вiд часу [9]. Тому для усунення ще! суперечност необ-хiдно припустити, що

3 3 (jWf.. ijij

J+22

i=1 j=1 р

- e + Ts = 0.

(88)

Звщси, спiввiдношення Гiббса для деревини зi змiнним вологовмiстом мае вигляд

Tds = de -22°fd

3 3 ГР\

vPy

i=1 j=1

а хiмiчний потенцiал визначають за формулою

3 3 onPF.. j = e - Ts-22jL

(89)

(90)

г =1 j=1 P

Пiдставимо (87) у (84) та помножимо отриманий результат на P. Тодi матимемо

3 3

/ л £j

3 3 ofSj

Pde + qedz = T(pds + qsdz) + jiqdz + p22aijPd ~ + q22 —ijdT . (91)

i=1 j=1 v р у i=1 j=1 р

Або, з урахуванням виразу (29), отримаемо

pde + qedz = T (pds + sd р + spdivodz) + juqdz +

( 3 3 r \ С ■ ■

+ 22 О pd

V i=1 j=1 vP

3 3

i=1 j=1

P

3 3

i=1 j=1

Звщси, оскшьки

/ л

pds + sdр = dps ; dр

/ л

vPy

= pd

/ л

+

vPy

vPy

d р

(92)

(93)

з з 3 3

то pde + qedт — Tdps + Tpsdivudт + Juqdт + ZZ ajjP de. + ZZ <' eijdivudт . (94)

i—l j—l i—l j—l

1з тотожност лiвих чaстин отримaного рiвняння тa рiвняння (55), пом-ноженого нa dт, випливae рiвнiсть ïx ^aBrn чaстин, тобто

з з 3 3

Td ps + T psdivudт + Juqdт + ZZ ajjP de. + ZZ <' eijdivudт —

i—l j—l i—l j—l

— Z <k —— + div ( ÀgradT - hjвол )т + SpyдL dт k—1 ^xk дт

(95)

Визшчимо другий додaнок суми прaвоï чaстини у (95). Для цього ско-ристaeмося визнaченням дивергенци векторно!" величини тa зэлежностями (5S) i (6з)-(65). Тодi, зa допомогою несклaдниx мaтемaтичниx перетворень невaжко покaзaти, що

div (ÀgradT - hjem ) — div (ÀgradT) - hdivjeM - CP ( jeojlgradT). (96)

Пiдстaвимо (96) у (95), тодi мaтимемо

з з 3 3

T (d ps + psdivudт- + Juqdт + ZZ ajjP de. + ZZ <jjPeijdivudт —

i—1 j—1

i—1 j—1

— Z<k -ди + div (ÀgradT )dт - hdivj вол<Лт - CP (jemgradT )dт + SpyдUdт . (97) k—l дxk v 1 дт

звщси q — -divJвол, (9S)

то з врaxувaнням цього сшввщношення, (97) зaпишемо у виглядi

з з 3 3

T (dps + psdivudт- + Z Z de. + ZZ ajP £ijdivudт —

i—l j—l i—l j—l

з ди дии

— Z <k--+ div (ÀgradT^т + (h - J)qdт - CP (j^gradT Ыт + Spy-dт . (99)

k—l дxk дт

Дивергенщя векторa и e зэлежною вщ деформiвного стaну мaтерiaлу. 3a дaними робiт [з]:

1 dJ (1OO)

divu

J dт

Тому, поставивши (1OO) у (99), отримaeмо

л /

Td ps + Z Z <deL + T ps + Z Z < e.

i—1 j—1 j v i—1 j—1

dJ_ J

— Z <k ~~ + div(ÀgradT)dт + (h - Jqdт- CP ( JволgradT)т + Spy -^д-dт . ( 101 )

k—1 ^k дт

Hевiдому величину (h - j) q зшйдемо iз зэлежностей (9O), (56) тa (2S). Зпдно з цими формулaми,

Í з з <jPe.. з з <jPe..

(h-j)q — e-ZZ.. - e + Ts + ZZJl

V i—1J

i—l j —l p

i—l j—l p

d p + p dJ 01т J dт

/ d р р dJ Л Ts ( d р dJ Л Ts dJ р

■ Ts

v

+—-

dz J dz

i Л „ Jr\

J

dz dz

J dz

Тод^ замiнивши у (101) доданок (h - jjq на вираз Ts dр одержимо

J dz

33 dJ 33 dJ Ts dJ n

Tdрs + 22 vfdEj + T рsJ + 22 j j J - TrdJr=

i=i j=1 J i=i j=1 J J dz

= 2 ok ^-—dz + div(AgradT)dz - CP (jmngradT)т + дру^д-dz. (103)

k=1 dxk dz

Подамо це piB^HM у бiльш компактнiй, простшш формi запису. Для цього згрупуемо у його лiвiй частинi перший, третш i четвертий доданки та перетворимо отриманий вираз. Внаслщок матимемо тотожтсть

Td рs + T dJ - Ts dJ р = T (Jd рs + рsdJ - sdJ р) = T рds. (104)

J J J

Для спрощення суми, у правш частит piвняння (103) подамо потуж-тсть полiв напружень у виглядi алгебра!чно! суми потужностей пружних та в'язких полiв напружень. Для цього використаемо формули (58-59). Тод^ перший доданок ще! суми запишемо у виглядi

2 ^k ^ = 2 2 oj дт +2 2 о$ дт. (105)

k=1 dxk i=1 j=1 OZ i=1 j=1 dz

Шдставимо (104) та (105) у (103)

3 3 3 3 dJ

T рds +22 ojdsj + 22 of T J =

i=1 j=1 i=1 j=1 J

3 3 зз dU = 22 ojdsj +2 2 otjdej + div (AgradT )dz - CP (jemgradT )dz + 8py-dz . (106)

i=1 j=1 i=1 j=1 dz

Вщ обох частин одержаного piвняння вщтмемо перший доданок ви-разу право! частини, а отриманий результат помножимо на якобiан J. Тод^ зважаючи на формулу (66), матимемо

3 3 ( 3 3

T рН1mds + 22 ojsijdJ = J 22 ojd £j + div (AgradT )dz-i =1 j=1 v i=1 j=1

dU л

-CP (jmngradT)dz + дру-dz . (107)

v ' dz J

Другий доданок суми виразу у лiвiй частит piвняння (107) характери-зуе певну фiзичну властивють деформованого матеpiалу. Формально вш виз-начаеться iз piвняння неpозpивностi потоку потенщально! енеpгi! JEnom деформованого твердого тша, вiднесено! до одинищ його об'ему у недеформо-ваному стат

сШ„от + JEnomdivu = -divenom , (108)

dz

де епот - густина потоку потенщально! енергй 3Епот, яка дорiвнюе кiлькостi потенщально! енерги, що переноситься через одиничну площадку поверхш матерiалу за одиницю часу:

1 3 3

Епот = 2 ЕЕСС] ■ (109)

2 I =1 ] =1

Дiйсно, оскiльки за формулою (100)

2

3 ¿т

зз 1 ц г

Е Е = 2Епот^3 = 23Епот——¿Т = 2(3Епот^Уй)с1т , (110)

i=1] =1

то, з огляду на рiвняння (108),

3 3

Е Е = 2 (ЗЕпот^^и )с!Т= -2d (3Етт) - 2diveпот ■ (111) i=1] =1

Але, за фiзичною штерпретащею, потенцiальна енерпя е залежною вiд взаемного розмщення матерiальних точок суцiльного середовища та характеру !х взаемодй\ К значення за межами цього середовища дорiвнюе нулевi■ Значення потоку ще! енерги через замкнену поверхню матерiалу, а отже, i значення його дивергенцй дорiвнюють нулевi■ Таким чином

Е Е = -2* (ЗЕпот), (112)

i=1] =1

що й необхiдно було показати

Пiдставимо (111) у (107), а отриманий результат подшимо на Трнт, тодi зважаючи на залежнiсть (66), матимемо рiвняння

= 3

Т рн

3 3

Е Е + ¿¡V (ЛgradT )т

у i=1 ] =1

/г ч зи Л 1 (1 3 3 л

-Ср \jeangradT )т + 8ру—~ ¿Т +—d — ЕЕС £>

дт ) Т {рi=1 =1

__У

{рi=1 ] =1 )

(113)

Це рiвняння е узагальненням так званого загального рiвняння балансу ентропи для малостисливих пружних матерiалiв стало! маси

( 3 3 ^

(¿¡V (ЛgradT )т + ЕЕ апР d £\

= - 1

Т рн

3 3

(114)

-ч

i =1 ]=1 )

Дшсно, якщо у (113) значення якобiану градiентiв руху 3 дорiвнюе одиницi, а дисипативною складовою сд тензора напружень ад та швидюстю змiни вологовмюту знехтувати, то одержимо рiвняння (114)^

Отже, дотримуючись загальноприйнято! термiнологi!, рiвняння (113) е загальним локальним рiвнянням балансу ентропi! для стисливих та малостисливих в'язкопружних гiгроскопiчних матерiалiв змiнно! маси Воно дае змогу виз-начити швидюсть змiни питомо! ентропi! пиломатерiалу як у випадку конвективного сушiння, так i у випадках застосування iнших способiв вологовидален-ня^ Для пиломатерiалiв, висушуваних конвективним способом, воно мае вигляд

ds

J

T рн

3 3

dU

Е Е ayd Sij + div (ÄgradT )dr +5ру-d т

дт

1 , + — d

T

1 3 3

1 ZK ^^

— ,-=1 j=1

. (115)

V i =1 j=1

Для визначення граничного напружено-деформiвного стану для твер-дих гiгроскопiчних тiл змшно! маси проштегруемо отримане рiвняння, тод^ пiсля нескладних математичних перетворень, матимемо

т J 3 3 т j

п.=i т—EZ°ldsij+i т~

0 T рнт i=1 j=1 0 T —нт V

div (ÄgradT) + öpy

dU дт

йт +

т 1 13 3

+i Td ЕЕ

T V—i=1 j=1

CTnP F

ij ij

(116)

0 T V—i=1 j=1 j

де s - граничне значення питомо! ентропи деформованого матерiалу, а т -час переходу матерiалу з недеформованого стану у граничний напружений стан.

Отримана формула е критерiем технолопчно! мiцностi для пгроско-пiчних капiлярно-пористих iзотропних та ашзотропних матерiалiв. Вона е основою для моделювання та прогнозування конструктивно! та технолопчно! мiцностi деревини зi змiнними потенцiалами вологотеплоперенесення. Висновки:

1. У рамках закотв юнематики та мехатки суцшьних середовищ, а також основних положень термодинамши незворотних процеив проведено синтез процеив деформування та тепломасоперенесення для пгроскотч-них катлярно-пористих ашзотропних матер1ал1в змшно! маси. На його основ! вперше отримано: а) залежтсть густини деформованого матерь алу вщ вологовмюту та вщносно! об'емно! деформацп; б) р1вняння пере-несення вологи i тепла та р1вняння балансу ентропи для деформованих суцшьних середовищ; в) рiвняння руху для пгроскошчних матерiалiв зi змiнним потенщалами тепловологоперенесення.

2. Вперше на пiдставi отриманого рiвняння балансу ентропи для пгроскотчних катляро-пористих матерiалiв зi змiнними потенцiалами тепломасоперенесення розроблено технолопчний критерiй мiцностi.

Л1тература

1. Поберейко Б.П. Анашз критерив мщносп деревини та ашзотропних капшярно-по-ристих матер1ашв / Б.П. Поберейко // Науковий вюник УкрДЛТУ : зб. наук.-техн. праць. -Льв1в : Вид-во УкрДЛТУ. - 2005. - Вип. 15.3. - С. 138-148.

2. Поберейко Б.П. Технолопчний критерш мщносп деревини у пружнш обласп деформування / Б.П. Поберейко // Науковий вюник НЛТУ Укра!ни : зб. наук.-техн. праць. - Льв1в : РВВ НЛТУ Укра!ни. - 2006. - Вип. 16.1. - С. 139-144.

3. Поберейко Б.П. Дослщження процеав вологоперенесення всередиш та на меж не-руйшвно! обласп деформування / Б.П. Поберейко, Я.1. Соколовський // Науковий вюник НЛТУ Укра!ни : зб. наук.-техн. праць. - Льв1в : РВВ НЛТУ Укра!ни. - 2006. - Вип. 16.6. - С. 82-90.

4. Тарапов И.Е. Механика сплошной среды. - В 3-ех ч. - Ч. 2: Общие законы кинематики и динамики / И.Е. Тарапов. - Харьков : Изд-во "Золотые страницы". - 2002. - 515 с.

5. Петров Н. Современные проблемы термодинамики / Н. Петров, И. Бранков. - М. : Изд-во "Мир", 1986. - 243 с.

6. Лыков А.В. Теория сушки / А.В. Лыков. - М. : Изд-во "Энергия", 1968. - 472 с.

7. Ландау Л.Д. Теоретическая физика / Л. Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. - В 10-ти т. - Т. VII: Теория упругости : учебн. пособ. - Изд. 4-е. - М. : Изд-во "Наука", 1987. - 248 с.

8. Седов Л.И. Механика сплошной среды / Л.И. Седов. - М. : Изд-во "Наука", 1973. - Т. II. - 584 с.

9. Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика : учебн. пособ. / М.А. Леонтович. - М. : Изд-во "Наука", 1983. - 416 с.

Поберейко Б.П. Взаимосвязь релаксационно-деформационных, теп-ломассообменных и крепостных процессов в высушиваемой древесине

На основе законов механики сплошных сред и термодинамики необратимых процессов синтезирована физико-математическая модель взаимосвязи релаксационно-деформационных и крепостных процессов в гигроскопических композитных материалах. Выведено уравнение тепло-перенесения для деформированного материала и построен технологический критерий локальной прочности.

Pobereyko B.P. Intercommunication of relaxation-deformation, warmly-mass-exchange and processes of durability in the dried out wood

On the basis on mechanics laws of continuous environments and thermodynamics of irreversible processes the physics-mathematics model of intercommunication of relaxationdeformation and processes of durability in hygroscopic composite materials is synthesized. Equalization of heat-transference is defined for the deformed material and the technological criterion of local durability is built._

УДК [674:658.011.54/56]:674.214 Доц. Т.В. 1ванишин, канд. техн. наук -

НЛТУ Украти, м. Львiв

статистичн1 характеристики технолог1чних операц1й механ1чного оброблення брускових заготовок на автоматизованих л1н1ях

Здшснено експериментальш дослщження стохастичного вар^вання тривалосп технолопчних операцш мехашчного оброблення брускових заготовок вшонних i дверних блоюв. Застосувавши ерлангову модель розподшу ймовiрностей iнтервалiв випуску продукцп, виконано математичне оброблення експериментальних даних та визначено !х статистичш характеристики.

Ключов1 слова: експериментальш дослщження, стохастичне вар^вання, три-валють технологично! операцп, заготовка, математичне оброблення, розподш iмовiр-ностей, штервал випуску, ерлангова модель, статистичш характеристики.

Актуальшсть теми. Пщ час проектування автоматизованих лшш не-обхщно враховувати законом1рносп функцюнування обладнання, як знач-ною м1рою залежать вщ зовтштх умов роботи машинних систем [1]. Тобто розроблення рацюнальних структур лшш та принцишв !х експлуатаци повинно, насамперед, базуватись на анал1з1 реального технолопчного процесу з урахуванням можливих коливань розм1рно-яюсних \ ф1зико-х1м1чних власти-востей заготовок, стану шструмент1в та шших фактор1в, здатних вплинути на процес виготовлення та параметри готових вироб1в. Бшьшють 1з них не тд-даеться точному контролюванню й регулюванню, що накладае вщбиток ви-падковосл на роботу верстат1в \ зменшуе ефектившсть та яюсть виготовлення готово! продукцп [2]. Тому тшьки знання реальних статистичних законо-м1рностей розподшу вщхилень основних яюсних фактор1в технолопчного процесу дае змогу обгрунтувати виб1р т1е! чи шшо! структури автоматизова-но! лши.